精品解析：广东肇庆中学2025-2026学年第二学期期中考试九年级数学学科试卷

2025-2026学年第二学期期中考试 广东肇庆中学九年级数学学科试卷 （考试时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. ﹣3的绝对值是（　　） A. ﹣3 B. 3 C. - D. 2. 下列四个汽车标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是 (　　) A. B. C. D. 3. 如图，由4个相同正方体组合而成的几何体，它的左视图是( ) A. B. C. D. 4. 下列二次根式是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 5. 五台山景区空气清爽，景色宜人．“五一”小长假期间购票进山游客万人次，再创历史新高．五台山景区门票价格旺季元/人．以此计算，总收入为元，“五一”小长假期间五台山景区进山门票总收入元用科学记数法表示为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 6. 在函数中，自变量的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 7. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E，若∠1=145°，则∠2的度数是( ) A. 30° B. 35° C. 40° D. 45° 8. 一元二次方程配方后可化为（ ）． A. B. C. D. 9. 草锅盖是一种传统草编工艺品（如图①），某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型（如图②），并用测量工具测量出该模型底面圆的直径为，高为，则该模型的侧面积为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，AE与BD交于点P，F是CD上的一点，连接AF分别交BD，DE于点M，N，且AF⊥DE，连接PN，则下列结论中: ①；②；③tan∠EAF=；④正确的是（） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 因式分解：2a2﹣8=_____． 12. 计算：________． 13. 把函数的图象沿轴向下平移5个单位后所得图象与轴的交点坐标是________． 14. 如图，在中，，，平分交于点，，垂足为.若，则的长为_________. 15. 如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④；其中正确的结论有________个． 16. 如图，为的直径，、是的切线，切点分别为点、，点为线段上的一个动点，连接，，，已知，，当的值最小时，则的值为________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，第17题5分，第18题7分，第19题6分，共18分． 17. 解不等式组：． 18. 如图，直线与相切于点，为的直径，延长交直线于点． （1）尺规作图：过点作于点；（保留作图痕迹，不要求写出具体作法） （2）在（1）的条件下，求证：平分． 19. 如图，根据小孔成像的物理原理，当小孔到像的距离和蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高是小孔到蜡烛的距离的反比例函数，且当时，． （1）求关于的函数解析式． （2）若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题各9分，共27分． 20. 中华人民共和国第二届青年运动会(简称二青会)将于2019年8月在山西举行，太原市作为主赛区，将承担多项赛事，现正从某高校的甲、乙两班分别招募10人作为颁奖礼仪志愿者，同学们踊跃报名，甲、乙两班各报了20人，现已对他们进行了基本素质测评，满分10分.各班按测评成绩从高分到低分顺序各录用10人，对这次基本素质测评中甲、乙两班学生的成绩绘制了如图所示的统计图. 请解答下列问题： (1)甲班的小华和乙班的小丽基本素质测评成绩都为7分，请你分别判断小华，小丽能否被录用(只写判断结果，不必写理由). (2)请你对甲、乙两班各被录用的10名志愿者的成绩作出评价(从“众数”，“中位数”，或“平均数”中的一个方面评价即可). (3)甲、乙两班被录用的每一位志愿者都将通过抽取卡片的方式决定去以下四个场馆中的两个场馆进行颁奖礼仪服务，四个场馆分别为：太原学院足球场，太原市沙滩排球场，山西省射击射箭训练基地，太原水上运动中心，这四个场馆分别用字母A，B，C，D的四张卡片(除字母外，其余都相同)背面朝上，洗匀放好.志愿者小玲从中随机抽取一张(不放回)，再从中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求小玲抽到的两张卡片恰好是“A”和“B”的概率. 21. 扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了． （1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？ （2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计．） 22. 某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测最仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）． 课题 测量旗杆的高度 成员 组长××× 组员：×××，×××，××× 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度，测点A，B与H在同一条水平直线上，A，B之间的距离可以直接测得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平面内．点C，D，E在同一条直线上，点E在上． 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量数据 的度数 的度数 A，B之间的距离 任务一：两次测量，A，B之间的距离的平均值是______m． 任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度． （参考数据：，，，，，） 任务三：该“综合与实践”小组在制订方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，第23题13分，第24题14分，共27分． 23. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，点，的中线与轴交于点，且经过，，三点． （1）求圆心的坐标； （2）若直线与相切于点，交轴于点，求直线的函数表达式； （3）在过点且以圆心为顶点的抛物线上有一动点，过点作轴，交直线于点．若以为半径的与直线相交于另一点．当时，求点的坐标． 24. 新定义：垂直于图形的一边且等分这个图形面积的直线叫作图形的等积垂分线，等积垂分线被该图形截的线段叫做等积垂分线段． 问题探究： （1）如图1，等边边长为3，垂直于边的等积垂分线段长度为______； （2）如图2，在中，，，，求垂直于边的等积垂分线段长度； （3）如图3，在四边形中，，，，求出它的等积垂分线段长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期中考试 广东肇庆中学九年级数学学科试卷 （考试时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. ﹣3的绝对值是（　　） A. ﹣3 B. 3 C. - D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案． 【详解】根据绝对值的性质得：|-3|=3． 故选B． 【点睛】本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． 2. 下列四个汽车标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是 (　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称和轴对称知识依次判断即可. 【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误； B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故B错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误； D、是中心对称图形，是轴对称图形，故D正确； 故选D. 【点睛】本题是对中心对称和轴对称的考查，熟练掌握中心对称和轴对称知识是解决本题的关键. 3. 如图，由4个相同正方体组合而成的几何体，它的左视图是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据左视图是从左面看得到的图形，结合所给图形以及选项进行求解即可. 【详解】观察图形，从左边看得到两个叠在一起的正方形，如下图所示： ， 故选A. 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是掌握左视图的观察位置. 4. 下列二次根式是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念逐一进行判断即可. 【详解】A. ，故A选项不符合题意； B. ，故B选项不符合题意； C. ，故C选项不符合题意； D. 是最简二次根式，符合题意， 故选D. 【点睛】本题考查了最简二次根式的识别，熟练掌握二次根式的化简以及最简二次根式的概念是解题的关键. 5. 五台山景区空气清爽，景色宜人．“五一”小长假期间购票进山游客万人次，再创历史新高．五台山景区门票价格旺季元/人．以此计算，总收入为元，“五一”小长假期间五台山景区进山门票总收入元用科学记数法表示为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【详解】解：总收入元用科学记数法表示为元． 6. 在函数中，自变量的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据分母不等于零，且被开方式大于等于零列式求解即可. 【详解】解：根据题意得， 解得，，且． 故选D． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 7. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E，若∠1=145°，则∠2的度数是( ) A. 30° B. 35° C. 40° D. 45° 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边对等角可得∠ACB=∠B=75°，再根据三角形外角的性质可得∠AED=∠1-∠A=115°，继而根据平行线的性质即可求得答案. 【详解】∵AB=AC，∠A=30°， ∴∠ACB=∠B=(180°-30°)÷2=75°， ∵∠1=∠A+∠AED， ∴∠AED=∠1-∠A=145°-30°=115°， ∵a//b， ∴∠2+∠ACB=∠AED=115°(两直线平行，同位角相等)， ∴∠2=115°-∠ACB=115°-75°=40°， 故选C. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键. 8. 一元二次方程配方后可化为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为 1 ；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上 4 ，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即． 故选：A． 9. 草锅盖是一种传统草编工艺品（如图①），某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型（如图②），并用测量工具测量出该模型底面圆的直径为，高为，则该模型的侧面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求圆锥的侧面积，勾股定理，牢记公式是解题的关键．根据题意得到圆锥的底面半径为4，高为3，然后利用勾股定理求出母线长，然后利用圆锥侧面积公式求解即可． 【详解】解：根据题意得，圆锥的底面半径，高， ∴母线长， ∴该模型的侧面积为． 故选：B． 10. 如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，AE与BD交于点P，F是CD上的一点，连接AF分别交BD，DE于点M，N，且AF⊥DE，连接PN，则下列结论中: ①；②；③tan∠EAF=；④正确的是（） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】利用正方形的性质，得出∠DAN＝∠EDC，CD＝AD，∠C＝∠ADF即可判定△ADF≌△DCE（ASA），再证明△ABM∽△FDM，即可解答①；根据题意可知：AF＝DE＝AE＝，再根据三角函数即可得出③；作PH⊥AN于H．利用平行线的性质求出AH＝，即可解答②；利用相似三角形的判定定理，即可解答④ 【详解】解：∵正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠ABC＝∠C＝∠ADF＝90°，CE＝BE＝1， ∵AF⊥DE， ∴∠DAF+∠ADN＝∠ADN+∠CDE＝90°， ∴∠DAN＝∠EDC， 在△ADF与△DCE中， ， ∴△ADF≌△DCE（ASA）， ∴DF＝CE＝1， ∵AB∥DF， ∴△ABM∽△FDM， ∴， ∴S△ABM＝4S△FDM；故①正确； 根据题意可知：AF＝DE＝AE＝， ∵ ×AD×DF＝×AF×DN， ∴DN＝ ， ∴EN＝，AN＝， ∴tan∠EAF＝，故③正确， 作PH⊥AN于H． ∵BE∥AD， ∴， ∴PA＝， ∵PH∥EN， ∴， ∴AH＝， ∴PH= ∴PN＝，故②正确， ∵PN≠DN， ∴∠DPN≠∠PDE， ∴△PMN与△DPE不相似，故④错误． 故选A． 【点睛】此题考查三角函数，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质难度较大，解题关键在于综合掌握各性质 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 因式分解：2a2﹣8=_____． 【答案】2（a+2）（a－2）． 【解析】 【分析】首先提取公因数2，进而利用平方差公式分解因式即可． 【详解】2a2－8=2（a2－4）=2（a+2）（a－2）． 故答案为2（a+2）（a－2）． 考点：因式分解． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键． 12. 计算：________． 【答案】## 【解析】 【详解】解：． 13. 把函数的图象沿轴向下平移5个单位后所得图象与轴的交点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移，得出一次函数图象平移后的解析式即可求解． 【详解】函数的图象沿轴向下平移5个单位后得解析式为， 令得， 故交点坐标为， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，平分交于点，，垂足为.若，则的长为_________. 【答案】2＋##＋2 【解析】 【分析】过点D作DF⊥AC于点F，则∠DFC＝90°，由30°角直角三角形的性质可得BD＝2DE＝2，由角平分线的性质可得DF＝DE＝1，可证△CDF是等腰直角三角形，FC＝DF＝1，由勾股定理得CD＝，即可得到BC的长． 【详解】解：过点D作DF⊥AC于点F，则∠DFC＝90°， ∵， ∴∠BED＝90°， ∵，， ∴BD＝2DE＝2， ∵平分交于点，，， ∴DF＝DE＝1， ∵， ∴∠FDC＝90°－∠C＝45°， ∴FC＝DF＝1， ∴CD＝， ∴BC＝BD＋CD＝2＋， 故答案为：2＋ 【点睛】此题考查了角平分线的性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键． 15. 如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④；其中正确的结论有________个． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意和函数图象中的数据，利用二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点，其对称轴为直线， ∴抛物线与轴交于点和，且， ∴， 由图象知：，，， ∴，故结论①正确； ∵抛物线与轴交于点和， ∴， 又因为 ∴，故结论②正确； 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故结论③错误； ∵抛物线与轴交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故结论④正确； 综上：正确的结论有①②④， 所以正确的结论有3个． 16. 如图，为的直径，、是的切线，切点分别为点、，点为线段上的一个动点，连接，，，已知，，当的值最小时，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】延长到使得，连接与交于点，此时，最小值为的长，连接、，交于点，过作于，先求得，再求，进而求得，再根据相似三角形的性质得，即可得解． 【详解】解：如图，延长到使得，连接与交于点， ∵是的切线， ∴， ∴垂直平分， ∴， 此时，最小值为的长， 连接、，交于点，过作于， ∵、是的切线， ∴，，， ∵在中，，， ∴，， ∴垂直平分，即，， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（一）：本大题共3小题，第17题5分，第18题7分，第19题6分，共18分． 17. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每个不等式的解集，然后根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为． 18. 如图，直线与相切于点，为的直径，延长交直线于点． （1）尺规作图：过点作于点；（保留作图痕迹，不要求写出具体作法） （2）在（1）的条件下，求证：平分． 【答案】（1） 如图所示，即为所作； （2） 证明：如图，连接， ∵直线与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 【解析】 【分析】（1）直接利用尺规作图作垂线即可； （2）由切线的性质以及（1）的作图可得，得，再根据等边对等角以及等量代换可得，即可得证； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，根据小孔成像的物理原理，当小孔到像的距离和蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高是小孔到蜡烛的距离的反比例函数，且当时，． （1）求关于的函数解析式． （2）若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 【答案】（1） （2）小孔到蜡烛的距离为． 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，掌握好相关知识是关键． （1）使用待定系数法求函数解析式即可； （2）将代入（1）中的解析式，求出的值． 【小问1详解】 解：设反比例函数的解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴关于的函数解析式为； 【小问2详解】 解：将代入，得， ， 解得． 答：小孔到蜡烛的距离为． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题各9分，共27分． 20. 中华人民共和国第二届青年运动会(简称二青会)将于2019年8月在山西举行，太原市作为主赛区，将承担多项赛事，现正从某高校的甲、乙两班分别招募10人作为颁奖礼仪志愿者，同学们踊跃报名，甲、乙两班各报了20人，现已对他们进行了基本素质测评，满分10分.各班按测评成绩从高分到低分顺序各录用10人，对这次基本素质测评中甲、乙两班学生的成绩绘制了如图所示的统计图. 请解答下列问题： (1)甲班的小华和乙班的小丽基本素质测评成绩都为7分，请你分别判断小华，小丽能否被录用(只写判断结果，不必写理由). (2)请你对甲、乙两班各被录用的10名志愿者的成绩作出评价(从“众数”，“中位数”，或“平均数”中的一个方面评价即可). (3)甲、乙两班被录用的每一位志愿者都将通过抽取卡片的方式决定去以下四个场馆中的两个场馆进行颁奖礼仪服务，四个场馆分别为：太原学院足球场，太原市沙滩排球场，山西省射击射箭训练基地，太原水上运动中心，这四个场馆分别用字母A，B，C，D的四张卡片(除字母外，其余都相同)背面朝上，洗匀放好.志愿者小玲从中随机抽取一张(不放回)，再从中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求小玲抽到的两张卡片恰好是“A”和“B”的概率. 【答案】(1)小华：不能被录用，小丽：能被录用；(2)见解析；(3). 【解析】 【分析】(1)根据甲班超过7分的人数，乙班超过6分的人数都正好为10人进行说明即可； (2)求出甲、乙两班的众数，从众数角度进行说明；也可以求出中位数，从中位数角度进行说明；还可以求出两班的平均数，从平均数角度进行说明；(只要用其中一个进行说明即可)； (3)画树状图得到所有等可能的情况数，然后找出符合条件的情况数，利用概率公式进行计算即可. 【详解】(1)甲班超过7分的人数有4+3+3=10人，因此从高到低录取，小华不能被录取； 乙班超过7分的人数有3+1+4=8人，超过6分的人数有2+3+1+4=10人，因此从高到低录取，小丽能被录用； (2)从众数来看：甲、乙两班各被录用的10名志愿者成绩的众数分别为8分，10分，说明甲班被录用的10 名志愿者中8分最多，乙班被录用的10名志愿者中10分最多； 从中位数来看：甲、乙两班各被录用的10名志愿者成绩的中位数分别为9分，8.5分，说明甲班被录用的10名志愿者成绩的中位数大于乙班被录用的10名志愿者成绩的中位数； 从平均数来看：甲、乙两班各被录用的10名志愿者成绩的平均数分别为=8.9，=8.7，说明甲班被录用的10名志愿者成绩的平均数大于乙班被录用的10名志愿者成绩的平均数； (从“众数”，“中位数”或“平均数”中的一方面即可)； (3)画树状图如下： 由树状图可知一共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相同，其中抽到“A”和“B”的结果有2种.∴. 【点睛】本题考查了条形统计图，平均数、众数和中位数，列表法或树状图法求概率，弄清题意，读懂统计图，从中找到必要的信息是解题的关键. 本题用到的知识点还有：概率=所求情况数与总情况数之比． 21. 扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了． （1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？ （2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计．） 【答案】（1）这种水果今年每千克的平均批发价是24元； （2）每千克的平均销售价为35元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是7260元. 【解析】 【分析】（1）由去年这种水果批发销售总额为10万元，可得今年的批发销售总额为万元，设这种水果今年每千克的平均批发价是元，则去年的批发价为元，可列出方程：，求得即可； （2）根据总利润＝(售价-成本)×数量列出方程，根据二次函数的单调性即可求最大值． 【小问1详解】 解：由题意，设这种水果今年每千克的平均批发价是元，则去年的批发价为元， 今年的批发销售总额为万元， ∴， 整理得， 解得或(不合题意，舍去)， 答：这种水果今年每千克的平均批发价是24元； 【小问2详解】 解：设每千克的平均售价为元，依题意 由（1）知平均批发价为24元，则有 ， 整理得， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当元时，取最大值， 即每千克的平均销售价为35元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是7260元． 22. 某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测最仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）． 课题 测量旗杆的高度 成员 组长××× 组员：×××，×××，××× 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度，测点A，B与H在同一条水平直线上，A，B之间的距离可以直接测得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平面内．点C，D，E在同一条直线上，点E在上． 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量数据 的度数 的度数 A，B之间的距离 任务一：两次测量，A，B之间的距离的平均值是______m． 任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度． （参考数据：，，，，，） 任务三：该“综合与实践”小组在制订方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？ 【答案】任务一：；任务二：；任务三：答案不唯一：没有太阳光，旗杆底部不可到达，测量旗杆影子的长度遇到困难等． 【解析】 【分析】任务一：两数之和除以2，即可作答； 任务二：设，解直角三角形即可得到结论； 任务三：根据题意得到没有太阳光，或旗杆底部不可能达到相等（答案不唯一）． 【详解】任务一：平均值：， 故答案为：； 任务二：由题意可得，四边形，四边形都是矩形， ∴，， 设， 在中，，， ∵， ∴， 在中，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（m）， 答：旗杆GH的高度为． 任务三：答案不唯一：没有太阳光，旗杆底部不可到达，测量旗杆影子的长度遇到困难等． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第23题13分，第24题14分，共27分． 23. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，点，的中线与轴交于点，且经过，，三点． （1）求圆心的坐标； （2）若直线与相切于点，交轴于点，求直线的函数表达式； （3）在过点且以圆心为顶点的抛物线上有一动点，过点作轴，交直线于点．若以为半径的与直线相交于另一点．当时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点为或 【解析】 【分析】（1）利用中点公式即可求解； （2）由切线的性质得，进而通过角度计算可得，先计算出，即可得到，，则，然后得到点D的坐标，最后设的解析式为，代入即可求解； （3）先根据题意求出抛物线的解析式为，利用，求出，再设点，则点，进而解方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵C为的中点，点， ∴点， 又∵M为中点，点， ∴， ∴点； 【小问2详解】 解：∵与直线相切，则， ∵， ∴， 由图可得，， ∴，， ∴， 又∵点， ∴点， 设直线的解析式为， 将点、的坐标分别代入得， 解得， ∴直线的表达式为：； 【小问3详解】 解：设抛物线的表达式为， 将点坐标代入得， 解得， 故抛物线的表达式为， 过点作，如下图， 则， ∵轴， ∴， 解得， 设点，则点， 则， 解得或， 当时，， ∴点为，此时与点M重合； ∴当时，， ∴点为； 综上所述，点为或． 【点睛】本题是代数与几何的综合题，涉及了二次函数的解析式，解直角三角形，圆的相关性质等，核心是利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 24. 新定义：垂直于图形的一边且等分这个图形面积的直线叫作图形的等积垂分线，等积垂分线被该图形截的线段叫做等积垂分线段． 问题探究： （1）如图1，等边边长为3，垂直于边的等积垂分线段长度为______； （2）如图2，在中，，，，求垂直于边的等积垂分线段长度； （3）如图3，在四边形中，，，，求出它的等积垂分线段长． 【答案】（1） （2）边的等级垂分线段的长度为 （3）四边形的一条等积垂分线段的长为 【解析】 【分析】（1）过点A作，根据等边三角形性质求解即可． （2）线段EF是垂直于BC边的等积垂分线段，设，作，构建方程即可得到答案． （3）分两种情况，作，设或作，设，构建方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示为垂直于边的等积垂分线， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：如图2中，线段是垂直于边的等级垂分线段，设．作于． 在中，∵，，， ∴，， ∵， ∴， 由题意：， ∴， 解得或（舍弃）， ∴边的等积垂分线段的长度为． 【小问3详解】 ①如图3-1中，当线段是等积垂分线段时，设交于．作于．设． 在中，∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，∵， ∴， 由，可得，， ∴， ∵四边形的面积＝四边形的面积，的面积＝的面积， ∴的面积＝的面积， ∴， 解法（负根已经舍弃）， ∴． ②如图3-2中，当线段是等积垂分线段时，设交于．作于．设，则，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴ 由的面积＝的面积， ∴， 解得（负根已经舍弃）， ∴． 综上所述，四边形的一条等积垂分线段的长为． 【点睛】本题考查了四边形综合题，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，理解题意，学会用分类讨论的思想解决问题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $