第10章《分式》单元测试卷 2025--2026学年苏科版八年级数学下册

苏科版数学八年级下册 第10章《分式》单元测试卷（新教材） 考试范围：第10章 分式　|　考试时间：100分钟　|　满分：120分 难度系数：约0.65　|　适用对象：已完成分式全章学习的八年级学生 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个正确选项。） 1. （2025江苏泰州期中）下列各式中，是分式的是（　） A. 　　B. 　　C.　D. 2x² 2. （2025江苏宿迁宿城期末）要使分式有意义，x 应满足的条件是（　） A. x > -2　　B. x < -2　　C. x ≠ 2　　D. x = -2 3. （2025江苏镇江句容期末）若分式 的值为 0，则 a 与 b 应满足的条件是（　） A. a = b　　B. a + b = 0　　C. a + b = 0 且 a - b ≠ 0　　D. a + b = 0 或 a - b = 0 4. （2025江苏南京期中）下列各式从左到右的变形，一定正确的是（　） A. = 　　B. = （a ≠ 0） C. = （m 是整式）　D. = 5. （2025江苏无锡江阴期中）给出下列各式：， ， ， ，，其中分式的个数为（　） A. 5　　B. 4　　C. 3　　D. 2 6. （2024江苏盐城东台期中）下列分式中，属于最简分式的是（　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 7. （2025江苏常州溧阳月考）计算 的结果是（　） A. x + 2　　B. x - 2　　C. x² - 4　　D. 8. （2025江苏苏州期中）下列方程中，是分式方程的是（　） A. + 1 = 2x　　B. = 3　　C. x² - 4 = 0　　D. = 5 9. （2025江苏扬州江都月考）已知，则的值为（　） A. 5　　B. -5　　C. 　　D. 10. （2025江苏连云港模拟）甲、乙两人分别从距目的地 6 km 和 10 km 的两地同时出发，甲、乙的速度比是 3:4，结果甲比乙提前 20 min 到达目的地。设甲的速度为 3x km/h，则可列方程为（　） A. 　　B. - = 20 C. - = 　　D. - = 20 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. （2025江苏宿迁）当 x __________ 时，分式有意义。 12. （2024江苏南京建邺期中）将分式 化为最简分式，结果是 __________。 13. （2025江苏盐城东台月考）已知 ，则分式 的值为 __。 14. （2025江苏淮安清江浦期末）分式 和 的最简公分母是 __________。 15. （2025江苏南通启东月考）若关于 x 的分式方程 的解为正数，则 m 的取值范围是 __________。 16. （2024江苏泰州高港期末）对于实数 a，b，定义一种新运算“※”：a※b = ，则方程 (x-1)※2 =的解是 __________。 三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17. （6分）（2025江苏镇江）解分式方程： 18. （6分）（2024江苏苏州期末）先化简，再求值：÷ [ ]，其中 x = 3。 19. （8分）（2025江苏扬州江都期中）观察下列等式及其解： ① 方程 x + 1/x = 2 + 1/2 的解为 x₁ = 2，x₂ = ； ② 方程 x + 1/x = 3 + 1/3 的解为 x₁ = 3，x₂ = ； ③ 方程 x + 1/x = 4 + 1/4 的解为 x₁ = 4，x₂ = 。 （1）请根据以上规律，猜想方程 x + = 8 + 的解，并写出猜想的依据； （2）请利用上述规律，解关于 y 的方程：y + = 5 + 。 20. （8分）一项工程由甲、乙两个工程队合作完成。甲队单独做需 12 天完成，乙队单独做需 18 天完成。实际施工时，甲队先单独做 4 天，然后甲、乙两队合作若干天后，再由乙队单独做完剩余的工程。已知整个工程共用了 10 天完成。问甲、乙两队合作了多少天？ 21. （8分）（2025江苏常州溧阳期中）观察下列分式的排列规律： 第1个：；第2个：；第3个：；　第4个：；　第5个：；　… （1）请写出第 n 个分式（用含 n 的式子表示）； （2）请写出第 2025 个分式； 22. （8分）（2025江苏连云港模拟）某商店购进一批文具，第一次用 1200 元购进若干件，并以每件 18 元的价格出售，很快售完。由于该文具畅销，第二次购进时，每件的进价比第一次提高了 20%，用 1500 元所购进的数量比第一次多了 10 件。 （1）求第一次购进该文具时每件的进价是多少元？ （2）第二次购进的文具仍按同一标价销售，售完后获得的利润不低于 720 元，求第二次销售时每件文具的标价至少为多少元？ 23. （8分）（2025江苏泰州泰兴期末）已知关于 x 的分式方程。 （1）用含 a 的代数式表示该方程的解； （2）若该方程有增根，求 a 的值； （3）当 a 满足什么条件时，该方程的解为负数？ 24. （10分）（2025江苏苏州中考）阅读下列材料，并完成相应任务。 〖材料〗 分离常数法：将分式拆分成一个整式与一个真分式（分子次数小于分母次数的分式）的和的形式，是处理分式恒等变形的重要方法。 例1　将分式 拆分成一个整式与一个真分式的和的形式。 解： = = 1 + 。 例2　将分式 拆分成一个整式与一个真分式的和的形式。 解：由多项式除法，设 2x²-3x+5 = (x-1)(2x+m)+n， 展开得 2x²-3x+5 = 2x²+(m-2)x+(n-m+1)……待定系数后得结果为 2x-1 + 。 〖任务〗 （1）请将分式 拆分成一个整式与一个真分式的和的形式； （2）已知整数 x 使分式的值为整数，请求出所有满足条件的整数 x 的值。 25. （10分）在解决分式问题时，倒数法是一种常用的变形技巧。所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分进行化简，以达到计算目的。 例： 已知 = ，求 的值。 解：因为 = ，所以，即 x + = 3。 又的倒数为 = x² + = (x+)² - 2 = 3² - 2 = 7， 所以 = 。 根据材料回答以下问题： （1）已知 = ，求 的值； （2）已知 = ，求 的值； 四、参考答案与解析 一、选择题 1. B 【解析】分式的分母中必须含有字母。A 分母为 3（常数），C 分母为 2（常数），D 无分母，只有 B 的分母 x+1 中含有字母。故选 B。 2. C 【解析】分式有意义的条件是分母不等于零。令 x-2 ≠ 0，解得 x ≠ 2。故选 C。 3. C 【解析】分式值为零需满足分子为零且分母不为零。分子 a+b=0，分母 a-b≠0。故选 C。 4. B 【解析】分式的基本性质：分子分母都乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。A 是加 1，非同乘除；C 缺少条件 m≠0；D 分子分母分别平方，非同乘同除。故选 B（a≠0 限定条件已给，正确）。 5. D 【解析】分母含字母的只有和 。的分母是 3（常数），的分母是 π（常数），的分母是 5（常数）。故有 2 个分式。选 D。 6. C 【解析】最简分式指分子分母没有公因式。A 可约分为 1/x；B 可约分为 ；D 可约分为 。只有 C 分子分母无公因式，是最简分式。选 C。 7. B 【解析】 =。公因式 (x+2) 约去（需 x≠-2），得 x-2。故选 B。 8. B 【解析】分式方程需分母中含有未知数。A 分母 3，C 无分母，D 分母 2，均为常数。只有 B 分母 x-1 含有未知数。故选 B。 9. B 【解析】由 ，设 a=2k，b=3k（k≠0）。则= (2k+3k)/(2k-3k) = = -5。故选 B。 10. C 【解析】甲速 3x，乙速 4x。甲用时=，乙用时 。甲比乙提前 20 分钟（小时）到达，即乙时间-甲时间 = 。故。选 C。 二、填空题 11. x ≠ -1 【解析】分式有意义⇔分母不为零。令 x+1 ≠ 0，得 x ≠ -1。 12. 2x-3 【解析】分子 = (2x+3)(2x-3)，分母 = 2x+3。公因式 2x+3 约去（需 2x+3≠0），得 2x-3。 13. 11 【解析】由，得 ，即 y-x = 4xy，x-y = -4xy。 分子：2x-3xy-2y = 2(x-y)-3xy = 2(-4xy)-3xy = -11xy。 分母：x+2xy-y = (x-y)+2xy = -4xy+2xy = -2xy。 原式 = 。 14. 6x²y² 【解析】系数 2 和 3 的最小公倍数为 6；x 的最高次幂为 x²；y 的最高次幂为 y²。最简公分母 = 6x²y²。 15. m > 4 且 m ≠ 8 【解析】去分母得 m-2 = 2(x-3) ⇒ x =。解为正数： > 0 ⇒ m > -4。分母 x≠3 ⇒ ≠ 3 ⇒ m ≠ 2。综合得 m > -4 且 m ≠ 2。 16. x = -3 【解析】新运算定义 a※b = 。左侧 (x-1)※2 = =。 方程为= 。 交叉相乘：(x-1)(x+1) = x²-2x+3 ⇒ x²-1 = x²-2x+3 ⇒ -1 = -2x+3 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2。 检验：x=2 时分母 x+1=3≠0，x²-2x+3=3≠0。原方程的解为 x=2。 三、解答题 17. 【解析】最简公分母为 (x-1)(x+1)。 两边同乘 (x-1)(x+1)：2(x+1) = 3(x-1) ⇒ 2x+2 = 3x-3 ⇒ x = 5。 检验：当 x=5 时，(x-1)(x+1)=24≠0，是原方程的解。 答案：x = 5 18.【解析】先化简括号内： x-1 - = == =。 原式 = ÷ = × = 。 当 x=3 时，原式 == 。 答案：原式 = 19.【解析】（1）由规律：方程 x + = n + 的解为 x₁=n，x₂= 。 当 n=8 时，方程 x + = 8 + 的解为 x₁=8，x₂= 。 （2）方程 = 5 +。 设 t = y-1，则 y = t+1。方程化为： t+1 + = 5 + t + = 4 + 由规律，t = 4 或 t = 。 当 t=4，y-1=4 ⇒ y=5； 当 t=，y-1= ⇒ y=；验证：1.25 + =1.25+4=，成立。 答案：（1）x₁=8，x₂=；（2）y₁=5，y₂= 20.【解析】设甲、乙两队合作了 x 天。工程总量为 1。 甲效率：，乙效率：。 甲单独做 4 天：4 × = 。 甲、乙合作 x 天：x × ( + ) = x × 。 乙单独做剩余天数：(10-4-x) = (6-x) 天，工作量：(6-x) × 。 总工作量：+ + = 1。 乘 36：12 + 5x + 2(6-x) = 36 12 + 5x + 12 - 2x = 36 3x + 24 = 36 3x = 12 x = 4。 答案：甲、乙两队合作了 4 天。 21.【解析】（1）观察规律： 分子：x¹，x²，x³，x⁴，x⁵，…，故第 n 个分子为 xⁿ。 分母：1，2，3，4，5，…，故第 n 个分母为 n。 符号：第 1 个正，第 2 个负，第 3 个正，第 4 个负，第 5 个正，…，故第 n 个符号为 (-1)n-1 综上，第 n 个分式为： (-1)n-1· （2）第 2025 个分式：2025 为奇数，符号为正。故为 。 22.【解析】（1）设第一次每件进价为 a 元，则第一次购进数量为件。 第二次每件进价为 1.2a 元，第二次购进数量为 件。 由题意： - = 10 = 10 检验，，所以是分式方程的解 答：第一次每件进价5元 （2）由（1），a=5，第二次购入 250 件，进价 6 元/件。设标价为 p 元/件。 利润 = 250(p-6) ≥ 720 p-6 ≥ 2.88 p ≥ 8.88 p 至少为 8.88 元。 答案：（1）5 元/件；（2）至少 8.88 元/件 23. 【解析】原方程变形为 （1） 去分母：x + a - 3 = 2x - 4⇒ x = a + 1。 （2）增根为 x=2（使分母为零）。令 a+1 = 2 ⇒ a = 1。 （3）解为负数：a+1 < 0 ⇒ a < -1。且 x ≠ 2，即 a+1 ≠ 2 ⇒ a ≠ 1 答案：（1）x = a+1；（2）a = 1；（3）a < -1 24.【解析】（1）用待定系数法，设 = 2x + m + 或直接进行多项式分离： 2x²+5x-20 ÷ (x-3)： 含 2x：2x(x-3) = 2x²-6x，余 (5x+6x)-20 = 11x-20。 再含 +11：11(x-3) = 11x-33，余 (-20+33) = 13。 所以 2x²+5x-20 = (x-3)(2x+11) + 13。 因此，原式 = 2x+11 + 。 （2）分式值为整数，则为整数，即 x-3 是 13 的约数：±1，±13。 ∴ x-3 = 1 ⇒ x=4；x-3=-1 ⇒ x=2；x-3=13 ⇒ x=16；x-3=-13 ⇒ x=-10。 当 x=4，原式 = 2×4+11+13=32，整数；x=2，原式 = 4+11-13=2，整数；x=16，原式 = 32+11+1=44，整数；x=-10，原式 = -20+11-1=-10，整数。 答案：（1）2x+11 + 13/(x-3)；（2）x = 4，2，16，-10 25.【解析】（1）由= ，取倒数：，即 x - 1 + = 4，x + = 5。 所求式子的倒数： = x² + 1 + = (x+ )² - 1 = 25 - 1 = 24。 所以 = 。 （2）由 = ，取倒数：= 5，a + 1 + = 5，a + = 4。 所求式子的倒数： = a² + 3 + = (a+ )² + 1 = 16 + 1 = 17。 所以 = 。 学科网（北京）股份有限公司 $