学易金卷：高一数学下学期第三次月考（浙江专用，人教A版必修第二册第六章～第八章向量+解三角形+复数+立体几何初步）

**基本信息** 聚焦必修1-必修2核心内容，通过分层设计与创新情境考查数学抽象、空间观念及推理能力，适配高一月考综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|复数共轭、向量关系、三角函数符号|第4题三棱柱体积比，结合中点条件考查空间想象| |选择题（多选）|3/18|线面垂直、解三角形|第10题圆背景下空间垂直关系，融合几何直观与逻辑推理| |填空题|3/15|投影向量、函数零点、翻折问题|第14题平行四边形翻折后内切球与外接球，综合空间几何与运算能力| |解答题|5/77|函数奇偶性、向量最值、立体几何翻折|第17题翻折问题三问递进，从证明到距离计算，体现问题设计层次性；第19题性质P创新定义，考查数学思维与探究能力|

2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修1-必修2第8章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的除法运算求，进而可得共轭复数. 【详解】因为，所以. 故选：B. 2．设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“或”的必要不充分条件. 故选：B. 3．若为第一象限角，则，，，中必定为正值的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据题意，是第一或二象限角，且为第一或三象限角，由此结合正、余弦函数在各个象限的符号规律，不难得到本题的答案． 【详解】解：因为为第一象限角，所以为第一或二象限角， 可得：，而符号不确定， 又为第一或三象限角， ，可以是正数，也可以是负数，它们的符号均不确定 综上所述，必定为正值的只有一个 故选：． 4．如图所示，在三棱柱中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面将三棱柱分成体积为，的两部分，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，延长到，到，到，连接，，，得到三棱柱，由题意可得，即可得出答案. 【详解】如图，延长到，到，到， 且，，， 连接，，，得到三棱柱， 则． 延长，，则与相交于点．    因为，所以． 又， 所以，故． 故选：A. 5．已知是钝角，那么下列各值中能取到的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用辅助角公式可得出，求出的取值范围，结合正弦函数的值域可得出的取值范围，即可得出合适的选项. 【详解】因为，则，所以，， 所以，可取的值为. 故选：A. 6．已知平面向量、、满足，且对任意实数恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于不等式，我们两边平方得到关于实数的不等式，进而得到，再结合向量的运算性质得到，最后利用绝对值三角不等式求解最值即可. 【详解】由，两边平方得 又，且对任意实数恒成立， 即恒成立，故， 即，解得，即，且， 而，故， 则由绝对值三角不等式得，故B正确. 故选：B 7．已知函数的定义域为，函数是奇函数，函数的图象关于直线对称，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D． 【答案】B 【分析】由题设奇偶性和对称性条件结合奇偶性定义公式和对称性公式进行分析函数的性质即可得解. 【详解】因为是奇函数，所以为偶函数， 所以，即，故的图象关于直线对称， 由的图象关于直线对称得， 即， 即，所以关于对称， 所以，所以， 故是奇函数，所以B选项正确； 因为，又，所以， 即，所以，故C选项错误； 不能得到的奇偶性与的值，故A，D选项错误. 故选：B 8．在正三棱锥中，，点，分别在棱和上，且，则异面直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出异面直线和所成角，结合余弦定理求得其余弦值 【详解】过作，交于，则或其补角为异面直线和所成的角， 设，则， 由余弦定理得， 由余弦定理得， ， 在三角形中，由余弦定理得， 所以异面直线和所成角的余弦值为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据两角和差公式计算求解判断A，B，结合同角三角函数关系判断C，应用二倍角正弦公式计算判断D. 【详解】A选项，已知，， 则，A错误； B选项，，B正确； C选项，，所以，C正确； D选项， ，D错误； 故选：BC. 10．如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，点C是圆周上异于A，B的任一点，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．平面平面 D．平面平面 【答案】BCD 【分析】根据面面垂直的判定定理、线面垂直的性质和判定定理对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A： 假设，因为平面， 所以平面，又平面， 所以，而平面平面，所以， 在中，，不能同时成立，所以A错误； 对于选项B： 因为平面平面，所以， 因为平面， 所以平面，又平面，所以，选项B正确； 对于选项C： 因为平面平面，所以平面平面，所以C正确； 对于选项D： 由选项B可知平面，因为平面，所以平面平面，所以D正确. 故选：BCD. 11．记的内角，，的对边分别为，，，且，，边上的高为2，则（ ） A． B． C．的周长为 D．的面积为5 【答案】ABD 【分析】根据正弦定理进行边换角，再利用三角恒变换判断A；根据同角三角函数关系结合A选项即可求出，再利用正弦定理和两角和的正弦公式求得，最后即可求出，即可判断B；利用勾股定理和面积公式即可判断CD． 【详解】对A，因为，所以由正弦定理得， 因为， 代入上式可得：， 即，因为，所以，得到， 则，正确； 对B，由，且， 因为，，所以， 可得，又， 由正弦定理得，则，所以， 则， 因为，所以，边上的高为， 因为，，又，，则，，正确； 对C，因为，，根据勾股定理， 的周长为，错误； 对D，的面积，正确． 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，，向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则实数______. 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求出值. 【详解】向量，，则， 因此向量在向量方向上的投影向量， 所以. 故答案为：2 13．已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为______． 【答案】 【分析】首先可得的周期为，方程的解，即为与的交点横坐标，画出与的图象，数形结合即可判断. 【详解】由函数满足，则，所以的周期为， 由，则， 可得的图象如图， 方程的解，即为与的交点横坐标， 且当时， 由图可知两图象交点个数为，即方程的实数解的个数为. 故答案为： 14．已知四边形ABCD为平行四边形，，，，现将沿直线BD翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为_________. 【答案】 【分析】根据题意利用余弦定理求得，由此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线，利用长方体的性质求外接圆半径，再等体积法求出内切球半径，运算求解即可. 【详解】在中，， 故，即， 则折成的三棱锥中，，，， 即此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线， 设长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为a，b，c 则，解得， 此长方体的外接球是三棱锥的外接球， 设外接球的直径，即， 又因为三棱锥是长方体切掉四个角， 故三棱锥， 三棱锥四个侧面是全等的， ， 设内切球半径为，以内切球球心为顶点，把三棱锥分割为以球心为顶点，四个面为底面的四个小三棱锥，四个小三棱锥体积等于大三棱锥的体积， 故， 则三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数（，且）． (1)讨论的奇偶性； (2)若，不等式恒成立，求t的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用函数奇偶性定义，分类讨论即可； （2）确定函数的单调性，结合奇函数的性质求解不等式即可. 【详解】（1）函数（，且）的定义域为R，且 当时，，即恒成立， 所以，即，此时，定义域为R，， 所以是R上的奇函数； 当时，，即恒成立，所以，即， 此时，定义域为R，， 所以是R上的偶函数； 当且时，，此时既不是奇函数也不是偶函数； 综上，当时，是R上的偶函数；当时，是R上的奇函数； 当且时，既不是奇函数也不是偶函数； （2）函数中，由，得，而， 所以，则，由（1）知是R上的奇函数； 因为函数都是R上的增函数，则是R上的增函数， 不等式， 因此，则， 解，得或； 解，即，得.于是， 所以t的取值范围是. 16．如图，已知是边长为2的正三角形，点、、是边的四等分点. (1)求的值； (2)若为线段上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置. 【答案】(1) (2)，最小值为. 【分析】（1）利用平行四边形法则化简表达式，然后利用已知条件及向量数量积公式计算即可； （2）记，，设，其中，表示出向量，，然后表示出的结果，转化为二次函数求最值即可. 【详解】（1）由于正三角形中，为边的中点， 所以，，，， 故 ， 由于，所以， 故. （2）记，，，，又， 则， 设，其中，则， ， 所以 ，， 当且仅当即时，取最小值. 17．如图1，在等腰梯形中，，，，，把三角形沿着翻折，得到图2所示的四棱锥，，记二面角的平面角为.           图1                      图2                         (1)证明：平面； (2)当时，求证：平面； (3)当时，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）在平面EBM中构造辅助线OM，利用相似证明，即可证明线面平行； （2）首先确定二面角的平面角，由推出，进而利用线面垂直证明，然后由勾股定理推出，即可证明线面垂直. （3）作辅助线与，证明平面ABCE（MG即为四棱锥的高），求出对应线段长度，利用等体积法求点到平面的距离. 【详解】（1）连接交于点，连接， 由题意知,，易知，则有. 因为，所以， 根据相似性得， 又平面，平面，所以平面. （2）如图，因为翻折前，所以翻折后，， 由二面角的定义可知，二面角的平面角， 当时，，即， 又因为，且，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 在中，易知，，， 满足：，由勾股定理可知，， 因为，且，平面， 所以平面. （3）过点D作于点H， ，，， 作于，连接， 因为，，,CE、ED平面CDE， 所以平面CDE，又MG平面CDE，所以MG， 因为MG，，、AE、EC平面ABCE， 所以平面ABCE， 因为，所以， 所以，，，， 所以，，， 所以为等腰三角形，且边上的高， 所以， 令到平面的距离为，且， 因为，所以， 所以. 18．在中，角，，所对的边分别为，，，满足． (1)求角． (2)为边上一点，且． ①若，求当取最小值时的值； ②若为角平分线，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由正弦定理化简求值即可. （2）①由平面向量基本定理、向量的运算表示与，关系，根据余弦定理及基本不等式运算即可. ②由正弦定理表示,利用基本不等式求值即可. 【详解】（1）， 由正弦定理得：， 展开得：， ，而,， 故， ，， ，故． （2） ①， ， ， ， ， 根据余弦定理：， ， 令， 则 ， 则当且仅当时等号成立， 解得：时， 时，取最小值． ②为的角平分线 在中，由正弦定理得， 即， ,, ， ． 又，,， ，当且仅当时等号成立， 故 19．已知函数的定义域为区间，若对于给定的非零实数，存在使得，则称函数在区间上具有性质， (1)判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； (2)若函数在区间上具有性质，求的取值范围； (3)已知函数的图象是连续不断的曲线，且，求证：函数在区间上具有性质. 【答案】(1)具有，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）先根据性质列出的等式，求解，再判断、是否在区间内，从而确定函数是否具有该性质. （2）由性质得到，结合函数表达式化简求出，再判断、是否在区间内，从而确定的取值范围. （3）构造函数，根据得到，分，有一个为0，一个不为0两种情况，利用零点存在性定理证明存在使成立. 【详解】（1）函数在上具有性质，理由如下： 若，则， 因为，且， 所以函数在上具有性质. （2）由题意，因为函数上具有性质， 所以，由于， 即存在，使得， 所以，得， 又因为且 所以，即的取值范围是. （3）设， 则有， 由，得， ①当，有一个为0时，或， 则函数在区间上具有性质. ②当，均不为0时，由于其和为0， 则，必然一正一负，即， 因为函数的图象是连续不断的曲线， 所以在上连续，故在上连续， 由零点存在性定理知，存在， 使得，即， 所以函数在区间上也具有性质， 综上所述，函数在区间上具有性质. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B B B A A B B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC BCD ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．【答案】2 13．【答案】 14．【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）【详解】（1）函数（，且）的定义域为R，且 当时，，即恒成立， 所以，即，此时，定义域为R，， 所以是R上的奇函数；（3分） 当时，，即恒成立，所以，即， 此时，定义域为R，， 所以是R上的偶函数；（3分） 当且时，，此时既不是奇函数也不是偶函数； 综上，当时，是R上的偶函数；当时，是R上的奇函数； 当且时，既不是奇函数也不是偶函数；（2分） （2）函数中，由，得，而， 所以，则，由（1）知是R上的奇函数；（2分） 因为函数都是R上的增函数，则是R上的增函数， 不等式， 因此，则， 解，得或； 解，即，得.于是， 所以t的取值范围是.（3分） 16．（15分）【详解】（1）由于正三角形中，为边的中点， 所以，，，， 故 ，（2分） 由于，所以，（2分） 故.（2分） （2）记，，，，又， 则，（2分） 设，其中，则， ， 所以（3分） ，， 当且仅当即时，取最小值.（4分） 17．（15分）【详解】（1）连接交于点，连接， 由题意知,，易知，则有.（1分） 因为，所以，（1分） 根据相似性得， 又平面，平面，所以平面.（2分） （2）如图，因为翻折前，所以翻折后，， 由二面角的定义可知，二面角的平面角， 当时，，即， 又因为，且，平面， 所以平面，（2分） 因为平面，所以， 在中，易知，，， 满足：，由勾股定理可知，，（2分） 因为，且，平面， 所以平面. （3）过点D作于点H， ，，， 作于，连接， 因为，，,CE、ED平面CDE， 所以平面CDE，又MG平面CDE，所以MG， 因为MG，，、AE、EC平面ABCE， 所以平面ABCE，（1分） 因为，所以， 所以，，，，（2分） 所以，，， 所以为等腰三角形，且边上的高， 所以，（1分） 令到平面的距离为，且， 因为，所以， 所以.（2分） 18．（17分）【详解】（1）， 由正弦定理得：， 展开得：， ，而,， 故， ，， ，故．（4分） （2） ①， ， ，（3分） ， ， 根据余弦定理：， ，（3分） 令， 则 ， 则当且仅当时等号成立， 解得：时， 时，取最小值．（2分） ②为的角平分线 在中，由正弦定理得， 即， ,,（3分） ， ． 又，,， ，当且仅当时等号成立， 故（2分） 19．（17分）【详解】（1）函数在上具有性质，理由如下： 若，则， 因为，且， 所以函数在上具有性质.（3分） （2）由题意，因为函数上具有性质， 所以，由于， 即存在，使得， 所以，得， 又因为且 所以，即的取值范围是.（4分） （3）设， 则有， 由，得， ①当，有一个为0时，或， 则函数在区间上具有性质.（3分） ②当，均不为0时，由于其和为0， 则，必然一正一负，即，（3分） 因为函数的图象是连续不断的曲线， 所以在上连续，故在上连续， 由零点存在性定理知，存在， 使得，即， 所以函数在区间上也具有性质， 综上所述，函数在区间上具有性质.（4分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ ■■■ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 尝 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A[B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 款 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A[B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A[B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 箭 12 妇 14 ! ! 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修1-必修2第8章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 2．设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若为第一象限角，则，，，中必定为正值的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．如图所示，在三棱柱中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面将三棱柱分成体积为，的两部分，则（    ）    A． B． C． D． 5．已知是钝角，那么下列各值中能取到的值是（    ） A． B． C． D． 6．已知平面向量、、满足，且对任意实数恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，函数是奇函数，函数的图象关于直线对称，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D． 8．在正三棱锥中，，点，分别在棱和上，且，则异面直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，则（    ） A． B． C． D． 10．如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，点C是圆周上异于A，B的任一点，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．平面平面 D．平面平面 11．记的内角，，的对边分别为，，，且，，边上的高为2，则（ ） A． B． C．的周长为 D．的面积为5 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，，向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则实数______. 13．已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为______． 14．已知四边形ABCD为平行四边形，，，，现将沿直线BD翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数（，且）． (1)讨论的奇偶性； (2)若，不等式恒成立，求t的取值范围． 16．如图，已知是边长为2的正三角形，点、、是边的四等分点. (1)求的值； (2)若为线段上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置. 17．如图1，在等腰梯形中，，，，，把三角形沿着翻折，得到图2所示的四棱锥，，记二面角的平面角为.            图1                       图2                         (1)证明：平面； (2)当时，求证：平面； (3)当时，求点到平面的距离. 18．在中，角，，所对的边分别为，，，满足． (1)求角． (2)为边上一点，且． ①若，求当取最小值时的值； ②若为角平分线，求的取值范围． 19．已知函数的定义域为区间，若对于给定的非零实数，存在使得，则称函数在区间上具有性质， (1)判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； (2)若函数在区间上具有性质，求的取值范围； (3)已知函数的图象是连续不断的曲线，且，求证：函数在区间上具有性质. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修1-必修2第8章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 2．设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若为第一象限角，则，，，中必定为正值的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．如图所示，在三棱柱中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面将三棱柱分成体积为，的两部分，则（    ）    A． B． C． D． 5．已知是钝角，那么下列各值中能取到的值是（    ） A． B． C． D． 6．已知平面向量、、满足，且对任意实数恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，函数是奇函数，函数的图象关于直线对称，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D． 8．在正三棱锥中，，点，分别在棱和上，且，则异面直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，则（    ） A． B． C． D． 10．如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，点C是圆周上异于A，B的任一点，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．平面平面 D．平面平面 11．记的内角，，的对边分别为，，，且，，边上的高为2，则（ ） A． B． C．的周长为 D．的面积为5 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，，向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则实数______. 13．已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为______． 14．已知四边形ABCD为平行四边形，，，，现将沿直线BD翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数（，且）． (1)讨论的奇偶性； (2)若，不等式恒成立，求t的取值范围． 16．如图，已知是边长为2的正三角形，点、、是边的四等分点. (1)求的值； (2)若为线段上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置. 17．如图1，在等腰梯形中，，，，，把三角形沿着翻折，得到图2所示的四棱锥，，记二面角的平面角为.            图1                       图2                         (1)证明：平面； (2)当时，求证：平面； (3)当时，求点到平面的距离. 18．在中，角，，所对的边分别为，，，满足． (1)求角． (2)为边上一点，且． ①若，求当取最小值时的值； ②若为角平分线，求的取值范围． 19．已知函数的定义域为区间，若对于给定的非零实数，存在使得，则称函数在区间上具有性质， (1)判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； (2)若函数在区间上具有性质，求的取值范围； (3)已知函数的图象是连续不断的曲线，且，求证：函数在区间上具有性质. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $