精品解析：黑龙江哈尔滨市第六中学校2026届高三二模考试数学试卷

哈六中2023级高三校二模考试 数学试卷 （本试卷满分150分，考试时间150分钟） 第I卷（选择题 共73分） 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 已知集合，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，又，所以， 又，所以. 2. 已知函数，则为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】， . 所以 3. 已知复数，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】， ， 所以. . 4. 设为等比数列的前n项和，且，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 15 【答案】B 【解析】 【详解】当时，，此时，不符合题意； 当时，由题意得，则， 所以，解得， 所以，， 所以. 5. 已知中，，且E为 中点，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】， 已知中，， ， E为 中点， ，故， ． 6. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】先将进行变形，再利用三角函数中辅助角公式、二倍角的正弦公式化简计算即可． 【分析】. 故选：D. 7. 哈尔滨市第六中学校开展爱国主义教育实践活动，计划周日组织高一年级一班至六班前往731部队罪证陈列馆、哈尔滨烈士纪念馆两处场馆进行参观．现要求每个场馆分配3个班级，同时派2名教师带队，每名教师负责一个场馆的带队工作，请问一共有（ ）种不同的安排方法？ A. 20 B. 40 C. 80 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】先把6个班级平均分成两组，再分配到两个场馆，再把两位老师每个场馆分配一个即可. 【详解】先把6个班级平均分成两组，再分配到两个场馆，再把两位老师每个场馆分配一个， 则有种不同的安排方法. 8. 已知圆锥的底面半径为2，其体积为，则该圆锥内切球（球与圆锥的底面与侧面均相切）的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆锥的体积公式求出圆锥的高，进而求出母线长，利用几何法求出球的半径，最后利用球的表面积公式求解． 【详解】已知圆锥底面半径，体积为，设圆锥的高为，则 ，解得， 设圆锥母线长为 ，则， 设圆锥内切球半径为，则截面图如下： 则，，， ，即， ， 该内切球的表面积为． 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知递增等差数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则的值为36 D. 数列的前2026项和为2026 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先根据条件求和，再求等差数列的通项公式，以及前 项和，再去绝对值求和，判断C，利用并项求和法判断D. 【详解】，即，又因为， 所以，或，， 又因为数列单调递增，所以，， 则，，故A正确； ，故B正确； ，设数列的前 项和为， 当时，，当时，， 所以， ，故C错误； 数列的前2026项和为，故D正确. 10. 已知为定义在上的奇函数，在上单调递增，，则下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 的减区间为 C. D. 函数的零点个数为8 【答案】AD 【解析】 【分析】利用函数是奇函数得出周期和对称性，利用奇函数定义可判断A，结合单调性可判断B，结合周期性和对称性可判断C，结合函数的简图可判断D. 【详解】因为，所以， 因为为定义在上的奇函数，所以， 所以，即的一个周期为8. 对于A，因为，且为奇函数，所以为奇函数，A正确； 对于B，因为在上单调递增，且为定义在上的奇函数， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 由，可得关于对称，故在上单调递减， 因为的周期为8，又由知4不是的周期， 所以的减区间为，B不正确； 对于C，由对称性可知，，，由可得， 所以， 因为的周期为8，所以， 因为，，但不确定，所以不确定，C不正确； 对于D，令，可得，则的零点个数即和的图象公共点个数， 分别作出两个函数的简图，由于的最大值为2，，所以两个图象公共点的个数为8，D正确. 11. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B作准线l的垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 当直线AB垂直于x轴，且时，则抛物线方程为 B. C. 存在直线AB，使得以线段AB为直径的圆过原点 D. 若，点，则为钝角 【答案】ABD 【解析】 【分析】A：求出点 坐标，代入抛物线方程；B：利用几何性质得出；C：设，通过判断；D：通过判断. 【详解】A选项，，则，得， 故抛物线方程为，A正确； B选项，因为，所以， 因为，所以，则， 同理可得，，则，故B正确； C选项，直线 的斜率不为0，故设，， 联立，得， 则，， 故，即为钝角， 则原点 一定在以线段AB为直径的圆内，故C错误； D选项，由C选项可知， 因为，所以， 则 ， 因为，所以， 故为钝角，故D正确. 三、填空题：本题共3个小题，每题5分，共15分. 12. 已知函数的最小正周期为，函数图象关于直线对称，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据函数的最小正周期求出，再根据正弦函数的对称性求出即可. 【详解】因为函数的最小正周期为， 所以，所以， 则， 又函数图象关于直线对称， 所以，所以， 又，所以， 所以. 13. 甲、乙二人进行一次围棋比赛，每局胜者得 分，负者得 分，约定一方比另一方多 分或满局时比赛结束，并规定：只有一方比另一方多三分才算赢，其它情况算平局，假设在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立，则这次比赛经过局结束的概率为_________． 【答案】 【解析】 【详解】若比赛经过局结束，则甲胜局负 局，且前 局负 局或乙胜局负 局，且前 局负 局， 又甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立， 所以比赛经过局结束的概率为. 14. 已知A，B是圆上两点，若直线上存在点，使，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】从直线上的点向圆上的点连线成角时，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，因此要使，只需使最大角，由此可将问题转化为直线上的点到圆心O的距离，从而求出的取值范围． 【详解】点到直线的距离为，所以直线与圆 相离. 此时，从直线上的点向圆上的点连线成角时，当且仅当两条线均为切线时所成的角最大， 因此若直线上存在点，使，则最大角， 如图所示，过作圆 的切线，则，即. 即，. 又点 在直线 上，∴. ∴，即. ∴. ∴的取值范围为. 第Ⅱ卷（非选择题 共77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在 中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，． （1）若，求 的面积； （2）求的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，结合三角恒等变换化简，求出角；已知角、边和，利用余弦定理建立关于的方程，求出的值，代入三角形面积公式计算面积； （2）利用正弦定理将其转化为关于角，的三角函数表达式，结合三角形内角和关系将表达式统一为角的三角函数，根据角的取值范围，利用三角函数的性质确定取值范围. 【小问1详解】 ，； 由正弦定理得. ，； ； . ，; ，即； ，. ，，； 由余弦定理得，即，解得； . 【小问2详解】 由（1）得，，即. 由正弦定理得 ； ，； ，，即. 16. 已知四棱锥中，底面为平行四边形，底面，平面平面． （1）求证：平面； （2）若，点在棱上，且，求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】（1）证明：过作于 ，因为平面平面，平面平面，， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为平面，平面， 所以， 因为，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面与平面垂直的性质可得线面垂直，结合线面垂直的判定可证结论； （2）建立坐标系，求出平面法向量，利用向量夹角可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 因为四边形为平行四边形，所以四边形为矩形， 所以， 因为平面，平面， 所以，所以两两垂直， 所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则 ， 所以 ， 设平面法向量，，即， 所以 ， 因为平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为 ，， 所以. 17. 某生鲜电商平台有个待抽检的进口水果礼盒，需要筛查出携带有害生物的礼盒．已知携带有害生物的礼盒占比为，如果逐个抽检，需要检验次．平台质检部提出优化方案：随机按个礼盒一组分组，将每组个礼盒的检测样本混合检验，若混合样本没有携带有害生物，说明该组个礼盒的检测样本全部合格，仅需检验 次： 若混合样本携带有害生物，说明该组至少有 个礼盒携带有害生物，需要对该组每个礼盒再分别检验 次． （1）当时，求一组礼盒携带有害生物的概率；（参考数据） （2）设一组礼盒的检测次数为，求的分布列及数学期望（用表示）： （3）如果携带有害生物的礼盒占比降为，按照个礼盒一组，估算取何值时，每个礼盒检验次数最少？并估算此时检测的总次数．（提示：利用进行估算）． 【答案】（1） （2）期望为，分布列为 （3），总次数估计为次【解析】 【分析】（1）根据条件，利用对立事件和独立事件同时发生的概率公式，即可求解； （2）求出的可能取值及对应的概率，即可求出分布列，再利用期望的计算公式，即可求解； （3）根据条件得到，再利用基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 设事件为“一组礼盒携带有害生物”，， 所以一组礼盒携带有害生物的概率为. 【小问2详解】 的可能取值为 ， ，， 所以的分布列为 则. 【小问3详解】 设一组礼盒的检验次数为，的可能取值为 ，， ，， 所以， 则， 当且仅当时取等号， 所以时，每个礼盒检验次数最少，此时检测总次数估计为次. 18. 已知椭圆的左右焦点分别为，过点的直线l与椭圆C交于A，B两点． （1）若直线l斜率为，并过椭圆的上顶点，且长轴长为4，求椭圆C的方程； （2）若直线l斜率为1，且，求椭圆C的离心率； （3）若椭圆，直线，过且与l垂直，交椭圆于E，F两点，M为AB中点，N为EF中点，求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件求出的值即可； （2）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理以及即可求出； （3）设 方程为，与椭圆方程联立，求出点的纵坐标，根据计算，令，结合对勾函数求最值. 【小问1详解】 因为，所以，又因为直线 的斜率为-1，且过上顶点，所以，所以椭圆的方程为 【小问2详解】 直线 方程为，设 联立，得， 则，，， 因为 ， 所以 ，即 ，所以或2 因为，所以； 【小问3详解】 若直线 斜率为 或不存在，则共线， 故设 方程为， 联立，得， 所以，，，所以， 设方程为，用替换 ，得， 所以 设，所以， 所以， 因为在上单调递增，所以， 故四边形面积的最大值为. 19. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，不等式在上恒成立，求实数a的取值范围； （3）在（1）的条件下，数列满足：，且．证明：不等式成立． 【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为; （2） （3）证明如下： 由（1）可知，在上单调递增，，即； ，，； ，即，得； . ，，即； ； ，； 成立. 【解析】 【分析】（1）先求函数的定义域，再对求导，通过判断导数的正负来确定单调区间； （2）根据已知条件化简不等式得，构造函数，求出导函数，通过分析导函数的正负，得到函数的最值来确定参数的取值范围； （3）结合（1）中函数的结论，结合数列的特点得到数列的递推关系式，利用放缩法对数列进行缩放，最后通过求和证明不等式成立. 【小问1详解】 当时，，； ，即； 的定义域为. ； 令，则，解得； 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 当时，，的定义域为. . 令，即； 则； ， ①当时，，，即；在上单调递增，即； 在上恒成立，，即，解得. ②当，； 令，则； 在上单调递增，即. 当时，，即，则，在上单调递增，即成立； 当时，，即；当时，； ，使得； 当时，，即，在上单调递减；当时，，即，在上单调递增； 当时，取得最小值，即； 不成立； 综上所述，实数a的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈六中2023级高三校二模考试 数学试卷 （本试卷满分150分，考试时间150分钟） 第I卷（选择题 共73分） 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 已知集合，则为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则为（ ） A. B. C. 2 D. 3 3. 已知复数，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 8 4. 设为等比数列的前n项和，且，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 15 5. 已知中，，且E为 中点，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 6. 的值为（ ） A. B. C. D. 7. 哈尔滨市第六中学校开展爱国主义教育实践活动，计划周日组织高一年级一班至六班前往731部队罪证陈列馆、哈尔滨烈士纪念馆两处场馆进行参观．现要求每个场馆分配3个班级，同时派2名教师带队，每名教师负责一个场馆的带队工作，请问一共有（ ）种不同的安排方法？ A. 20 B. 40 C. 80 D. 120 8. 已知圆锥的底面半径为2，其体积为，则该圆锥内切球（球与圆锥的底面与侧面均相切）的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知递增等差数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则的值为36 D. 数列的前2026项和为2026 10. 已知为定义在上的奇函数，在上单调递增，，则下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 的减区间为 C. D. 函数的零点个数为8 11. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B作准线l的垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 当直线AB垂直于x轴，且时，则抛物线方程为 B. C. 存在直线AB，使得以线段AB为直径的圆过原点 D. 若，点，则为钝角 三、填空题：本题共3个小题，每题5分，共15分. 12. 已知函数的最小正周期为，函数图象关于直线对称，则的值为_________． 13. 甲、乙二人进行一次围棋比赛，每局胜者得 分，负者得 分，约定一方比另一方多 分或满局时比赛结束，并规定：只有一方比另一方多三分才算赢，其它情况算平局，假设在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立，则这次比赛经过局结束的概率为_________． 14. 已知A，B是圆上两点，若直线上存在点，使，则的取值范围为_________． 第Ⅱ卷（非选择题 共77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，． （1）若，求的面积； （2）求的取值范围． 16. 已知四棱锥中，底面为平行四边形，底面，平面平面． （1）求证：平面； （2）若，点在棱上，且，求平面与平面夹角的正弦值． 17. 某生鲜电商平台有个待抽检的进口水果礼盒，需要筛查出携带有害生物的礼盒．已知携带有害生物的礼盒占比为，如果逐个抽检，需要检验次．平台质检部提出优化方案：随机按个礼盒一组分组，将每组个礼盒的检测样本混合检验，若混合样本没有携带有害生物，说明该组个礼盒的检测样本全部合格，仅需检验 次： 若混合样本携带有害生物，说明该组至少有 个礼盒携带有害生物，需要对该组每个礼盒再分别检验 次． （1）当时，求一组礼盒携带有害生物的概率；（参考数据） （2）设一组礼盒的检测次数为，求的分布列及数学期望（用表示）： （3）如果携带有害生物的礼盒占比降为，按照个礼盒一组，估算取何值时，每个礼盒检验次数最少？并估算此时检测的总次数．（提示：利用进行估算）． 18. 已知椭圆的左右焦点分别为，过点的直线l与椭圆C交于A，B两点． （1）若直线l斜率为，并过椭圆的上顶点，且长轴长为4，求椭圆C的方程； （2）若直线l斜率为1，且，求椭圆C的离心率； （3）若椭圆，直线，过且与l垂直，交椭圆于E，F两点，M为AB中点，N为EF中点，求四边形面积的最大值． 19. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，不等式在上恒成立，求实数a的取值范围； （3）在（1）的条件下，数列满足：，且．证明：不等式成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $