甘肃岷县第一中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

**基本信息** 2025-2026学年岷县一中高一下期期中数学试卷，以向量、立体几何、函数等核心知识为载体，通过科技产品提价方案、停车场面积优化等真实情境设计，考查数学眼光观察现实世界、数学思维解决问题的能力，体现应用意识与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量运算、斜二测画法、复数几何意义|基础概念辨析，如第2题直观图性质判断| |多选题|3/18|棱柱性质、三角函数应用|多维度概念理解，如第9题棱柱定义辨析| |填空题|3/15|三角函数图像变换、取整函数|抽象思维考查，如第14题取整函数应用| |解答题|5/77|三角恒等变换、解三角形、实际问题建模|综合应用与创新，如第17题停车场面积函数建模，第8题方案比较体现优化思想|

绝密★启用前 2025-2026学年岷县第一中学高一下学期期中考试 （数学）试卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1．已知向量,且,则(      ) A. B. C. D. 2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是(      ) A.矩形的直观图是矩形 B.三角形的直观图是三角形 C.相等的角在直观图中仍然相等 D.长度相等的线段在直观图中仍然相等 3．在平行四边形中,点E为的中点,与的交点为F.设,,则向量等于(      ) A. B. C. D. 4．设复数在复平面内对应的点关于虚轴对称,若,则的虚部为(      ) A. B. C. D. 5．已知集合，，则(      ) A. B. C. D. 6．已知,且,若不等式恒成立,则实数m的取值范围是(      ) A. B.,或 C. D.,或 7．已知函数相邻两个零点之间的距离为,将的图象向右平移个单位长度,所得的函数图象关于y轴对称,则的一个值可能是(      ) A. B. C. D. 8．“明数理”数学兴趣小组在综合实践过程中为某公司的一款明星科技产品提供涨价方案,经过小组成员分析讨论形成如下四个方案: 方案甲:第一次提价,第二次提价;方案乙:第一次提价,第二次提价; 方案丙:第一次和第二次均提价; 方案丁:第一次提价,第二次降价; 其中,则四个方案中提价最多的方案为(      ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列命题中正确的是(      ) A.棱柱的侧面一定是平行四边形 B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C.棱锥的各侧面一定有一个公共点 D.棱台各侧棱的延长线交于一点 10．下列结论正确的是(      ) A.是第三象限角 B.若,则 C.若圆心角为的扇形的弧长为,则该扇形面积为 D.终边经过点的角的集合是 11．若复数,则(      ) A. B. C.z在复平面内对应的点位于第一象限 D.复数满足,则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．___________. 13．函数的图象为,如下结论中正确的是__________.(写出所有正确结论的编号) ①图象关于直线对称; ②图象关于点对称; ③函数在区间内是增函数; ④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象; ⑤函数的最小正周期为. 14．用表示不超过实数的最大整数,如,.则的值为______________________________ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．已知函数. （1）求的单调递增区间; （2）求在区间上的最大值和最小值; （3）将函数的图象先向左平移个单位,再将纵坐标伸长为原来的2倍,得到函数的图象,求函数在上所有零点之和. 16．如图,在中,已知,,,点M在边BC上且,AM与AC边上的中线BN相交于点P. （1）求中线BN的长; （2）求的余弦值. 17．随着机动车数量的增加,对停车场所的需求越来越大.如图,是一块边长为100米的正方形地皮,其中是一座半径为60米的扇形小山,P是弧上一点,其余部分都是平地,现一开发商想在平地上建一个边落在和上的长方形停车场. （1）设,试写出停车场的面积与的函数关系式; （2）求长方形停车场面积的最大值和最小值（数据精确到个位）.（注:） 18．已知正三角形,边长为3,点D、E在边上（如图）,,. （1）求的长,的值; （2）求的值; （3）求的长. 19．记的内角的对边分别为,面积为S,已知 （1）求A; （2）若边上的高为1且,求的面积S. ( 第 1 页 共 3 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 1.答案：C 解析：因为B+AC=AB-AC,所以(AB+ACP=(AB-AC,展开整理得AB.AC=0, 由AB=(2,-1),BC=m,4得AC=AB+BC=m+2,3,即2(m+2)-3=0, 所以m=即C=-侵3 以-)+ 2.答案：B 解析：对于A,由由斜二测画法可知，矩形的直观图为平行四边形，故A错误： 对于B,由斜二测画法可知，三角形的直观图是三角形，故B正确； 对于C,由A可知，矩形的四个角都为直角，但其直观图是平行四边形，只有对角才 相等，故C错误； 对于D,正方形的四条边相等，但其直观图是平行四边形，只有对边才相等，故D错 误 故选：B. 3.答案：B 解析：因为ABIICD,所以△AEF∽△CDF,则有月 又因为DE=DA+A正，且DA=-6,AE=}a,所以DE=-6+a. 2 从而际-引5+吉-号五 B 4.答案：B 解析：因为z1=1-2i,复数z,22在复平面内对应的点关于虚轴对称， 所以z2=-1-2i -1-2iV525 所以+4 22 1. 55 所以 的虚部为-2V5 故选B 5.答案：B 解析：令sinx之2且0≤x≤，可得爱≤x 1 5π 6 所以4nB-sm2号0≤x≤- π5π 6.答案：A 解析：：x>0,y>0,x+2y=1, +24当当：时号立 x y 4 2.1 二+二≥m2+7m恒成立，.m2+7m≤8， x y 解得-8≤m≤1. 故选：A 7.答案：D 解析：函数相邻两个零点之间的距离为，则周期为T=2×=元，0=2=2红=2， 2 Tπ f)=ia2x+p),图象向右平移智个单位得g)=sn24x-爱+p1=sin(2x-子+p). 8 4 此函数图象关于y轴称，即为偶函数，：0-工=k红+ 4 20=m+ k=-1时，p=- 故选D. 8.答案：C 解析：设商品原价为a(a>0), 对于甲：最终价格为a(1+m%)(1+n%)=a1+ m+n mn 10010000 对于乙：最终价格为a(1+n%)(1+m%)=a1+ m+n mn 100 10000 所以甲、乙方案结果相同， 对于丙：最终价格为+(m+”%=+m+”+m+m: 100 40000 由均值不等式，m+”)、 (2mn)2 4mn mn (m≠n),所以方案丙的最终价格高于 40000 40000 4000010000 甲、乙 对于丁最终价格为：a+(2m+2m)%][1-(m+m%]=a1+m+”- 2m+n) 该式存 100 10000 在负项，所以明显小于其他方案的结果， 综上，提价最多的是方案丙， 9.答案：ACD 解析：对于A选项，由棱柱的定义知，棱柱各侧面一定为平行四边形，故A正确； 对于B选项，如图，平面ABC∥平面A,B,C, B B 但图中的几何体每相邻两个四边形的公共边并不互相平行，故不是棱柱，故B错误； 对于C选项，棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形， 即必须是有一个公共顶点的几何体，故C正确： 对于D选项，棱台是用一个平行于底面的平面去截棱锥而得到的，其各侧棱的延长线 必交于一点，故D正确 故选：ACD 10.答案：BCD 解析：-7=--刀，是第二象限角，故A错误； 6 6 若tana=2,则sina+cosa-_tana+ =3,故B正确； sina-cosa tand-1 圆心角为的扇形的弧长为元，扇形的半径为元=3，面积为××3=3江，故C正确： =3 2 3 终边经过点(m,m)(m>0),该终边为第一象限的角平分线，即角的集合是 ala-i+2kz.kcZ ,故D正确； 故选：BCD 11.答案：ACD 解折：由已知=点A2--20-14 1+i泸1+i(1+i)(1-i)2 对于A,因为z=1+i,所以z=1-i,A正确： 对于B,因为z=1-i,同=V2+(-1)2=V2,B错误： 对于C,因为z=1+i,在复平面内对应的点的坐标为(1,1)，第一象限，C正确； 对于D,因为复数o满足回=1， 所以复数⊙在复平面内对应的点在以原点为圆心的单位圆上， 所以-o≤o-≤z+l@,所以o-z的最大值为√2+1，D正确。 12.答案： 89 2 解析：由于cos2a+cos2(90°-a）=cos2a+sin2a=1, 故c0s21+c0s22°+.+c0s290°=44+c0s245°+c0s290°=44++0=89 2 13.答案：①②③ 解析： 14.答案：84 解析：根据正弦函数的周期为2π=360°，在一个周期内有[sin90=1,sin270=-1, [sin360l=0 当x∈0°，90)U(90°，180时，sinx=0,当x∈(180°，360)时，[sinx=-1, 所以[sin10+[sin201+…+[sin360°=18×0+17×(-1)+1=-16， 根据三角函数的周期性可知[sin10]+[sin20]+[sin30]+…+[sin2030 =5×(-16)+[sin10]+[sin20]+…+[sin230]=-80+17×0+5×(-1)+1=-84. 15.答案：(1) 2)到在区间普到上的最大值为号最小值为号 (3)13元 3 断：a-5osam9-9om小a 2-m2x-n-2刘-nf2x-引 4 令风+2k红≤2x不<+2kkeZ解得a≤x+缸kEZ 2 32 12 所以的单调选始区间为音+红，晋+红上：z列： 2)令1=2x-于因为x [引所以[ 函数y=sint在 「_工，正上单调递增， 2'6 所以当t=-兀时，y=sint取得最小值-L, 所以当1=时，y=si血1取得最大值) 6 即则[ 则八到在区间等哥到上的级大值为)最小值为号 (3)函数f(x)的图象向左平移汇个单位得， n+引-n2x+} 级华标伸长为原米的2倍得)=5m(2x+写引 所以g(=sm2x+写到》】 所以2x+=4杯+2kmk∈Z或2x+=5+2kk∈Z, 33 33 即x=+knk eZ或x-2红 +kπ，k∈Z, 3 又0.2所以长只俊取01所以x=号或答或7或智 2 31 2 即晒数y=8-5在2刘1的零点为号各经经 所以通数)=8-在02刘上所有零点之和为号+径+经经- 3233 16.答案：(1)√万 (2)V27 14 解析：(1)由AC=6,BN为中线，则AN=3, 在△ABN中，由余弦定理得 BN2=AB2+AN2-2AB·AN·C0S∠BAC=4+9-2×2×3 11， 则BN=√万 (2)以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， M C 由AB=2,AC=6,∠BAC=60°，得A0,0),B1,V5,C(6,0),N(3,0, 则AB=1,V3,BC=5,-5,BN=(2,-V3) 则-8c--4-+w-?9） 4 9 则cos∠MPN= AM·BN 4 -21 aMBN35xV万 14 2 所以LMPv的余弦值为V② 14 17.答案：(1)(100-60sin0)(100-60cos0) 0≤0s (2)3315 解析：(1)由题可得PR=100-APsin0=100-60sin0, P0=100-AP cos0=100-60cos0,且0≤0≤T 所以停车场POCR的面积S=-PRPQ=1o0-60sn9(10-60cas0)0≤0s引 (2)由(1)长方形停车场PQCR面积， =PRP9=100-60sin0)(100-60cos0) =10000-6000(sin0+cos0)+3600sin0cos0, t=sin 0+cos,2=(sin0+cos0)2=1+2sin0 cos0, 所以2sin0cos0=t2-1, 所以s=10-600r+1s80r-1刂=180r-60r+820=1801-到 +3200, 因为1=sn8+os0=sn0+4到0+子[子]所以1e[L, 又函数s=1801-到)+320为[v可上的减函数 所以当t=1时有Smax=4000, 当1=5时有5=180n5-+320-360-600w2+500+32n =11800-6000V2≈3315. 18.答案：(1CD=7,sin0= 14 (2)4V5 1 (3)DE=? 解析：(1)在△ABC中，∠A=60°，AC=3,AD=1, :cos4=4C+D_CD_+1-CD=解得CD=V7, 2AC·AD 6 ..cos0= x3x7-14,sino=1-cos0=21 2+7-15V7 14 (2)由(1)sin20=2sin0cos0=5V5,。 2。s20=2c。s2o1=2 sm20+ =m20cas7++sin co20-5Y×号+5x是45 1422147 (3)因为sin 20+π =sin∠AEC, 3 所以由正弦定理可得sin∠AEC=sin0 CD DE 45V21 所以7 7 =14,解得DE= 8 √7DE 19.答案：(1) 4 (2)-4+2V7 3 祥：析1）：6=25+bcosC且S。c的snC ∴.b2=ab(sinC+cosC)即b=a(sinC+cosC) 由正弦定理得sinB=sinA(sinC+cosC)=sin[-(A+C)】=sin(A+C) sin Acos C+cos Asin C,..sin Asin C cos Asin C 在△ABC中，A∈(0，π)，C∈(0，π)，.sinA>0,sinC>0 .sin 4=cos e)= (2)3 bcos C=ccos B,由正弦定理得3 sin BcosC=sin Ccos B 3tan B=tan C 在△ABC中，作AH⊥BC于点H,AH为BC边上的高，即AH=1 H 设CH=x,BH=a-x,3= ,.4x=a a-x x H为BC上的四等分点，CH=a,BH=30 4 ,Rt△ABH中，tan∠BAH= BH 3a AH 4 Rt△ACH中，tan∠CAH=CH-a AH 4 且tan∠BAC=tan(LBAH+∠CAH)=,tan∠BAH+tan∠CAH 1-tan∠BAH.tan∠CAH teta-1-0.4a-8=4v7 132 4 3 a 16 a>0:a=-8+4V7 3 Sc-xBC×AH=0=4+27 1 2 3