专题04 二元一次方程组应用题分类训练2（销售积分水电费方案年龄5种类型50道）-2025-2026学年七年级数学下册期末复习高频考题专项训练（人教版，重庆专用）

弈泓共享数学 专题04 二元一次方程组应用题分类训练2 （销售积分水电费方案年龄5种类型50道） 目录 【题型1 销售利润】 1 【题型2 比赛积分】 9 【题型3 水费与电费】 19 【题型4 方案问题】 30 【题型5 年龄问题】 39 【题型1 销售利润】 1．淄博有着丰富的历史文化底蕴，蒲松龄故居、稷下学宫遗址等历史遗迹吸引了大量游客前来探访．淄博浓厚的历史文化氛围，使游客每一步都踏在历史的印记上．经销商用6200元一次性购买甲、乙两种纪念品共100件，已知甲、乙两种纪念品的进价和售价如下表： 种类 进价（元/件） 售价（元/件） 甲 50 90 乙 70 100 (1)经销商一次性购进甲，乙两种纪念品各多少件？ (2)经销商全部卖出纪念品，则获得利润是多少元？ 【答案】(1)购进甲种纪念品40件，乙种纪念品60件． (2)获得利润3400元． 【详解】（1）解：(1)设经销商购进甲种纪念品件，购进乙种纪念品件， 根据题意可得 解得 答：经销商购进甲种纪念品件，乙种纪念品件． （2）甲种纪念品每件利润为 (元)， 乙种纪念品每件利润为 (元)， 总利润为 (元) 答：经销商全部卖出纪念品，则获得利润是3400元． 2．智能分拣机器人凭借高效、适应性强、减少错误和优化数据管理等特点，广泛应用于快递、制造、物流仓储及食品行业，显著提升运营效率与成本效益．某物流公司智能分拣中心拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下： A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 2 1 1 3 求两种型号智能机器人的单价． 【答案】A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元 【分析】设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组，计算结果即可． 【详解】解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 根据题意，得， 解得， 答：A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元． 3．2026年4月13至18日，第六届中国国际消费品博览会在海南举办，这是“十五五”开局之年我国重大展会首展，也是海南自贸港全岛封关运作后的首场国家级消费盛会．在海口主会场某展区，小明妈妈购买了2盒A种茶叶和1盒B种保健品，共花费500元；小华妈妈购买3盒A种茶叶和4盒B种保健品，共花费1350元．求每盒A种茶叶和B种保健品各多少元． 【答案】每盒A种茶叶130元，每盒B种保健品240元． 【分析】设每盒A种茶叶元，每盒B种保健品元，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：设每盒A种茶叶元，每盒B种保健品元． 根据题意可得 ， 解得： ， 答：每盒A种茶叶130元，每盒B种保健品240元． 4．问题情境：某水果店3月份购进甲、乙两种水果共花费1600元，其中甲种水果8元/千克，乙种水果10元/千克，全部售完；4月份，这两种水果的进价上调为甲种水果10元/千克，乙种水果13元/千克．该店4月份购进这两种水果的数量与3月份都相同，却多花费440元． 问题解决： (1)问该店4月份分别购进甲、乙两种水果多少千克？ (2)该店4月份甲种水果的售价为14元/千克，乙种水果的售价为18元/千克，在甲种水果出售一半、乙种水果全部售完后，商店决定对甲种水果打折处理，在售完全部水果后，获得的总利润为450元，问剩余甲种水果打几折销售？ 【答案】(1)4月份购进甲种水果100千克、乙种水果80千克 (2)剩余甲种水果打5折销售 【分析】（1）设甲种水果为x千克，乙种水果为y千克，根据题意建立二元一次方程组求解； （2）设剩余甲种水果打m折出售，根据甲种水果的销售额加上乙种水果的销售额等于总成本价加总利润即可建立方程求解． 【详解】（1）解：设甲种水果为x千克，乙种水果为y千克， 由题意可知， 解得， 答：4月份购进甲种水果100千克、乙种水果80千克． （2）解：设剩余甲种水果打m折出售， 由题意得， 解得， 答：剩余甲种水果打5折销售． 5．截至目前，我国有个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录（名册），总数位居世界第一．年月日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”也列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．每逢春节，为了营造喜庆祥和的氛围，很多地方都会挂上红红的灯笼．在春节前夕，某商家购进、两种型号的灯笼共对，共用元．这两种型号的灯笼的进价、售价如表： 型号 进价（元/对） 售价（元/对） (1)求该商家购进、两种型号的灯笼各多少对？ (2)为迎接新春到来，某单位购买、两种型号的灯笼（两种型号都购买）共花费元，请你计算购买、两种型号的灯笼各多少对？并计算此时商家获利多少元？ 【答案】(1)购进种型号的灯笼对，种型号的灯笼对 (2)购买种型号的灯笼对，种型号的灯笼对，此时商家获利元 【分析】（1）先设两种灯笼的数量为未知数，再根据“总对数为”和“总进价为元”列二元一次方程组，解方程组得到结果； （2）根据“总售价”列二元一次方程，再结合“正整数解”的限制条件，通过枚举法求解出购买灯笼的数量，然后计算商家利润． 【详解】（1）解：设商家购进型号的灯笼对，则购进型号的灯笼对， 根据题意可得， 解得， 故购进种型号的灯笼对，种型号的灯笼对． （2）解：设单位购进型号的灯笼对，购进型号的灯笼对， 根据题意可知，，即， 两种型号都买， 、均为正整数， 当，， 当，符合题意， 当，， 当，， 当，， 故购买种型号的灯笼对，种型号的灯笼对， 此时商家获利 元． 6．某校组织综合实践“义卖献爱心”活动，计划从批发市场花3000元购买黑、白两种颜色的文化衫共200件，组织学生手绘设计后出售，并将所获利润全部捐给山区贫困儿童．每种文化衫的批发价及手绘后的零售价如下表： 批发价（元/件） 零售价（元/件） 黑色文化衫 20 40 白色文化衫 10 35 (1)该校购进黑、白两种颜色的文化衫各多少件？ (2)若这批文化衫通过手绘设计后全部售出，求该校这次义卖活动所获的利润． 【答案】(1)该校购进黑色文化衫100件，白色文化衫100件． (2)该校这次义卖活动所获利润为4500元 【分析】（1）设购进黑、白文化衫的数量分别为件和件，根据两种文化衫总件数为200件，总花费为3000元，列出二元一次方程组，解方程组即可得到结果； （2）根据总利润等于每件利润乘对应数量，分别计算两种文化衫的利润再相加即可得到总利润． 【详解】（1）解：设该校购进黑色文化衫件，白色文化衫件， 根据题意得， 解得． 答：该校购进黑色文化衫100件，白色文化衫100件； （2）解：（元）． 答：该校这次义卖活动所获利润为4500元． 7．湖南省足球联赛（简称“湘超”）点燃了球迷的热情，联赛吉祥物“湘湘”和“超超”也深受人们的喜爱．某商店第一次用3600元从批发市场购进“湘湘”挂件和“超超”摆件共100件进行销售．“湘湘”挂件和“超超”摆件的进价和售价如下表所示． 价格 “湘湘”挂件 “超超”摆件 进价/（元/件） 30 40 售价/（元/件） 35 50 (1)该商店第一次购进的“湘湘”挂件、“超超”摆件的数量分别是多少件? (2)该商店第二次以第一次的进价又购进“湘湘”挂件、“超超”摆件两种商品，其中“湘湘”挂件的数量不变，“超超”摆件的数量是第一次购进数量的2倍，“湘湘”挂件按原价销售，“超超”摆件打折销售，第二次两种商品销售完后获得的总利润为800元，求第二次销售时“超超”摆件是按原价打几折销售? 【答案】(1)该商店第一次购进“湘湘”挂件40件，“超超”摆件60件 (2)9折 【分析】（1）设该商店第一次购进“湘湘”挂件件，“超超”摆件件．根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解． （2）设第二次销售时“超超”摆件是按原价打折销售的，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设该商店第一次购进“湘湘”挂件件，“超超”摆件件． 依题意得， 解得 答：该商店第一次购进“湘湘”挂件40件，“超超”摆件60件． （2）解：设第二次销售时“超超”摆件是按原价打折销售的，则 ， 解得， 答：第二次销售时“超超”摆件是按原价打9折销售的． 8．推进科技文化进社区活动，提升社区居民对科技文化的体验感，某社区计划打造科技文化角，准备购买甲、乙两种具有科技文化展示功能的智能收纳桶．已知甲种智能收纳桶专注于科普知识展示，乙种智能收纳桶侧重文化历史呈现，且购买甲种智能收纳桶的单价比购买乙种智能收纳桶的单价少50元．购买4个甲种智能收纳桶和6个乙种智能收纳桶所需费用为2300元． (1)求甲、乙两种智能收纳桶的单价； (2)该社区拟计划订购这两种智能收纳桶共30个，用于丰富科技文化角的展示内容，且总费用为7000元，则社区购买了多少个乙种智能收纳桶？ 【答案】(1)甲种智能收纳桶的单价为元，乙种智能收纳桶的单价为元 (2)社区购买了20个乙种智能收纳桶 【分析】（1）设甲种智能收纳桶的单价为元，乙种智能收纳桶的单价为元，根据购买甲种智能收纳桶的单价比购买乙种智能收纳桶的单价少50元，购买4个甲种智能收纳桶和6个乙种智能收纳桶所需费用为2300元，列出方程组进行求解即可． （2）设购买甲种智能收纳桶个，则购买乙种智能收纳桶个，根据订购这两种智能收纳桶共30个，总费用为7000元，列出方程组进行求解即可. 【详解】（1）解：设甲种智能收纳桶的单价为元，乙种智能收纳桶的单价为元， 由题意得，      解得，     答：甲种智能收纳桶的单价为元，乙种智能收纳桶的单价为元；   （2）解：设购买甲种智能收纳桶个，则购买乙种智能收纳桶个， 由题意得，     解得， 答：社区购买了20个乙种智能收纳桶． 9．六一儿童节前夕，某时装店老板到厂家选购A，B两种品牌的儿童时装，若购进A品牌的时装5套，B品牌的时装6套，需要950元；若购进A品牌的时装3套，B品牌的时装2套，需要450元． (1)求A，B两种品牌的时装每套进价分别是多少元？ (2)如果该时装店老板恰好用4300元购进A，B两种品牌的儿童时装共50件，若A品牌的时装每件的售价为120元，B品牌的时装每件的售价为90元，求时装店销售完这50件时装共盈利多少元？ 【答案】(1)A品牌时装每套进价100元，B品牌时装每套进价75元 (2)860元 【分析】（1）设A品牌每套进价 元，B品牌每套进价 元，由5套A、6套B共950元和3套A、2套B共450元列二元一次方程组求解； （2）设购进A品牌 件、B品牌 件，由总进价4300元列方程求出 ，再用总售价减总进价求盈利． 【详解】（1）解：（1）设A品牌时装每套进价 元，B品牌时装每套进价 元， 由题意，得 , ，解得 ． A品牌每套进价100元，B品牌每套进价75元； （2）解：设购进A品牌 件，则购进B品牌 件， 由题意，得 ， 解得 ． 购进B品牌 件， 总售价 （元）， 总进价 （元）， 盈利 （元）． 时装店销售完这50件时装共盈利860元． 10．宁波杨梅季，本地慈溪杨梅在宁波人的心中是一种家乡的味道．今年是杨梅大年，某杨梅种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的杨梅，对1000斤的杨梅进行打包方式优惠出售，打包方式及售价如下：圆篮每篮8斤，售价160元；方篮每篮18斤，售价270元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤杨梅． (1)若销售a篮圆篮和a篮方篮共收入8600元，求a的值； (2)若这批杨梅全部售完，销售总收入为16760元，请问圆篮共包装了多少篮，方篮共包装了多少篮？ (3)若杨梅大户留下篮圆篮送人，其余的杨梅全部售出，销售总收入同样为16760元求b的值； 【答案】(1)20 (2)圆篮共包装了44篮，则方篮共包装36篮 (3)9或18 【分析】（1）根据题意可知，进而求解即可； （2）设圆篮共包装了x篮，则方篮共包装y篮，由题意易得，进而求解即可； （3）设此时出售了m篮圆篮，n篮方篮杨梅，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得：， 答：a的值为20． （2）解：设圆篮共包装了x篮，则方篮共包装y篮，由题意，得： ， 解得：， 答：圆篮共包装了44篮，则方篮共包装36篮． （3）解：设此时出售了m篮圆篮，n篮方篮杨梅， 则， 解这个关于m和n的方程组， 可得：， ∵n为正整数， ∴，且b应为9的倍数， 解得：． 又∵， ∴b的值为9或18． 答：b的值为9或18． 【题型2 比赛积分】 11．明星队参加“希望杯”篮球比赛，在前8场比赛中的部分积分情况如表： 比赛场次 胜场 负场 积分 m 0 m m 8 3 5 11 (1)求本次比赛中，胜一场和负一场各积多少分？ (2)前8场比赛结束时，某队是否存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况？为什么？ (3)8场比赛以后还剩余m场比赛，当比赛结束时，该队是否存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况？如果存在，求出胜场场次；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)胜一场积2分，负一场积1分 (2)不存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况，理由见解析 (3)存在，胜场次数是 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答，联系实际情况． （1）根据表格中的数据可以列出相应的方程组，从而可以求得胜一场和负一场各积多少分； （2）先判断，然后说明理由，可以用假设存在，求出相应的胜场次数，注意胜场次数必须是整数； （3）首先判断，然后根据题意求出相应的胜场次数，本题得以解决． 【详解】（1）解：设胜一场积分，负一场积分， ，得， 答：胜一场积2分，负一场积1分； （2）解：不存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况， 理由：假设当前8场胜场时，胜场总积分等于它的负场总积分， ， 解得，， 是整数， 不存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况； （3）解：存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况， 设在比赛结束后，胜了场， ， 解得，， 当是正整数且是3的倍数时，胜场总积分等于它的负场总积分，胜场次数是． 12．下表是篮球联赛中比赛积分表的一部分： 球队 比赛场数 胜场 负场 积分 爱国 9 9 0 18 敬业 9 5 4 14 诚信 9 4 5 13 友善 9 2 7 11 (1)胜一场积___________分，负一场积___________分； (2)若某队比赛场数为9场，胜场总积分与负场总积分相等，那么这支球队胜了几场？ 【答案】(1)2；1 (2)这支球队胜了3场 【分析】（1）设胜一场积x分，负一场积y分，根据表格中的数据建立方程组求解即可； （2）设这支球队胜了m场，负了n场，根据一共有9场比赛，且胜场总积分与负场总积分相等建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：设胜一场积x分，负一场积y分， 根据敬业队和诚信队的得分可得， 解得， ∴胜一场积2分，负一场积1分； （2）解：设这支球队胜了m场，负了n场， 由题意得，， ∴， 答：这支球队胜了3场． 13．项目学习：体育比赛计分 某校积极推进“阳光体育”工程，在七、八年级共11个班中开展篮球友谊赛，采取单循环赛（每个班与其他班分别进行一场比赛，每班需进行10场比赛），平局进行加时比赛分出胜负． 下表是两个球队的积分： 队名 胜场 负场 积分 蓝天队 6 4 16 雄鹰队 4 6 14 用方程（组）或不等式完成下列三个任务： 任务一： 根据上表你能知道比赛的计分规则吗？（即胜一场积几分？负一场积几分？） 任务二： 梦想队想让胜场积分与负场积分相同，他们能实现吗？请说明理由． 任务三： 据了解该校上届获得冠军的积分是17分，请你帮雄狮队算一算，在本届比赛中想要超越上届冠军，他们至少要胜多少场？ 【答案】任务一：胜一场积2分，负一场积1分；任务二：不能，见解析；任务三：至少胜8场 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，读懂题意找到关系式是解题的关键． 任务一：设胜一场积x分，负一场积y分，根据表中数据列出二元一次方程组，解方程组即可； 任务二：设梦想队胜了m场，则负了场，根据梦想队想让胜场积分与负场积分相同，列出一元一次方程，解方程，即可得出结论； 任务三：设他们要胜n场，则负场，根据该校上届获得冠军的积分是17分，雄狮队在本届比赛中想要超越上届冠军，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：任务一：设胜一场积分，负一场积分， 依题意，得：， 解得： 答：胜一场积2分，负一场积1分 任务二：不能 理由如下：设胜场，则负场， 依题意，得：， 解得：不是整数，不符合题意． 任务三：设胜场，则负场， 依题意，得． 解得： 因为是整数， 取8， 答：至少胜8场． 14．“十一”国庆节期间，某超市进行积分兑换活动，具体兑换方法见下表： 积分兑换礼品表 兑换礼品 积分 1个电茶壶 7000分 1个保温杯 2000分 1支牙膏 500分 爸爸拿出自己的积分卡，对王华说：“这个积分卡里有8200分，你去给咱家兑换礼品吧．”王华兑换了两种礼品，共10件，还剩下200分．请问她兑换了哪两种礼品，分别多少件？ 【答案】王华兑换了保温杯和牙膏，分别兑换了2个保温杯和8支牙膏 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据王华兑换了10件礼品，得到王华兑换的是保温杯和牙膏，设王华兑换了x个保温杯和y支牙膏，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：因为积分卡里有8200分，要兑换10件礼品，所以不能选择兑换电茶壶． 设王华兑换了x个保温杯和y支牙膏． 依题意，得 解得； 答：王华兑换了保温杯和牙膏，分别兑换了2个保温杯和8支牙膏． 15．下表是某赛季某足球联赛第一阶段小组赛（该小组共四个队，每个队分别与其他三个队进行主客场比赛各一场，即每个队要进行6场比赛）积分表的一部分． 排名 球队 胜场数 平场数 负场数 进球数 主场进球数 客场进球数 积分 1 A ？ ？ 1 13 8 5 13分 2 B 3 2 1 8 3 5 11分 3 C 3 1 2 9 x 5 10分 4 D 0 0 6 1 1 0 0分 备注 积分＝胜场积分＋平场积分＋负场积分 (1)表格中C队的主场进球数x的值为 ； (2)求本次小组赛中胜一场、平一场、负一场各积多少分？ (3)该足球联赛奖金分配方案为：参加第一阶段小组赛6场比赛的每个球队都可以获得参赛奖金1200万元．另外，小组赛中每获胜一场可以获得150万元，平一场可以获得50万元．请根据表格提供的信息，求在第一阶段小组赛结束后，A队一共能获得多少万元的奖金？ 【答案】(1)4 (2)胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分 (3)1850万元 【详解】设胜一场积m分，平一场积n分，根据题意，得   解得 即胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分． （3）设A队胜a场，则平（6－a－1）场，根据题意，得 3a＋（6－a－1）＝13，解得a＝4 ∴A队一共能获奖金：1200＋150×4＋50×1＝1850（万元）． 答：在第一阶段小组赛结束后，A队一共能获得1850万元的奖金 16．“山海好好看，大连真浪漫”．五一劳动节期间，来自全国各地的球迷相聚大连梭鱼湾足球场，再一次刷新中超历史第二上座纪录．下表是截至2025年5月6日，2025赛季中国足球超级联赛部分球队的积分情况． 表21-1中国足球超级联赛积分榜（部分球队） 球队 比赛场数 胜场 平场 负场 积分 成都蓉城 11 8 2 1 26 山东泰山 11 5 2 4 17 天津津门虎 11 4 4 3 16 浙江 11 4 3 4 15 大连英博 11 3 4 4 13 梅州客家 11 3 3 5 12 备注：负1场得0分 小金和小普不仅热爱足球，而且对联赛积分问题产生了浓厚的兴趣．他们提出的问题是：“胜一场，平一场分别积几分？” 小金的思路是：设胜一场积x分，则根据“成都蓉城”胜平场数与积分的关系，用含x的式子表示平一场的积分为_______________，再根据“大连英博”胜平场数与积分的关系，可列一元一次方程为_______________． 小普的思路是：设胜一场积x分，平一场积y分，列二元一次方程组解决此问题． (1)请将小金的思路中的空格处补充完整； (2)请按照小普的思路，选择不同于小金所选球队的数据，求出胜一场，平一场分别积几分？ 【答案】(1)， (2)胜一场积3分，平一场积1分 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，列代数式，二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）“成都蓉城”胜8场，平2场积26分，则平一场的积分为分；“大连英博”胜3场，平4场积13分，则平一场的积分为分；据此建立方程即可； （2）设胜一场积x分，平一场积y分．根据山东泰山和天津津门虎胜平场数与积分的关系建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵“成都蓉城”胜8场，平2场积26分， ∴平一场的积分为分； ∵“大连英博”胜3场，平4场积13分， ∴平一场的积分为分； ∴； （2）解：设胜一场积x分，平一场积y分． 根据题意，列得方程组， 解得， 答：胜一场积3分，平一场积1分． 17．年湘超联赛火爆三湘大地，永州队带着“永冲锋”的倔强精神，以史诗般的征程“一路突围”，最终力克常德队，将湘超首座冠军奖杯高高捧起．在常规赛中，湖南个市州进行单循环积分赛（每两队之间只比赛一场），比赛规则如下：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．月日常规赛结束，部分球队的积分如下表： 队伍 场次 胜 平 负 积分 长沙队 2 0 永州队 3 岳阳队 4 (1)请问在这一次湘超常规赛中一共比了多少场比赛？ (2)求永州队一共胜了多少场？ (3)岳阳的小王由于学习原因，没有了解最新的比赛信息，只知道负4场，他猜测岳阳队的总积分为分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1) (2)6 (3)不可能，理由见解析 【分析】（1）湖南个市州进行单循环积分赛（每两队之间只比赛一场），每个球队比赛场，故共场，但是每次比赛数2遍，所以总场数为场； （2）设永州队胜场，平场，根据永州队比赛了场，得分分，列方程组求解即可； （3）设岳阳队胜场，平场，根据岳阳队比赛了场，得分分，列方程组求解得不是整数，故可求解题目． 【详解】（1）解：湖南个市州进行单循环积分赛（每两队之间只比赛一场）， 共比赛：（场）， 答：这一次湘超常规赛中一共比了场比赛； （2）解：设永州队胜场，平场，根据题意得： 解得， 答：永州队一共胜了6场； （3）解：设岳阳队胜场，平场，根据题意得： 解得， ∵不是整数， 故不可能． 18．列方程或方程组解应用题： 2022年卡塔尔世界杯小组实中，组四个球队之间进行单循环比赛，每个队都要赛3场，本小组一共赛6场，各队胜负场数及得分如下表（不完整）： 球队名称 胜场 平场 负场数 积分 荷兰 0 7 塞内加尔 1 厄瓜多尔 1 1 1 4 卡塔尔 0 0 3 0 注：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分． 根据以上信息，求 (1)荷兰队胜场数、平场数各是多少？ (2)塞内加尔队最后的积分是多少？ 【答案】(1)荷兰队胜场数、平场数各是2场和1场； (2)塞内加尔最后分数为6分． 【分析】（1）设荷兰队胜场数、平场数各是x、y场，根据“每个队都要赛3场”，“荷兰队共得7分”列出方程组，解方程组即可得出结论； （2）由已知以及（1）可知：塞内加尔胜了2场，平0场，计算即可得出结论． 【详解】（1）解：设荷兰队胜场数、平场数各是x、y场， 根据题意得， 解得， 答：荷兰队胜场数、平场数各是2场和1场； （2）解：∵本小组赛6场，每个队都要赛3场， ∴根据表格得，荷兰和厄瓜多尔各平1场，卡塔尔没有平场，可知塞内加尔也没有平场，而已知塞内加尔输了1场，故塞内加尔胜了2场， ∴塞内加尔最后分数为(分)． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 19．列方程或方程组解下列问题． 老师准备讲授“球赛积分表问题”，为了节省课上时间，课前他将一道球赛积分表的例题抄在黑板上，值日生李明不注意擦掉了表格的一部分内容（如图）．王老师随即利用残缺的积分表给出了下面两个问题，试根据表中信息解答下列各题： (1)求这次比赛中胜1场、负1场各积多少分； (2)求这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数． 【答案】(1)胜1场积分2分，负1场积分1分 (2)这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数分别是场，7场． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）理解题意，先设这次比赛中胜1场积分分，负1场积分分，再结合表格前进队，光明队的比赛积分情况，列出方程组，再解得，即可作答． （2）理解题意，先设这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数分别是场，场，再结合表格雄鹰队的比赛积分情况，列出方程组，再解得，即可作答． 【详解】（1）解：设这次比赛中胜1场积分分，负1场积分分， 则根据前进队，光明队的比赛积分情况，得， 解得， 即这次比赛中胜1场积分2分，负1场积分1分， （2）解：设这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数分别是场，场， 依题意，得， 解得， ∴这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数分别是场，7场． 20．小组捆绑式评价是一种通过将学生分成若干小组，并对小组整体表现进行评价和奖励的方法，旨在通过集体荣誉感激发学生的学习积极性和合作精神．某班数学课上采用小组积分制记录同学们参与课堂活动的情况．下表是某堂课上记录的两个组得分情况，其中回答问题一次加2分： 第一组 第二组 回答问题次数 1 2 参与课堂展示次数 7 5 有效质疑次数 2 3 最终分数 35 37 请问数学课上参与一次课堂展示或进行一次有效质疑各加多少分？ 【答案】参与一次课堂展示加3分，进行一次有效质疑加6分 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．本题的关键在于通过建立方程组来解题，需要仔细分析题目的条件，将抽象的活动转化为具体的数学模型，通过代数运算求解未知数．同时解题过程中应注意方程组的建立与解法，以及对解出的未知数是否符合题目中的实际情况进行检验． 【详解】解：设参与一次课堂展示加分为x分，进行一次有效质疑加分为y分， 由题意可得：， 解得：， 答：参与一次课堂展示加3分，进行一次有效质疑加6分． 【题型3 水费与电费】 21．阅读下列材料，回答问题． 水是我们赖以生存的重要资源，水费的高低可以影响到居民的生活开销，进而可以调节每个家庭的用水量．自来水的收费项目是国家相关部门根据每个地区的特殊性给出收费标准．以下为某地区2018年9月1日起居民水费收费标准： 1、自9月1日起，居民用户综合水价由原来的基本价格每立方米a元调整为按三档分阶梯计价加污水处理费．（其中，污水处理费每立方米为1元，每立方米综合水价=每立方米阶梯计价+每立方米污水处理费．） 2、居民第一阶梯户年用水量不超过220立方米(含)，阶梯计价为每立方米a元． 3、第二阶梯户年用水量220—300立方米(含)，超过220立方米未超过300立方米部分阶梯计价为每立方米b元． 4、第三阶梯户年用水量300立方米以上，超过300立方米部分阶梯计价为每立方米7元．阶梯水量以年为计价周期，每月收费，周期之间不累计、不结转．（注：水费=每立方米综合水价×用水量） 以下是小海家2021，2022的用水量和水费如表所示： 年份 用水量（立方米） 水费（元） 2021 226 2022 240 863 (1)请你算一算该地区水费中的“a”和“b”分别是多少？ (2)今年小海妈妈生了一个可爱的小妹妹，估计今年的年用水量为304立方米，请你算一算，小海家今年的水费估计是多少元？ 【答案】(1) (2)小海家今年的水费估计是1174元 【分析】（1）依据第二阶梯收费标准，结合小海家两年的用水量与水费数据，构建关于a，b的方程组，求解后得出a和b的值； （2）根据304立方米的用水量对应的阶梯范围，分三部分计算各阶梯的水费，再求和得到总水费． 【详解】（1）解：由小海家2021年，2022年的用水量和水费可得： ， 解得：； （2） （元） 答：小海家今年的水费估计是1174元． 22．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 超过17吨但不超过30吨的部分 超过30吨的部分 （说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费自来水费用污水处理费） 已知小王家年月用水吨，交水费元．月份用水吨，交水费元． (1)求、的值； (2)如果小王家月份上交水费元，则小王家这个月用水多少吨？ (3)小王家月份忘记了去交水费，当他月去交水费时发现两个月一共用水吨，其中月份用水超过吨，一共交水费元，其中包含元滞纳金，求小王家月份用水多少吨？（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 【答案】(1)， (2)吨 (3)吨 【分析】本题主要考查一元一次方程与二元一次方程组的实际应用，找到等量关系，列出方程，是解题的关键． （1）根据题意，列出关于，的二元一次方程组，即可求解； （2）设小王家这个月用水吨（），根据小王家9月份上交水费元，列出方程，即可求解； （3）设小王家11月份用水吨，分两种情况，①当时，②当时，分别列出方程，即可求解． 【详解】（1）由题意得： 解①，得：， 将代入②，解得：， ． （2）， 设小王家这个月用水吨（），由题意得： ， 解得：， 答：小王家这个月用水吨． （3）设小王家11月份用水吨， 当时，， 解得：； 当时， 解得(舍去)， 答：小王家11月份用水吨． 23．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式计费该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息如下： 每户每月用水量 自来水销售价格 污水处理价格 及以下 a元/ 1.40元/ 超过不超过的部分 b元/ 1.40元/ 超过的部分 6.00元/ 1.40元/ [说明：①每户产生的污水量等于该户的用水量②水费自来水费污水处理费] 已知小王家2025年4月份用水，交水费64元；5月份用水，交水费89元． (1)求a，b的值． (2)随着夏天的到来，用水量将增加，小王计划把6月份水费控制在家庭月收入的．若小王家月收入为11250元，则按计划小王家6月份最多可用水多少立方米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式的知识，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学模型求解． （1）根据表格收费标准，及小王家4、5两月用水量、水费，可得出方程组，解出即可； （2）先判断用水量超过，继而再由水费不超过225，可得出不等式，解出即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 整理得：， 解得：； （2）解：当用水量为时，水费为：元，元， ∵， ∴小王家6月份的用水量超过， 设小王家6月份用水量为， 由题意得：， 解得：， ∴小王家6月份最多用水． 24．为了鼓励市民节约用水，盐城市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是盐城市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息： 用户每月用水量 自来水单价（元/吨） 污水处理费用（元/吨） 17吨及以下 a 超过17吨不超过30吨的部分 b 超过30吨的部分 （说明：①每户产生的污水量等于该户的用水量，②水费自来水费污水处理费） 已知小明家2015年2月份用水20吨，交水费66元；3月份用水35吨，交水费150元． (1)求a、b的值． (2)实行“阶梯水价”收费之后，该市一户居民用水多少吨时，其当月的平均水费为每吨元？ 【答案】(1) (2)该市一户居民用水20吨时，其当月的平均水费为每吨元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用： （1）根据所给的收费标准结合用水20吨，交水费66元；用水35吨，交水费150元，列出方程组求解即可； （2）设居民用水位x吨，根据（1）所求，分三种情况列出对应的方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得； （2）解：设居民用水位x吨， 当时，由题意得，，解得，不符合题意； 当时，由题意得， ，解得； 当时，由题意得，，解得，不符合题意； 综上所述，该市一户居民用水20吨时，其当月的平均水费为每吨元． 25．水是生命之源，“节约用水，人人有责”．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，我市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水及阶梯计费价格表的部分信息（注：水费按月份结算，表示立方米） 每户每月用水量 自来水销售价格（元） 污水处理价格（元） 不超出部分 超出不超出的部分 超出的部分 （注：（1）每户产生的污水量等于该户自来水用水量；（2）水费自来水费用污水处理费用） 已知2023年三月份，小红家用水交水费元，小智家用水交水费元． (1)请你根据以上信息，求表中的值； (2)若小智家四、五月份共用水，其中四月份的用水量低于五月份的用水量，共缴水费元，则小智家四、五月份的用水量各是多少？ 【答案】(1)a，b的值分别为和 (2)小智家四月份的用水量为，五月份的用水量为 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用； （1）根据“2023年三月份，小红家用水，交水费元，小智家用水，交水费元”，再建立方程组解题即可； （2）设小智家四月份的用水量为，则五月份的用水量为，由，可得，即四月份的用水量低于．再分类讨论建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得； 答：a，b的值分别为和； （2）设小智家四月份的用水量为，则五月份的用水量为， ， ，即四月份的用水量低于． ①当时，缴费总量为：， 解得，不合题意，舍去； ②当时，缴费总量为： ， 解得，此时，符合题意； 答：小智家四月份的用水量为，五月份的用水量为． 26．为提倡节约用电，某市居民阶梯电价采用三档分档递增模式，具体标准如下：每户每月用电量不超过220度时，按第一档单价收费；超过220度且不超过400度时，超过的部分按第二档单价计费；超过400度时，超过400度的部分按元/度计费．2025年某月张华家用电250度，缴费124元；李明家用电300度，缴费151元． (1)这个市第一档电费、第二档电费的单价分别是多少？ (2)某用户一个月的电费为元，则该用户这个月的用电量为________度．（直接写出结果，不必说明理由） 【答案】(1)第一档电费的单价为元/度，第二档电费的单价为元/度 (2)410 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程（组）是解题的关键． （1）设第一档电费的单价为元/度，第二档电费的单价为元/度，根据张华家和李明家的用电量和缴费列出方程组，求出的值，即可解答； （2）先计算用电400度时应缴费（元），比较与205的大小得到该用户这个月的用电量超过400度，设该用户这个月的用电量为度，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：设第一档电费的单价为元/度，第二档电费的单价为元/度， 由题意得，， 解得：， 答：第一档电费的单价为元/度，第二档电费的单价为元/度． （2）解：用电400度时应缴费（元）， ∵， ∴该用户这个月的用电量超过400度， 设该用户这个月的用电量为度， 由题意得，， 解得：， ∴该用户这个月的用电量为410度． 故答案为：410． 27．为响应国家节能减排的号召，引导节能低碳行为，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，某市的电费标准（每月）如下表． 已知小明家5月份用电252度，缴纳电费元，6月份用电340度，缴纳电费220元，请你根据以上数据，求出a、b的值． 阶梯 电量x（单位：度） 电费（元/度） 一档 a 二档 b 三档 【答案】a的值为，b的值为 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，根据小明家5月份用电252度，缴纳电费元，6月份用电340度，缴纳电费220元，再建立方程组可得答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 答：a的值为，b的值为． 28．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，即每月用电量在一档的部分按元/度收费，超出一档的部分按b元/度收费，超出二档的部分按元/度收费，具体收费标准如下表所示： 阶梯 电量（单位：度） 电费价格 一档 元度 二档 元度 三档 元度 (1)已知小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． (2)7月份开始用电增多，小明家缴纳电费元，求小明家7月份的用电量． 【答案】(1)a的值为，b的值为 (2)度 【分析】（1）根据“小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设小明家7月份用电量为x度，根据7月份小明家缴纳电费元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：． 答：a的值为，b的值为． （2）解：若一个月用电量为度，电费为（元）， ∵， ∴小明家7月份用电量超过度． 设小明家7月份用电量为x度， 依题意得：， 解得：． 答：小明家7月份的用电量为度． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 29．江西省居民用电采取阶梯电价的方式收费，分档标准如图所示．已知小明家在2023年用电总量为2760千瓦时，交纳电费1686元；小华家在2023年用电总量为3160千瓦时，交纳电费1946元． 分档 年电量水平（千瓦时/户） 第一档 第二档 （含4200） 第三档 (1)求第一档与第二档用电收费标准； (2)若小华家在2024年用电总量为4100千瓦时，求小华家2024年应交纳的电费总额． 【答案】(1)第一档用电收费标准为元/千瓦时，第二档用电收费标准为元/千瓦时 (2)小华家2024年应交纳的电费总额为2557元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设第一档用电收费标准为元/千瓦时，第二档用电收费标准为元千瓦时，由此列二元一次方程组求解即可； （2）根据阶段收费的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：设第一档用电收费标准为元/千瓦时，第二档用电收费标准为元千瓦时， 则， 解得， 答：第一档用电收费标准为0.6元/千瓦时，第二档用电收费标准为0.65元/千瓦时； （2）解：（元）， 答：小华家2024年应交纳的电费总额为2557元． 30．为鼓励居民节约用电，某市对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费，如下表．小明家今年2月份用电330千瓦时，电费为213元，3月份用电240千瓦时，电费为150元．已知小红家今年4，5月份的家庭用电量分别为200千瓦时和490千瓦时，请你依据题目条件，计算小红家4，5月份的电费分别为多少元？ 每户每月用电量 电价/（元/千瓦时） 180千瓦时及以内 x 超过180千瓦时但不超过450千瓦时的部分 y 超过450千瓦时的部分 【答案】小红家4月份的电费为122元，5月份的电费为327元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数混合运算的实际应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． 根据题意列方程组求出，然后根据电费表示方法求解即可． 【详解】解：由题意，得 解得 （元/千瓦时）， 小红家4月份的电费为（元）， 5月份的电费为（元）． 答：小红家4月份的电费为122元，5月份的电费为327元． 【题型4 方案问题】 31．某科研团队为优化人形机器人的动作稳定性，分别采用电机参数调试和动态算法迭代两种技术改进方式． 已知完成2次电机参数调试和3次动态算法迭代，共需要21小时：完成3次电机参数调试和1次动态算法迭代，共需要14小时 (1)求完成1次电机参数调试和1次动态算法迭代各需要多少小时？ (2)若该团队共用24小时完成这两项改进工作，且两种改进方式都至少进行1次，则有几种符合条件的安排方案？ 【答案】(1)完成1次电机参数调试需要3小时，完成1次动态算法迭代需要5小时； (2)只有1种符合条件的安排方案 【分析】（1）设完成1次电机参数调试需要小时，完成1次动态算法迭代需要小时，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可； （2）设完成电机参数调试次，动态算法迭代次，根据题意求得，结合，为正整数即可求解． 【详解】（1）解：设完成1次电机参数调试需要小时，完成1次动态算法迭代需要小时， 根据题意得， 解得， 答：完成1次电机参数调试需要3小时，完成1次动态算法迭代需要5小时； （2）解：设完成电机参数调试次，动态算法迭代次（，为正整数）， 根据题意得，即， 当，，符合题意； 当，，不符合题意； 答：只有1种符合条件的安排方案． 32．【背景素材】 七年级某班为校运动会采购饮品，计划在超市购买甲、乙两种品牌的运动饮料．若购买10瓶甲品牌饮料、15瓶乙品牌饮料，共需花费180元；若购买15瓶甲品牌饮料、10瓶乙品牌饮料，共需花费170元． 【问题解决】为合理制定采购方案，分步探究如下： (1)求甲、乙两种品牌运动饮料的销售单价各是多少元？ (2)班级采购预算为120元，需同时购买甲、乙两种品牌的饮料，且预算恰好全部用完，请问共有哪几种符合条件的购买方案． 【答案】(1)甲品牌饮料每瓶6元，乙品牌饮料每瓶8元 (2)共四种方案，方案一：购买甲品牌的饮料16瓶，乙品牌的饮料3瓶；方案二：购买甲品牌的饮料12瓶，乙品牌的饮料6瓶；方案三：购买甲品牌的饮料8瓶，乙品牌的饮料9瓶；方案四：购买甲品牌的饮料4瓶，乙品牌的饮料12瓶 【分析】（1）设甲品牌饮料每瓶元，乙品牌饮料每瓶元，根据单价数量总价，甲的价格乙的价格花费的价格，列出方程组求解即可； （2）设购买甲品牌的饮料瓶，乙品牌的饮料瓶，列出方程后分类讨论解的情况即可． 【详解】（1）解：设甲品牌饮料每瓶元，乙品牌饮料每瓶元， 则由题意可得， 解得， 答：甲品牌饮料每瓶6元，乙品牌饮料每瓶8元． （2）解：设购买甲品牌的饮料瓶，乙品牌的饮料瓶 则由题意可得， 变形得， ∵为正整数， ∴是3的倍数， 或或或， 答：共四种方案： 方案一：购买甲品牌的饮料16瓶，乙品牌的饮料3瓶； 方案二：购买甲品牌的饮料12瓶，乙品牌的饮料6瓶； 方案三：购买甲品牌的饮料8瓶，乙品牌的饮料9瓶； 方案四：购买甲品牌的饮料4瓶，乙品牌的饮料12瓶． 33．某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车，已知购进2辆A种型号的新能源汽车比购进1辆B种型号的新能源汽车多4万元；购进1辆A种型号和2辆B种型号的新能源汽车共92万元． (1)求A、B这两种型号的新能源汽车每辆的进价； (2)该品牌新能源汽车店购进A，B两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），费用恰好为560万元．请问该品牌新能源汽车店有几种购进方案？并写出所有可行的方案． 【答案】(1)A进价20万元，B进价36万元 (2)3种；A买19辆，B买5辆；A买10辆，B买10辆；A买1辆，B买15辆 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，方案问题（二元一次方程的整数解）． （1）设A种型号的新能源汽车每辆的进价为x万元，B种型号的新能源汽车每辆的进价为y万元，根据题意列方程组，求解即可； （2）设购进A种型号的新能源汽车m辆，购进B种型号的新能源汽车n辆，根据题意列方程，求正整数解，即可得可行方案． 【详解】（1）解：设A种型号的新能源汽车每辆的进价为x万元，B种型号的新能源汽车每辆的进价为y万元，根据题意得 ， 解得， 答：A型号的新能源汽车每辆的进价为20万元，B型号的新能源汽车每辆的进价为36万元． （2）解：设购进A型号新能源汽车m辆，B型号新能源汽车n辆，根据题意得 ，且m，n均为正整数， ∴， ∵m，n均为正整数， ∴，，， ∴共有3种购进方案：方案1为购进A型号19辆和B型号5辆；方案2为购进A型号10辆和B型号10辆；方案3为购进A型号1辆和B型号15辆． 34．某快递公司使用机器人进行包裹分拣．若一台甲机器人工作，一台乙机器人工作，一共可以分拣件包裹；若一台甲机器人工作，一台乙机器人工作，一共可以分拣件包裹． (1)求甲、乙两台机器人每小时各分拣多少件包裹； (2)该快递公司现需要分拣件包裹，同时安排甲、乙机器人分拣小时（甲、乙机器人都需要有），请求出该快递公司这次分拣安排的甲、乙机器人数量的方案． 【答案】(1)甲机器人每小时分拣件包裹，乙机器人每小时分拣件包裹 (2)安排甲机器人台，乙机器人台． 【分析】（1）设甲机器人每小时分拣件包裹，乙机器人每小时分拣件包裹，根据题意列出方程组，求解即可； （2）安排的甲机器人台，乙机器人台，根据题意列出方程，变形得，结合、都是正整数可得，是的倍数，因此，最后写出具体安排方案即可． 【详解】（1）解：设甲机器人每小时分拣件包裹，乙机器人每小时分拣件包裹， 根据题意，可列方程：， 解得， 答：甲机器人每小时分拣300件包裹，乙机器人每小时分拣250件包裹． （2）解：设安排甲机器人台，乙机器人台， 根据题意，可列方程： ， 整理，得， 变形，得， ∵、都是正整数， ∴是的倍数，且， ∴， 当时，． 答：安排甲机器人台，乙机器人台． 35．某班级开展知识竞赛，需要购买A、B两种款式的盲盒作为奖品．若买5盒A款盲盒、15盒B款盲盒，共需130元；若买10盒A款盲盒、10盒B款盲盒，共需140元． (1)求A，B款两种盲盒的单价； (2)若班级刚好用100元购进A、B两种款式的盲盒，有几种购进方案？ 【答案】(1)A款盲盒的单价为8元，B款盲盒的单价为6元 (2)共有4种购进方案 【分析】（1）设A款盲盒每盒为元，B款每盒为元，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可； （2）设购进A款盲盒盒，B款盲盒盒，根据题意得到二元一次方程，据此求解即可． 【详解】（1）解：设A款盲盒每盒为元，B款每盒为元， 答：A款盲盒的单价为8元，B款盲盒的单价为6元； （2）解：设购进A款盲盒盒，B款盲盒盒， ， ， 为正整数， 或或或， 答：共有4种购进方案． 36．2025年，“浙”火出圈，从城市到乡村，从球场到街巷，席卷了整个之江大地．“浙”把浙江各地的文化元素都串联了起来，让其成为外界了解“诗画江南、活力浙江”的鲜活窗口．一张小小的门票，撬动文旅消费走向更广阔的市场，小李买4张A款门票和1张B款门票共计花了110元，小张买5张A款门票和6张B款门票共计花了280元． (1)请你求出A，B两款门票的价格； (2)某校计划组织校篮球队去观摩学习，准备花费360元购买A，B两款门票（两款门票均购买），且门票总数不少于15张，请你列出该校所有可能的购票方案． 【答案】(1)A门票每张20元，B门票每张30元 (2)①购买A门票15张，B门票2张；②购买A门票12张，B门票4张；③购买A门票9张，B门票6张； 【分析】（1）设门票每张元，门票每张元，根据小李买4张A款门票和1张B款门票共计花了110元，小张买5张A款门票和6张B款门票共计花了280元，列出方程组，解方程组即可； （2）设购买门票张，门票张，根据准备花费360元购买A，B两款门票，列出二元一次方程，求方程的正整数解，再根据门票总数不少于15张，舍去不符合题意的解即可． 【详解】（1）解：设门票每张元，门票每张元． 由题意得：， 解得， 答：门票每张20元，门票每张30元． （2）解：设购买门票张，门票张，由题意得： ，     ， ∵都是正整数， 取 ， ∴该校所有可能的购票方案如下：①购买门票15张，门票2张； ②购买门票12张，门票4张； ③购买门票9张，门票6张． 37．甲，乙两公司全体员工为希望小学捐款，甲公司人均捐款120元，乙公司人均捐款110元．如图是甲，乙两公司员工的一段对话． (1)甲，乙两公司各有多少人？ (2)现甲，乙两公司共同使用这笔捐款购买A，B两种套装图书，A种图书元/套，B种图书元/套．若购买B种套装图书不少于20套，并恰好将捐款用完，直接写出所有可能的购买方案（A，B两种图书均需购买） 【答案】(1)甲，乙两公司各有220人，240人 (2)共有2种方案，①A种套装图书购买22套，B种套装图书购买24套；②A种套装图书购买11套，B种套装图书购买36套． 【分析】（1）根据人数和钱数分别列出方程得到方程组，解方程组即可； （2）根据设A种套装图书购买m套，B种套装图书购买n套，根据总钱数得到，求出整数解即可． 【详解】（1）解：设甲公司有人，乙公司有人， 根据已知题意，得， 解得，   答：甲，乙两公司各有220人，240人； （2）解：设A种套装图书购买m套，B种套装图书购买n套， 根据题意，得， 即， 整理得， ∵，且都是整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 答：共有2种方案：①A种套装图书购买22套，B种套装图书购买24套；②A种套装图书购买11套，B种套装图书购买36套． 38．2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武BOT》是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．某快递企业为提高工作效率．拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元． (1)求A、B两种型号智能机器人的单价． (2)现计划用480万元采购A型和B型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 【答案】(1) A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 (2) 共有1种购买方案，为购买A型机器人3台，B型机器人4台 【分析】（1）设、两种型号智能机器人的单价分别为万元，万元，根据题意列出方程组即可得到答案； （2）设购买A型机器人a台，B型机器人b台，根据题意列出二元一次方程，然后结合a、b为正整数求解即可． 【详解】（1）解：设、两种型号智能机器人的单价分别为万元，万元， 由题意得，，解得， 答：型号智能机器人的单价为80万元，型号智能机器人的单价为万元； （2）解：设购买A型机器人a台，B型机器人b台，得：， ∴ ∵a、b为正整数， ∴此方程的解为：， 答：共有1种购买方案，为购买A型机器人3台，B型机器人4台． 39．大荔西瓜生产区域位于关中平原东部，北依镰山，南傍渭水，黄河临东，洛水贯中，是我国唯一具备西瓜生产七项指标的地区，现欲将一批西瓜运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满西瓜一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满西瓜一次可运走11吨，现有西瓜30吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满西瓜． (1)1辆A型车和1辆B型车都载满西瓜一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案． 【答案】(1)1辆A型车载满西瓜一次可运送3吨，1辆B型车载满西瓜一次可运送4吨； (2)该物流公司共有2种租车方案：①租用6辆A型车，3辆B型车；②租用2辆A型车，6辆B型车． 【分析】（1）设1辆A型车载满西瓜一次可运送x吨，1辆B型车载满西瓜一次可运送y吨，用2辆A型车和1辆B型车载满西瓜一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满西瓜一次可运走11吨，据此列出方程组并解方程组即可； （2）计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满西瓜．据此列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设1辆A型车载满西瓜一次可运送x吨，1辆B型车载满西瓜一次可运送y吨， 由题意：， 解得：， 答：1辆A型车载满西瓜一次可运送3吨，1辆B型车载满西瓜一次可运送4吨； （2）由题意得：， 整理得： 又由题意可知，a，b均为正整数， ∴或， ∴该物流公司共有2种租车方案：①租用6辆A型车，3辆B型车；②租用2辆A型车，6辆B型车． 40．2026年城市“绿色通勤”计划落地，某新能源汽车体验中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解：4辆“晨光”型汽车与3辆“清风”型汽车的进货总成本为160万元；3辆“清风”型汽车比4辆“晨光”型汽车的进价少40万元． (1)求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价； (2)该体验中心计划用400万购进这两款汽车，两种汽车均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 【答案】(1)“晨光”型汽车的进货单价是25万元，“清风”型汽车的进货单价是20万元. (2)方案1：购买“晨光”型汽车12辆，“清风”型汽车5辆；方案2：购买“晨光”型汽车8辆，“清风”型汽车10辆；方案3：购买“晨光”型汽车4辆，“清风”型汽车15辆 【分析】（1）设“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元，根据辆“晨光”型汽车与辆“清风”型汽车的进货总成本为万元；辆“清风”型汽车的进价比辆“晨光”型汽车少万元，列二元一次方程组求解即可； （2）设购买“晨光”型汽车m辆，“清风”型汽车n辆，根据两款汽车总花费为400万，列出二元一次方程，求出二元一次方程的整数解即可． 【详解】（1）解：设“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元， 根据题意得：， 解得：， 答：“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元． （2）解：设购买“晨光”型汽车m辆，“清风”型汽车n辆，根据题意得： ， ∵m、n为正整数， ∴或或， 答：共有3种购买方案，方案1：购买“晨光”型汽车12辆，“清风”型汽车5辆；方案2：购买“晨光”型汽车8辆，“清风”型汽车10辆；方案3：购买“晨光”型汽车4辆，“清风”型汽车15辆 【题型5 年龄问题】 41．根据对话内容，请你用方程的知识求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁 【分析】设现在哥哥岁，妹妹岁，根据两个孩子的对话，可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁， 根据题意得 解得： 答：现在哥哥10岁，妹妹6岁 42．小明和小亮比年龄．小明说：“再过4年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过4年，我的年龄就是你现在年龄的2倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄． 【答案】小明现在8岁，小亮现在12岁 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组是解答的关键． 设小明现在的年龄x岁，小亮现在的年龄y岁，根据题意列出方程组，然后解方程组即可解答． 【详解】解：设小明现在的年龄x岁，小亮现在的年龄y岁， 根据题意，得 解得 答：小明现在8岁，小亮现在12岁． 43．在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是岁，岁，岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的时又为奶奶贺米寿小花多少岁时将为奶奶贺白寿？ 【答案】小花岁时将为奶奶贺白寿 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小花为奶奶贺喜寿时小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁，根据“喜寿”、“米寿”、“白寿”代表的年龄和小花与妈妈年龄的关系列出方程组． 【详解】解：设为奶奶贺喜寿时，小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁， 根据题意，列出表格如下： 奶奶的年龄岁 小花的年龄岁 妈妈的年龄岁 相等关系 根据表格得到方程组， 解得， 当为奶奶贺白寿时，小花的年龄为． 故小花岁时将为奶奶贺白寿． 44．某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【答案】今年李老师24岁，该学生13岁 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则根据该学生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可． 【详解】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则 相据该学生和李老师的年龄差不变， 可得 解得 答：今年李老师24岁，该学生13岁． 45．根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 【答案】大头儿子现在的年龄为10岁 【分析】设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，根据题意列出二元一次方程组解得即可． 【详解】解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁， 由题意得：， 解得：， 答：大头儿子现在的年龄为10岁． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组． 46．今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中毕业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁 (2)爸爸是2001年毕业，爷爷是1961年毕业的云附学子 【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可． （2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案． 【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁． ． 解得： 答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁； （2）（年） （年） 小明的爸爸是2001年毕业，爷爷是1961年毕业的云附学子． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键． 47．聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反.同时，他还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7，求聪聪和他妈妈现在的年龄. 【答案】聪聪现在的年龄为14岁，妈妈现在的年龄为41岁. 【分析】设聪聪的年龄为(10x+y)岁，妈妈的年龄为(10y+x)岁，根据“过10年，妈妈岁数减1(岁)刚好是自己岁数加1(岁)的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7”，即可得出关于x，y的二元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】(1)设聪聪的年龄为(10x+y)岁，则妈妈的年龄为(10y+x)岁， 根据题意得： ， 解得： ． 答：聪聪今年14岁，妈妈今年41岁． 【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，解题关键在于设聪聪的年龄为(10x+y)岁. 48．5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？ 【答案】母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁 【分析】设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，然后根据5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁，列出方程组求解即可． 【详解】解：设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，则 解得 答：母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键在于正确理解题意列出方程求解． 49．已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，求甲、乙现在的年龄的差． 【答案】5岁． 【分析】假设甲、乙现在的年龄分别是x岁和y岁，利用年龄差不变可以列出等式构造二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：假设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，由题意可得： 即由此可得：， ∴，即甲比乙大5岁． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用中的年龄问题，理解年龄差不会随年龄的变化而变化是解本题的关键． 50．10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍；10年后，小明妈妈的年龄将是小明的2倍．小明和他妈妈现在的年龄分别是多少？ 【答案】小明和他妈妈现在的年龄分别是15岁和40岁 【分析】根据题意，设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，列二元一次方程组，解方程求解即可 【详解】设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意， 得 解得 答：小明和他妈妈现在的年龄分别是15岁和40岁． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 精选考题才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 弈泓共享数学 专题04 二元一次方程组应用题分类训练2 （销售积分水电费方案年龄5种类型50道） 目录 【题型1 销售利润】 1 【题型2 比赛积分】 4 【题型3 水费与电费】 8 【题型4 方案问题】 12 【题型5 年龄问题】 15 【题型1 销售利润】 1．淄博有着丰富的历史文化底蕴，蒲松龄故居、稷下学宫遗址等历史遗迹吸引了大量游客前来探访．淄博浓厚的历史文化氛围，使游客每一步都踏在历史的印记上．经销商用6200元一次性购买甲、乙两种纪念品共100件，已知甲、乙两种纪念品的进价和售价如下表： 种类 进价（元/件） 售价（元/件） 甲 50 90 乙 70 100 (1)经销商一次性购进甲，乙两种纪念品各多少件？ (2)经销商全部卖出纪念品，则获得利润是多少元？ 2．智能分拣机器人凭借高效、适应性强、减少错误和优化数据管理等特点，广泛应用于快递、制造、物流仓储及食品行业，显著提升运营效率与成本效益．某物流公司智能分拣中心拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下： A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 2 1 1 3 求两种型号智能机器人的单价． 3．2026年4月13至18日，第六届中国国际消费品博览会在海南举办，这是“十五五”开局之年我国重大展会首展，也是海南自贸港全岛封关运作后的首场国家级消费盛会．在海口主会场某展区，小明妈妈购买了2盒A种茶叶和1盒B种保健品，共花费500元；小华妈妈购买3盒A种茶叶和4盒B种保健品，共花费1350元．求每盒A种茶叶和B种保健品各多少元． 4．问题情境：某水果店3月份购进甲、乙两种水果共花费1600元，其中甲种水果8元/千克，乙种水果10元/千克，全部售完；4月份，这两种水果的进价上调为甲种水果10元/千克，乙种水果13元/千克．该店4月份购进这两种水果的数量与3月份都相同，却多花费440元． 问题解决： (1)问该店4月份分别购进甲、乙两种水果多少千克？ (2)该店4月份甲种水果的售价为14元/千克，乙种水果的售价为18元/千克，在甲种水果出售一半、乙种水果全部售完后，商店决定对甲种水果打折处理，在售完全部水果后，获得的总利润为450元，问剩余甲种水果打几折销售？ 5．截至目前，我国有个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录（名册），总数位居世界第一．年月日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”也列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．每逢春节，为了营造喜庆祥和的氛围，很多地方都会挂上红红的灯笼．在春节前夕，某商家购进、两种型号的灯笼共对，共用元．这两种型号的灯笼的进价、售价如表： 型号 进价（元/对） 售价（元/对） (1)求该商家购进、两种型号的灯笼各多少对？ (2)为迎接新春到来，某单位购买、两种型号的灯笼（两种型号都购买）共花费元，请你计算购买、两种型号的灯笼各多少对？并计算此时商家获利多少元？ 6．某校组织综合实践“义卖献爱心”活动，计划从批发市场花3000元购买黑、白两种颜色的文化衫共200件，组织学生手绘设计后出售，并将所获利润全部捐给山区贫困儿童．每种文化衫的批发价及手绘后的零售价如下表： 批发价（元/件） 零售价（元/件） 黑色文化衫 20 40 白色文化衫 10 35 (1)该校购进黑、白两种颜色的文化衫各多少件？ (2)若这批文化衫通过手绘设计后全部售出，求该校这次义卖活动所获的利润． 7．湖南省足球联赛（简称“湘超”）点燃了球迷的热情，联赛吉祥物“湘湘”和“超超”也深受人们的喜爱．某商店第一次用3600元从批发市场购进“湘湘”挂件和“超超”摆件共100件进行销售．“湘湘”挂件和“超超”摆件的进价和售价如下表所示． 价格 “湘湘”挂件 “超超”摆件 进价/（元/件） 30 40 售价/（元/件） 35 50 (1)该商店第一次购进的“湘湘”挂件、“超超”摆件的数量分别是多少件? (2)该商店第二次以第一次的进价又购进“湘湘”挂件、“超超”摆件两种商品，其中“湘湘”挂件的数量不变，“超超”摆件的数量是第一次购进数量的2倍，“湘湘”挂件按原价销售，“超超”摆件打折销售，第二次两种商品销售完后获得的总利润为800元，求第二次销售时“超超”摆件是按原价打几折销售? 8．推进科技文化进社区活动，提升社区居民对科技文化的体验感，某社区计划打造科技文化角，准备购买甲、乙两种具有科技文化展示功能的智能收纳桶．已知甲种智能收纳桶专注于科普知识展示，乙种智能收纳桶侧重文化历史呈现，且购买甲种智能收纳桶的单价比购买乙种智能收纳桶的单价少50元．购买4个甲种智能收纳桶和6个乙种智能收纳桶所需费用为2300元． (1)求甲、乙两种智能收纳桶的单价； (2)该社区拟计划订购这两种智能收纳桶共30个，用于丰富科技文化角的展示内容，且总费用为7000元，则社区购买了多少个乙种智能收纳桶？ 9．六一儿童节前夕，某时装店老板到厂家选购A，B两种品牌的儿童时装，若购进A品牌的时装5套，B品牌的时装6套，需要950元；若购进A品牌的时装3套，B品牌的时装2套，需要450元． (1)求A，B两种品牌的时装每套进价分别是多少元？ (2)如果该时装店老板恰好用4300元购进A，B两种品牌的儿童时装共50件，若A品牌的时装每件的售价为120元，B品牌的时装每件的售价为90元，求时装店销售完这50件时装共盈利多少元？ 10．宁波杨梅季，本地慈溪杨梅在宁波人的心中是一种家乡的味道．今年是杨梅大年，某杨梅种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的杨梅，对1000斤的杨梅进行打包方式优惠出售，打包方式及售价如下：圆篮每篮8斤，售价160元；方篮每篮18斤，售价270元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤杨梅． (1)若销售a篮圆篮和a篮方篮共收入8600元，求a的值； (2)若这批杨梅全部售完，销售总收入为16760元，请问圆篮共包装了多少篮，方篮共包装了多少篮？ (3)若杨梅大户留下篮圆篮送人，其余的杨梅全部售出，销售总收入同样为16760元求b的值； 【题型2 比赛积分】 11．明星队参加“希望杯”篮球比赛，在前8场比赛中的部分积分情况如表： 比赛场次 胜场 负场 积分 m 0 m m 8 3 5 11 (1)求本次比赛中，胜一场和负一场各积多少分？ (2)前8场比赛结束时，某队是否存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况？为什么？ (3)8场比赛以后还剩余m场比赛，当比赛结束时，该队是否存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况？如果存在，求出胜场场次；如果不存在，请说明理由． 12．下表是篮球联赛中比赛积分表的一部分： 球队 比赛场数 胜场 负场 积分 爱国 9 9 0 18 敬业 9 5 4 14 诚信 9 4 5 13 友善 9 2 7 11 (1)胜一场积___________分，负一场积___________分； (2)若某队比赛场数为9场，胜场总积分与负场总积分相等，那么这支球队胜了几场？ 13．项目学习：体育比赛计分 某校积极推进“阳光体育”工程，在七、八年级共11个班中开展篮球友谊赛，采取单循环赛（每个班与其他班分别进行一场比赛，每班需进行10场比赛），平局进行加时比赛分出胜负． 下表是两个球队的积分： 队名 胜场 负场 积分 蓝天队 6 4 16 雄鹰队 4 6 14 用方程（组）或不等式完成下列三个任务： 任务一： 根据上表你能知道比赛的计分规则吗？（即胜一场积几分？负一场积几分？） 任务二： 梦想队想让胜场积分与负场积分相同，他们能实现吗？请说明理由． 任务三： 据了解该校上届获得冠军的积分是17分，请你帮雄狮队算一算，在本届比赛中想要超越上届冠军，他们至少要胜多少场？ 14．“十一”国庆节期间，某超市进行积分兑换活动，具体兑换方法见下表： 积分兑换礼品表 兑换礼品 积分 1个电茶壶 7000分 1个保温杯 2000分 1支牙膏 500分 爸爸拿出自己的积分卡，对王华说：“这个积分卡里有8200分，你去给咱家兑换礼品吧．”王华兑换了两种礼品，共10件，还剩下200分．请问她兑换了哪两种礼品，分别多少件？ 15．下表是某赛季某足球联赛第一阶段小组赛（该小组共四个队，每个队分别与其他三个队进行主客场比赛各一场，即每个队要进行6场比赛）积分表的一部分． 排名 球队 胜场数 平场数 负场数 进球数 主场进球数 客场进球数 积分 1 A ？ ？ 1 13 8 5 13分 2 B 3 2 1 8 3 5 11分 3 C 3 1 2 9 x 5 10分 4 D 0 0 6 1 1 0 0分 备注 积分＝胜场积分＋平场积分＋负场积分 (1)表格中C队的主场进球数x的值为 ； (2)求本次小组赛中胜一场、平一场、负一场各积多少分？ (3)该足球联赛奖金分配方案为：参加第一阶段小组赛6场比赛的每个球队都可以获得参赛奖金1200万元．另外，小组赛中每获胜一场可以获得150万元，平一场可以获得50万元．请根据表格提供的信息，求在第一阶段小组赛结束后，A队一共能获得多少万元的奖金？ 16．“山海好好看，大连真浪漫”．五一劳动节期间，来自全国各地的球迷相聚大连梭鱼湾足球场，再一次刷新中超历史第二上座纪录．下表是截至2025年5月6日，2025赛季中国足球超级联赛部分球队的积分情况． 表21-1中国足球超级联赛积分榜（部分球队） 球队 比赛场数 胜场 平场 负场 积分 成都蓉城 11 8 2 1 26 山东泰山 11 5 2 4 17 天津津门虎 11 4 4 3 16 浙江 11 4 3 4 15 大连英博 11 3 4 4 13 梅州客家 11 3 3 5 12 备注：负1场得0分 小金和小普不仅热爱足球，而且对联赛积分问题产生了浓厚的兴趣．他们提出的问题是：“胜一场，平一场分别积几分？” 小金的思路是：设胜一场积x分，则根据“成都蓉城”胜平场数与积分的关系，用含x的式子表示平一场的积分为_______________，再根据“大连英博”胜平场数与积分的关系，可列一元一次方程为_______________． 小普的思路是：设胜一场积x分，平一场积y分，列二元一次方程组解决此问题． (1)请将小金的思路中的空格处补充完整； (2)请按照小普的思路，选择不同于小金所选球队的数据，求出胜一场，平一场分别积几分？ 17．年湘超联赛火爆三湘大地，永州队带着“永冲锋”的倔强精神，以史诗般的征程“一路突围”，最终力克常德队，将湘超首座冠军奖杯高高捧起．在常规赛中，湖南个市州进行单循环积分赛（每两队之间只比赛一场），比赛规则如下：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．月日常规赛结束，部分球队的积分如下表： 队伍 场次 胜 平 负 积分 长沙队 2 0 永州队 3 岳阳队 4 (1)请问在这一次湘超常规赛中一共比了多少场比赛？ (2)求永州队一共胜了多少场？ (3)岳阳的小王由于学习原因，没有了解最新的比赛信息，只知道负4场，他猜测岳阳队的总积分为分，你认为可能吗？为什么？ 18．列方程或方程组解应用题： 2022年卡塔尔世界杯小组实中，组四个球队之间进行单循环比赛，每个队都要赛3场，本小组一共赛6场，各队胜负场数及得分如下表（不完整）： 球队名称 胜场 平场 负场数 积分 荷兰 0 7 塞内加尔 1 厄瓜多尔 1 1 1 4 卡塔尔 0 0 3 0 注：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分． 根据以上信息，求 (1)荷兰队胜场数、平场数各是多少？ (2)塞内加尔队最后的积分是多少？ 19．列方程或方程组解下列问题． 老师准备讲授“球赛积分表问题”，为了节省课上时间，课前他将一道球赛积分表的例题抄在黑板上，值日生李明不注意擦掉了表格的一部分内容（如图）．王老师随即利用残缺的积分表给出了下面两个问题，试根据表中信息解答下列各题： (1)求这次比赛中胜1场、负1场各积多少分； (2)求这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数． 20．小组捆绑式评价是一种通过将学生分成若干小组，并对小组整体表现进行评价和奖励的方法，旨在通过集体荣誉感激发学生的学习积极性和合作精神．某班数学课上采用小组积分制记录同学们参与课堂活动的情况．下表是某堂课上记录的两个组得分情况，其中回答问题一次加2分： 第一组 第二组 回答问题次数 1 2 参与课堂展示次数 7 5 有效质疑次数 2 3 最终分数 35 37 请问数学课上参与一次课堂展示或进行一次有效质疑各加多少分？ 【题型3 水费与电费】 21．阅读下列材料，回答问题． 水是我们赖以生存的重要资源，水费的高低可以影响到居民的生活开销，进而可以调节每个家庭的用水量．自来水的收费项目是国家相关部门根据每个地区的特殊性给出收费标准．以下为某地区2018年9月1日起居民水费收费标准： 1、自9月1日起，居民用户综合水价由原来的基本价格每立方米a元调整为按三档分阶梯计价加污水处理费．（其中，污水处理费每立方米为1元，每立方米综合水价=每立方米阶梯计价+每立方米污水处理费．） 2、居民第一阶梯户年用水量不超过220立方米(含)，阶梯计价为每立方米a元． 3、第二阶梯户年用水量220—300立方米(含)，超过220立方米未超过300立方米部分阶梯计价为每立方米b元． 4、第三阶梯户年用水量300立方米以上，超过300立方米部分阶梯计价为每立方米7元．阶梯水量以年为计价周期，每月收费，周期之间不累计、不结转．（注：水费=每立方米综合水价×用水量） 以下是小海家2021，2022的用水量和水费如表所示： 年份 用水量（立方米） 水费（元） 2021 226 2022 240 863 (1)请你算一算该地区水费中的“a”和“b”分别是多少？ (2)今年小海妈妈生了一个可爱的小妹妹，估计今年的年用水量为304立方米，请你算一算，小海家今年的水费估计是多少元？ 22．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 超过17吨但不超过30吨的部分 超过30吨的部分 （说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费自来水费用污水处理费） 已知小王家年月用水吨，交水费元．月份用水吨，交水费元． (1)求、的值； (2)如果小王家月份上交水费元，则小王家这个月用水多少吨？ (3)小王家月份忘记了去交水费，当他月去交水费时发现两个月一共用水吨，其中月份用水超过吨，一共交水费元，其中包含元滞纳金，求小王家月份用水多少吨？（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 23．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式计费该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息如下： 每户每月用水量 自来水销售价格 污水处理价格 及以下 a元/ 1.40元/ 超过不超过的部分 b元/ 1.40元/ 超过的部分 6.00元/ 1.40元/ [说明：①每户产生的污水量等于该户的用水量②水费自来水费污水处理费] 已知小王家2025年4月份用水，交水费64元；5月份用水，交水费89元． (1)求a，b的值． (2)随着夏天的到来，用水量将增加，小王计划把6月份水费控制在家庭月收入的．若小王家月收入为11250元，则按计划小王家6月份最多可用水多少立方米？ 24．为了鼓励市民节约用水，盐城市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是盐城市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息： 用户每月用水量 自来水单价（元/吨） 污水处理费用（元/吨） 17吨及以下 a 超过17吨不超过30吨的部分 b 超过30吨的部分 （说明：①每户产生的污水量等于该户的用水量，②水费自来水费污水处理费） 已知小明家2015年2月份用水20吨，交水费66元；3月份用水35吨，交水费150元． (1)求a、b的值． (2)实行“阶梯水价”收费之后，该市一户居民用水多少吨时，其当月的平均水费为每吨元？ 25．水是生命之源，“节约用水，人人有责”．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，我市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水及阶梯计费价格表的部分信息（注：水费按月份结算，表示立方米） 每户每月用水量 自来水销售价格（元） 污水处理价格（元） 不超出部分 超出不超出的部分 超出的部分 （注：（1）每户产生的污水量等于该户自来水用水量；（2）水费自来水费用污水处理费用） 已知2023年三月份，小红家用水交水费元，小智家用水交水费元． (1)请你根据以上信息，求表中的值； (2)若小智家四、五月份共用水，其中四月份的用水量低于五月份的用水量，共缴水费元，则小智家四、五月份的用水量各是多少？ 26．为提倡节约用电，某市居民阶梯电价采用三档分档递增模式，具体标准如下：每户每月用电量不超过220度时，按第一档单价收费；超过220度且不超过400度时，超过的部分按第二档单价计费；超过400度时，超过400度的部分按元/度计费．2025年某月张华家用电250度，缴费124元；李明家用电300度，缴费151元． (1)这个市第一档电费、第二档电费的单价分别是多少？ (2)某用户一个月的电费为元，则该用户这个月的用电量为________度．（直接写出结果，不必说明理由） 27．为响应国家节能减排的号召，引导节能低碳行为，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，某市的电费标准（每月）如下表． 已知小明家5月份用电252度，缴纳电费元，6月份用电340度，缴纳电费220元，请你根据以上数据，求出a、b的值． 阶梯 电量x（单位：度） 电费（元/度） 一档 a 二档 b 三档 28．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，即每月用电量在一档的部分按元/度收费，超出一档的部分按b元/度收费，超出二档的部分按元/度收费，具体收费标准如下表所示： 阶梯 电量（单位：度） 电费价格 一档 元度 二档 元度 三档 元度 (1)已知小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． (2)7月份开始用电增多，小明家缴纳电费元，求小明家7月份的用电量． 29．江西省居民用电采取阶梯电价的方式收费，分档标准如图所示．已知小明家在2023年用电总量为2760千瓦时，交纳电费1686元；小华家在2023年用电总量为3160千瓦时，交纳电费1946元． 分档 年电量水平（千瓦时/户） 第一档 第二档 （含4200） 第三档 (1)求第一档与第二档用电收费标准； (2)若小华家在2024年用电总量为4100千瓦时，求小华家2024年应交纳的电费总额． 30．为鼓励居民节约用电，某市对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费，如下表．小明家今年2月份用电330千瓦时，电费为213元，3月份用电240千瓦时，电费为150元．已知小红家今年4，5月份的家庭用电量分别为200千瓦时和490千瓦时，请你依据题目条件，计算小红家4，5月份的电费分别为多少元？ 每户每月用电量 电价/（元/千瓦时） 180千瓦时及以内 x 超过180千瓦时但不超过450千瓦时的部分 y 超过450千瓦时的部分 【题型4 方案问题】 31．某科研团队为优化人形机器人的动作稳定性，分别采用电机参数调试和动态算法迭代两种技术改进方式． 已知完成2次电机参数调试和3次动态算法迭代，共需要21小时：完成3次电机参数调试和1次动态算法迭代，共需要14小时 (1)求完成1次电机参数调试和1次动态算法迭代各需要多少小时？ (2)若该团队共用24小时完成这两项改进工作，且两种改进方式都至少进行1次，则有几种符合条件的安排方案？ 32．【背景素材】 七年级某班为校运动会采购饮品，计划在超市购买甲、乙两种品牌的运动饮料．若购买10瓶甲品牌饮料、15瓶乙品牌饮料，共需花费180元；若购买15瓶甲品牌饮料、10瓶乙品牌饮料，共需花费170元． 【问题解决】为合理制定采购方案，分步探究如下： (1)求甲、乙两种品牌运动饮料的销售单价各是多少元？ (2)班级采购预算为120元，需同时购买甲、乙两种品牌的饮料，且预算恰好全部用完，请问共有哪几种符合条件的购买方案． 33．某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车，已知购进2辆A种型号的新能源汽车比购进1辆B种型号的新能源汽车多4万元；购进1辆A种型号和2辆B种型号的新能源汽车共92万元． (1)求A、B这两种型号的新能源汽车每辆的进价； (2)该品牌新能源汽车店购进A，B两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），费用恰好为560万元．请问该品牌新能源汽车店有几种购进方案？并写出所有可行的方案． 34．某快递公司使用机器人进行包裹分拣．若一台甲机器人工作，一台乙机器人工作，一共可以分拣件包裹；若一台甲机器人工作，一台乙机器人工作，一共可以分拣件包裹． (1)求甲、乙两台机器人每小时各分拣多少件包裹； (2)该快递公司现需要分拣件包裹，同时安排甲、乙机器人分拣小时（甲、乙机器人都需要有），请求出该快递公司这次分拣安排的甲、乙机器人数量的方案． 35．某班级开展知识竞赛，需要购买A、B两种款式的盲盒作为奖品．若买5盒A款盲盒、15盒B款盲盒，共需130元；若买10盒A款盲盒、10盒B款盲盒，共需140元． (1)求A，B款两种盲盒的单价； (2)若班级刚好用100元购进A、B两种款式的盲盒，有几种购进方案？ 36．2025年，“浙”火出圈，从城市到乡村，从球场到街巷，席卷了整个之江大地．“浙”把浙江各地的文化元素都串联了起来，让其成为外界了解“诗画江南、活力浙江”的鲜活窗口．一张小小的门票，撬动文旅消费走向更广阔的市场，小李买4张A款门票和1张B款门票共计花了110元，小张买5张A款门票和6张B款门票共计花了280元． (1)请你求出A，B两款门票的价格； (2)某校计划组织校篮球队去观摩学习，准备花费360元购买A，B两款门票（两款门票均购买），且门票总数不少于15张，请你列出该校所有可能的购票方案． 37．甲，乙两公司全体员工为希望小学捐款，甲公司人均捐款120元，乙公司人均捐款110元．如图是甲，乙两公司员工的一段对话． (1)甲，乙两公司各有多少人？ (2)现甲，乙两公司共同使用这笔捐款购买A，B两种套装图书，A种图书元/套，B种图书元/套．若购买B种套装图书不少于20套，并恰好将捐款用完，直接写出所有可能的购买方案（A，B两种图书均需购买） 38．2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武BOT》是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．某快递企业为提高工作效率．拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元． (1)求A、B两种型号智能机器人的单价． (2)现计划用480万元采购A型和B型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 39．大荔西瓜生产区域位于关中平原东部，北依镰山，南傍渭水，黄河临东，洛水贯中，是我国唯一具备西瓜生产七项指标的地区，现欲将一批西瓜运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满西瓜一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满西瓜一次可运走11吨，现有西瓜30吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满西瓜． (1)1辆A型车和1辆B型车都载满西瓜一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案． 40．2026年城市“绿色通勤”计划落地，某新能源汽车体验中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解：4辆“晨光”型汽车与3辆“清风”型汽车的进货总成本为160万元；3辆“清风”型汽车比4辆“晨光”型汽车的进价少40万元． (1)求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价； (2)该体验中心计划用400万购进这两款汽车，两种汽车均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 【题型5 年龄问题】 41．根据对话内容，请你用方程的知识求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 42．小明和小亮比年龄．小明说：“再过4年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过4年，我的年龄就是你现在年龄的2倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄． 43．在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是岁，岁，岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的时又为奶奶贺米寿小花多少岁时将为奶奶贺白寿？ 奶奶的年龄岁 小花的年龄岁 妈妈的年龄岁 相等关系 44．某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 45．根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 46．今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中毕业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 47．聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反.同时，他还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7，求聪聪和他妈妈现在的年龄. 48．5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？ 49．已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，求甲、乙现在的年龄的差． 50．10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍；10年后，小明妈妈的年龄将是小明的2倍．小明和他妈妈现在的年龄分别是多少？ 精选考题才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $