21．2.2　平行四边形的判定 同步练习 2025-2026学年人教版八年级数学下册

21．2.2　平行四边形的判定 知识点1　两组对边分别平行的四边形是平行四边形 1．在四边形ABCD中，AD∥BC.要判别四边形ABCD是平行四边形，还需满足条件( ) A．∠A＋∠C＝180° B．∠B＋∠D＝180° C．∠B＋∠A＝180° D．∠A＋∠D＝180° 2． 小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是( ) A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 3．(河北邢台任泽区期中)如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示．已知∠ABD＝118°，∠GFE＝62°，BD∥CE∥GF.求证：四边形BCED是平行四边形. 　 知识点2　两组对边分别相等的四边形是平行四边形 4．下列条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是( ) A．AB＝AD，CD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D C．AB＝AD，∠B＝∠D D．AB＝CD，AD＝BC 5．若一个四边形的边长依次为a，b，c，d，且(a－c)2＋|b－d|＝0，则这个四边形为 . 知识点3　两组对角分别相等的四边形是平行四边形 6．(河北期末)如图，甲、乙二人给出了条件来证明四边形ABCD为平行四边形，下列判断正确的是( ) 甲：AB∥CD，AD＝BC；乙：∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶1∶2 A．甲可以，乙不可以 B．甲不可以，乙可以 C．两人都可以 D．两人都不可以 7．在下列条件中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( ) A．∠A＝∠C，∠B＝∠D B．∠A＝∠B＝∠C＝90° C．∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180° D．∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180° 知识点4　对角线互相平分的四边形是平行四边形 8．(河北中考)下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，M是AC的中点，连接BM并延长交AE于点D，连接CD. 求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠3. ∵∠CAN＝∠ABC＋∠3，∠CAN＝∠1＋∠2，∠1＝∠2， ∴①______． 又∠4＝∠5，MA＝MC， ∴△MAD≌△MCB(②______). ∴MD＝MB.∴四边形ABCD是平行四边形． 若以上解答过程正确，①②应分别为( ) A．∠1＝∠3，AAS B．∠1＝∠3，ASA C．∠2＝∠3，AAS D．∠2＝∠3，ASA 9．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE.求证： (1)OD＝OB. (2)四边形ABCD是平行四边形． 知识点5　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 10．(河北邯郸期末)根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是( ) 11． 如图，给出了四边形ABCD的部分数据，若使得四边形ABCD为平行四边形，还需要一条线段的长度是3，这条线段是( ) A．AB B．BC C．CD D．BD 易错易混点　不能在网格中准确画出平行四边形 12．(河北石家庄桥西区校级一模)在如图的网格中，以格点A，B，C，D，E，F中的4个点为顶点，你能画出平行四边形的个数为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 13．(广西贵港港北区期中)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8 cm，BC＝12 cm，M是BC上一点，且BM＝9 cm，点E从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3 cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t(s)，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是( ) A． B．3 C．3或 　D．或 14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝8，E是BC的中点，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t＝ 秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 15．如图，在四边形ABCD中，点E在AB上，DE平分∠ADC. (1)如图1，若∠A＝90°，∠B＝100°，∠ADE＝40°，求∠C的度数． (2)如图2，点F在CD上，BF∥DE，AD＝AE.求证：四边形BFDE为平行四边形． 　 16． 如图，等边△ABC的边长为8，动点M从点B出发，沿B→A→C→B的方向以每秒3个单位长度的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C的方向以每秒2个单位长度的速度运动． (1)若动点M，N同时出发，经过几秒第一次相遇？ (2)若动点M，N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．在△ABC的边上是否存在一点D，使得以点A，M，N，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时运动的时间t及点D的具体位置；若不存在，请说明理由． 【母题P62练习T2】如图，在▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.求证：四边形AFCE是平行四边形. 【变式】(福建泉州晋江市期末)如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，BE＝DF，AE＝CF. 求证：四边形ABCD是平行四边形． 17． (几何直观)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE＝2，连接PE，设点P的运动时间为t秒． (1)若PE⊥BC，求BQ的长； (2)请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 21．2.2　平行四边形的判定 知识点1　两组对边分别平行的四边形是平行四边形 1．在四边形ABCD中，AD∥BC.要判别四边形ABCD是平行四边形，还需满足条件(D) A．∠A＋∠C＝180° B．∠B＋∠D＝180° C．∠B＋∠A＝180° D．∠A＋∠D＝180° 2． 小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是(B) A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 3．(河北邢台任泽区期中)如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示．已知∠ABD＝118°，∠GFE＝62°，BD∥CE∥GF.求证：四边形BCED是平行四边形. 　 ∵CE∥GF，∴∠CEF＋∠GFE＝180°. ∵∠GFE＝62°，∴∠CEF＝180°－∠GFE＝118°. ∵BD∥CE，∠ABD＝118°，∴∠ACE＝∠ABD＝118°， ∴∠ACE＝∠CEF＝118°，∴BC∥DE， 即四边形BCED是平行四边形． 知识点2　两组对边分别相等的四边形是平行四边形 4．下列条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是(D) A．AB＝AD，CD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D C．AB＝AD，∠B＝∠D D．AB＝CD，AD＝BC 5．若一个四边形的边长依次为a，b，c，d，且(a－c)2＋|b－d|＝0，则这个四边形为平行四边形. 知识点3　两组对角分别相等的四边形是平行四边形 6．(河北期末)如图，甲、乙二人给出了条件来证明四边形ABCD为平行四边形，下列判断正确的是(B) 甲：AB∥CD，AD＝BC；乙：∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶1∶2 A．甲可以，乙不可以 B．甲不可以，乙可以 C．两人都可以 D．两人都不可以 7．在下列条件中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(D) A．∠A＝∠C，∠B＝∠D B．∠A＝∠B＝∠C＝90° C．∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180° D．∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180° 知识点4　对角线互相平分的四边形是平行四边形 8．(河北中考)下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，M是AC的中点，连接BM并延长交AE于点D，连接CD. 求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠3. ∵∠CAN＝∠ABC＋∠3，∠CAN＝∠1＋∠2，∠1＝∠2， ∴①______． 又∠4＝∠5，MA＝MC， ∴△MAD≌△MCB(②______). ∴MD＝MB.∴四边形ABCD是平行四边形． 若以上解答过程正确，①②应分别为(D) A．∠1＝∠3，AAS B．∠1＝∠3，ASA C．∠2＝∠3，AAS D．∠2＝∠3，ASA 9．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE.求证： (1)OD＝OB. (2)四边形ABCD是平行四边形． (1)∵O是AC中点，∴OA＝OC. ∵AE＝CF，∴OE＝OF. ∵DF∥BE，∴∠OEB＝∠OFD. 在△BOE和△DOF中， ∴△BOE≌△DOF(AAS)，∴OD＝OB； (2)∵OA＝OC，OD＝OB，∴四边形ABCD是平行四边形． 知识点5　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 10．(河北邯郸期末)根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是(C) 11． 如图，给出了四边形ABCD的部分数据，若使得四边形ABCD为平行四边形，还需要一条线段的长度是3，这条线段是(B) A．AB B．BC C．CD D．BD 易错易混点　不能在网格中准确画出平行四边形 12．(河北石家庄桥西区校级一模)在如图的网格中，以格点A，B，C，D，E，F中的4个点为顶点，你能画出平行四边形的个数为(B) A．2 B．3 C．4 D．5 13．(广西贵港港北区期中)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8 cm，BC＝12 cm，M是BC上一点，且BM＝9 cm，点E从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3 cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t(s)，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是(D) A． B．3 C．3或 　D．或 14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝8，E是BC的中点，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t＝1或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 15．如图，在四边形ABCD中，点E在AB上，DE平分∠ADC. (1)如图1，若∠A＝90°，∠B＝100°，∠ADE＝40°，求∠C的度数． (2)如图2，点F在CD上，BF∥DE，AD＝AE.求证：四边形BFDE为平行四边形． 　 (1)∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE. ∵∠A＝90°，∠B＝100°，∠ADE＝40°， ∴∠ADC＝2∠ADE＝80°， ∴∠C＝360°－∠A－∠B－∠ADC＝360°－90°－100°－80°＝90°. (2)∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED. ∵∠ADE＝∠CDE，∴∠AED＝∠CDE， ∴AB∥CD. ∵点E在AB上，点F在CD上，∴EB∥FD. ∵BF∥DE，∴四边形BFDE为平行四边形． 16． 如图，等边△ABC的边长为8，动点M从点B出发，沿B→A→C→B的方向以每秒3个单位长度的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C的方向以每秒2个单位长度的速度运动． (1)若动点M，N同时出发，经过几秒第一次相遇？ (2)若动点M，N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．在△ABC的边上是否存在一点D，使得以点A，M，N，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时运动的时间t及点D的具体位置；若不存在，请说明理由． (1)第一次相遇时间＝＝(s)； 答：若动点M，N同时出发，经过 s两点第一次相遇； (2)如图2，当点M在线段AB上，点N在AC上时：∵四边形ANDM为平行四边形，∴DM＝AN，DM∥AN. ∵△ABC为等边三角形，△BMD和△NCD是等边三角形， ∴BM＋CN＝CN＋AN＝8，∴2t＋3t＝8， ∴t＝，此时BD＝； 如图3，当点M在线段AC上，点N在AB上时， 同理，△BND和△MCD是等边三角形， AM＝3t－8，AN＝2t－8， ∴AM＋AN＝AC＝8，3t－8＋2t－8＝8，t＝，此时BD＝. 如图4，当点M在线段BC上，点N在AB上时， 同理，△BMN和△MCD是等边三角形， CM＝3t－16，AN＝2t－8，∴CM＝AN. 3t－16＝2t－8，t＝8＞7.5(不合题意，舍去). 综上所述，运动了 s或 s时，A，M，N，D四点能构成平行四边形，此时点D在BC上，且BD＝或. 图1 　图2 　图3 　图4 【母题P62练习T2】如图，在▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.求证：四边形AFCE是平行四边形. ∵AE⊥BD，BD⊥CF，∴AE∥CF. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBF. ∵AE⊥BD，BD⊥CF，AD＝BC， ∠ADB＝CBF，∴△BCF≌△DAE，∴AE＝CF. ∵AE∥CF，AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形． 【变式】(福建泉州晋江市期末)如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，BE＝DF，AE＝CF. 求证：四边形ABCD是平行四边形． ∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴∠BEA＝∠DFC＝90°. 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF(SAS)， ∴AB＝CD，∠BAC＝∠DCF， ∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形． 17． (几何直观)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE＝2，连接PE，设点P的运动时间为t秒． (1)若PE⊥BC，求BQ的长； (2)请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (1)作AM⊥BC于点M，设AC交PE于点N.如图所示． ∵∠BAC＝90°，∠B＝45°， ∴∠C＝45°＝∠B， ∴AB＝AC， ∴BM＝CM，∴AM＝BC＝5. ∵AD∥BC，∴∠PAN＝∠C＝45°. ∵PE⊥BC，∴PE＝AM＝5，PE⊥AD， ∴△APN和△CEN是等腰直角三角形， ∴PN＝AP＝t，CE＝NE＝5－t. ∵CE＝CQ－QE＝2t－2，∴5－t＝2t－2， 解得t＝，所以BQ＝BC－CQ＝10－2×＝； (2)存在，t＝4或12.理由如下： 若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，则AP＝BE， ∴t＝10－2t＋2或t＝2t－2－10， 解得t＝4或12， ∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，t＝4或12. 学科网（北京）股份有限公司 $