专题2.2二元一次方程组的应用及三元一次方程组及其解法复习讲义（复习重点+核心题型+巩固提升）-2025-2026学年浙教版数学七年级下学期.

专题2.2二元一次方程组的应用及三元一次方程组及其解法复习讲义（浙教版新教材） 高效复习◆重点 掌握二元、三元一次方程组的定义、解的概念，熟练运用代入、加减消元法求解方程组，理解“逐步消元、化繁为简”的核心思想。 熟练求解二元、三元一次方程组，规范解题步骤，规避符号、运算、回代等常见计算错误。 掌握二元一次方程组六大必考实际模型、三元一次方程组三类典型应用场景，能精准提取等量关系、列方程解题。 建立数学建模思维，能将实际生活问题转化为方程组数学模型，提升分析问题、解决问题的综合能力。 核心题型◆归纳 题型1根据几何图形列二元一次方程组 题型2根据实际问题列二元一次方程组 题型3分配问题 题型4图表信息题 题型5行程问题 题型6工程问题 题型7几何问题 题型8方案问题 题型9数字问题 题型10年龄问题 题型11销售、利润问题 题型12和差倍分问题 题型13古代问题 题型14其他问题 题型15三元一次方程组的定义及解 题型16三元一次方程组的应用 重点知识◆梳理 知识点一、二元一次方程组的应用 解题思路： 实际问题抽象建模，设两个未知数→找两个等量关系→列二元一次方程组→求解→检验作答。 知识点二、二元一次方程组解题步骤 1.审：读懂题意，梳理已知量、未知量； 2.设：设两个关键未知量（直接设/间接设）； 3.列：找准两组独立等量关系，列方程组； 4.解：用代入消元/加减消元法求解； 5.验：检验解是否符合实际意义（正数、整数、取值范围）； 6.答：规范写出完整答案。 知识点三、八大常考题型+核心等量关系 1.和差倍分问题 大数+小数=和 大数−小数=差 2.行程问题 相遇：路程和＝总路程 追及：路程差＝初始距离 航行：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速−水速 3.工程问题 工作总量=工作效率×工作时间，常设总量为1 4.销售利润问题 售价=标价×折扣；利润=售价−进价；总利润=单件利润×销量 5.配套问题 按配套比例列等量（如1个甲配2个乙，甲数量:乙数量=1:2） 6.浓度配比问题 溶质质量=溶液质量×浓度；混合前后溶质总量不变 7.数字问题 两位数：十位数字×10 + 个位数字 8.方案选择问题 列方程组求出临界值，再分类讨论最优方案 知识点四、三元一次方程（组） 1.定义： 三元一次方程：含有三个未知数，且含未知数的项次数均为1的整式方程。 三元一次方程组：由三个一次方程组成，含三个相同未知数的方程组。 方程组的解：同时满足所有方程的一组未知数的值。 核心思想：消元降元：三元一次方程组→二元一次方程组→一元一次方程。 2.解法步骤 选元消元：选定要消去的未知数，通过代入消元法/加减消元法，将三元方程组转化为二元方程组； 解二元方程组：求出两个未知数的值； 回代求解：将结果代入原方程，求出第三个未知数； 写出解：规范写出方程组的解。 3.实际应用 适用条件：题目含三个未知量，能找到三个独立等量关系； 解题步骤：审题→设三个未知数→列三元一次方程组→消元求解→**检验（符合实际意义）**→作答； 常见题型：数字问题、配套问题、行程问题、价格利润问题、分配问题等。 题型解析◆精准备考 题型1根据几何图形列二元一次方程组 1．如图，在大长方形中不重叠地放入七个长、宽都相同的小长方形，根据图中给出的数据，可得出阴影部分面积为（   ） A．48 B．52 C．58 D．6 【答案】B 【分析】设小长方形的长为a，宽为b，观察图形，根据各边之间的关系，可得出关于a，b的二元一次方程组，解之可求出a，b的值，再利用阴影部分的面积等于大长方形的面积减去7个小长方形的面积求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为a，宽为b， 根据题意得：， 解得：， ∴阴影部分面积为． 2．如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为正六边形．已知黑皮和白皮共有32块，每块黑皮周围有5块白皮，每块白皮周围有3块黑皮．若缝制这样一个足球需要白皮块，黑皮块，由题意可列方程组为______． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，缝制这样一个足球需要白皮块，黑皮块，结合黑皮和白皮共有32块，每块黑皮周围有5块白皮，每块白皮周围有3块黑皮，再建立方程组解题即可． 【详解】解：设缝制这样一个足球需要白皮块，黑皮块， 由题意得． 故答案为：． 3．如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形． (1)若，分别求S1，S2的面积； (2)若将图1的阴影部分沿虚线剪开，重新拼成图2的长方形，且长为，宽为，求S1∶S2的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组以及列代数式求值，正确表示出阴影部分的面积是解题关键． （1）根据、即可求解； （2）由题意得，求出即可． 【详解】（1）解：由题意得：， （2）解：由题意得：， ∴ 由（1）得， ∴ 题型2根据实际问题列二元一次方程组 1．某学校开展“书香校园”活动，需制作读书宣传展板．已知制作块型展板和块型展板共需元，制作块型展板和块型展板共需元．设型展板单价为元，型展板单价为元，下列方程组正确的是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，只需提取题干中的两个等量关系，分别列出方程组成方程组，即可得到正确结果． 【详解】解设型展板单价为元，型展板单价为元， ∵块型展板和块型展板共需元， ∴； ∵块型展板和块型展板共需元， ∴； ∴方程组． 2．第一小组的同学分铅笔若干支，若每人各得6支，则还剩4支；若有1人只得1支，则其余每人恰好各得7支．设第一小组有人，铅笔有支，依题意可列方程组为__________． 【答案】 【分析】根据题意，找出两个对应总铅笔数的等量关系，即可列出二元一次方程组． 【详解】解：由“若每人各得支，则还剩支”可得： ，即； 由“若有人支得支，则其余每人恰好各得支”可得： ，即， 联立得方程组． 3．某校420名师生利用春假到皖南进行两天研学活动，客车公司有两种车型可以供选择： 车型 座位数（个/辆） 租金（元/天） 甲种 30 360 乙种 50 400 经计算，学校计划租用10辆客车，满足每辆车正好坐满，且每人都有座位，问学校需向客车公司支付多少元？ 【答案】7680元 【详解】解：设学校租用甲种客车辆，乙种客车辆，由题意得， ， 解得． （元）． 学校需要支付的费用为7680元． 题型3分配问题 1．某工厂生产大型汽油桶，汽油桶由两个圆形铁片和一个长方形铁片构成现工厂共有名工人，其中每名工人每天可制作圆形铁片个或长方形铁片个为了使每天生产的铁片数量刚好配套成油桶，应如何安排工人进行生产？设安排人制作圆形铁片，人制作长方形铁片，可列方程组为（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据两个等量关系列方程组，一是总工人人数为42，二是配套时2个圆形铁片配1个长方形铁片，即圆形铁片总数量是长方形铁片总数量的2倍，据此整理得到方程组． 【详解】∵安排x人制作圆形铁片，y人制作长方形铁片，总共有42名工人， ∴， ∵每个油桶需要2个圆形铁片和1个长方形铁片，刚好配套时，圆形铁片总数量是长方形铁片总数量的2倍， 又∵x人每天生产圆形铁片共个，y人每天生产长方形铁片共个， ∴， 等式两边同时除以2，整理得， ∴可得方程组． 2．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身15个或盒底25个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有110张白铁皮，用______张制盒身可以正好制成整套罐头盒． 【答案】50 【分析】本题以配套问题为背景考查了二元一次方程组的应用，解本题的关键是根据一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒列出方程组． 设用x张铁皮制盒身，用y张铁皮制盒底，根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设用x张铁皮制盒身，用y张铁皮制盒底， 依题意得， 解得． 所以用50张制盒身可以正好制成整套罐头盒． 故答案为：50． 3．某玩具厂共有名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架个或车轮个，如果个车架与个车轮配成一套，那么每天安排多少名工人生产车架，多少名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套？（利用二元一次方程组求解） 【答案】每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套 【分析】设每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮，根据题意列出方程组解答即可求解． 【详解】解：设每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮， 由题意得，， 解得， 答：每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套． 题型4图表信息题 1．在一个的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等；得到的的方格称为一个三阶幻方，如图，方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则（    ） 8 2 A． B．10 C．5 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据每行每列每条对角线上的三个数之和相等，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴， 故选：C． 2．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数，每一列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为_________． 【答案】 【分析】通过已知完整的对角线求出 “幻和”（即每行、每列、对角线的和），利用列或行的和建立方程，依次求出未知数和的值，最后计算． 【详解】解：从右上角到左下角的对角线上的三个数分别为、、， ， 第一列三个数分别为、、， ， 解得：， 从左上角到右下角的对角线上的三个数分别为、、， ， 解得：， ． 3．郴州市某景区的门票其票价如下： 购票人数 1~49人 50~100人 100人以上 每人门票价 130元 110元 90元 今有甲乙两个旅游团均超过40人，且甲团人数少于乙团人数，两个团合在一起购票，总计支付门票费10080元． (1)这两个旅游团共有多少人？ (2)若两旅游团分别购票，总计应付门票费13140元，请问甲，乙两个旅游团各有多少人？ 【答案】(1)这两个旅游团共有112人 (2)甲旅游团有41人，乙旅游团有71人 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程和方程组，注意分情况讨论． （1）设这两个旅游团共有m人，分和两种情况，列出关于m的一元一次方程，解之取其正整数即可得出结论； （2）设甲旅游团有x人，乙旅游团有y人，分和两种情况，列出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设这两个旅游团共有m人， 当时，有， 解得：（不为整数，舍去）； 当时，有， 解得：， 答：这两个旅游团共有112人； （2）解：设甲旅游团有x人，乙旅游团有y人， 当时，有， 方程组无解； 当时，有， 解得：． 答：甲旅游团有41人，乙旅游团有71人． 题型5行程问题 1．甲、乙二人分别从相距的，两地出发，相向而行．如图是小华绘制的甲、乙二人运动两次的情形，设甲的速度是，乙的速度是，根据题意所列的方程组正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据路程速度时间结合两次运动的情形，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设甲的速度是，乙的速度是， 根据题意所列的方程组为：， 故选：D． 2．甲、乙二人分别从相距的A，B两地出发，相向而行，如果甲比乙早出发，那么乙出发后，他们相遇；如果他们同时出发，那么后，两人相距，则甲由A地到B地需要______． 【答案】 2 【分析】先根据第一次相向而行的过程，根据路程关系列方程，然后对同时出发后相距分相遇前相距和相遇后相距两种情况讨论，并和第一次相向而行得到的方程组成方程组，最后舍去不符合实际意义的解即可． 【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为， 根据甲比乙早出发，乙出发后相遇，甲一共行走，得方程 ①． 当同时出发后两人相距，分两种情况讨论： 情况1：相遇前相距，此时两人的路程和为，得方程 ②． ①、②联立得方程组 解得， 速度为负数，不符合实际意义，舍去； 情况2：相遇后相距，此时两人的路程和为，得方程 ③． ①、③联立得方程组 解得，符合实际意义． 所以甲由A地到B地需要的时间为． 3．小亮和小文两家人假期乘出租车去郊区游玩．请你根据以下信息，利用方程组求出租车的起步价和超过后的里程费收费标准． 信息1：出租车起步价所包含的行驶里程不超过，超过的部分按一定标准收取里程费． 信息2：两家人乘车的路程和总费用 路程（） 总费用（起步价+里程费） 小亮一家 15 26.8 小文一家 13 23.6 【答案】出租车起步价为6元，超过后的里程费收费标准为每千米1.6元 【详解】解：设出租车的起步价是元，超过后的里程费收费标准是元． 由题意得 解得 答：出租车的起步价是6元，超过后的里程费收费标准是1.6元． 题型6工程问题 1．“天无三日晴，地无三里平”是一句形容贵州中部地区自然环境的谚语．某工程队在一次高速公路修建过程中，晴天每天修建，雨天每天修建，他们连续修建了，平均每天修建，那么这几天中有几天雨天（    ） A．4天 B．6天 C．8天 D．10天 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系列出方程式解题的关键．设这几天中x天晴天，有y天雨天，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设这几天中x天晴天，有y天雨天， 根据题意得， 解得 ∴这几天中有8天雨天． 故选：C． 2．有一项要生产154个零件的任务．若甲先做5天，乙再加入合做，则再做3天可超产2个；若乙先做5天，然后两人合做3天，则还有13个零件未完成．甲每天生产______个零件，乙每天生产______个零件． 【答案】 15 12 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是找出等量关系，列方程组求解． 设甲每天做个，乙每天做个，等量关系为：甲5天生产的零件甲乙3天生产的零件，乙5天生产的零件甲乙3天生产的零件，列方程组求解． 【详解】解：设甲每天做个，乙每天做个， 由题意得：， 解得：， 答：甲每天做15个，乙每天做12个． 故答案为：15，12． 3．某大型快递公司使用机器人进行包裹分拣，若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣700件包裹；若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣650件包裹． (1)求甲、乙两机器人每小时各分拣多少件包裹； (2)“双十一”期间，快递公司的业务量猛增，甲、乙两机器人某一天分拣包裹的总数量是2250件，并且都在4小时以上，这一天甲、乙机器人分别工作多少小时？ 【答案】(1)甲、乙两机器人每小时各分拣150件、100件包裹； (2)甲、乙机器人分别要工作5小时，15小时或甲、乙机器人分别要工作7小时，12小时或甲、乙机器人分别要工作9小时，9小时或甲、乙机器人分别要工作11小时，6小时． 【分析】（1）设甲、乙两机器人每小时各分拣x件、y件包裹，根据“若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣700件包裹；若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣650件包裹”列出方程组，求解即可； （2）设甲、乙两机器人分别工作m小时，n小时，根据“甲、乙两机器人某一天分拣包裹的总数量是2250件”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两机器人每小时各分拣x件、y件包裹， 根据题意得， 解得， 答：甲、乙两机器人每小时各分拣150件、100件包裹； （2）解：设甲、乙两机器人分别工作m小时，n小时， 根据题意得 ，且， 解得，，，， 答：甲、乙机器人分别要工作5小时，15小时或甲、乙机器人分别要工作7小时，12小时或甲、乙机器人分别要工作9小时，9小时或甲、乙机器人分别要工作11小时，6小时． 题型7几何问题 1．如图所示，在长方形中，放入六个形状大小相同的长方形，则图中的阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过设形状大小相同的长方形的长宽为，，观察图形找等量关系列二元一次方程组即可解出答案． 【详解】解：设形状大小相等的长方形的长宽分别为，． 由题意可得：， 解得． 所以长方形的宽为：， 长方形的面积为：， 六个形状大小相同的长方形的面积和为：， 阴影部分的面积是：． 2．如图，在长为7，宽为5的长方形中，放入5个形状和大小完全相同的小长方形（不重叠无缝隙），则小长方形的周长为________． 【答案】8 【分析】设小长方形的较长边长为x，另一边长为y，根据长方形的长为7，宽为5，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设小长方形的较长边长为x，另一边长为y， 由题意得：， 解得：， ∴， 即小长方形的周长为8． 3．如图，七个相同的小长方形无缝隙、不重叠地拼成一个大长方形，若大长方形的宽为21，求小长方形的长和宽． 【答案】小长方形的长为15，宽为6 【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据题意可得长的2倍等于宽的5倍，且长与宽的和为21，据此建立方程组求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， 由题意得，， 解得， 答：小长方形的长为15，宽为6． 题型8方案问题 1．小明用62元钱购买甲、乙两种学习用品，甲种学习用品每个4元，乙种学习用品每个5元，62元钱恰好用完，则小明的购买方案有（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】B 【分析】根据总费用列出方程，结合购买数量为非负整数，找出所有符合条件的解． 【详解】设小明购买甲种学习用品个，购买乙种学习用品个，均为非负整数， 由题意得 ， 变形得 ， 为非负整数， 且 是的倍数， 可得 ， 又 和均为偶数， 为偶数， 是奇数， 必为偶数， 则的可能取值为， 逐个验证得： 时，，符合； 时，，符合； 时，，符合； 共有种购买方案． 2．麦冬是绵阳特产之一，享有“涪城麦冬千金宝，本草遗株万国珍”之美誉．某公司现欲将麦冬运往外地销售，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满麦冬．若用辆型车和辆型车载满麦冬一次可运走；用辆型车和辆型车载满麦冬一次可运走，则该公司有________种租车方案． 【答案】 【分析】先设出辆型车和辆型车的载重量，根据已知运输情况列二元一次方程组，求出两种车型的单车载重量，再根据总运输量列出关于、的二元一次方程，求方程的正整数解，统计正整数解的个数即可得到租车方案的数量． 【详解】解：设辆型车载满可运，辆型车载满可运， 由题意得：，解得， 同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满麦冬， ，整理得， ，都是正整数， 为正整数且能被整除， 满足条件的正整数解为，，，共组解， 该公司有种租车方案． 3．某校组织师生共380人去郊外参观学习，需租用甲、乙两种不同类型的客车共10辆，租用1辆甲型客车需租金600元，租用1辆乙型客车需租金500元，租车费用共5600元．求租用甲、乙两种类型的客车各多少辆． 【答案】 租用甲型客车6辆，乙型客车4辆 【分析】设租用甲型客车辆，乙型客车辆，根据题意，列出方程组，进行求解即可； 【详解】解：设租用甲型客车辆，乙型客车辆， 根据题意得：， 解得：， 答：租用甲型客车6辆，乙型客车4辆． 题型9数字问题 1．如图1是2023年12月份的月历，小军同学用“”形框在月历上框出四个数字，将该“”形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若其中两个日期如图2所示，则m，n的值可能为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 根据题意找到规律即可解答． 【详解】解：如图，设中间两个数分别为，， 由题意可得，， ， ， 即， 整理得：． 当时，，故A选项不符合题意； 当时，，故C选项不符合题意； 当时，， 此时，在月历中可以框出符合题意的四个数，故D选项符合题意； 当时，； 此时，16在月历中是第三行最后一个数，无法框出符合题意的四个数，故B选项不符合题意． 故选：D． 2．若一个两位数等于它的个位数字和十位数字的和的4倍，则这样的两位数有_____个． 【答案】4 【分析】本题考查的是二元一次方程的应用，二元一次方程的正整数解问题．设这个两位数的个位数字为x，十位数字为y，则，再利用二元一次方程的正整数解可得答案． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为x，十位数字为y，则 ， 整理得：， ∵都是正整数且都小于或等于9， ∴，，，， ∴符合条件的两位数有4个． 故答案为：4． 3．一个两位数数位上的数字之和是14，将它的十位数字和个位数字交换后，得到新的两位数，若新两位数比原两位数大18，求原两位数． 【答案】68 【分析】设原两位数的十位数字为a，个位数字为b，根据数字之和为14和新数比原数大18的条件列方程组求解． 【详解】解：设原两位数的十位数字为a，个位数字为b， 则原数为，数字之和，交换后新数为， 由新两位数比原两位数大18，得， 化简得， 即． 解方程组， 解得， 故原两位数为． 题型10年龄问题 1．甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁，那么（   ） A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁 C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设甲现在的年龄为岁，乙现在的年龄为岁，根据“甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲现在的年龄为岁，乙现在的年龄为岁， 依题意，得：， 解得：． 甲现在的年龄为25岁，乙现在的年龄为20岁， 甲比乙大5岁 故选：A． 2．小明问他的数学老师今年多少岁了，老师说：“我像你这么大时，你才1岁，你到我这么大时，我就37岁了．”老师的年龄为___________ 【答案】25 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据二者年龄间的关系，列出关于的二元一次方程组是解题的关键． 设老师今年岁，学生今年岁，根据二者年龄间的关系，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设老师今年岁，学生今年岁， 根据题意得：， 解得：． 则老师的年龄为25岁， 故答案为：25． 3．今年父亲的年龄是玲玲的倍，年后父亲的年龄是玲玲的倍，今年父亲、玲玲的年龄各是多少岁？ 【答案】今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁，根据题意列出方程，然后解出方程即可． 【详解】解：设今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁， 根据题意得，，解得：， 答：今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁． 题型11销售、利润问题 1．第十二届世界运动会于年月日至日在四川成都举行，某经销店调查发现：吉祥物“蜀宝”和“锦仔”深受青少年喜爱．已知购进3个“蜀宝”比购进个“锦仔”多用元；购进个“蜀宝”和个“锦仔”共用元．该商店决定购进“蜀宝”和“锦仔”各个，其总费用为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用．先设出两种吉祥物的单价，根据题意列方程组，求解单价后计算总费用即可． 【详解】解：设个“蜀宝”进价为元，个“锦仔”进价为元， 根据题意得， 将两个方程相加，得， ∴， 把代入，得， 解得， ∴总费用为元． 2．庙会，又称“庙市”或“节场”，是中国传统民俗文化活动的重要组成部分．庙会上不仅有丰富多彩的文化活动，在市集上还有各类文创商品．已知2个绢布扇和3个手账本需花费90元；3个绢布扇和4个手账本需花费125元．则绢布扇的单价为______元，手账本的单价为______元． 【答案】 15 20 【分析】此题考查二元一次方程组的实际应用，通过设立二元一次方程组，利用消元法求解绢布扇和手账本的单价． 【详解】解：设绢布扇的单价为 元，手账本的单价为 元， 根据题意，得方程组： 解得 即绢布扇的单价为 15 元，手账本的单价为 20 元, 故答案为：15，20． 3．某商店销售两种饮料，小丽买了A，B饮料各1杯，用了20元；小明买了3杯A饮料和5杯B饮料，用了76元．A，B两种饮料每杯分别是多少元？ 【答案】每杯A饮料12元，每杯B饮料8元 【分析】设每杯A饮料x元，每杯B饮料y元，根据题意列二元一次方程组，解方程即可． 【详解】解：设每杯A饮料x元，每杯B饮料y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每杯A饮料12元，每杯B饮料8元． 题型12和差倍分问题 1．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用，已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，两片银杏树叶与三片国槐树叶一年的平均滞尘总量为146毫克．设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为毫克，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为毫克．依据题意，可列方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用， 根据一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国愧树叶一年的平均滞尘量得2倍少4毫克，可得，两片银杏树叶与三片国愧树叶一年的平均滞尘量为146，可得可得方程组． 【详解】解：根据题意，得． 故选：B． 2．已知两个角的和是，差是，则这两个角的度数分别是______． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，角的计算，角的单位（度分秒）之间的换算等知识点，根据题意列出方程组是解题的关键． 设这两个角的度数分别是，，根据题意列出方程组，求解即可． 【详解】解：设这两个角的度数分别是，，则有： ， 解得：， 故答案为：，． 3．列二元一次方程组解决下列问题： 毗邻筼筜湖的白鹭洲公园鸽子广场深受市民们的喜爱．有一个关于鸽子的童话故事如下：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的三分之一；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了．”请你算算原来树上、树下各有多少只鸽子？ 【答案】原来树上有7只鸽子，树下有5只鸽子 【分析】设原来树上有只鸽子，树下有只鸽子，根据鸽子的对话列出方程组，求解即可． 【详解】解：设原来树上有只鸽子，树下有只鸽子， 由题意得：， 解得：， 答：原来树上有7只鸽子，树下有5只鸽子． 题型13古代问题 1．宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则的值是（　　） A． B．0 C．1 D．3 【答案】B 【分析】首先根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等”列方程组求出，然后求出第一行三个数之和和中间的数，进而求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， ∴，， ∴的值是． 2．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公、众客都来到店中，一房七客多七客，……．”诗中后两句的意思是如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；……．据此求客房和客人的数量．若设客房有x间，客人有y人，得到的方程组是，则省略的条件是______． 【答案】如果每一间客房住人，那么就恰好空出一间客房 【分析】根据方程组中的方程分析对应的等量关系，从而推导出省略的条件． 【详解】解：由题意可知，方程组中第一个方程对应题干已知的“每一间客房住人，那么有人无房住”． 第二个方程，为客房总数量，表示实际使用的客房比总客房少间，即空出间客房， 表示所有客人恰好住满， 因此可得省略的条件为如果每一间客房住人，那么就恰好空出一间客房． 3．我国古代数学专著《九章算术》中有一道关于“分钱”的问题：甲、乙两人有钱若干，若甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍；若乙给甲5钱，则乙的钱是甲的．则甲和乙原有多少钱？ 【答案】甲有130钱，乙有50钱． 【分析】由甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍，得方程；由乙给甲5钱，则乙的钱是甲的，得方程，据此列出方程组求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 整理得： ， 解得． 答：甲有130钱，乙有50钱． 题型14其他问题 1．某新能源汽车制造厂通过对车辆装配生产线进行智能化技术升级，提高生产效率现在平均每天比技术升级前多安装40辆汽车，技术升级前需5天才能装配的汽车数量，现在只需4天即可完成．设技术升级前每天装配x辆汽车，现在每天装配y辆汽车，则符合题意的方程组为（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据提高生产效率现在平均每天比技术升级前多安装40辆汽车可得方程，根据技术升级前需5天才能装配的汽车数量，现在只需4天即可完成可得方程，据此列出方程组即可． 【详解】解：设升级前每天装配辆，现在每天装配辆， 由题意得，． 2．甲种合金含铜5份，含金2份；乙种合金含铜5份，含金9份，那么取甲种合金_____克，乙种合金_____克，才能产出熔化后铜、金含量相同的合金100克． 【答案】40；60 【分析】设取甲种合金克，乙种合金克．由题意可知，产出合金总质量为克，且铜、金含量相同，因此铜总质量为克，金总质量为克．甲种合金共份，铜占比为，乙种合金共份，铜占比为．据此列出二元一次方程组，求解方程组即可得到结果． 【详解】解：设取甲种合金克，乙种合金克， 根据题意有：， 解得：，， 答：取甲种合金40克，乙种合金60克，才能产出熔化后铜、金含量相同的合金100克． 3．每年的5月20日为中国学生营养日，2026年营养日的主题是“校园营养餐，健康助成长”．某学校为每位学生定制了盒装的牛奶和豆浆，它们的营养成分表如下： 食品种类 营养成分 一盒牛奶 一盒豆浆 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 钙 某天，初中生小石从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质． (1)小石喝了牛奶和豆浆各多少盒？ (2)初中生每日脂肪摄入量约为．若小石这天已经从其它食品中摄入脂肪，在他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量是否超标，并说明理由． 【答案】(1)小石喝了1盒牛奶，1盒豆浆 (2)他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量不超标，理由见解析 【分析】（1）设小石喝了x盒牛奶，y盒豆浆，根据初中生小石从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用（1）问求出的牛奶和豆浆的盒数，计算总脂肪摄入量，可求出小石这天的脂肪摄入量，结合该值在之间，即可得出结论． 【详解】（1）解：设小石喝了盒牛奶，盒豆浆， 根据题意得：， 解得：， 答：小石喝了1盒牛奶，1盒豆浆； （2）解：在他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量不超标，理由如下： ∵，， ∴在他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量不超标． 题型15三元一次方程组的定义及解 1．运用加减法解方程组较简单的方法是（    ） A．先消去，再解 B．先消去，再解 C．先消去，再解 D．三个方程相加得再解 【答案】B 【分析】观察三元一次方程组各未知数的系数，第一个方程本身不含y，第二，三个方程中y的系数成整数倍数关系，消去y的计算量最小，是最简便的方法． 【详解】解：∵原方程组为 方程①不含未知数y，方程②中y的系数是2，方程③中y的系数是， ∴将 ，即可直接消去y，得到 ， 再和方程①组成二元一次方程组，计算最简便， 因此先消去y再求解是较简单的方法． 2．方程组的解是____________． 【答案】 【详解】解：， 由，得， 解得 ， 把代入，得， 解得 ， 把，代入，得， 解得 ， 故原方程组的解为． 3．【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：②①，得③， ③，得，所以，的值为3． (1)【类比迁移】已知，求的值． (2)【实际应用】某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需66元．本班共50位同学，则购买50本笔记本、50支签字笔、50支记号笔需多少钱？ 【答案】(1) (2)购买50本笔记本、50支签字笔、50支记号笔需500元 【分析】（1）计算即可； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为x元、y元、z元，根据“购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需66元”得，求出，可知的值． 【详解】（1）解：， ，得， ∴． （2）解：设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为x元、y元、z元． 根据题意，得 ∴，得． ∴（元）． 答：购买50本笔记本、50支签字笔、50支记号笔需500元． 题型16三元一次方程组的应用 1．有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需31.5元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需42元，则购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（    ） A．12元 B．10.5元 C．9.5元 D．9元 【答案】B 【分析】设铅笔、练习本、圆珠笔的单价分别为、、元，根据题意列出方程组，求出的值． 【详解】解：设铅笔每支元，练习本每本元，圆珠笔每支元． 根据“购铅笔支，练习本本，圆珠笔支共需元”， 可得：①； 根据“购铅笔支，练习本本，圆珠笔支共需元”， 可得：②． 用②①可得： 即：． 故选：B． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，解题关键是根据题意设出未知数，列出方程组，再通过方程组的变形求出所需的结果． 2．每千克价格分别为2元、3元、2元4角、4元的桔子、苹果、香蕉、柿子四种水果共买了83千克，用去228元．已知买桔子用去的钱与买苹果用去的钱一样多，买柿子用去的钱是买香蕉所用的钱的2倍．那么桔子买了___千克，苹果买了___千克，香蕉买了___千克，柿子买了___千克． 【答案】 30 20 15 18 【分析】根据四种水果共买了83千克，用去228元．买桔子用去的钱与买苹果用去的钱一样多，买柿子用去的钱是买香蕉所用的钱的2倍，列出方程组，然后根据代入消元法和加减消元法求解即可． 【详解】解：设桔子买了x千克，苹果买了y千克，香蕉买了m千克，柿子买了n千克， 根据题意，得， 由③得， 由④得， 把，代入①、②，得， 化简，得， 解得， ∴，， 答：桔子买了30千克，苹果买了20千克，香蕉买了15千克，柿子买了18千克． 3．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶，在某一时刻，货车在中，客车在前，小轿车在后，且它们的距离相等，走了10分钟，小轿车追上了货车；又走了5分钟，小轿车追上客车，问再过几分钟，货车追上了客车？ 【答案】再过15分钟，货车追上了客车 【分析】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．要注意本题中的时间和路程之间的关系较复杂，要理清思路，找到它们之间的路程倍数关系和时间之间的关系，用路程之间的关系作为等量关系求解．设小轿车速度为，货车为，客车为，某一时刻的相等间距为，则①，②，可得到，求得与，之间的关系式，代入货车追客车所得到的路程之间的相等关系中，即可求得时间． 【详解】解：设小轿车速度为，货车为，客车为，某一时刻的相等间距为，则①，②， 由①②可得， 化简得， 即， 所以， 假设再过分钟，货车追上客车， 则 将代入， 得， 解得：． 答：再过15分钟，货车追上了客车． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2二元一次方程组的应用及三元一次方程组及其解法复习讲义（浙教版新教材） 高效复习◆重点 掌握二元、三元一次方程组的定义、解的概念，熟练运用代入、加减消元法求解方程组，理解“逐步消元、化繁为简”的核心思想。 熟练求解二元、三元一次方程组，规范解题步骤，规避符号、运算、回代等常见计算错误。 掌握二元一次方程组六大必考实际模型、三元一次方程组三类典型应用场景，能精准提取等量关系、列方程解题。 建立数学建模思维，能将实际生活问题转化为方程组数学模型，提升分析问题、解决问题的综合能力。 核心题型◆归纳 题型1根据几何图形列二元一次方程组 题型2根据实际问题列二元一次方程组 题型3分配问题 题型4图表信息题 题型5行程问题 题型6工程问题 题型7几何问题 题型8方案问题 题型9数字问题 题型10年龄问题 题型11销售、利润问题 题型12和差倍分问题 题型13古代问题 题型14其他问题 题型15三元一次方程组的定义及解 题型16三元一次方程组的应用 重点知识◆梳理 知识点一、二元一次方程组的应用 解题思路： 设两个未知数→找两个等量关系→列二元一次方程组→求解→检验作答。 知识点二、二元一次方程组解题步骤 1.审：读懂题意，梳理已知量、未知量； 2.设：设两个关键未知量（直接设/间接设）； 3.列：找准两组独立等量关系，列方程组； 4.解：用代入消元/加减消元法求解； 5.验：检验解是否符合实际意义（正数、整数、取值范围）； 6.答：规范写出完整答案。 知识点三、八大常考题型+核心等量关系 1.和差倍分问题 大数+小数=和 大数−小数=差 2.行程问题 相遇：路程和＝总路程 追及：路程差＝初始距离 航行：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速−水速 3.工程问题 工作总量=工作效率×工作时间，常设总量为1 4.销售利润问题 售价=标价×折扣；利润=售价−进价；总利润=单件利润×销量 5.配套问题 按配套比例列等量（如1个甲配2个乙，甲数量:乙数量=1:2） 6.浓度配比问题 溶质质量=溶液质量×浓度；混合前后溶质总量不变 7.数字问题 两位数：十位数字×10 + 个位数字 8.方案选择问题 列方程组求出临界值，再分类讨论最优方案 知识点四、三元一次方程（组） 1.定义： 三元一次方程：含有三个未知数，且含未知数的项次数均为1的整式方程。 三元一次方程组：由三个一次方程组成，含三个相同未知数的方程组。 方程组的解：同时满足所有方程的一组未知数的值。 核心思想：消元降元：三元一次方程组→二元一次方程组→一元一次方程。 2.解法步骤 选元消元：选定要消去的未知数，通过代入消元法/加减消元法，将三元方程组转化为二元方程组； 解二元方程组：求出两个未知数的值； 回代求解：将结果代入原方程，求出第三个未知数； 写出解：规范写出方程组的解。 3.实际应用 适用条件：题目含三个未知量，能找到三个独立等量关系； 解题步骤：审题→设三个未知数→列三元一次方程组→消元求解→**检验（符合实际意义）**→作答； 常见题型：数字问题、配套问题、行程问题、价格利润问题、分配问题等。 题型解析◆精准备考 题型1根据几何图形列二元一次方程组 1．如图，在大长方形中不重叠地放入七个长、宽都相同的小长方形，根据图中给出的数据，可得出阴影部分面积为（   ） A．48 B．52 C．58 D．6 2．如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为正六边形．已知黑皮和白皮共有32块，每块黑皮周围有5块白皮，每块白皮周围有3块黑皮．若缝制这样一个足球需要白皮块，黑皮块，由题意可列方程组为______． 3．如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形． (1)若，分别求S1，S2的面积； (2)若将图1的阴影部分沿虚线剪开，重新拼成图2的长方形，且长为，宽为，求S1∶S2的值． 题型2根据实际问题列二元一次方程组 1．某学校开展“书香校园”活动，需制作读书宣传展板．已知制作块型展板和块型展板共需元，制作块型展板和块型展板共需元．设型展板单价为元，型展板单价为元，下列方程组正确的是（   ） A．B．C．D． 2．第一小组的同学分铅笔若干支，若每人各得6支，则还剩4支；若有1人只得1支，则其余每人恰好各得7支．设第一小组有人，铅笔有支，依题意可列方程组为__________． 3．某校420名师生利用春假到皖南进行两天研学活动，客车公司有两种车型可以供选择： 车型 座位数（个/辆） 租金（元/天） 甲种 30 360 乙种 50 400 经计算，学校计划租用10辆客车，满足每辆车正好坐满，且每人都有座位，问学校需向客车公司支付多少元？ 题型3分配问题 1．某工厂生产大型汽油桶，汽油桶由两个圆形铁片和一个长方形铁片构成现工厂共有名工人，其中每名工人每天可制作圆形铁片个或长方形铁片个为了使每天生产的铁片数量刚好配套成油桶，应如何安排工人进行生产？设安排人制作圆形铁片，人制作长方形铁片，可列方程组为（    ） A．B． C． D． 2．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身15个或盒底25个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有110张白铁皮，用______张制盒身可以正好制成整套罐头盒． 3．某玩具厂共有名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架个或车轮个，如果个车架与个车轮配成一套，那么每天安排多少名工人生产车架，多少名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套？（利用二元一次方程组求解） 题型4图表信息题 1．在一个的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等；得到的的方格称为一个三阶幻方，如图，方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则（    ） 8 2 A． B．10 C．5 D．0 2．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数，每一列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为_________． 3．郴州市某景区的门票其票价如下： 购票人数 1~49人 50~100人 100人以上 每人门票价 130元 110元 90元 今有甲乙两个旅游团均超过40人，且甲团人数少于乙团人数，两个团合在一起购票，总计支付门票费10080元． (1)这两个旅游团共有多少人？ (2)若两旅游团分别购票，总计应付门票费13140元，请问甲，乙两个旅游团各有多少人？ 题型5行程问题 1．甲、乙二人分别从相距的，两地出发，相向而行．如图是小华绘制的甲、乙二人运动两次的情形，设甲的速度是，乙的速度是，根据题意所列的方程组正确的是 （    ） A． B． C． D． 2．甲、乙二人分别从相距的A，B两地出发，相向而行，如果甲比乙早出发，那么乙出发后，他们相遇；如果他们同时出发，那么后，两人相距，则甲由A地到B地需要______． 3．小亮和小文两家人假期乘出租车去郊区游玩．请你根据以下信息，利用方程组求出租车的起步价和超过后的里程费收费标准． 信息1：出租车起步价所包含的行驶里程不超过，超过的部分按一定标准收取里程费． 信息2：两家人乘车的路程和总费用 路程（） 总费用（起步价+里程费） 小亮一家 15 26.8 小文一家 13 23.6 题型6工程问题 1．“天无三日晴，地无三里平”是一句形容贵州中部地区自然环境的谚语．某工程队在一次高速公路修建过程中，晴天每天修建，雨天每天修建，他们连续修建了，平均每天修建，那么这几天中有几天雨天（    ） A．4天 B．6天 C．8天 D．10天 2．有一项要生产154个零件的任务．若甲先做5天，乙再加入合做，则再做3天可超产2个；若乙先做5天，然后两人合做3天，则还有13个零件未完成．甲每天生产______个零件，乙每天生产______个零件． 3．某大型快递公司使用机器人进行包裹分拣，若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣700件包裹；若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣650件包裹． (1)求甲、乙两机器人每小时各分拣多少件包裹； (2)“双十一”期间，快递公司的业务量猛增，甲、乙两机器人某一天分拣包裹的总数量是2250件，并且都在4小时以上，这一天甲、乙机器人分别工作多少小时？ 题型7几何问题 1．如图所示，在长方形中，放入六个形状大小相同的长方形，则图中的阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在长为7，宽为5的长方形中，放入5个形状和大小完全相同的小长方形（不重叠无缝隙），则小长方形的周长为________． 3．如图，七个相同的小长方形无缝隙、不重叠地拼成一个大长方形，若大长方形的宽为21，求小长方形的长和宽． 题型8方案问题 1．小明用62元钱购买甲、乙两种学习用品，甲种学习用品每个4元，乙种学习用品每个5元，62元钱恰好用完，则小明的购买方案有（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 2．麦冬是绵阳特产之一，享有“涪城麦冬千金宝，本草遗株万国珍”之美誉．某公司现欲将麦冬运往外地销售，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满麦冬．若用辆型车和辆型车载满麦冬一次可运走；用辆型车和辆型车载满麦冬一次可运走，则该公司有________种租车方案． 3．某校组织师生共380人去郊外参观学习，需租用甲、乙两种不同类型的客车共10辆，租用1辆甲型客车需租金600元，租用1辆乙型客车需租金500元，租车费用共5600元．求租用甲、乙两种类型的客车各多少辆． 题型9数字问题 1．如图1是2023年12月份的月历，小军同学用“”形框在月历上框出四个数字，将该“”形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若其中两个日期如图2所示，则m，n的值可能为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．若一个两位数等于它的个位数字和十位数字的和的4倍，则这样的两位数有_____个． 3．一个两位数数位上的数字之和是14，将它的十位数字和个位数字交换后，得到新的两位数，若新两位数比原两位数大18，求原两位数． 题型10年龄问题 1．甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁，那么（   ） A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁 C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁 2．小明问他的数学老师今年多少岁了，老师说：“我像你这么大时，你才1岁，你到我这么大时，我就37岁了．”老师的年龄为___________ 3．今年父亲的年龄是玲玲的倍，年后父亲的年龄是玲玲的倍，今年父亲、玲玲的年龄各是多少岁？ 题型11销售、利润问题 1．第十二届世界运动会于年月日至日在四川成都举行，某经销店调查发现：吉祥物“蜀宝”和“锦仔”深受青少年喜爱．已知购进3个“蜀宝”比购进个“锦仔”多用元；购进个“蜀宝”和个“锦仔”共用元．该商店决定购进“蜀宝”和“锦仔”各个，其总费用为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．庙会，又称“庙市”或“节场”，是中国传统民俗文化活动的重要组成部分．庙会上不仅有丰富多彩的文化活动，在市集上还有各类文创商品．已知2个绢布扇和3个手账本需花费90元；3个绢布扇和4个手账本需花费125元．则绢布扇的单价为______元，手账本的单价为______元． 3．某商店销售两种饮料，小丽买了A，B饮料各1杯，用了20元；小明买了3杯A饮料和5杯B饮料，用了76元．A，B两种饮料每杯分别是多少元？ 题型12和差倍分问题 1．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用，已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，两片银杏树叶与三片国槐树叶一年的平均滞尘总量为146毫克．设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为毫克，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为毫克．依据题意，可列方程组（   ） A． B． C． D． 2．已知两个角的和是，差是，则这两个角的度数分别是______． 3．列二元一次方程组解决下列问题： 毗邻筼筜湖的白鹭洲公园鸽子广场深受市民们的喜爱．有一个关于鸽子的童话故事如下：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的三分之一；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了．”请你算算原来树上、树下各有多少只鸽子？ 题型13古代问题 1．宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则的值是（　　） A． B．0 C．1 D．3 2．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公、众客都来到店中，一房七客多七客，……．”诗中后两句的意思是如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；……．据此求客房和客人的数量．若设客房有x间，客人有y人，得到的方程组是，则省略的条件是______． 3．我国古代数学专著《九章算术》中有一道关于“分钱”的问题：甲、乙两人有钱若干，若甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍；若乙给甲5钱，则乙的钱是甲的．则甲和乙原有多少钱？ 题型14其他问题 1．某新能源汽车制造厂通过对车辆装配生产线进行智能化技术升级，提高生产效率现在平均每天比技术升级前多安装40辆汽车，技术升级前需5天才能装配的汽车数量，现在只需4天即可完成．设技术升级前每天装配x辆汽车，现在每天装配y辆汽车，则符合题意的方程组为（    ） A．B． C． D． 2．甲种合金含铜5份，含金2份；乙种合金含铜5份，含金9份，那么取甲种合金_____克，乙种合金_____克，才能产出熔化后铜、金含量相同的合金100克． 3．每年的5月20日为中国学生营养日，2026年营养日的主题是“校园营养餐，健康助成长”．某学校为每位学生定制了盒装的牛奶和豆浆，它们的营养成分表如下： 食品种类 营养成分 一盒牛奶 一盒豆浆 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 钙 某天，初中生小石从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质． (1)小石喝了牛奶和豆浆各多少盒？ (2)初中生每日脂肪摄入量约为．若小石这天已经从其它食品中摄入脂肪，在他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量是否超标，并说明理由． 题型15三元一次方程组的定义及解 1．运用加减法解方程组较简单的方法是（    ） A．先消去，再解 B．先消去，再解 C．先消去，再解 D．三个方程相加得再解 2．方程组的解是____________． 3．【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：②①，得③， ③，得，所以，的值为3． (1)【类比迁移】已知，求的值． (2)【实际应用】某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需66元．本班共50位同学，则购买50本笔记本、50支签字笔、50支记号笔需多少钱？ 题型16三元一次方程组的应用 1．有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需31.5元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需42元，则购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（    ） A．12元 B．10.5元 C．9.5元 D．9元 2．每千克价格分别为2元、3元、2元4角、4元的桔子、苹果、香蕉、柿子四种水果共买了83千克，用去228元．已知买桔子用去的钱与买苹果用去的钱一样多，买柿子用去的钱是买香蕉所用的钱的2倍．那么桔子买了___千克，苹果买了___千克，香蕉买了___千克，柿子买了___千克． 3．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶，在某一时刻，货车在中，客车在前，小轿车在后，且它们的距离相等，走了10分钟，小轿车追上了货车；又走了5分钟，小轿车追上客车，问再过几分钟，货车追上了客车？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $