精品解析：辽宁大连第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

大连市第一中学2025-2026学年度下学期高一期中考试 数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角正弦公式，结合平方关系，弦化切，则代入求值即可. 【详解】因为， 所以， 故选：C 2. 设，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对分别用诱导公式及和差角公式，半角公式化简，再结合正弦函数的单调性判断可得. 【详解】由； 由，因为， 所以，故； 再由，所以, 所以，即. 3. 下列函数中，其图象与函数的图象重合的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别分析绝对值内为负值时各选项的解析式，对照分析，即可得答案. 【详解】由二倍角公式得， 选项A：当时，，与不重合，故A错误； 选项B：当时，，与不重合，故B错误； 选项C：当时，，与不重合，故C错误； 选项D：因为是偶函数，所以对于任意，都有， 故，与的图象重合，故D正确. 4. 记的面积为S，的外接圆半径为1，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由正弦定理（R为的外接圆半径），且的外接圆半径为1，得 ， 代入得. 由余弦定理得， 又，所以，化简得， 因为，所以. 5. 如图所示，的三条边均与圆相切，其中，则圆的半径约为（ ） A. 5.861 B. 5.674 C. 5.076 D. 4.926 【答案】C 【解析】 【分析】作出辅助线，用圆半径的表示出，结合已知求出，再用三角恒等变化求解. 【详解】令圆切直线于点，连接，设圆半径为， 依题意，， 则，则，得， 因此 . 故选：C 6. 已知，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用正弦的和差角公式得到，从而得，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，即， 所以， 整理得到，又，，则，且易知， 所以，且 则， 又，当且仅当时取等号， 所以. 7. 已知函数在处取得最大值，若在处取得最大值，则与的关系可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设有、且，再由已知得、，进而判断各项正误. 【详解】由，且， 由题意，则， ，则， 所以，则或均不可能， ，则不可能，时. 故选：C 8. 在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目信息结合三角恒等变换及向量的数量积公式解出三角形，建立平面直角坐标系，由为线段上的一点，则存在实数使得，求出点坐标，再根据，求出点坐标，从而得到，利用基本不等式即可求出答案. 【详解】中设，，， 因为，， 所以， 即， 所以， 因为，所以， 所以，又，所以， 又因为，所以， 又，所以， 在中，，，， 根据，所以，， ， 以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系， 可得，，，所以，， 为线段上的一点， 则存在实数使得， 设，，则，， 所以，则， 所以，，则， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 此时， 所以的最小值为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有一项或多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的有（ ） A. 是第三象限角 B. 若扇形的圆心角为，半径为3，则弧长为6，面积为9 C. 若，为第二象限角，且，则 D. 与值域相同. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据终边相同的角可判断A项；利用扇形的弧长面积公式判断B项；举反例可判断C项；确定内层函数的值域，再结合外层三角函数的单调性分别求出两个函数的值域，可判断D项. 【详解】对于A，因，即与的终边相同，故是第三象限角，即A正确； 对于B，依题意，该扇形的弧长为，面积为，故B正确； 对于C ，举反例：取，，二者都是第二象限角，满足， 但，不满足，C错误； 对于D ，求值域：对：，因此，值域包含负数； 对：，因此，值域全为正数， 二者值域不同，D错误. 10. 在中，角，，所对的边分别为，，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则三角形有两解 B. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为 C. 若，，则的取值范围为 D. 若的外心为，且，，则. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意求，可得，即可判断A；对于B，利用向量的数量积公式求解即可；利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式及正切函数性质求解判断C；对于D，根据，，化简即可求解. 【详解】对于选项A：由题意可得：，因，所以三角形有两解，故A正确； 对于B：因为向量，，若与的夹角为锐角，则，即，解得：或，故B不正确； 对于选项C：因为，则， 可得，即， 由正弦定理得， 所以的取值范围为，故C正确； 对于D，取的中点，则， 所以， 同理可得， 所以，故D正确 11. 已知函数的部分图象如图，则下列结论正确的是（ ） A. 的值为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 若函数恰有4条对称轴和3个零点落在区间内，则实数的取值范围是 D. 若方程（，且）在内至少有3个不同的根，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，根据得到；B选项，由得到，再由得到，进而得到，，的图象不关于直线对称，B错误；C选项，整体法得到，得到C正确；D选项，先考虑临界情况，再得到的取值范围. 【详解】对于A选项，由题意得，即，， 且在附近单调递增，又，故，A正确； 对于B选项，由题意得， 又，故，解得， 又，且函数在附近单调递增， 即，， 解得， 因为，故，解得， 又，故，所以， ，故， 所以的图象不关于直线对称，B错误； 对于C选项，，， 若函数恰有4条对称轴和3个零点落在区间内，则， 解得，C正确； 对于D选项，由于， 由于，且，在的基础上，纵坐标不变，横坐标伸缩为原来的， 要想方程（，且）在内至少有3个不同的根， 先考虑临界情况，如图， 此时（，且）在内有2个不同的根， 且满足时，成立， 即， 结合图象的单调性，可知， 解得， 当时，纵坐标不变，横坐标进一步进行缩短，此时满足 方程（，且）在内至少有3个不同的根， 实数的取值范围是，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知函数的单调递增区间为，则函数的最小正周期为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】运用正切型函数的单调性得到，再根据正弦型函数的周期计算即可. 【详解】令，得， 又的单调递增区间为，所以， 于是，其最小正周期. 故答案为：. 13. 已知向量，，若，则在方向上的投影向量的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的运算律求得，，根据投影向量的概念求解即可. 【详解】，， 因为，所以， 解得．所以，， 所以在方向上的投影向量的坐标为． 14. 已知，．则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】将化成关于的二次函数形式后，由题意可得，，则可得位于第一象限，结合三角恒等变换可得对称轴在区间内，即可得其，解出后与位于第一象限取交集即可得. 【详解】令 ， 则，， 故，则，， 对称轴为 ， 令，则， 故， 又，故使得最小的在区间内， 故对， 有， 即有，则， 即，又， 取交集可得. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知角的始边与轴的正半轴重合，终边过定点． （1）求的值． （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据任意角的三角函数定义求出，，根据诱导公式进行化简，代入求值即可. （2）根据诱导公式求解即可. 【小问1详解】 角的始边与轴的正半轴重合，终边过定点，则， 所以，． 所以 ． 【小问2详解】 由于， ， 所以． 16. 已知，，且，求： （1）的值； （2）的值； （3）的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 且，． 【小问2详解】 且，， 又，，又， ，． 【小问3详解】 由（1）（2）知，， ， 又，． 17. 在中，角所对的边分别是，且. （1）求； （2）若是边上靠近的三等分点，，，求的面积； （3）若是的角平分线，，，求的长. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换得，再根据三角函数性质即可求得； （2）由题意，进而根据向量模的关系求得，再计算面积即可； （3）根据题意，结合得，再根据余弦定理求解即可. 【小问1详解】 解：因为， 由正弦定理可得， 所以， 所以， 又因为，所以， 所以，又因为，所以， 所以，故； 【小问2详解】 解：因为是边上靠近的三等分点， 所以， 所以， 又因为，，， 所以，化简得， 即，解得或（舍去）， 所以； 【小问3详解】 解：已知平分，且，故， 由 得； 将 ，代入得 ，解得 ∵ ∴ 18. 已知函数. （1）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不相等的实数根，，求的值. （2）设，若方程在上有解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象平移和伸缩变换的规则，先平移再伸缩，得到的表达式，由，结合的取值范围，分析方程根的情况，利用三角函数的对称性找到​与的关系，再代入求解。 （2）先求出的表达式，再结合，将方程进行变形，利用换元法将方程转化为关于的方程，结合的范围确定的取值范围，进而求出的取值范围 【小问1详解】 ， 将函数的图象向左平移个单位长度 得 函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变得， 即 由已知在上有两个不相等的实数根，， 当时，，设，， 可知在上单调递减，在上单调递增， 所以，， ，即， 那么， 因为，所以， 所以， 所以. 【小问2详解】 方程在上有解， ， 所以方程变为， 即方程在上有解， 设，则，所以， 因为上，所以，则， 则原方程可化为在上有解， 由题知，，故方程可化为在上有解， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增，所以， 所以，故，故实数的取值范围为. 19. 如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． （1）在仿射坐标系中，若，求； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题设且、的夹角为，应用向量数量积的定义和运算律求向量模长； （2）由题设，，且，应用向量数量积的运算律求的数量积和模长，再由夹角公式求夹角余弦值，即可得； （3）设、（，），且，，，进而有、，可得，在中应用正余弦定理及三角恒等变换化简并求出的最大值. 【小问1详解】 由题意可知，、的夹角为， 由平面向量数量积的定义可得， 因为，则， 则， 所以. 【小问2详解】 由，，得，， 且， 所以，， 则， ， 因为与的夹角为，所以，解得. 又，，所以； 【小问3详解】 依题意，设、（，），且，，， 因为为的中点，则 ， 因为为中点，同理可得， 所以， 由题意知，， 则， 在中，依据余弦定理得，所以， 代入上式得，. 在中，由正弦定理得， 设，则，且， 所以，， ，为锐角，且， 因为，则， 故当时，取最大值， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大连市第一中学2025-2026学年度下学期高一期中考试 数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，，，则有（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，其图象与函数的图象重合的是（ ） A. B. C. D. 4. 记的面积为S，的外接圆半径为1，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，的三条边均与圆相切，其中，则圆的半径约为（ ） A. 5.861 B. 5.674 C. 5.076 D. 4.926 6. 已知，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在处取得最大值，若在处取得最大值，则与的关系可能为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有一项或多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的有（ ） A. 是第三象限角 B. 若扇形的圆心角为，半径为3，则弧长为6，面积为9 C. 若，为第二象限角，且，则 D. 与值域相同. 10. 在中，角，，所对的边分别为，，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则三角形有两解 B. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为 C. 若，，则的取值范围为 D. 若的外心为，且，，则. 11. 已知函数的部分图象如图，则下列结论正确的是（ ） A. 的值为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 若函数恰有4条对称轴和3个零点落在区间内，则实数的取值范围是 D. 若方程（，且）在内至少有3个不同的根，则实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知函数的单调递增区间为，则函数的最小正周期为___________. 13. 已知向量，，若，则在方向上的投影向量的坐标是______． 14. 已知，．则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知角的始边与轴的正半轴重合，终边过定点． （1）求的值． （2）若，求的值． 16. 已知，，且，求： （1）的值； （2）的值； （3）的值． 17. 在中，角所对的边分别是，且. （1）求； （2）若是边上靠近的三等分点，，，求的面积； （3）若是的角平分线，，，求的长. 18. 已知函数. （1）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不相等的实数根，，求的值. （2）设，若方程在上有解，求实数的取值范围. 19. 如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． （1）在仿射坐标系中，若，求； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $