精品解析：黑龙江哈尔滨市双城区2026年毕业年级模拟测试数学学科试卷

2026年哈尔滨市双城区毕业年级模拟测试 数学学科试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”书写（填涂）在答题卡正面和背面的规定位置，将“条形码”准确粘贴在条形码区域处． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各实数中，与2026互为相反数的是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 一种球形细胞的半径约为米，用小数表示是（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4. 一个几何体的主视图与俯视图如图所示，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，若(都为正整数)，则的结果为（ ） A. 91 B. 100 C. 109 D. 110 8. 如图，将一块面积为的三角形硬纸板平行于投影面放置，在光源的照射下形成的投影是．若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，，以点为圆心、的长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 10. 如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（　　） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 11. 函数中自变量x的取值范围是______． 12. 分解因式：______． 13. 如图，现有3张卡片，正面书写不同类型的变化，除此之外完全相同，把这3张卡片背面朝上洗牌，从中随机抽取1张卡片，则这张卡片呈现的变化是化学变化的概率是_____． 14. 不等式组的解集是______． 15. 一个扇形的半径为6cm，面积为，则此扇形的圆心角为______度． 16. 通信信号塔的总功率保持不变的情况下，信号强度（单位：）是距离（单位：）的反比例函数．已知距离该通信信号塔的区域，信号强度为；当小张同学在距离该通信信号塔处时，信号强度为__________． 17. 定义新运算：，则的运算结果是___________． 18. 在矩形中，，点在矩形的边上，且，连接，则的值为___________． 19. 已知在平面直角坐标系中，抛物线（k为常数）与x轴的一个交点是，则它与轴的另一个交点的坐标为______． 20. 如图，等腰中，，于，的平分线分别交，于，，点为的中点，的延长线交于，连接，，．下列结论；①为等腰三角形；②；③平分；④．其中正确的是______（填序号）． 三．解答题（本大题60分，21－22题7分，23－24题8分，25－27题10分） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图(保留必要的作图痕迹)． （1）在图中，找一格点，连接，，使为等腰直角三角形，且； （2）在边上找一点，使； 23. 为增强同学们的环保意识并普及生态保护知识，某校在“世界环境日”当天开展了环保主题研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了环保知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图：其中组共有15个成绩，从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80．根据以上信息，解答下列问题： （1） B组15个成绩的平均数为______分； （2）本次被抽取的所有成绩的个数为______，本次被抽取的所有成绩的中位数为______分； （3）学校决定对本次竞赛成绩80分及以上的学生进行奖励，该校共有600名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数 24. 在中，，点在的延长线上，点在的延长线上，平分，． （1）如图，求证：四边形是平行四边形； （2）如图，当时，连接，交于点，过点作，交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与面积相等的三角形． 25. 为贯彻落实健康第一的指导思想，切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平．某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质．已知购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等，购买2个篮球和5个排球共需800元． （1）求每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ （2）该校计划购买篮球和排球共60个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍．请给出最节省费用的购买方案，并求出最少的费用． 26. 内接于，，于点D，延长交于点E，连接． （1）如图1，求证：． （2）如图2，连接并延长交于点F，求证：． （3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点G，连接交弦于点H，连接，若，，求线段的长． 27. 已知抛物线与轴分别交于A、B两点（点A在点B左侧），与轴交于点C，连接，． （1）如图1，求出a的值； （2）如图2，P为第二象限抛物线上的一个动点，过点P作轴于点D交于点E，设点P的横坐标为t，长为d，求d关于t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，交y轴于点F，点G为上一点，连接交于点W，将直线绕点F顺时针旋转，交抛物线于点H，若，，求直线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年哈尔滨市双城区毕业年级模拟测试 数学学科试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”书写（填涂）在答题卡正面和背面的规定位置，将“条形码”准确粘贴在条形码区域处． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各实数中，与2026互为相反数的是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：与2026互为相反数的是． 2. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【详解】A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C．不是轴对称图形，但是中心对称图形，故不符合题意； D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意． 3. 一种球形细胞的半径约为米，用小数表示是（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】将中的小数点向左移动位，即可得到结果． 【详解】解：米． 4. 一个几何体的主视图与俯视图如图所示，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由图中的主视图和俯视图知该几何体的左视图如图所示： 5. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，方程两边同乘，去分母后化为整式方程，求解并检验即可． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：时，， ∴是该分式方程的解． 故选：C 6. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是， 故选：D． 7. 已知，若(都为正整数)，则的结果为（ ） A. 91 B. 100 C. 109 D. 110 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查数字的变化规律型，分式方程，掌握知识点是解题的关键． 观察题目给出的几个式子发现，，将其代入并解方程求出b的值，最后将a，b的值代入求解即可． 【详解】解：由题意得， ，将代入得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴． 故选C． 8. 如图，将一块面积为的三角形硬纸板平行于投影面放置，在光源的照射下形成的投影是．若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行投影性质和相似三角形面积比，熟练掌握平行投影下图形的相似性质、相似三角形的相似比及其与面积比的关系，是解决本题的关键． 根据平行投影性质得与相似，求出相似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：， ． 由题意得：，， ． ． ． 故选：A． 9. 如图，在矩形中，，，以点为圆心、的长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，角平分线的定义，基本作图，熟练掌握以上知识点是关键．连接，可证，得到，再根据勾股定理得到，由线段和差得到，在中，利用勾股定理建立方程求出即可得到的长． 【详解】解：如图，连接， 由作图步骤可知，是的平分线， ， 在和中， ， ， ， 在中，，， ， ， 设，则， 由勾股定理得，， 解得，即． 10. 如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：①x≤1时，两个三角形重叠面积为小三角形的面积，∴y==； ②当1＜x≤2时，重叠三角形的边长为2﹣x，高为， y==； ③当x=2时，两个三角形没有重叠的部分，即重叠面积为0， 故选B． 【点睛】考点：动点问题的函数图象；动点型；分类讨论． 二．填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 11. 函数中自变量x的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数非负，分式有意义的条件是分母不为零，据此列式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴且． 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】原式先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 13. 如图，现有3张卡片，正面书写不同类型的变化，除此之外完全相同，把这3张卡片背面朝上洗牌，从中随机抽取1张卡片，则这张卡片呈现的变化是化学变化的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】共3张卡片，其中2张表示的是化学变化，即可利用概率公式进行计算． 【详解】解：“食物发霉”属于化学变化；“糖块融化”属于物理变化；“盐酸除锈”属于化学变化． ∴在这3张卡片中，属于化学变化的卡片有2张， ∴随机抽取1张卡片，是化学变化的概率是． 故答案为：． 14. 不等式组的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】分别解出每个不等式，求出公共解集即可． 【详解】解： 由①得：， 由②得：， ∴该不等式组的解集为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解不等式组，关键是合理利用不等式组的解集的确定方法判断其解集，判断解集的方法：都大取大，都小取小，大小小大取中间，大大小小无解． 15. 一个扇形的半径为6cm，面积为，则此扇形的圆心角为______度． 【答案】30 【解析】 【分析】设扇形的圆心角是，根据扇形的面积公式，可得到一个关于n的方程，解方程即可求解． 【详解】解：设这个扇形的圆心角为，则 ， 解得，， 故答案为：30． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，正确理解公式是解题的关键． 16. 通信信号塔的总功率保持不变的情况下，信号强度（单位：）是距离（单位：）的反比例函数．已知距离该通信信号塔的区域，信号强度为；当小张同学在距离该通信信号塔处时，信号强度为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】设反比例函数，利用已知条件求出比例系数，再代入计算即可． 【详解】解：设反比例函数， 已知距离该通信信号塔的区域，信号强度为， ，解得， ， 又时，， 所以，此时信号强度为． 17. 定义新运算：，则的运算结果是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了整式混合运算新定义问题的解决能力，关键是能准确理解并运用运算定义进行代入、求解．运用计算定义进行代入、求解即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 18. 在矩形中，，点在矩形的边上，且，连接，则的值为___________． 【答案】或3##3或 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、求锐角三角函数值和勾股定理，熟练掌握以上知识点并运用分类讨论思想是解题的关键．根据题意，分别讨论点在矩形的边和上两种情况． 【详解】第一种情况，当点在矩形的边上，如图所示， 四边形是矩形， ，， ，， ，， 在中，， 第二种情况，当点在矩形的边上，如图所示，过点作于点， 四边形是矩形， ，， ，， ，， ，， ，， ， 在中，， 在中，， 故答案为：或3． 19. 已知在平面直角坐标系中，抛物线（k为常数）与x轴的一个交点是，则它与轴的另一个交点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与x轴的一个交点是， ∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为， ∴它与轴的另一个交点的坐标为． 20. 如图，等腰中，，于，的平分线分别交，于，，点为的中点，的延长线交于，连接，，．下列结论；①为等腰三角形；②；③平分；④．其中正确的是______（填序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质逐项判定即可． 【详解】解：等腰中，，于， ， 平分， ， ，， ， ， 为等腰三角形，故①正确； 等腰中，，， ，， ，是的中点， ， ， ， ， ，故②正确； ，，， ， ， ， ， ， ∴， ∴， 不平分，故③错误； , ， ， ， ，， ， ， ， ， ，故④正确； 综上，正确的有①②④． 三．解答题（本大题60分，21－22题7分，23－24题8分，25－27题10分） 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【详解】解： 当时， 原式 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图(保留必要的作图痕迹)． （1）在图中，找一格点，连接，，使为等腰直角三角形，且； （2）在边上找一点，使； 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据网格与勾股定理找到格点，使得，且； （2）在上找到点，使得，则． 【小问1详解】 解：如图所示， 【小问2详解】 解：如图所示， 23. 为增强同学们的环保意识并普及生态保护知识，某校在“世界环境日”当天开展了环保主题研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了环保知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图：其中组共有15个成绩，从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80．根据以上信息，解答下列问题： （1） B组15个成绩的平均数为______分； （2）本次被抽取的所有成绩的个数为______，本次被抽取的所有成绩的中位数为______分； （3）学校决定对本次竞赛成绩80分及以上的学生进行奖励，该校共有600名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数 【答案】（1） （2）， （3）人 【解析】 【分析】（1）直接利用平均数公式计算即可； （2）由B组人数除以其百分比即可得到总数据的个数，再利用中位数的含义求解中位数即可； （3）由总人数乘以本次竞赛成绩80分及以上的学生的百分比即可得到答案. 【小问1详解】 解：B组15个成绩的平均数为： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴本次被抽取的所有成绩的个数为， ∵，而， 所抽取的50个成绩分数排序后排在第个，第个分数落在B组， 而B组成绩排序后为： 从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80． ∴第个，第个分数， 本次被抽取的所有成绩的中位数为分； 【小问3详解】 解：学校决定对本次竞赛成绩80分及以上的学生进行奖励，该校共有600名学生参加竞赛， 则本次竞赛的获奖人数为（人）. 24. 在中，，点在的延长线上，点在的延长线上，平分，． （1）如图，求证：四边形是平行四边形； （2）如图，当时，连接，交于点，过点作，交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与面积相等的三角形． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）利用等腰三角形的性质、角平分线的定义及三角形外角性质可证，得到，即可求证； （）由可证是等边三角形，得到，即得平行四边形是菱形，即得到，，再证明是等边三角形，得到，即得到，得，又根据菱形的性质得，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴与面积相等的三角形有． 25. 为贯彻落实健康第一的指导思想，切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平．某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质．已知购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等，购买2个篮球和5个排球共需800元． （1）求每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ （2）该校计划购买篮球和排球共60个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍．请给出最节省费用的购买方案，并求出最少的费用． 【答案】（1） 每个篮球的价格是150元，每个排球的价格是100元． （2） 最节省费用的购买方案是购买篮球20个，排球40个，最少费用为7000元． 【解析】 【分析】（1）根据题干给出的两个等量关系，列出二元一次方程组求解即可得到两种球的单价； （2）设购买篮球的个数，得到总费用关于篮球个数的一次函数，再根据题干给出的不等关系求出自变量的取值范围，利用一次函数的增减性即可求出最小费用和对应的购买方案． 【小问1详解】 解：设每个篮球的价格为x元，每个排球的价格为y元，根据题意可得  ， 解得：， 答：每个篮球的价格是150元，每个排球的价格是100元． 【小问2详解】 解：设购买篮球m个，总费用为W元，则购买排球个，其中m为正整数， ∴ ，，， ∴ ，m为正整数， ∴总费用 ， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∴当m取最小值20时，W取得最小值，此时（元），个， 答：最节省费用的购买方案是购买篮球20个，购买排球40个，最少费用是7000元． 26. 内接于，，于点D，延长交于点E，连接． （1）如图1，求证：． （2）如图2，连接并延长交于点F，求证：． （3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点G，连接交弦于点H，连接，若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）6 【解析】 【分析】（1）设，根据三角形内角和及圆周角定理得到即可； （2）连接，得到，推出 ，根据同弧所对圆周角相等得 进而，证得 ，由此推出； （3）过点H作交的延长线于点K，延长交于点M、过点A作于点N，根据圆周角定理得，证得，推出，再证 ，得，再证，得，根据三角函数计算解答． 【小问1详解】 证明：设， ∵于点D， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵弧弧 ∴ ∴． 【小问2详解】 证明：如图2，连接， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； 【小问3详解】 解：如图3，过点H作交的延长线于点K， 延长交于点M、过点A作于点N． ∵四边形为的内接四边形， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵为的直径 ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， 又∵， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴， 又∵，， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∵， ∴， ， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 27. 已知抛物线与轴分别交于A、B两点（点A在点B左侧），与轴交于点C，连接，． （1）如图1，求出a的值； （2）如图2，P为第二象限抛物线上的一个动点，过点P作轴于点D交于点E，设点P的横坐标为t，长为d，求d关于t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，交y轴于点F，点G为上一点，连接交于点W，将直线绕点F顺时针旋转，交抛物线于点H，若，，求直线的解析式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线解析式求出的长，结合求出的长，进而求解； （2）用含的式子表示出、的长，根据， 计算即可； （3）连接、，设与交于点Q，根据 表示出，证明四边形是矩形，设，则 ，证明 以及 ，在中用勾股定理可求出的值和点的坐标，过点F作，使，过点M作轴于点N，过点Q作交延长线于点T，连接、，证明 和 ，结合勾股定理求出点的坐标，再用待定系数法求解． 【小问1详解】 解：在抛物线 中，令，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 代入 ，得 ， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴抛物线解析式为， ∴，且， ∵轴， ∴， ∴ ， ， ∴ ， 在中，， 即， 解得， ∴ ； 【小问3详解】 解：令 ， 解得，， ∴，即， ； 如图，连接、，设与交于点Q， 在中，， 在中，， ∵ ， ∴， 即， 解得， ∴， ∵轴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵ ， ∴四边形是矩形， ∴ ， ， ∴ ， 设，则 ， ， 在 中， ， ∴ ， ∴， 同理 ， ∴ ， ∵，， ∴ ， ， ∴， 在中，， 即， 解得，（舍去）， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∵， ， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ， 设，则 ， 过点F作，使， 过点M作轴于点N，过点Q作交延长线于点T，连接、， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在和中， ∴， ∴， ， ∴； ∵ ， ∴四边形 是矩形， ∴， ， ∵，， ∴，， ∵ ， ， ∴ ， 在和中， ∴， ∴ ； 在 中，， 在 中，， ∴， 即， 解得， ∴， 设直线解析式为，把代入， 得， 解得， ∴直线解析式为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $