精品解析：黑龙江省哈尔滨市双城区2024-2025学年下学期九年级中考一模数学试题

2025年哈尔滨市双城区毕业年级中考模拟测试 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，设计了“巳巳如意纹样”，象征着美好的愿望和幸福．以下四个如意纹样中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 截至2025年4月，《哪吒之魔童闹海》海外票房总计约312000000元，将312000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 下列图形都是由同样大小的棋子按一定规律组成，其中第1个图形有1颗棋子，第2个图形一共有6颗棋子，第3个图形一共有16颗棋子，……则第5个图形中棋子的颗数为（ ） A. 31 B. 51 C. 61 D. 76 8. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则BF的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，射线交于点D，过D作DE⊥AC于点E，若，那么的面积是（ ） A. 10 B. 30 C. 24 D. 32 10. 生物兴趣小组观察一株植物的生长情况，得到植物的高度（单位：）与观察时间（单位：天）的函数关系如图所示，设该植物第天和第天的高度分别为和，则（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 12. 把ax2﹣4a分解因式的结果是_____． 13. 如图，四边形为菱形，且顶点A、P、B都在圆O上，过点P作圆O的切线，与的延长线相交于点Q，若圆O的半径为2，则的长为______． 14. 一个不透明的袋子中装有10个小球，其中7个红球、3个白球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为______． 15. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，二氧化碳气体的密度ρ（单位：）也随之变化．已知密度ρ与体积是反比例函数关系，函数图象如图所示，当时，．根据图象，当时，V＝______． 16. 不等式组的解集是______． 17. 已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的半径为_____． 18. 已知：表示不超过的最大整数．例：，．现定义：，例：，则______． 19. 菱形的边长为6，，菱形的高交对角线于点，则线段的长为______． 20. 如图，在正方形中，边长为的等边三角形的顶点分别在和上，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论是______．（填序号） 三、解答题（共60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 正方形网格中(网格中的每个小正方形边长是1)，的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题： （1）作出绕点逆时针旋转的； （2）作出关于原点成中心对称的； （3）在轴上找一点使得最小，则点坐标为 ． 23. 某初中学校为了解学生放假期间运动锻炼的情况，从本校学生中随机抽取部分学生，调查他们寒假期间一周的运动时长t（单位：小时），将收集到的数据整理分组∶A．，B．，C．，D．，并绘制了两幅不完整的统计图．已知假期每周运动时间不少于3小时为达标． 根据以上信息，解答下列问题． （1）在这次抽样调查中，共调查了多少名学生？ （2）请通过计算将频数直方图补充完整，求出在扇形统计图中C组所对应的圆心角的度数． （3）若全区有12000名初中学生，估计运动时间不达标的初中学生共有多少人？ 24. 如图，在平行四边形中，，是边上一点，延长交的延长线于点，连接． （1）若，求证：四边形是矩形． （2）在（1）的条件下，，，求的余弦值． 25. 某学校准备为“汉字听写大赛”购买比赛奖品，已知购买A种奖品的单价比购买B种奖品的单价少25元，且用800元购买的A种奖品的数量与用1000元购买的B种奖品的数量相同． （1）求购买A、B两种奖品每件各需多少元． （2）学校计划购买A、B两种奖品共40件，且此次购买奖品的费用不超过4400元．求学校最少购买A种奖品多少件． 26. 内接于，F为上一点，连接交弦于点D，若． （1）如图1，求证： （2）如图2，连接，若，求证：． （3）在（2）的条件下，延长交于点E，过点F作垂足为N，过点E作垂足为M，若，，求的长． 27. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线交y轴于点A，交x轴于B、C两点，点B坐标、点C坐标． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是第一象限抛物线上一个动点，设点P的横坐标为t，连接交y轴于点D，设线段的长为d，求d与t的函数解析式；（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，连接，过点D作于点E，点F是线段上一点，连接交x轴于点H，若点P在的垂直平分线上，，求点F的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年哈尔滨市双城区毕业年级中考模拟测试 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据倒数的定义求解即可． 【详解】解：的倒数是． 故答案选：A． 【点睛】本题考查了倒数的定义．解题的关键是掌握倒数的定义，1除以这个数的商就是这个数的倒数． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，同底数幂相乘，同底数幂相除，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据合并同类项判断A；根据同底数幂相乘运算法则计算并判断B，根据同底数幂相除运算法则计算并判断C，根据幂的乘方运算法则计算并判断D． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，计算正确，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 2025年蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，设计了“巳巳如意纹样”，象征着美好的愿望和幸福．以下四个如意纹样中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟知中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A项中的图形能够找到一点，使图形绕着该点旋转，旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以是中心对称图形； B、C、D选项中的图形都找不到一点，使图形绕着该点旋转，旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以都是中心对称图形， 故选：A． 4. 截至2025年4月，《哪吒之魔童闹海》海外票房总计约312000000元，将312000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：， 故选：A． 5. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】从上面看可得到从上往下两行正方形的个数依次为2，1，并且在左上方．故选C． 6. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是， 故选：D． 7. 下列图形都是由同样大小的棋子按一定规律组成，其中第1个图形有1颗棋子，第2个图形一共有6颗棋子，第3个图形一共有16颗棋子，……则第5个图形中棋子的颗数为（ ） A. 31 B. 51 C. 61 D. 76 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据各图形中棋子个数的变化找出变化规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出图形中棋子的颗数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：∵第1个图形有1颗棋子，即， 第2个图形一共有6颗棋子，即， 第3个图形一共有16颗棋子，即， ∴第4个图形一共有31颗棋子，即， 第5个图形一共有51颗棋子，即， 故选：B． 8. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则BF的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分定理列比例式成为解题的关键． 先根据平行线等分线段定理列比例式求得，再运用线段的和差求解即可． 【详解】解：∵， ，即，解得：． ． 故选C． 9. 如图，中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，射线交于点D，过D作DE⊥AC于点E，若，那么的面积是（ ） A. 10 B. 30 C. 24 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规基本作图-作角平分线，三角形的面积，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 由作图可知是的平分线，根据角平分线的性质定理得出，再根据的面积是和的面积之和计算即可． 【详解】解：如图，过点D作于点F， 由作图可知是的平分线， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ． 故选：B． 10. 生物兴趣小组观察一株植物的生长情况，得到植物的高度（单位：）与观察时间（单位：天）的函数关系如图所示，设该植物第天和第天的高度分别为和，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数的图象，一次函数的应用，先确定与的函数表达式，再分别求出、，然后相减即可．仔细观察图象，准确获取信息并利用待定系数法确定函数表达式是解题的关键． 【详解】解：当时， 设与的函数表达式为，过点，， ∴， 解得：， ∴此时与的函数表达式为； 当时， 设与的函数表达式为，过点，， ∴， 解得：， ∴此时与的函数表达式为； 综上所述，与的函数表达式为：， 当时，，即； 当时，，即； ∴． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，二次根式及分式有意义的条件，熟练掌握其有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式及分式有意义的条件即可求得答案． 【详解】解：由题意，得， 解得：， 故答案为：． 12. 把ax2﹣4a分解因式的结果是_____． 【答案】a（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提出公因式a，再利用平方差公式因式分解． 【详解】解：ax2﹣4a=a（x2﹣4）=a（x+2）（x﹣2）． 故答案为：a（x+2）（x﹣2）． 【点睛】本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，解决本题的关键是熟记提公因式法和公式法． 13. 如图，四边形为菱形，且顶点A、P、B都在圆O上，过点P作圆O的切线，与的延长线相交于点Q，若圆O的半径为2，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，切线的性质，锐角三角函数的计算，熟练掌握菱形的性质和锐角三角函数的计算是解题的关键，利用菱形的性质可得，从而得到，再由切线的性质可得，最后利用锐角三角函数计算即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵四边形为菱形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵圆O的切线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 一个不透明的袋子中装有10个小球，其中7个红球、3个白球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 用红球的个数除以球的总个数即可． 【详解】解：∵一个不透明的袋子中装有10个小球，其中7个红球、3个白球，这些小球除颜色外无其他差别， ∴摸出的小球是红球的概率为， 故答案为：． 15. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，二氧化碳气体的密度ρ（单位：）也随之变化．已知密度ρ与体积是反比例函数关系，函数图象如图所示，当时，．根据图象，当时，V＝______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据图像上点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题的关键． 观察函数图像，根据函数图像上点的坐标，利用待定系数法可求出反比例函数的解析式，再利用反比例函数图像上点的坐标特征，即可求出当时的值． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 将代入得， 反比例函数的解析式为， 将代入得， 解得， 故答案为：． 16. 不等式组的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】分别解不等式，然后确定其解集的公共部分为不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①，得： 解不等式②，得： ∴不等式组的解集为：． 【点睛】本题考查解不等式组，掌握解不等式组的步骤正确计算是解题关键． 17. 已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的半径为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积．根据扇形的面积公式直接进行计算． 【详解】解：设扇形的半径为， 则， 解得：（负值舍去）， 故答案为：3． 18. 已知：表示不超过的最大整数．例：，．现定义：，例：，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出代数式解答即可． 【详解】根据题意可得：， 故答案为 【点睛】此题考查解一元一次不等式，关键是根据题意列出代数式解答． 19. 菱形的边长为6，，菱形的高交对角线于点，则线段的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】由四边形ABCD为菱形，可得AD=6，∠ADC=∠ABC=60°，由BD为对角线，可证BD平分∠ADC，可得∠ADN=∠ADC=30°，可证AM⊥AD，由三角函数可求ND=或即可． 【详解】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AD=6，∠ADC=∠ABC=60°， ∵BD为对角线， ∴BD平分∠ADC， ∴∠ADN=∠CDB=∠ADC=30°， 当AM⊥BC时 ∵AD∥BC， ∴AM⊥AD， 在Rt△AND中，AD=6，∠ADN=30°， ∴AD=ND×cos30°， ∴ND=． 当AM⊥AD时，连结AC， ∵AD=CD，∠ADC=60°， ∴△ADC为等边三角形 ∵AM⊥DC， ∴DM=CM=3 在Rt△MND中，MD=3，∠MDN=30°， ∴MD=ND×cos30°， ∴ND=． 故答案为：或． 【点睛】本题考查菱形的性质，锐角三角函数，掌握菱形的性质，锐角三角函数是解题关键． 20. 如图，在正方形中，边长为的等边三角形的顶点分别在和上，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论是______．（填序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点．熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据等腰三角形的性质以及平角的定义判断②的正误；利用勾股定理求正方形的边长和面积可以判断③和④的正误． 【详解】解：正方形， ，， 等边三角形， ， ， ， ， ， 故结论①正确； ， ， 故结论②正确； ， ， ， 设正方形边长为 在中，， ， 解得或（舍去）， ， 故结论③错误； ， 故结论④正确； 综上所述，正确的结论是①②④， 故答案为：①②④． 三、解答题（共60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，特殊角三角函数值的混合计算，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，再根据特殊角三角函数值的混合计算法则求出x的值，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 22. 正方形网格中(网格中的每个小正方形边长是1)，的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题： （1）作出绕点逆时针旋转的； （2）作出关于原点成中心对称的； （3）在轴上找一点使得最小，则点坐标为 ． 【答案】（1）解：如图，△AB1C1即为所作 （2） 解：即为所作 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查作图----旋转变换，一次函数的图象与性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识 （1）作出的对应点即可； （2）作出的对应点即可； （3）作点C关于x轴在对称点，连接交x轴于点P，求出直线的解析式，求出与的交点坐标即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作点C关于x轴在对称点，连接交x轴于点P，如图， 设直线的解析式为， 把代入得， ， 解得，， 所以，直线的解析式为， 令，得， ∴， 故答案为：． 23. 某初中学校为了解学生放假期间运动锻炼的情况，从本校学生中随机抽取部分学生，调查他们寒假期间一周的运动时长t（单位：小时），将收集到的数据整理分组∶A．，B．，C．，D．，并绘制了两幅不完整的统计图．已知假期每周运动时间不少于3小时为达标． 根据以上信息，解答下列问题． （1）在这次抽样调查中，共调查了多少名学生？ （2）请通过计算将频数直方图补充完整，求出在扇形统计图中C组所对应的圆心角的度数． （3）若全区有12000名初中学生，估计运动时间不达标的初中学生共有多少人？ 【答案】（1）120名 （2） 补全频数直方图如下． （3）9000人 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体是解答本题的关键． （1）用频数分布直方图中B． 的人数除以扇形统计图中B的百分比可得共调查的学生人数． （2）求出C． 的人数，补全频数分布直方图即可；用乘以C的人数所占的百分比，即可得出答案． （3）根据用样本估计总体，用12000乘以A，B，C组的人数所占的百分比之和，即可得出答案． 【小问1详解】 解：（名）． 答：共调查了120名学生． 【小问2详解】 解：C组的人数∶（人）， 图如答案所示， C组所对应的圆心角的度数：． 【小问3详解】 解：， 答：估计运动时间不达标的初中学生共有9000人． 24. 如图，在平行四边形中，，是边上一点，延长交的延长线于点，连接． （1）若，求证：四边形是矩形． （2）在（1）的条件下，，，求的余弦值． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形，延长交的延长线于点， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，则，而，，即可根据“”证明，则，所以四边形是平行四边形，因为，所以四边形是矩形； （2）作于点，因为，，所以，，则，因为，所以，，由，求得，则，求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作于点，则， 四边形是平行四边形，四边形是矩形，，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 的余弦值为． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，证明是解题的关键． 25. 某学校准备为“汉字听写大赛”购买比赛奖品，已知购买A种奖品的单价比购买B种奖品的单价少25元，且用800元购买的A种奖品的数量与用1000元购买的B种奖品的数量相同． （1）求购买A、B两种奖品每件各需多少元． （2）学校计划购买A、B两种奖品共40件，且此次购买奖品的费用不超过4400元．求学校最少购买A种奖品多少件． 【答案】（1）购买A种奖品每件需100元，购买B种奖品每件需125元 （2）24件 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）购买B种奖品每件需x元，则购买A种奖品每件需元，根据用800元购买的A种奖品的数量与用1000元购买的B种奖品的数量相同，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设学校购买A种奖品y件，则购买B种奖品件，根据购买奖品的费用不超过4400元，结合（1）的结论，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设购买B种奖品每件需x元，则购买A种奖品每件需元， 由题意，得： 解得：， 经检验是原分式方程的解，所以， 答：购买A种奖品每件需100元，购买B种奖品每件需125元； 【小问2详解】 解：设学校购买A种奖品y件，则购买B种奖品件， 由题意得：， 解得：， 答：学校最少购买A种奖品24件． 26. 内接于，F为上一点，连接交弦于点D，若． （1）如图1，求证： （2）如图2，连接，若，求证：． （3）在（2）的条件下，延长交于点E，过点F作垂足为N，过点E作垂足为M，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，，如图， ， ， ， ， ， ； （2） 证明：连接，，如图， 在和中， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，，利用圆周角定理解答即可； （2）连接，，利用全等三角形的判定与性质得到，再利用等腰三角形的三线合一的性质解答即可； （3）过点作于，利用垂径定理得到，利用平行线的判定定理和平行线分线段成比例定理，利用等式的性质得到；连接，，，过作于点，利用圆周角定理和全等三角形的判定与性质得到，连接，利用全等三角形的判定与性质求得，；延长交于点，利用勾股定理求得，设，则，利用勾股定理求得值，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作于，如图， ， ， ，，， ， ， ， ． ， 即． 连接，，，过作于点， 由（1）知：， ， ， 是的垂直平分线． ， ， ． 在和中， ， ， ， 连接， 在和中， ， ∴， ． ， ． ，， 延长交于点， 由（2）知：， ， ． ， 设，则， 在中， ， ， ， ． 是的垂直平分线， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的判定与性质，平行线分线段成比例定理，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 27. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线交y轴于点A，交x轴于B、C两点，点B坐标、点C坐标． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是第一象限抛物线上一个动点，设点P的横坐标为t，连接交y轴于点D，设线段的长为d，求d与t的函数解析式；（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，连接，过点D作于点E，点F是线段上一点，连接交x轴于点H，若点P在的垂直平分线上，，求点F的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴于G，由P点横坐标为t，且点P在抛物线上，则，从而求得，，，再证明，得，求得，即可求解． （3）连接，过点E作轴于点K，求得；过点P作交延长线于点L，作轴于点M，证明四边形是正方形 ，得，则，所以；过点O作于点N，交于点Q，连接，得出；过点F作轴于点R，设，则，求得，在直角三角中，，则，求解得m的值，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线 过点、点 ∴把，代入 得 解得 ∴抛物线解析式为 【小问2详解】 解：如图1，过点P作轴于G， ∵P点横坐标为t，且点P在抛物线上， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵轴于G， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∵于点E， ∴， ∴， ∴， 如图2，连接，过点E作轴于点K， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点P作交延长线于点L，作轴于点M， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形 ， ∴， ∴， ∴， 过点O作于点N，交于点Q，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 过点F作轴于点R， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， 在直角三角中， ∴， 解得：，（舍）， ∴． 【点睛】本题考查二次函数图象性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，全等三角开遥判定与性质，正方形、矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，解直角三角形．此题属抛物线与几何综合题目，难度较大，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $