黑龙江哈尔滨市2026年高考第二次模拟考试数学试题

二模答案详解 1 2 3 4 s 6 8 A D C O C B C A 9 10 11 BD BCD ACD 12.2 13交 6 2 14.a≥ 详解： 5. 由f(1+x)=f(3-x)可知y=f(x)关于直线x=2对称，所以f(x)=f(4-x), 当x>2时，4-x<2,所以f(4-x)=n(4-x), 所以x>2时，f8)m4-x,)=4所以f"3)=-1,故选0 盆口半径R=12寸，盆底半径=6寸，盆深H=18寸，积水深h=9寸， 水面半径，=6+9×126=9寸， 18 积水体积V=,π(6+6×9+9）=513π， 3 盆口面积S=元×122=144π， 降雨量为 13严≈3,56寸（按照③说明采用去尾法，结果约为3寸），故选B. 144π 7. 由射影定理可知CD=AC×BC, CD2 C×BC2C+AC圆O直径为4，放4C+BC=4, 6、3 AC+3BC AC+3BC 1 六+是子(ac4c品+)1C15 1 BC AC 4 8. 法1：设B(x8y),(x-2+y2=1,OC=(2+x,6+ya), se-6-6小-3xBg-% 点B在圆上运动，圆(x-2)+y2=1上的点到直线3.x-y=0的最大值为： 6-0+1=3i0+1. 10 6+V10 5 2 ,故选 法2：设B(xy),(x-2)2+y2=1,设C(x,),OC=(2+x,6+ya),故 xg=x-2 gy-6'代入B 方程得c点轨迹方程为(x-4+-0=1,放c到3-y-0距离最大值d-2-d1-3041, V10 6+10 9. 对于A选项。 -0.1°=-0.1，所以A错误： 对于B选项.4g2)2+1g2lg25+(1g5)}=Ag2)+21g21g5+g5}=1g2+1g5)=1,所以B正确： 对于C选项 27 所以C错误： 8 对于D选项. e2+in2=2e2,所以D正确， 10. 由等差数列的性质以及SS,=S,得10-3G00530=30+3,解得d=2或1-20，若d=2 则4=1>0，符合题意，若d=20,。 36=5二220=25<0，不符合愿意，放A错误，B正确：田 3 3 等差数列前n项和公式得S,=n+- -=n2,所以s 1=1=1=11 2 S,+nn+nn(n+1 nn+1' 1=1- 2026 111 1 1 12026 台S,n+n 223 20262027=1-20272027敌C正确： 由=1，所以S09-=2026-2025=1,故D正确 n 20262025 11. 对于A选项，AB方程为x+2y+2=0,坐标原点O到直线AB的距离d=2-25 故A正确： √5 5 对于B选项， +=1 4 02v6 23X2,x二工3以702 3 故B错误： 4 +2=3 对于C选项，设过点P与AB平行的直线为x+2y+=0 +2=1 ,联立得 x+2y+m=0 8y2+4y+m2=0,△=16m2-32(m2-4=0, 明mw5,风.252,5292-5-1，故e海 5 5 D级，P:2.令x0牛P器.念y0 +2 6十，故1W-M作(w+20+=点+2%+2八-+4)P+4+4+8+4 (x+2)y+1) xyg++2+2 又x2+42=4,故原式= 4+4+4,+8+4=4,枚D正确 %+x+2y+2 14. 由题可知sim2x-e“5x-2,a≥s血2Yx+2在x≥0时恒 e*1 成立 令h(x)=sinx-x,hi(x)=cosx-1≤0∴.h(x)在[0，+o)单调递减， .h(x)≤h(0)=0→sinr-x≤0→sinx≤x→sin2x≤2x .x≥0时， sin2x-x+22x-x+2*+2 ex+l ex+1 8是，w-0 令F(=x+2 F(x)在[0，+o)单调递减， F)≤F0)=2故a≥ e 15. 解：(1)由题可知在△ACD中，∠ACD=75°，∠ADC=45°，所以∠CAD=60°，…2分 由正弦定理可得： sn∠CAD-sin.∠ADc,及CD=10W3, CD AC …4分 所以AC=CDsm∠ADg10W5x sin∠CAD 3 2=10W2l 6分 3 (2)由题可知在△CDB中：∠BCD=30°，∠CDB=120°，所以∠CBD=30°.…9分 所以BD=CD=l0V阝，…10分 由余弦定理可得：BC=CD+BD-2CD.BDcos.∠CDB =5+oj-21w{ =90C,所以BC=30l,…11分 Skse-)x4AC×BC×nm45=150nm …13分 16. 证明(1)菱形ABCD中，AB=2,∠BAD=2 ,E为边BC的中点， 所以AE⊥BC,… …2分 将△ABE沿AE翻折成△AB,E, 所以AE⊥BE,AE⊥EC, 。。。。。。。。。。。。。。 …4分 BEEC=E, .AE⊥平面B,EC, .AE⊥B,C;… …6分 (2) 由勾股定理得DE=√7，B,E2+DE2=B,D B,E⊥DE… …7分 ∴.B,E,AE,EC两两垂直， 如图，分别以EC,EA,EB,方向为x轴y轴z轴正方向建立空间之间坐标系E-xz, 2 ∴C1,0,0),A0,V3,0),B(0,0,1),D(2,V3,0), …8分 设P点坐标为(a,3,0),a∈[0,2]， Cp=(a-1V3,0),CE=(-1,0,1D,CD=(1,3,0),…10分 设平面B,CD的法向量为=(x,,), nCD=x+v3y=0 则 nCB,=-x+2=0 令龙=5，则y=-1=V5,所以%=(5，-13) …2分 V5(a-1)-v5 √万 C058 nCP V(a-1)'+3v万 7 ∴.a2-5a+4=0 ∴.a=1或a=4(舍) …………… …14分 a=I,所以P为AD中点.… …15分 17. 解：(1)f(x)的定义域为(-w,+m),f'(x)=(x+1)-a…1分 由题意得f'(-1)=a,-a×1=-1,解得a=1.… 2分 ∴.f'(x)=(x+1)e-1 当x≤-1时，f(x)<0恒成立… 。。。。。。。。。。。。。。。。 …3分 当x>-1时，易知∴f'(x)=(x+1)e-1在(-1+o)上单调递增， :f'(0)=0..x∈(-0,0)，f'()<0,x∈(0，+0)，f'()>0. ∴函数fx)在(n,0)上单调递减，在(0，十o0)单调递增… …5分 综上：函数f(x)的单调递减区间为(-o,0),单调递增区间为(0，+0) …6分 法一：由题意知：xe-a(x+lnx+l)≥0对任意x>0恒成立 令g(x)=xe-a(x+lnx+1)(x>0),即g(x)≥0在(0，+o)上恒成立.…7分 g(=e(x+D-a2+=(e-0x+1D）(x>0,8分 :a>0.y=e_2在(0，+o)上单调递增 又t→0*时，e-a-0,t→o时，e-a >十00， 由零点存在性定理得：必存在唯一实数x,∈(0，十0)使得e-口=0 10分 e=a两边同时取对数得x,=na-lh 当x∈(0，x)时，g'(x)<0g(x)单调递减； 当x∈(x+w)时，g(y>0,g()单调递增… …12分 g(⊙.a=g()=6e-a05+无+0=x(码)-a血a-名+x6+=-alna≥0…14分 ∵a>0,….1na≤0，解得0<a≤1.故a的取值范围为(0,1]… …15分 法二：由题意知：xe-a(x+lnx+1)≥0对任意x>0恒成立， 化为xe≥an(xe)+1)… …8分 令xe"=t(t>0),即：t≥ant+1)对任意t>0恒成立. 由a1>0可知上≥血1+1对任意f>0恒成立. 10分 t 令g0-中u>0.80-加.令g0-0,可得1-1 当t∈(0,1)时，g(0>0,g()单调递增 当t∈(1，+oo)时，g'(t)<0,g(t)单调递减.… …12分 g(0max=g(①)=1… …13分 即1之1解得0<a<1,故a的取值范围为(0，… 15分 a 法三：xe-a(x+lnx+1)≥0对任意x>0恒成立， 化为e血x+x-a(x+lnx+1)≥0恒成立，… …8分 令t=x+lnx,(t∈R) e-a(t+1)≥0对teR恒成立. …10分 设h(0=e-a(t+1)(a>0,t∈R), h'(0)=e-a=0,∴.t=lna h(t)单调递增， ∴.t∈(-o,na,h()<0,∴.h(t)单调递减，t∈☑na,+o),H(t)>0,.h(①)单调递增.…12分 t=lnal时，h0mn=ea-alna-a=-alna≥013分 a>0,∴.1na≤0，解得0<a≤1.故a的取值范围为(0,1] 15分 18. 解：(1)估计这批元件人工检测评分的平均数为 x=45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.25+85×0.15+95×0.15=71.… ….3分 (2)①设“元件实际合格为事件A,则“元件实际不合格”为A, “被AI判定为不合格”为事件B. 由已知事件0-寻P团=P©0=0K团=品 P(B)=P(A)P(B4)+P(P(B3x1x1 4304104 1 .这个元件被A判定为不合格的概率为二.…6分 ②由己知可得X,B6宁， X的可能取值为0,1,2,3 P(X=0) 8分 nx-3)-ci) …10分 .X的分布列为… …11分 x0 1 2 3 27 27 、9 1 64 6464 64 (3)(法一)若AI判定为合格时， 329 P(AB)= (AP⑧0_430_29 P(B) 3 4 此时单个元件的期望收益是E=100×29 200x1=90. …13分 30 30 31 若AI判定为不合格时，P心4B)=PP)_430_1 P(B) 110∴.P(AB)-0、 4 9 此时单个元件的期望收益是B,=90×】-10 =0….15 1010 单个元件收益的期望为E=90X3+0X=67.517 (法二)设Y为单个元件的收益 则Y的可能取值为：100,90，-10，-200 P(Y-100)=P(AB)=P(A)P()=3x2929 …12分 43040 Pg-90-PMn-0W子0动 …I3分 PRg=-10=Pa=R0Pe0=子品-0 …14分 P(Y=-200)=P(AB)=P(A)P(BA)= 1x11 …15分 41040 Y 100 90 -10 -200 29 1 9 1 P 40 40 40 40 B()=100x29 90x1-10x -200x1=270 67.5(元)， 40 40 4 40 4 单个元件收益的期望为67.5元.… 17分 19 解： (1):MP∥☑M ∴x=1,12=5-2 .p=3yp. …2分 2 23 “=1+片=1+变=1+ 3 （u,)在双曲线x-上-1. …4分 3 (2)方法一：F(2,0)，设(x,),(x,y),AB:y=k(x-2）…5分 x2_y2 313-k2）X+4kx-4-3=0.…6分 y=k(x-2) -2k2 -6k 天3-F<0,为3无F>0,5<k<0. …7分 21 DEy=x-2),名 2-2 6 6k 3-321 0,= 31 <0.…8分 3k2-1 -5<<-⑤ 设直线Q犯，过定点T(:,0),当-y=必-0 66,it-1………9分 S42g= 0T1 SArge F73 10分 方法二：F(2,0),设Q(x,),(6,为)，弦4B与弦DE的斜率为k、k,…5分 (x-0+s)0.-%0.+5上0=e0.=3 3 )k 2-2x- 左=0 …7分 =0 -2 设直线2Q:m(x-2)+y=1 g、0,满足方程：x2-2x- -=0,x<0 x2-2x-2=0 3 任212若-0 K-2+26-2[ax-2m1苦-0 (1+2m)(x-2y2+2nx-2y-’-0 3 322n2g10 后、后清足方程：专-2k-(2m+1小=0 .8分 妹=-32*小-13m=-月 直线80：x2+m=1过宽友H101 .9分 SsoQe OH 1 F咀3 …10分 (3)方法一： -3<<-3 ….11分 -2V5k2 -6k 3-k2 3-k2 V3k2-3k√3 d,= 2 3-k2 3+k -2W5k2 -6k 3-k2T3-k V3k2+3 3k d 2 3-k2V3-k -2W3 6k 3k2-13k2-1 √5+3 5 2 3k2-11-√3k -25 .6k d,= 3k2-13k2-1 3-3 5 ….15分 2 3k2-1-V5k-1 112112 111122 =0,+111 d万ddad话i店0，i4a+a7分 方法二：设O到直线：y=V3(x-1)和14：y=-V3(x-1)的距离为d、d。,Q,到直线 1:y=V3(x-1)和l4:y=-3(x-1)的距离为d,、d 则直线与的距离为5，直线1与4的距离为5 …11分 2 13分 :点45女云 2 2 4=叫悟誓小宝d 2 2 5分 11,112,2 1 1 “dddd33 =0,“adad …17分2026年哈尔滨市高考第二次模拟考试 数学 本试卷共19题，共150分，共4页。考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴 在条形码区域内。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米，黑色字迹的签字 笔书写，字体工整，笔记清楚。 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的 答案无效：在草稿纸、试卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用，黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、 刮纸刀。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.命题“x≥1，x2-x≥0”的否定为 A.3x≥1，x2-x<0 B.x≥1，x2-x<0 C.3x<1,x2-x<0 D.x≤1，x2-x≥0 2.哈尔滨市某月连续10天的AQI（空气质量指数)分别为29,32,34,36,39,50,47,66,48,78， 则这组数据的第75百分位数为 A.33 B.34 C.49 D.50 3.己知抛物线y2=2Px上一点A2,2√2)，则焦点到准线的距离为 A.1 B.2 C.2 D.3 4.已知复数z满足z-1-=1,则z的取值范围为 A.[1,2] B.[0,2] C.「5-1，V5+1 D.「V2-1,2+1] 5.已知函数y=f(x)的定义域为R,f(1+x)=f(3-x),当x<2时，f(x)=nx,则 曲线y=f(x)在点(3，f(3)处的切线的斜率为 A.2 B.1 C.-1 D.-2 6.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的 天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺四寸(24寸)，盆底直径为一尺二寸(12寸)， 盆深一尺八寸(18寸)，若盆中积水深9寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等 于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于10寸；③古代计算降雨量时数据采用去 尾法：不满整寸的部分忽略不计) A.2寸 B.3寸 C.4寸 D.5寸 数学试题第1页（共4页） 7.已知半径为2的圆O,如图所示，AB为圆的一条直径，C为线 段AB上异于端点A、B的任意一点，过C作与线段AB垂直的 弦交圆于D、E两点，连接AD和BD,则AC+3BC 的最小值为 A.4+V3 B.2+V5 C.1+ 1 D.24 2 8.在平面直角坐标系中，已知点A(1,3)、点P(2,0),动点B满足PB=1,点C满足 OC=2OA+OB,记△OAC的面积为S,则S的最大值为 A.6+V10 B.3W10+5 C.V10+6 D.6W10+10 2 10 10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.以下运算正确的是 A.-0.1)月 =0.1 B.(g2)2+lg2lg25+(1g5)=1 C. 1648 81 =27 D.e2+In2=2e2 10.已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn,a=5,公差为d,若S,S,=S。,则 A.d=2或d=20 B.41=1 C. 12026 D. S2026 台S,+n2027 S5=1 20262025 11.已知椭圆C:+y=1的左、右焦点分别为F、E,左顶点为A,下顶点为B,点 P(x,y,)为曲线C上第一象限内一动点，直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交 于点N,则下列结论正确的是 A.坐标原点0到直线AB的距离为25 B.若P所·P所<0，则x的取值范围另0,5 C.△PAB的面积最大值为√2+1 D.AN BM =4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.己知等比数列{a}的各项都是正数，a2a1o=16,则log2a6= 13.已知A4BC的内角AB.C所对的边分别为a6,c若Cm,且9子，则 A= 14.定义在实数集R上的函数f(x),如果存在函数g(x)=ax+b(a,b为常数)，使得 对函数f(x)定义域内任意x都有f(x)≤g(x)成立，那么称g(x)为函数f(x)的一个 “线性上界函数”，若函数g(x)=x-2是函数f(x)=sin2x-ae+(x≥0)的一个“线 性上界函数”，则实数a的取值范围是 数学试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 作为哈尔滨的地标性建筑，圣·索菲亚教堂以其典雅庄重的拜占庭风格与浓郁的历史 气息，成为游客争相打卡的热门景点，某游客在圣·索菲亚教堂地面上观测点C处发现两 栋建筑物A、B,测得A在C的北偏东15°的方向上，B在C的北偏东60°的方向上，从 C处向正东方向行走103m后到达D处，测得A在D的北偏 北 西45°的方向上，B在D的北偏东30°的方向上 (1)求观测点C与建筑物A之间的距离； (2)为提升游客游览体验，打造舒适的休憩空间，圣·索菲亚 教堂景区计划在由观测点C、建筑物A与B三点围成的三 角形空地上修建绿色休息区域，试求该三角形休息区域的 西C 东 占地面积。 南 16.(15分) 已知菱形ABCD中，AB=2,∠B4D=,E为边BC的中点，将△MBE沿AE萄折成 △ABE(点B位于平面ABCD上方)，连接B,C和B,D B (1)求证：AE⊥B,C: (2)当BD=2V2时，在线段AD上是否存在点P,使得直线CP 与平面B,CD所成夹角的正弦值为V7？若存在，求出P点位 置；若不存在，请说明理由 > 17.(15分) 己知函数f(x)=xe-ax(a>O). (1)若函数f(x)在x=-1处的切线与直线y=x垂直，求函数f(x)的单调区间： (2)若Vx>0,都有f(x)≥a(lnx+I)恒成立，求实数a的取值范围. 18.(17分) 2026年，人工智能领域最核心的演进趋势，是从“生成式AI”(Generative AI)向“决 策式AI”(Decision-making AI)的全面跨越.行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力， 转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力.某企业采用决策性AI对电子元件进行智能 质量检测.工程师随机抽取若干元件进行人工全面检测，确定每个元件的真实合格情况，并 给每个元件进行评分（满分100分），按[40,50)，[50,60)，[60,70)，70,80)，[80,90)，90,100分 成6组，绘制成（如下图）频率分布直方图： 规定：评分不低于60分为实际合格，低于60 频率分布直方图 分为实际不合格，以样本频率估计总体概率， 0.025频率/组距 与此同时进行AI检测试验，AI设备存在误判 0.020 情况，试验结果显示： 0.015 若对于实际合格的电子元件，将其判定为不合 0.010 格的概率为30 0.005 若对于实际不合格的电子元件，将其判为不合 9 0.000650 60708090100分数 格的概率为 10 数学试题第3页（共4页） (1)估计这批元件人工检测评分的平均数（同一组数据用区间中点值代替）； (2)该企业将AI智能质量检测投入使用， ①任取一个元件进行AI检测试验，求这个元件被AI判定为不合格的概率； ②从该批已经被AI检测过的元件中随机抽取3件，记被抽取的这3个元件中被A虹 判定为不合格的件数为X,求X的分布列： (3)企业规定：若AI判为合格，则直接出厂；若AI判为不合格，则一律进行人工复检， 复检可100%识别是否合格， 已知：每个实际合格元件出厂获利100元；每个实际不合格元件出厂将造成损失200 元：每个元件需要人工复检其成本为10元，复检后实际合格元件正常出厂，不合格 元件报废处理（为便于计算，元件成本忽略不计）.若该企业按此流程运行，试估计 每件该类元件收益的期望， 19.(17分) 双曲线绕虚轴旋转一圈形成的空间曲面叫做单叶双曲面.由于双曲面可以由一条斜线 通过连续旋转构成，容易建造，因此发电站的冷却塔、广州塔等一些高耸建筑通常采用单 叶双曲面型结构，如图所示空间直角坐标系中M1,l5),N1,-1,-5),动点P(xp,yp,2p)在 直线MN上，则MP∥M.令参数u=±√x?+y2,v=zp,则，v所在的平面直角坐标系中 动点(u,v)在某双曲线C上。 (1)求动点(4，v)满足的双曲线C方程： (2)双曲线C的弦AB与弦DE均过右焦点F且互相垂直，弦AB中点为9，弦DE中点 为L,9、Q分别在第二、第三象限时，证明：△00,2，与△FQ2,的面积比S&为 定值： SAFOC: (3)在(2)的条件下，设Q到l:y=V3x和12，：y=-V3x的距离为d,、d,Q到l:y=V5x 3x的距离为d、4,比致利d+的大小关 数学试题第4页（共4页）