第四章 因式分解 单元过关练-【红卷】2025-2026学年八年级下册数学期末复习方案（北师版）

单元过关练 地昭一神北收 红卷 第四章 因式分解 用心做好 时间：90分钟满分：100分 垣愁归尖可打印 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.(-2)25+(-2)2026计算后的结果是 A.22025 B.2 C.-22025 D.-2 2.把多项式6a3b2-3a2b2-12a2b3分解因式时，应提取的公因式是 A.3a2b B.3ab2 C.3a363 D.3a262 3.(2025春·中原区校级期中)下列从左到右的变形，属于因式分解 的是 () A.(a+b)(a-b)=a2-b2 B.ab+ac+d=a(b+c)+d C.a2+2ab+b2=(a+b)2 D.12ab2=3a·4b 4.易错题已知x2+mx+16是完全平方式，则m的值为 A.±4 B.±8 C.4 D.8 5.若多项式M=4x2-3x+2,N=3x2-x+1,则M与N的大小关系为 A.M>N B.M≥N C.M<N D.M≤N 6.已知a,b,c是△ABC的三边长，且a2+2ab=c2+2bc,则△ABC是 A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D等腰直角三角形 7.若多项式5x2-17x-12可因式分解为(x+a)(bx+3),其中a,b均为 整数，则a+b的值是 A.9 B.-9 C.1 D.-1 8.已知m2=4n+a,n2=4m+a,m≠n,则m2+2mn+n2的值为（ A.与a值有关 B.4 C.8 D.16 9.用图1中的三种纸片拼成图2的长方形，据此可写出一个多项式 的因式分解，则下列各项正确的是 L 图1 图2 A.a2+4ab+3b2=(a+b)(3a+b)B.3a2+3ab+b2=(a+b)(b+3a) C.3a2-3ab+b2=(a-b)(3a+b)D.3a2+4ab+b2=(a+b)(3a+b） 10.216-1可以被10-20之间的两个整数整除，那么这两个整数是( A.13和15 B.12和16 C.15和17 D.14和17 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.(2025春·中原区校级期中)若整式x2+my2(m为常数，且m≠0) 能在有理数范围内分解因式，则m的值可以是 (写一个 即可)。 12.（2025春·金水区校级期中)若实数a、b满足ab=-3,a2b+ab2= 15,则a+b的值是 13.(2025春·高新区校级月考)把一个多项式化成几个整式的 的形式，这种变形叫作因式分解。整式乘法是“积化和差”， 整式乘法与因式分解为互逆变形，它们都是整式恒等变形。如：2 (x+3)=2x+6属于 14.新考法阅读理解如图，分解多项式x2-3x+2,可以用十字相乘的 形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左 上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和 右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。 1八-1 1八-2 1×(-1)+1×(-2)=-3 这样，我们可以得到x2-3x+2=(x-1)(x-2)。 利用这种方法，把多项式x2+7x-18分解因式为 15.对于二次三项式x2+mx+n(m,n为常数)，有下列结论： ①若n=49,且x2+mx+n=(x+a)2,则a=7; ②若x2+mx+n=(x+3)(x+a),则3m-n=9; ③若m2=4n-1,则无论x为何值，x2+mx+n>0: ④若n=24,且x2+mx+n=(x+a)(x+b),其中a,b为整数，则m可 能的取值有8个。 其中正确的是 。(只填写序号) 王心童®《红卷》·数学BS版·八年级下册 三、解答题（本大题共6个小题，共55分） 16.(9分)因式分解： (1)n2(m-2)-n(2-m)。 (2)-4a2+(a2+1)2。 (3)2x3y-4x2y2+2xy3。 17.(9分)下面是某同学对多项式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4进行因 式分解的过程。 解：设x2-4x=y 原式=(y+2)(y+6)+4…第一步 =y2+8y+16 第二步 =(y+4)2 第三步 =(x2-4x+4)2。… 第四步 单元过关练/07 (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 A.提取公因式 B.平方差公式 C.两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式 (2)该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，这个结果 是否分解到最后？ (填“是”或“否”)。如果否，直 接写出最后的结果： 18.(9分)已知两个多项式A=x2+6x+y2,B=2x2-12x-3y2+81。 （1)当x=-m,y=n时，多项式A=x2+6x+y2的值为-9，则当x=m, y=n时，多项式A的值为多少？ (2)试将B-A进行因式分解。 19.(9分)综合与实践操作探究小刚同学动手剪了如图①所示的正 方形与长方形纸片若干张。他用1张1号、1张2号和2张3号 卡片拼出一个新的图形（如图②）。根据图②的面积关系可得等 式：a2+2ab+b2=(a+b)2,即使用拼图将a2+2ab+b2分解因式。 23 b a bbb 图1 图2 图3 图4 081单元过关练 (1)如果要拼成一个长为(a+2b),宽为(a+b)的大长方形，则需 要2号卡片 张，3号卡片 张。 (2)当他拼成如图③所示的长方形，根据图③的拼图可以把多项 式a2+4ab+3b2分解因式，其结果是 (3)动手操作，请依照小刚的方法，在④的方框中画出面积为α+ 5ab+6b2的长方形拼图，并利用拼图分解因式。 红 20.(9分)（2025春·河南期末)仔细阅读下面的例题，并解答问题。 例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是x+3,求另一个因 式以及m的值。 解法一：设另一个因式为x+n,得x2-4x+m=(x+3)(x+n), 则x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n, (n+3=-4, 解得n=-7,m=-21。 (m=3n, .另一个因式为x-7,m的值为-21。 解法二：设另一个因式为x+n,得x2-4x+m=（x+3)(x+n) .当x=-3时，x2-4x+m=(x+3)(x+n)=0, 即(-3)2-4×(-3)+m=0,解得m=-21。 ∴.x2-4x+m=x2-4x-21=(x+3)(x-7）。 .另一个因式为x-7,m的值为-21。 问题：仿照以上一种方法解答下面问题。 王心童®《红卷》·数学BS版·八年级下册 (1)若多项式x2-px-6分解因式的结果中有因式x-3,则实数p= (2)已知二次三项式2x2+3x-k有一个因式是2x+5,求另一个因式 及k的值。 21.（10分)阅读材料，利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c(a≠0) 的多项式变形为a(x+m)2+n的形式，我们把这样的变形方法叫 作多项式ax2+bx+c(a≠0)的配方法，运用多项式的配方法可以 解决一些数学问题。比如运用多项式的配方法及平方差公式能 对一些多项式进行因式分解。 例：x2+4x-5=x2+4x+ (尸-(2尸-5=x+4+4-9=(x+2)2-9= (x+2-3)(x+2+3)=(x-1)(x+5)。 根据以上材料，利用多项式的配方法解答下列问题。 (1)分解因式：x2+2x-3。 (2)求多项式x2+6x-9的最小值。 (3)已知a,b,c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+ 10c,求△ABC的周长。理由：，·∠ACD+∠DC0O=∠BCE+∠DCO .∴.∠ACD=∠BCE .·CA=CD,CB=CE ∴.∠A=∠CDA=∠CBE=∠CEB。 :∠ABC+∠A=90°， ∴.∠ABC+∠CBE=90°。 ..BE⊥AB。 (3)解：作BH⊥CE于H, :∠DBO=∠CEO,∠DOB=∠COE, ∴.∠BD0=∠0CE=45°。 BE⊥AB, ∴.△BDE是等腰直角三角形。 :△BCH是等腰直角三角形， CH--BC-x 2 2 .HE=CE-CH=√2-1。 BE2=B+HE2=4-2√2， S6me=2BD·BE= 2BE2=2-2。 21.(1)证明：在△BAD和△CAE中， AB=AC, ∠BAD=∠CAE, AD=AE, ∴.△BAD≌△CAE(SAS). .BD=CE。 (2)BD=CE依然成立。 证明：∠BAC=∠DAE, ∴.∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD. 即∠BAD=∠CAE。 在△BAD和△CAE中， (AB=AC, ∠BAD=∠CAE AD=AE, .△BAD≌△CAE(SAS). BD=CE。 (3)CE的长度为√3I-2或√31+2。 第四章因式分解 一、选择题 1.A2.D3.C4.B5.B6.C7.( =90°， 9.D10.C 二、填空题 11.-1(答案不唯一)12.-513.乘积整式乘法 14.(x-2)(x+9)15.②③④ 三、解答题 16.解：(1)原式=n2(m-2)+n(m-2) (6分) =n(m-2)(n+1)。 (3分) (2)原式=(a2+1)2-4a2 =(a2+1+2a)(a2+1-2a) =(a+1)2(a-1)2。 (6分) (3)原式=2xy(x2-2xy+y2) =2xy(x-y）2。 (9分) 17.解：(1)C(2)否(x-2)4 (每空3分) 18.解：(1)当x=-m,y=n时，x2+6x+y2=-9, .m2-6m+n2+9=0。 .m2-6m+9+n2=0。 .(m-3)2+n2=0。 .m-3=0,n=0。 (9分) ∴.m=3,n=0。 (3分) .当x=m=3,y=n=0时， A=m2+6m+n2=9+18+0=27。 (5分) (2)B-A=2x2-12x-3y2+81-x2-6x-y2 =x2-18x-4y2+81 =(x-9)2-4y2 (7分) =(x-9+2y)(x-9-2y)。 (9分) 19.解：(1)23 (3分) (2)(a+3b)(a+b) (5) (3)长方形拼图如图所示： (7分) (3分) bbb b (5分) 利用拼图分解因式：a2+5ab+6b2=(a+2b)(a+3b)。 (9分) 20.解：(1)1 (3分) (2)设另一个因式为(x+n), 得2x2+3x-k=(2x+5)(x+n), 则2x2+3x-k=2x2+(2n+5)x+5n, (8分) 2n+5=3, (10分) (-k=5n, 解得n=-1,k=5。 .另一个因式为x-1,k的值为5。 (9分) 21.解：(1)原式=x2+2x+1-1-3 8.D =(x2+2x+1)-4 5 =(x+1)2-22 =(x+1+2)(x+1-2) =(x+3)(x-1)。 (2)原式=+6c+(月-（ )2-9, =(x+3)2-9-9 =(x+3)2-18。 因为(x+3)2≥0， 所以(x+3)2-18≥-18 所以多项式x2+6x-9的最小值为-18。 (3)a2+b2+c2+50=6a+8b+10c可变为：a b2-8b+16-16+c2-10c+25-25+50=0。 ∴.(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。 .a=3,b=4,c=5。 所以△ABC的周长=a+b+c=12。 第五章分式与分式方程 一、选择题 1.B2.B3.B4.C5.C6.B7.A 9.C10.A 二、填空题 11.x≠212.4或0或213.0或814. 15.-7<k<14且k≠0 三、解答题 16.解：(1)原式=m-3 m m(m+3)(m+3)2 (m+3)(m-3)m2 m(m+3)2m(m+3) m2-9-m2 m(m+3)2 9 m(m+3)2 、（2)原式=(4a+a-0:a+4)(a-4） a-1 4-aa-1 a-1(a+4)(a-4) a+49 17.解：(1)方程两边同时乘(x-2), 得x-3+x-2=-3。 解得x=1。 检验：当x=1时，x-2≠0， .原分式方程的解是x=1。 (2)方程两边同时乘(x+1)(x-1), 得x+1-2(x-1)=4 解得x=-1。 (3分) 检验：当x=-1时，(x+1)(x-1)=0, .原分式方程无解。 (4分) 18.解：(1)小明没有考虑分式方程的分母不为0这个条件 (3分) (2):关于x的分式方程2mm- x+2 =1的解为负数， (6分) .解该分式方程，得x-2m- 3 (5分) -6a+9-9+ 2m10, 3 3 2m-1*2。 2m-1<0,且2m-1≠-)。 m2,且m≠ .1 (10分) 49 (8分) 19.解：(1)一 三 (3分) (2)二 (5分) 8.A (3)原式=( 2x-5x-2 x-3 x-2x-2(x-2)(x+2) x-3.(x-2)(x+2) x-2 x-3 5或10 =x+2。 (8分) 根据分式有意义的条件x≠2,3。 当x=5时，原式=x+2=5+2=7。(答案不唯一) (10分) 20.解：(1)根据题意得5000045000 20. x1.5x 解得x=1000, 经检验，x=1000是所列方程的解，且符合题意。 ∴.1.5x=1.5×1000=1500(元) 答：单枪新能源充电桩的单价是1000元，双枪新能 (4分) 源充电桩的单价是1500元。 (5分) (2)设此次加购m个单枪新能源充电桩，则加购 (20-m)个双枪新能源充电桩。 根据题意得m≤2(20-m), 解得加长梨 (4分) 设再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩的总费用 为w元，则w=1000×(1+10%)m+1500×(1-10%) (20-m), 即w=-250m+27000。 :-250<0, .w随m的增大而减小。 (4分) 又：网气想且m为正整致。 6