专项一 计算题-【红卷】2025-2026学年八年级下册数学期末复习方案（北师版）

专项强化练 地招神北收 红卷 专项一计算题 用心做好 垣愁归尖可打印了 类型1 解一元一次不等式 1.(1)将2>4变形得到x>8的依据是 (2)按下图程序进行计算，程序运行到“结果是否≥9”为一次运算。若 程序运算两次停止，则输入的数x的取值范围是 输入x x2一山9明是输出结果 否 2.解不等式： (1)2(x+1)<3x-1。 2)6-1>2 3 3.已知关于x,y的二元一次方程组2二4m-5,的解满足x+y-3, x+4y=-7m+2 其中m是非负整数，求m的值。 类型2 解一元一次不等式组 4.如图所示的数轴有以下4部分，则不等式组 6x+4<4x+5,的x所在 4x+1>2x 的区域为 。(填序号) ①② ③④ 3-20123456→ 5.解不等式组： [5x-2>3(x+1), (2)23s5 12 (1)1 3 2t-1s7 23 2。 3(x-1)<x-5。 2x-3<x,① 6.解关于x的不等式组 1-x≤+12 3 石一。②把解集在数轴上表示出来 并写出它的所有正整数解。 -5-4-3-2-十012345→ 7.如果某一元一次方程的解是另一个一元一次不等式组的一个解， 则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程.例如：方程2x-6= 0的解为x3,不等式组20的解集为2<x<5,因为2<3<5 x<5 以方程2x-6=0为不等式组-2>0，的关联方程。 x<5 (1)若不等式组 41, 的一个关联方程的解是整数，求这 4+2x≥-7x+5 个关联方程（写出一个即可）。 (2)若方程2x-1=+2,3+x=2(x+号)都是关于x的不等式组 (x<2x-m,的关联方程，求m的取值范围。 x-2≤m 8.我们已经学习了有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负 对于形如(x-2)(x+3)>0,(x+1)(2x-4)<0这种不等式，我们可 以类比有理数的乘法法则进行分析，例如：若(x-2)(x+3)>0,则 。或化30再分别解不等式组，求出原不等式的解集 请解决以下问题： (1)若(x+1)(2x-4)<0,则 或 (2)根据上述信息，求不等式(3x-5)(2x+6)>0的解集。 王心童®《红卷》·数学BS版·八年级下册 [类型3因式分解 9.用公式法进行因式分解。 (1)a2+ab+2a。 (2)3a2b2-6ab3。 (3)m4-1。 (4)9(a+b)2-(a-b)2。 (5)(x-y)2+4xy。 (6)3ax2-6axy+3ay2。 1 (7)9a2(x-y)+462(y-x)。 (8)ab2+ab-a26。 4 4 10.阅读材料：我们知道a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2,所 以形如a2+2ab+b2,a2-2ab+b2的式子可以用完全平方公式因式 分解。类似地，对于x+4x+3,我们可以通过配方实现因式分解： x2+4x+3 =x2+4x+4-1 =(x+2)2-1 =(x+2+1)(x+2-1) =（x+3)(x+1) 请根据材料，解决下列问题： (1)因式分解：x2-6x+5。 (2)因式分解：x2+2x-3。 专项强化练/13 11.阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的 字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且 能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把 这种因式分解的方法称为“换元法”。下面是小涵同学用换元法 对多项式(x2-4x+1)(x2-4x+7)+9进行因式分解的过程。 解：设x2-4x=y 原式=(y+1)(y+7)+9 第一步 =y2+8y+16… 第二步 =(y+4)2 第三步 =(x2-4x+4)2 第四步 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 A.提取公因式法 B.平方差公式法 C.完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式 分解的最后结果： (3)请你用换元法对多项式(x2+2x)(x2+2x+2)+1进行因式 分解。 类型4分式的化简求值 12先化简：气1+14， a+1 ,并从0，-1,2中选一个合适的数 作为a的值代入求值。 13先化简，再求位：〔司子以-1,23中选择一个适当的数 作为x值代入。 14 专项强化练 14.先化简，再求值：a-6ab+96:n 5b2 a-2b ÷a+26 a-2b) ,其中a,b的值满足 Ia+31+(b+2)2=0。 15.已知a,b,c为实数，且+b- 2=36+c=4+=5 ’bc ca (1)求++的值。 (2)求ab+c+a的值。 a b c abc (3)分别求a、b、c的值。 R 16.定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的 和的形式，则称这个分式为“和谐分式”。如：+1=1+21 x-1x-1x-1 2 1 22x-32x+2-52x+2,-5 x-1'x+1x+1x+1x+1 21+i则+1和2x-3 2+5 二和 x-1“x+1 都是“和谐分式”。 (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是 (填序号)。 ①t*1 y2 (2)将和院分试“化成一个能式与-个分千为清数的分 式的和的形式，-2+3 a-1 (3)应用：先化简 x+6x-1.x2-1 并求x取什么整数时，该式的 x+1 x x2+2x 值为整数。 王心童®《红卷》·数学BS版·八年级下册 17.小明在一本数学课外书上看到这样一道题：已知 11=1 x y (≠0)，求分式3x-5y-3y的值。该题没有给出，y的值，应怎 x+6xy-y 样求出分式的值？数学课外书上介绍了两种方法： 11=l,…y 方法1xy =1,.y-x=xy,.x-y=-xy, ·原式=3(=）-5g_3x(-w)-5y8 (x-y）+6xy-xy+6xy 5o 方法2：xy≠0，将分式的分子、分母同时除以y得， 原式=（3-5y-3y）y-… (x+6xy-y)÷xy (1)“方法1”中运用了“分式”这一章的数学依据是 (2)请你将“方法2”中剩余的解题过程补充完整。 (3)若m+n=m(m,n都不为0)，请求出3n-5mn+3m的值。 m+mn+n ]类型5解分式方程 18.解分式方程： (1)3x 8 =10 (2)51 x-2x2-2x x-12x+1 (3)1 2 (4)4 +1=1 x2-1 x+1o在△ADE与△CBF中， T∠ADE=LCBF, ∠AED=∠CFB, AD=CB, ∴.△ADE≌△CBF(AAS)。 ∴.DE=BF。 (5分) (2)四边形AECF是平行四边形。 (6分) 理由：∠1=∠2， AE∥CF。 由(1)知，△ADE≌△CBF, .AE=CF。 ∴.四边形AECF是平行四边形。 (9分) 20.解：(1)作AM⊥BC于点M,设AC交PE于点N。如 图所示： B Q M E ∠BAC=90°，∠B=45°， .∠C=∠B=45°。 .AB=AC。 ∴.BM=CM。 AM=TBC-5 AD∥BC, ∴.∠PAN=∠C=45°。 (2分) ,PE⊥BC, .PE=AM=5,PE⊥AD。 ·.△APN和△CEN是等腰直角三角形。 ∴.PN=AP=t,CE=NE=5-t。 CE=CQ-QE=2t-2, 7 、.5-t=2-2,解得=3 B0=BC-CQ=10-2x7=16 3-39 (5分) (2)存在，t=4或12。 (7分) 理由如下： 若以A,B,E,P为顶点的四边形为平行四边形， 则AP=BE, ∴.t=10-2t+2或t=2t-2-10, 解得t=4或12。 当t=4或12时，以A,B,E,P为顶点的四边形是 平行四边形。 (9分) 21.【三角形中位线定理】解：DE∥BC,DE=2BC。(2分） 【应用】解：连接BD,如图所示， E,F分别是边AB,AD的中点， EF∥BD,BD=2EF=4。 .LADB=∠AFE=45°。 (4分) BC=5,CD=3, ∴.BD2+CD2=25,BC2=25。 .BD2+CD2=BC2。 .∠BDC=90°。 .∠ADC=∠ADB+∠BDC=135°。 (6分) 【拓展】证明：取DC的中点H,连接MH,NH。 ,M,H分别是AD,DC的中点， .MH是△ADC的中位线。 1 ∴.MH∥AC且MH=。AC。 2 同理可得NM∥BD且NH=2BD。 (8分) ..EF=EG, ∴.∠EFG=∠EGF。 .MH∥AC,NH∥BD, .·∠EFG=LHMN,∠EGF=∠HNM。 ∴.∠HMN=∠HNM。 .MH=NH。 ∴.AC=BD。 (10分) 专项强化练 专项一计算题 1.(1)不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号 的方向不变 (2)3≤x<5 2.解：(1)2(x+1)<3x-1, 去括号得2x+2<3x-1, 移项得2+1<3x-2x, .x>3。 (2后 3 去分母得x-6>2(x-2), 去括号得x-6>2x-4, 移项得-6+4>2x-x, .x<-2。 3.解：方程组} 2x-y=4m-5,① x+4y=-7m+2。② ①+②，得3x+3y=-3m-3。 '.x+y=-m-1。 x+y>-3, ∴.-m-1>-3。 .m<2。 m是非负整数， .m=1或m=0。 4.② 5.解：(1)解不等式5x-2>3(x+1),得x>2.5, 解不等式了157得<4， 所以不等式组的解集为2.5<x≤4。 (2)解不等式1,2sx5 2+3 23,得x≤1， 解不等式3(x-1)<x-5,得x<-1, 所以不等式组的解集为x<-1。 6.解：解不等式①，得x<3, 解不等式②，得x≥-2。 则不等式组的解集为-2≤x<3。 将不等式的解集表示在数轴上如下： 5-4-3-2-1012345 所以的正整数解有1、2。 1 5 7.解：(1)解不等式组 1, 得1 <- 4+2x≥-7x+5 所以不等式组的整数解为x=1, 则该不等式组的关联方程为x-1=0。 x<2x-m,① (2) x-2≤m。② 解不等式①，得x>m, 解不等式②，得x≤m+2, 所以不等式组的解集为m<x≤m+2。 方程2x-1=x+2的解为x=3, 1 方程3+x=2(x+2)的解为x=2, 所以m的取值范围是1≤m<2。 (x+1>0, x+1<0, 8.解：(1) 2x-4<0(2x-4>0 (2)由条件可得 3x-5>0,或 (3x-5<0, 2x+6>0(2x+6<0, 解不等式组3x-50得 5 2x+6>0 3 解不等式组/3x-5<0, 2x+6<0 x<-3, 所以不等式(3x-5)(2x+6)>0的解集为x>或<-3。 9.解：(1)原式=a(a+b+2)。 (2)原式=3ab2(a-2b)。 (3)原式=(m2-1)(m2+1) =(m-1)(m+1)(m2+1)。 (4)原式=[3(a+b)+(a-b)][3(a+b)-(a-b)] =(4a+2b)(2a+4b) =4(2a+b)(a+2b)。 (5)原式=x2-2xy+y2+4xy =x2+2xy+y2 =(x+y)2。 (6)原式=3a(x2-2xy+y2) =3a(x-y)2。 (7)原式=9a2(x-y)-462(x-y) =（x-y）(9a2-4b2) =(x-y)(3a+2b)(3a-2b)。 (8)原式=1ab(a+6-2ab) 4 4b(a-b)2。 10.解：(1)原式=x2-6x+9-4 =(x-3)2-22 =(x-3+2)(x-3-2)》 =(x-1)(x-5)。 (2)原式=x2+2x+1-4 =(x+1)2-22 =(x+1+2)(x+1-2) =(x+3)(x-1)。 11.解：(1)C (2)(x-2)4 (3)设x2+2x=y, 原式=y(y+2)+1 =y2+2y+1 =(y+1)2 =(x2+2x+1)2 =(x+1)4。 12解：原式=3-(a-1)(a+1).a+1 a+1 (a-2)2 =(2+a)(2-a).a+1 a+1 (a-2)2 _2+a 2-a° 要使原式有意义，则a+1≠0，a-2≠0，即a≠-1，a≠ 2。所以a可取0。 当a=0时，原武81 13.解：原式=x.+1 x+1x-2 = x-2 要使原式有意义，则x+1≠0，x-2≠0，即x≠-1，x≠ 2,所以x可取3。 当x=3时，原式=3 23。 14.解：原式=(a-36).(a+26)(a-2b)-56: a-2b a-2b =-(a-3b)2 a-26 a-2b(a+3b)(a-3b) -a-3b a+3b 1a+31+(b+2)2=0, ∴.a+3=0,b+2=0。 ∴.a=-3,b=-2。 原赋式兴-引》 15解：(1)0-3，=4，n 6=3,e =5, ca ,1+1=3,1+1=4,1+15 a b +1=4, -=5, a c 2(2++)=34+5=12. a b c 1.1.1 1+=60 a b c (2)a6+bc+ca.111 aeat6t。6。 一十 。1,1,11,1 +=6,。+ 11 (3)一+ 1.1 +=5, a b c 6=3,6+。=4,a+。 a 1 2,b=1,c=30 16.解：(1)①③④ 2)a-1 a-1 (3)原式=3x+6-1.x(x+2) x+1x(x+1)(x-1) _3x+6x+2 x+1x+1 =2x+4 x+1 =2(x+1)+2 x+1 2 =2 x+1 1 当x+1=±1或x+1=±2时，分式的值为整数， 此时x=0或-2或1或-3。 又：分式有意义时x≠0、1、-1、-2， ∴.x=-3。 17.解：(1)分式的基本性质 (2):y≠0，将分式的分子、分母同时除以y得， 原式=（3x-5y-3y)y （x+6xy-y）÷xy 35 3 -yx 1,1 —+6-- -3(11)-5 =-x y 6-( 11、o x y 11 =1, x y 原式=3×1-58 6-1-5 (3).'m+n=mn .原式= 3(m+n)-5mn (m+n)+mn 3mn-5mn mn+mn -2mn 2mn =-1。 18.解：(1)去分母，得2x2-8=x2-2x,即x2+2x-8=0。 分解因式，得(x-2)(x+4)=0。 解得x=2或x=-4。 检验：当x=2时，x2-2x=0;当x=-4时，x2-2x≠0， 所以x=2是增根，原分式方程的解为x=-4。 (2)去分母，得5(2x+1)=x-1。 去括号，得10x+5=x-1。 移项、合并同类项，得9x=-6。 系数化为1，得子 检验：当=子时，(-1)2+1≠0， 所以：=子是原分式方程的解。 (3)去分母，得1+2(x-2)=x-1。 去括号，得1+2x-4=x-1。 移项、合并同类项，得x=2。 检验：当x=2时，x-2=0, 所以x=2是增根。 0 所以原分式方程无解。 (4)去分母，得4+x2-1=x2-2x+1。 解得x=-1。 检验：当x=-1时，x+1=0, 所以x=-1是增根。 所以原分式方程无解。 专项二应用题 1.解：(1)x=-1x>2 (2)不等式kx+b1>x+b的解集是x>1。 点A(-1,0),点B(2,0), .AB=2-(-1)=3, 1 9 .SaBc=2AB·Jc=2×3x3= 2解：(1)设小颖填写的数字为a,令2x+6>0,① (3(x-a)<4+x。② 解不等式①，得x>-3。 解不等式②，得x<2+3 0 ,该不等式组的解集为-3<x<11, 2+30=11,解得a=6。 2 .小颖填写的数字为6。 (2)小明的说法错误，理由如下： 设在“☐”中填人入的数字为m, 由(1)可得，>-3，<2+3m 。 ,该一元一次不等式组无解， 2+3m≤-3，獬解得m≤，70 2 ·在“口”中填入的数字小于等于10 故小明的说法错误。 3.解：(1)由题意，得y甲=0.8x(x≥0)。 乙商店：当0≤x≤200时，y2与x的函数关系式 为yz=x;当x>200时，yz=200+(x-200)×0.6=0.6x +80。 x(0≤x≤200)， 综上所述，yz={0.6x+80(x>200)。 (2)当一次购买商品总额超过200元时， yz=0.6x+80。 当y甲=yz时，0.8x=0.6x+80,解得x=400。此时选择 两家商店所需费用相同； 当y甲<yz时，0.8x<0.6x+80,解得x<400。此时选择 甲商店更合算； 当y甲>yz时，0.8x>0.6x+80,解得x>400。此时选择 乙商店更合算。 4.解：(1)设每袋灵宝苹果脆片x元，每袋卢氏连翘茶 y元。 2x+3y=61, 根据题意，得{ 3x+y=39, 解得 x=8, y=15。 答：灵宝苹果脆片每袋8元，卢氏连翘茶每袋15元。 (2)设购买灵宝苹果脆片m袋， (8m+15(10-m)≤130， m≤2(10-m), 解得2 7sm≤6 2 3° .m为整数， ∴.m=3或m=4或m=5或m=6。 .①购买灵宝苹果脆片3袋，购买卢氏连翘茶7袋； ②购买灵宝苹果脆片4袋，购买卢氏连翘茶6袋； ③购买灵宝苹果脆片5袋，购买卢氏连翘茶5袋； ④购买灵宝苹果脆片6袋，购买卢氏连翘茶4袋。 5.解：(1)设该学习小组实际参观博物馆的同学有x人。 根据题意，得420_14360 x15x-31 解得x=15。 经检验，x=15是原方程的解，且符合题意。 答：该学习小组实际参观博物馆的同学有15人。 (2)设“经典讲解”部分参观路线的长度为ykm, 1m/s=3.6km/h。 根据题意，得+3.6-y,103 3.61 33.6 602 解得y=3。 答：“经典讲解”部分参观路线的长度为3km。 6.解：设B种纪念章x元/个，则A种纪念章(x+4) 元/个。 根据题意列分式方程，得1000_80 x+4 x 解得x=16。 检验：当x=16时，x(x+4)≠0， ∴.原分式方程的解为x=16, .∴.x+4=20。 答：每个A种纪念章和B种纪念章分别为20元和 16元。 7.解：(1)设甲工程队单独完成此项工程需要x天。 1+,1)x15+5=1。 由题意，得(+1.5 解得x=30。 1