专题03 三角形的中位线（5大题型）（专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

专题03 三角形的中位线 目录 A题型建模・专项突破 题型一、与三角形中位线有关的求解问题 1 题型二、三角形中位线与三角形面积问题 5 题型三、三角形中位线的实际应用 9 题型四、与三角形中位线有关的证明 12 题型五、平行四边形与中位线综合问题 18 B综合攻坚・能力跃升 题型一、与三角形中位线有关的求解问题 1．（25-26八年级下·河南焦作·期中）如图在中，，，分别为，的中点，平分，交于点．若，，则的长为______． 【答案】4 【分析】根据三角形中位线定理，得到，求得，利用勾股定理求得的值，即可求得答案． 【详解】解：∵，分别为，的中点， ∴，，． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． 在中，． ∴． 2．（25-26八年级下·广西贵港·期中）如图，在中，点为上一点，，平分，交于点，点为的中点．若，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了三线合一，中位线的性质．根据，平分，可得，再由点为的中点可知，为的中位线，从而得出答案． 【详解】解：，平分， ，即点为中点， 点为的中点， 为的中位线， ， ， ． 3．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知中，，，，将绕点顺时针旋转得到，是中点，连接，则的长为________． 【答案】 【分析】取中点，连接，结合是中点由中位线定理可得，，进而得，由是中点可求长，由旋转得长，即可得长，最后在中利用勾股定理求长即可． 【详解】解：如图，取中点，连接， 又∵是中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵是中点， ∴， 由旋转得， ∴， 在 中， ． 4．（2026·天津南开·二模）如图，已知，，E为边上一点，，垂足为点D，D恰为中点，点F为线段上一点，且． （1）若，则的大小为______________（度）； （2）若，，则线段的长为______________． 【答案】 【分析】（1）先证，得到，进而可得，然后可得； （2）过作，设，再证，得到，在中利用勾股定理求出，然后可求线段的长． 【详解】解：（1），D恰为中点， ， ， ，又， ， ； （2）过作， 由（1）可知， 为等腰三角形， 平分，则， 设，则， 又， ， ，， 又，D恰为中点， ， 为的中位线， ，则， 又， ， 在中，，即， 解得（负值已舍去）， ，， ． 题型二、三角形中位线与三角形面积问题 5．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取的中点D，E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成长方形．若，则的面积是__________． 【答案】48 【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的性质；由题意得，，则全等三角形的面积相等；由三角形中位线定理得；根据的面积等于长方形的面积即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴；，， ∴的中点分别为D，E， ∵， ∴； ∵ ． 故答案为：48． 6．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，是的中位线，O是上一点，且满足．则的面积与的面积之比为________． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键． 由三角形的中位线定理得到，则，设点到的距离为，则，，即可求解． 【详解】解：∵是的中位线， ∴， ∵， ∴， 设点到的距离为， 则，， ∴， 故答案为：3． 7．（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，是边长为1的等边三角形，取边中点作， ，得到四边形，它的面积记作，取中点作，，得到四边形，它的面积记作……，照此规律作下去，则________． 【答案】 【分析】过点作于点，过点作于点，根据题意易得为的中位线，进而可得，的值，再证明四边形为平行线四边形，可得，的值，再解得的值，可求得，同理可得，…，即可获得答案． 【详解】解：如下图，过点作于点，过点作于点， ∵是边长为1的等边三角形， ∴，， ∵点为中点，且， ∴为的中位线， ∴，， 又∵， ∴四边形为平行线四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， …， ∴． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）如图，嘉淇作出了边长为1的第1个等边三角形，然后分别取三角形三边的中点，作出了第2个，用同样的方法作出了第3个，…依此方法作下去． （1）的面积为 _____； （2）与的面积比为 _____； （3）第n次作出的的面积是 _____． 【答案】 【分析】（1）已知等边三角形，直接求面积即可； （2）根据中位线性质可知的边长为：，的边长为：，求得，计算面积比即可； （3）根据规律表示出的边长为：，即可求得面积表达式． 【详解】解：（1）∵等边三角形的边长为1， ∴， 故答案为：； （2）由题意可知，的边长为：， ∴的边长为：， ∴， ∴， 故答案为：； （3）∵的边长为：， ∴的边长为：， ∴的边长为：， ∴， 故答案为：． 题型三、三角形中位线的实际应用 9．（25-26八年级下·北京·期中）如图，两点被池塘隔开，小林在池塘外选定一点，然后测量出的中点的距离，若，则两点间的距离为______m． 【答案】 【分析】连接，根据三角形的中位线性质得出，再代入求出答案即可． 【详解】解：连接， ∵分别是的中点， ∴， ∵， ∴， 即两点间的距离是． 10．（25-26八年级下·全国·周测）游乐园中的跷跷板深受小朋友们的喜爱．如图，横板绕其中点上下摆动，立柱与地面垂直．若，则小朋友离地的最大距离为____________． 【答案】100 【分析】由题意可知，是的中点，且、都与地面垂直，因此．根据三角形中位线定理，在中，是中位线，利用中位线性质即可求出的长度． 【详解】解：∵ 是的中点，且，， ∴． ∴是的中位线． ∴． ∵， ∴． ∴小朋友离地的最大距离为． 故答案为：． 11．（24-25八年级下·云南保山·期末）如图，学校要在一片空地上搭建一个三角形形状的绿植装饰架，为了提前制作支撑框架，工作人员取，边的中点M，N进行测量，经测量的长度为，那么装饰架底边的长度为______． 【答案】160 【分析】此题考查了中位线的实际应用，根据题意得到是的中位线，进而求解即可． 【详解】解：∵点M，N分别是，边的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：160． 12．（25-26八年级下·全国·周测）某县城有一人工湖，湖面较宽不方便直接测量．某数学学习小组的同学想知道湖面最大宽度的具体数据，设计了三种方案． 课题 测量人工湖的长度 测量工具 皮尺：直接测量可到达的两点间的距离． 测角仪：测量角的大小 方案一 测量数据：， ， 续表 方案二 测量数据：，， 方案三 测量数据：，， (1)方案一：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的_____． ， _____． (2)方案一求得长度的依据是__________． (3)请你从剩下两种方案中，选择一种求出人工湖的长度． 【答案】(1)中位线，160 (2)三角形的中位线定理 (3)，过程见解析 【分析】本题考查了中位线定理，熟练掌握相关定理是解题的关键； （1）根据已知思路写出需要填补的空缺； （2）根据方案一的思路判断依据； （3）从方案二或方案三选择一种方案求出AB长． 【详解】（1）解：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的中位线． ， 160． （2）解：三角形的中位线定理 （3）解：选择方案二：， ， ． 或选择方案三：，， 为直角三角形． ， ， ． 题型四、与三角形中位线有关的证明 13．（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期中）定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”．四边形是“等对边四边形”，其中，边与的延长线交于点M，点E、F是对角线、的中点，若，求证：． 【答案】见解析 【分析】取的中点N，连接，，利用三角形中位线的性质得到，，，，得到，利用三角形内角和定理求出，证明为等边三角形，即可得到． 【详解】证明：取的中点N，连接，， ∵点E、N是、的中点， ，， 同理可得，，， ∵， ， ， ． ∵，， ， ∴， ， 为等边三角形， ∴． 14．（2026·浙江台州·一模）如图，在中，点，分别是，中点，连接，的平分线交于点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由角平分线得，再用三角形中位线定理证，得，通过等量代换即可得证； （2）先用中位线定理求出的长，由算出，再结合第一问的等角对等边得出即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵点，分别是，中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点，分别是，中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 15．（25-26八年级下·上海闵行·期中）【教材呈现】如图是沪教版八年级下册教材第42页的第1题，请完成这道题的证明． (1)如图①，在四边形．中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：． (2)【教材延伸】 如图②，延长图①中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：． (3)【应用探究】 如图③，在中，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据中位线定理证明即可； （2）根据中位线定理证明即可； （3）连接，取中点，连接、，结合（1）（2）的结论证明为等腰直角三角形，进而解题． 【详解】（1）证明：∵是的中点，是的中点， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：如图，由（1）得， ∵是的中点，是的中点，为的中点， ∴，， ∴，， ∴； （3）证明：如图，连接，取中点，连接，，由（1）知， 由（2）可知，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， 由（1）知， ∴． 16．（25-26八年级下·山西朔州·期中）数学课上，我们探究过三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．以下是对此定理的探究及证明过程： 已知：如图①，在中，，分别是，的中点． 求证：且． (1)【定理探究】某数学小组有甲、乙、丙三位同学．他们在思考后说出了添加的辅助线： 甲：如图②，延长至点，使，连接 乙：如图③，延长到点，使，连接，，． 丙：如图④，作于点，延长，使，延长，使，连接，． 三位同学所作的辅助线能证明三角形中位线定理的是___________． A．仅甲、乙    B．仅乙    C．仅乙、丙    D．甲、乙、丙 (2)【定理证明】请你按“乙同学”所作的辅助线将证明过程补充完整． (3)【定理应用】如图⑤，，两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离．小颖在地面上选了点和点，使，连接，，并分别找到和的中点，．若测得，，则，两地间的距离为 ． 【答案】(1)D (2)见解析 (3)26 【分析】（1）观察三位同学所作的辅助线，都能证明三角形中位线性质定理； （2）由，，可得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质有，，结合，可得，四边形是平行四边形，即可得； （3）先证明，根据全等三角形的性质可得，从而可得为的中点，再根据为的中点，可得是的中位线，从而可得，就可得． 【详解】（1）解：观察三位同学所作的辅助线，都能证明三角形中位线性质定理． （2）解：如图， ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∴，， ∴， ， ． （3）解：连接并延长，交延长线于P，如图： ∵， ∴，， ∵， ∴（）， ∴，， ∴为的中点， ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴，两地间的距离为． 题型五、平行四边形与中位线综合问题 17．（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图所示，为内的一点，平分，且，垂足为D，延长交于点，为的中点，点在上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义和垂直的定义证出，利用全等三角形的性质和三角形中位线的判定得出是的中位线，最后利用三角形中位线的性质和平行四边形的判定定理即可得出结果； （2）结合（1）的结论，得到，利用三角形的中位线定理和线段的和差即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵平分， , ∵， ， 又， ， ， 即点是线段的中点， 为的中点， 是的中位线， 又 四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得， ∴， 由（1）得是的中位线， ， 又， ， ∴． 18．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图所示，在中，点D、E分别为的中点，点H在线段上，连接，点G、F分别为的中点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据三角形中位线的性质可得，且，，且，进而可知，且，即可证明结论； （2）首先证明，，再在中由勾股定理解得的长度，然后由，即可获得答案． 【详解】（1）证明：∵点D、E分别为的中点， ∴，且， ∵点G、F分别为的中点， ∴，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∵点G为的中点， ∴． 19．（25-26九年级上·山东烟台·期末）点是的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接，为的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行四边形的性质证明，，由“对边平行且相等的四边形为平行四边形”即可得到结论； （2）连接，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角线相互平分，即可得到的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴为的中位线， ，， ∵点F为的中点， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ，， ，， ∴四边形为平行四边形； （2）解：连接， ，， ∴是的中位线， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ， ． 20．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，点E是的中点，点P是上一点，连接，交于点M，N是上一点，且，连接并延长交于点F． 【初步尝试】 （1）四边形是平行四边形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，请说明理由； 【深入探究】 （2）如图2，若在图1的基础上连接交于点H，过点A作交于点G， ①猜想与的数量关系，并说明理由； ②如图3，当点P为中点时，若，，且，请求出的面积（结果用含a，b的式子表示）． 【答案】（1）四边形是平行四边形，见解析；（2）①，见解析；②的面积为 【分析】（1）根据四边形是平行四边形，得出，结合点E是的中点，，根据三角形中位线定理得出，即可证明四边形是平行四边形． （2）①如图，作交于点K，则四边形是平行四边形， 得出，根据四边形、是平行四边形，得出，，则，，证明，得出，则，再证明，得出，即可得． ②如图，延长交的延长线于点R，证明，得出，，，作交的延长线于点L，作于点Q，证明四边形是平行四边形，得出，则，，结合，证出是直角三角形，且，则，再根据，得出，即可得． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． （2）①解：；理由如下： 如图，作交于点K， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形、是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． ②如图，延长交的延长线于点R， ∵点P为中点，， ∴，， 又， ∴， ∴，， ∴， 作交的延长线于点L，作于点Q， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 一、单选题 1．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，分别是，的中点．若，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【详解】解： ，分别是，的中点 是的中位线， 又， ． 2．（25-26八年级下·山东滨州·期中）如图，点、分别为的边、的中点，连接、，点、分别为、的中点，连接、，若，则的长为（    ） A．15 B．12 C．10 D．3 【答案】D 【分析】由条件可知是的中位线，可得，再由线段的中点定义得到进一步可得． 【详解】解：点、分别是边、的中点， 是的中位线， ， 点是边的中点， ， 是的中点， ． 3．（2026·陕西西安·三模）如图，是的中位线，的角平分线交于点，连接并延长交于点，若，则的长为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】根据中位线性质求出，，求出，然后由角平分线和平行线的性质推出，得到，，然后求出，证明出，得到． 【详解】解：∵是的中位线， ∴，， ∴ ∴ ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，是内一点，，7，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的周长是（   ） A．12 B．14 C．24 D．21 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中位线定理和勾股定理的应用，掌握三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键． 先在中用勾股定理求出的长度，再根据三角形中位线定理求出四边形各边的长度，最后求和得到周长． 【详解】解：∵ ∴在中， ∵分别为的中点 ∴是的中位线， ∵分别为的中点 ∴是的中位线， ∵分别为的中点 ∴是的中位线， ∵分别为的中点 ∴是的中位线， ∴四边形的周长= 故选：A． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图1，将一个面积为1的等边三角形纸片挖去连接三边中点所组成的三角形后，继续挖去连接剩余各个三角形三边中点所成的三角形（如图2、图）如此进行挖下去，第6个图中，剩余图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形中位线定理，两平行线间的距离，图形类规律探究等知识，解答此题的关键是求出剩余部分的面积为 ． 先根据三角形中位线的性质和两平行线间的距离相等求出第1个图形中，然后总结规律求解即可． 【详解】解：如图， ∵是等边三角形， ∴． ∵点D，E，F分别是中点， ∴，， ∴， 同理可求，， ∴第1个图中，剩余图形的面积为， 第2个图中，剩余图形的面积为 第3个图中，剩余图形的面积为 第n个图中，剩余图形的面积为 第6个图中，剩余图形的面积为． 故选：C． 二、填空题 6．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和，并分别找出它们的中点、，若测得，则，两点的距离为______． 【答案】36 【分析】本题考查三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行第三边，且等于第三边的一半是解题关键； 根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边，且等于第三边的一半，那么第三边应等于中位线长的2倍即可解答． 【详解】解：∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，两点的距离为， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·河南南阳·期末）如图，在中，平分，，连接，G是的中点，连接，若，则_______． 【答案】3 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求解，即可得，利用等腰三角形的性质可得，进而可得是的中位线，根据三角形的中位线的性质可求解． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵G是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． 8．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在网格纸中，点A，B，C，D都是格点，分别交网格线于点E，F．若每个小方格的边长为1，则的长是_____． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理．由网格的特点知是的中位线，是的中位线，根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：如图， 由网格的特点知点是的中点，点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∴， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图所示，在中，，点，分别是，边的中点，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点按这样的规律下去，的长为__________为正整数． 【答案】 【分析】本题考查三角形中位线定理，关键是根据中位线得出规律进行解答．根据中位线的定理得出规律解答即可． 【详解】解：在中，，由点分别是边的中点，点分别是的中点，， 点分别是的中点， 可得， 故． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，平行四边形中，，对角线交于点O，M、N分别是的中点，则_____，点P是上一点，且，点L是的中点，连接，交于E、F，若， 则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，等角对等边，可证明为的中位线，则；取的中点T，连接，由三角形中位线定理可得，，则；证明是的中位线，推出，则可证明，得到，进而可证明，再由勾股定理可得答案． 【详解】解：∵平行四边形中，对角线交于点O， ∴，点O为的中点， ∵点N为的中点， ∴为的中位线， ∴； 如图所示，取的中点T，连接， ∵点L是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴； ∵点T，点M分别为的中点， ∴，是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：；． 三、解答题 11．（25-26八年级下·北京·阶段检测）如图，是的中点，交于点，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，连接，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理得，即，然后结合得到四边形是平行四边形； （2）根据三角形中位线定理，由平行四边形的性质可得，而，，根据勾股定理得． 【详解】（1）证明：∵，交于点，， ∴是的中点， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接， ∵是的中点，是的中点，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴的长是． 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，是边上一点，，连接，，分别是，的中点，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理，掌握利用中位线定理判定平行四边形，结合等腰三角形性质和勾股定理计算边长是解题的关键． （1）利用三角形中位线定理得与的关系，结合，证明与平行且相等，判定平行四边形 （2）结合平行四边形性质和角度条件推导出，再由得到与的数量关系，在直角三角形中用勾股定理求，进而得的长． 【详解】（1）证明：，分别是，的中点， 是的中位线， ，，即． ， ． ， 四边形是平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形，， ，． ， ． ， ， ， ． 在中，，， ， （负值已舍去）， ． 13．（25-26八年级上·山东淄博·期末）（1）如图1，与相交于点过点O，且分别交于点E，F，且．判断四边形的形状，并加以证明． （2）如图2，在中，点D，E分别为边的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为的中点． ①求证：四边形为平行四边形； ②若，求的长． 【答案】（1）四边形的形状为平行四边形，证明见解析；（2）①见解析；② 【分析】（1）利用全等三角形的判定及性质可证，，结合对角线互相平分的四边形为平行四边形即可求解； （2）①根据三角形中位线的性质可得，且，再结合平行四边形的判定即可证明；②由平行四边形的性质结合勾股定理先求出，再根据为中点即可求答案． 【详解】（1）解：四边形的形状为平行四边形，证明如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 同理：， ∴， 即对角线互相平分， ∴四边形为平行四边形； （2）①证明：∵点D、E分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴，且， ∵点G、F分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形； ②解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∵点G为的中点， ∴． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）（1）如图①，，分别是的外角平分线，过点作，，垂足分别是，，连接．求证：． （2）如图②，若，分别是的内角平分线，过点作，，垂足分别是，，连接．猜想线段与的三边的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形中位线定理，角平分线的性质，掌握通过延长垂线构造全等三角形，利用中位线定理推导线段与三角形三边的关系是解题的关键． （1）延长交的延长线于，通过全等证明，得到为中点，利用中位线定理推导与三边的关系 （2）延长交于，通过全等证明，得到为中点，利用中位线定理推导与三边的关系． 【详解】解：（1）证明：如图①，分别延长，，与直线分别交于点，． ， ． 是的外角平分线， ． 在和中， ， ，． 同理可得， ，， 是的中位线， ． （2）． 理由：如图②，分别延长，，与直线分别交于，． 同（1）可证， ，． 同理可得，， ， ， ， ． 15．（25-26八年级下·北京·课后作业）【三角形中位线定理】已知：在中，点D，E分别是边，的中点．直接写出和的关系为 ； 【应用】如图，在四边形中，点E，F分别是边，的中点，若，，，，则的度数为 度； 【拓展】如图，在四边形中，与相交于点E，点M，N分别为，的中点，分别交，于点F，G，．求证：． 【答案】[三角形中位线定理]，；[应用]135；[拓展]见解析 【分析】[三角形中位线定理]根据三角形中位线定理即可得到结论； [应用]连接，根据三角形中位线定理得到，，根据勾股定理的逆定理得到，计算即可； [拓展]取的中点，连接、，则、分别是、的中位线，由中位线的性质定理可得且，且，结合等腰三角形的判定和性质，平行线的性质即可得结论． 【详解】解：[三角形中位线定理]解：，； 理由：∵点，分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴，， 故答案为：，； [应用]解：如图所示，连接， ∵点，分别是边，的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； [拓展]证明：取的中点，连接、．如图： ∵点，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴且， 同理可得且． ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 16．（25-26九年级上·山西大同·月考）综合与探究 问题情境 在数学活动课上，老师提出一个问题：如图1，与都为等腰直角三角形，其中，，，．将固定，绕点A逆时针旋转，连接，．试判断与的数量关系及位置关系，并说明理由． （1）请解答老师提出的问题． 深入探究 （2）如图2，连接，点P，M，N分别为，，的中点，连接，，．试判断的形状，并说明理由． 拓展延伸 （3）连接，点P，M，N分别为，，的中点，连接，，．若，，在旋转过程中，当点C，D，E在同一条直线上时，直接写出的长． 【答案】（1）且．理由见解析；（2）为等腰直角三角形，理由见解析；（3）的长为或． 【分析】本题主要考查了等腰三角形性质、三角形中位线的判定与性质、勾股定理、全等三角形判定和性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先运用证明可得，如图：延长分别交于G、F，由全等三角形的性质可得，再根据三角形内角和定理、对顶角相等以及等量代换可得； （2）由三角形中位线的判定与性质可得，再结合（1）的结论，可得，即为等腰直角三角形； （3）分点E在上和点E在的延长线上两种情况，分别利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）结论：且，理由如下： ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． 如图：延长分别交于G、F， ∵， ∴． ∵，， ∴，即． （2）为等腰直角三角形，理由如下： ∵点P，M，N分别为，，的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴， ∵，， ∴，即为等腰直角三角形； （3）①当点E在上时，连接， ， ， ∵点M是的中点， ， ，即 ∵为等腰直角三角形， ∴； ②当点E在的延长线上时，连接， 由①可知： ，即 ∵为等腰直角三角形， ∴． 综上，的长为或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03三角形的中位线 目录 A题型建模·专项突破 题型一、与三角形中位线有关的求解问题1 题型二、三角形中位线与三角形面积问题 5 题型三、三角形中位线的实际应用.… 9 题型四、与三角形中位线有关的证明， .12 题型五、平行四边形与中位线综合问题.。 ….18 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、与三角形中位线有关的求解问题 1.(25-26八年级下·河南焦作期中)如图在Rt△ABC中，∠C=90°，D,E分别为CA,CB的中点， AF平分∠BAC,交DE于点F.若AC=5,BC=12,则EF的长为 2.(25-26八年级下广西贵港期中)如图，在△ABC中，点D为BC上一点，CA=CD=5,CF平分 ∠ACB,交AD于点F,点E为AB的中点.若EF=3,则BC= 3.(25-26八年级下·辽宁沈阳期中)如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=2,将 △ABC绕点C顺时针旋转9O°得到△DEC,F是AB中点，连接DF,则DF的长为 H 4.(2026天津南开·二模)如图，已知Rt△ABC,∠C=90°，E为BC边上一点，ED1AB,垂足为点 D,D恰为AB中点，点F为线段AE上一点，且∠CAB=∠EFD. 1/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E Q (1)若∠DEF=69°，则∠EFD的大小为 (度)： (2)若CE=3EF,AC=2W7,则线段BD的长为 题型二、三角形中位线与三角形面积问题 5.(24-25八年级下山东菏泽·期末)中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积 公式的出入相补法.如图，在△ABC中，分别取AB,AC的中点D,E,连接DE,过点A作AF⊥DE,垂 足为F,将△ABC分割后拼接成长方形DCHG.若DE=6,GB=4,则△ABC的面积是 6.(24-25八年级下浙江宁波·期中)如图，EF是△ABC的中位线，O是EF上一点，且满足OE=2OF 则△ABC的面积与△AOC的面积之比为. C 0 B 7.(2425八年级下·黑龙江佳木斯期中)如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC边中点E作 ED∥AB，EF∥AC,得到四边形EDAF,它的面积记作S,取BE中点E作ED∥FB,EF∥EF, 得到四边形EDFF,它的面积记作S2…,照此规律作下去，则S= 2/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 8.(25-26九年级上河北石家庄·月考)如图，嘉淇作出了边长为1的第1个等边三角形AB,C,然后分别 取三角形ABC三边的中点4，B,C,作出了第2个△4，B,C,用同样的方法作出了第3个△4，B,C,… 依此方法作下去 A A C 6 B C. B C (1)△4B,C的面积为 (2)△A,B,C3与△AB,C的面积比为 (3)第n次作出的△4B。Cm的面积是 题型三、三角形中位线的实际应用 9.(25-26八年级下·北京·期中)如图，A,B两点被池塘隔开，小林在池塘外选定一点C,然后测量出 CA,CB的中点D,E的距离，若DE=5m,则A,B两点间的距离为_m. 10.(25-26八年级下·全国周测)游乐园中的跷跷板深受小朋友们的喜爱.如图，横板AB绕其中点E上 下摆动，立柱EF与地面垂直.若EF=50cm,则小朋友离地的最大距离BC为 cm 3/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B C 777777777 77777777 11.(24-25八年级下·云南保山期末)如图，学校要在一片空地上搭建一个三角形形状的绿植装饰架 ABC,为了提前制作支撑框架，工作人员取AB,AC边的中点M,N进行测量，经测量MN的长度为 8Ocm,那么装饰架底边BC的长度为_cm. 12.(25-26八年级下·全国·周测)某县城有一人工湖，湖面较宽不方便直接测量.某数学学习小组的同学 想知道湖面最大宽度的具体数据，设计了三种方案， 课题 测量人工湖的长度AB 皮尺：直接测量可到达的两点间的距离. 测量工具 测角仪：测量角的大小 B 测量数据：HⅢ=80m 方案一 H AH=HO=78m, BI=10=69m 续表 A---------B 测量数据： ∠PAB=90°， 方案二 AP=120m」 BP=200m 4/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B 测量数据： ∠AQB=60° 方案三 ∠QBA=30° AQ=160 3m (1)方案一：“AH=H0=78m,B1=10=69m, ∴H是线段AO的中点，I是线段BO的中点， HⅢ是△ABO的一 :HⅢ=80m, ..AB=m. (2)方案一求得AB长度的依据是 (3)请你从剩下两种方案中，选择一种求出人工湖的长度AB. 题型四、与三角形中位线有关的证明 13.(25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期中)定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”.四 边形ABCD是“等对边四边形”，其中AB=CD,边BA与CD的延长线交于点M,点E、F是对角线AC、 BD的中点，若∠M=60,求证：EF=)B 2 14.(2026浙江台州·一模)如图，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC中点，连接DE,∠ABC的平 分线交DE于点F. A 】 B (I)求证：∠DBF=∠DFB. (2)若DF=EF,BC=12,求BD的长. 15.(25-26八年级下·上海闵行·期中)【教材呈现】如图是沪教版八年级下册教材第42页的第1题，请 完成这道题的证明. 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D W B W 图① 图② 图③ (I)如图①，在四边形ABCD.中，AD=BC,P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点. 求证：∠PMW=∠PWM (2)【教材延伸】 如图②，延长图①中的线段AD交NM的延长线于点E,延长线段BC交NM的延长线于点F,求证： ∠AEN=∠F (3)【应用探究】 如图③，在△ABC中，点D在AC上，AD=BC=3,M是DC的中点，N是AB的中点，连接NM并延 长，与BC的延长线交于点G,若∠GMC=45°，求MN的长. 16.(25-26八年级下山西朔州期中)数学课上，我们探究过三角形中位线定理：三角形的中位线平行于 三角形的第三边，并且等于第三边的一半.以下是对此定理的探究及证明过程： 已知：如图①，在△ABC中，D,E分别是AB,AC的中点. 求证：DE∥BC且DE=号BC 图① 图② 图③ 图④ 图⑤ (1)【定理探究】某数学小组有甲、乙、丙三位同学.他们在思考后说出了添加的辅助线： 甲：如图②，延长DE至点F,使EF=DE,连接CF, 乙：如图③，延长DE到点F,使EF=DE,连接FC,DC,AF. 丙：如图④，作AH⊥DE于点H,延长HD,使DG=HD,延长HE,使EF=HE,连接BG,CF」 三位同学所作的辅助线能证明三角形中位线定理的是 A.仅甲、乙B.仅乙C.仅乙、丙D.甲、乙、丙 (2)【定理证明】请你按“乙同学”所作的辅助线将证明过程补充完整 (3)【定理应用】如图⑤，B，C两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离.小颖在地面上选了点A 和点D,使AD∥BC,连接AB,DC,并分别找到AB和DC的中点M,N.若测得AD=8m, 6/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 MN=17m,则B,C两地间的距离为_m. 题型五、平行四边形与中位线综合问题 17.(25-26八年级下广西南宁期中)如图所示，D为△ABC内的一点，AD平分∠BAC,且AD⊥BD, 垂足为D,延长BD交AC于点G,E为BC的中点，点F在AC上，且CF=DE. (I)求证：四边形CEDF是平行四边形： (2)求证：AB+2CF=AC, 18.(25-26八年级上山东泰安期末)如图所示，在△ABC中，点D、E分别为ABAC的中点，点H在 线段CE上，连接BH,点G、F分别为BH、CH的中点. D E H B (I)求证：四边形DEFG为平行四边形： (2)若DG⊥BH,AD=4，,EF=3,求线段HG的长度. 19.(25-26九年级上山东烟台期末)点E是ABCD的边CD上的一点，连接EA并延长，使AM=EA, 连接EB并延长，使BN=EB,连接MN,F为MN的中点，连接CF,DM. M (I)求证：四边形DMFC是平行四边形： (2)连接EF,交AB于点O,若OF=5,求EF的长. 20.(25-26八年级上·浙江宁波期末)如图，在口ABCD中，点E是AB的中点，点P是BC上一点，连接 DE,交AP于点M,N是AP上一点，且AM=MN,连接BN并延长交DC于点F. 7/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D D G G M E E 图1 图2 图3 【初步尝试】 (I)四边形EBFD是平行四边形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，请说明理由： 【深入探究】 (2)如图2，若在图1的基础上连接MC交BF于点H,过点A作AG∥MC交DE于点G, ①猜想MC与AG的数量关系，并说明理由： ②如图3，当点P为BC中点时，若BF=a,AP-b:且尊48=G+，请求出。ABCD的面积（结果用 含a,b的式子表示). B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(25-26八年级下江苏南京期中)如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC的中点.若BC=6,则 DE的长为() ⊙ A.3 B.6 C.9 D.12 2.(25-26八年级下·山东滨州期中)如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点，连接BE、 DE,点F、H分别为BE、CE的中点，连接FH、DF,若DF=3,则HC的长为() 8113 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E H F B A.15 B.12 C.10 D.3 3.(2026陕西西安·三模)如图，EF是△ABC的中位线，∠BCA的角平分线交EF于点G,连接AG并延 长交BC于点D,若EF=7,BD=5,则AC的长为() B A.9 B.8 C.7 D.6 4.(25-26八年级下全国课后作业)如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD,AD=7,BD=4,CD=3, E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC的中点，则四边形EFGH的周长是() B A.12 B.14 C.24 D.21 5.(25-26八年级上全国课后作业)如图1，将一个面积为1的等边三角形纸片挖去连接三边中点所组成 的三角形后，继续挖去连接剩余各个三角形三边中点所成的三角形（如图2、图3）如此进行挖下去，第6 个图中，剩余图形的面积为() 图1 图2 图3 9113 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .1- - 二、填空题 6.(25-26九年级上福建漳州期末)如图，A,B两点被池塘隔开，在AB外选一点C,连接AC和BC, 并分别找出它们的中点M、N,若测得MN=18m,则A,B两点的距离为m. B 7.(25-26九年级上河南南阳期末)如图，在ABCD中，BE平分∠ABC,CF⊥BE，,连接AE,G是 AB的中点，连接GF,若AE=6,则GF= G B D 8.(25-26九年级上江苏南京期末)如图，在网格纸中，点A,B,C,D都是格点，AD,BC分别交网 格线PO于点E,F.若每个小方格的边长为1，则EF的长是一· 9.(25-26八年级上全国单元测试)如图所示，在△ABC中，BC=1,点B,M1分别是AB,AC边的中 点，点B,M2分别是AB,AM1的中点，点乃，M分别是A,AM2的中点…按这样的规律下去， PMn的长为 一(n为正整数) P M M P M ① ② ③ 10.(25-26八年级上重庆·期末)如图，平行四边形ABCD中，AD=5,CD=6,对角线ACBD交于点 10/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 O,M、N分别是BCCD的中点，则ON=一，点P是BD上一点，且BP=AB，点L是AP的中点，连 接LM,交ACBD于E、F,若∠CEM=∠BFM,则AM=一· 三、解答题 1L.(25-26八年级下北京阶段检测)如图，E是AB的中点，DB,CE交于点F,DF=FB,AF∥DC. E (I)求证：四边形AFCD为平行四边形： (2)若∠EFB=90°，BF=3EF,EF=1,连接BC,求BC的长， 12.(25-26八年级下·全国课后作业)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是边AC上一点， CD=2AD,连接BD,E,F分别是BC,BD的中点，连接AF,EF,DE, B (I)求证：四边形ADEF是平行四边形. (2)若BD=2AF,∠CED=∠BEF,AB=30,求EF的长. 13.(25-26八年级上山东淄博期末)(1)如图1，AB∥CD,AC与BD相交于点O,EF过点O,且分 别交AB,CD于点E,F,且OE=OF.判断四边形ABCD的形状，并加以证明. G F 图1 图2 (2)如图2，在△ABC中，点D,E分别为边AB,AC的中点，点H在线段CE上，连接BH,点G,F分 别为BH,CH的中点. 11/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①求证：四边形DEFG为平行四边形： ②若DG⊥BH,BD=3,EF=2,求BH的长. 14.(25-26八年级下·全国课后作业)(1)如图①，BD,CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作 AF⊥BD' AG⊥CE, 垂足分别是F,G,连接FG·求证：FG=(4B+BC+AC). 图① (2)如图②，若BD,CE分别是△ABC的内角平分线，过点A作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分别是F, G,连接FG.猜想线段FG与△ABC的三边的数量关系，并说明理由. 图② 15.(25-26八年级下北京课后作业)【三角形中位线定理】已知：在△ABC中，点D,E分别是边AB, AC的中点.直接写出DE和BC的关系为一； 【应用】如图，在四边形ABCD中，点E,F分别是边AB,AD的中点，若BC=5,CD=4,EF=1.5, ∠AFE=45°，则∠ADC的度数为_度： 【拓展】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E,点MN分别为AD,BC的中点，MN分别 交AC,BD于点F,G,EF=EG.求证：BD=AC. 图① 图② 图③ 16.(25-26九年级上山西大同月考)综合与探究 问题情境 在数学活动课上，老师提出一个问题：如图1，△ABC与△ADE都为等腰直角三角形，其中， ∠BAC=∠DAE=9O°，AB=AC,AD=AE.将△ABC固定，△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD,CE」 12/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 试判断BD与CE的数量关系及位置关系，并说明理由. D 图1 图2 备用图1 备用图2 (1)请解答老师提出的问题. 深入探究 (2)如图2，连接BE,点P,M,N分别为BE,DE,BC的中点，连接PM,PN,，MN.试判断 △PMN的形状，并说明理由. 拓展延伸 (3)连接BE,点P,M,N分别为BE,DE,BC的中点，连接PM,PN,MN.若AB=4,AD=2, 在△ADE旋转过程中，当点C,D,E在同一条直线上时，直接写出MN的长. 13/13