专题02 平行四边形中折叠、旋转、线段最值、新定义型问题（4大题型）（专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02平行四边形中折叠、旋转、线段最值、新定义型问题 目录 A题型建模·专项突破 题型一、平行四边形中折叠问题… .1 题型二、平行四边形中旋转问题 .9 题型三、平行四边形中最值问题… .14 题型四、平行四边形中新定义型问题. ….19 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、平行四边形中折叠问题 1.(2025山东潍坊中考真题)如图，在口ABCD中，点E在边BC上，将△ABE沿AE折叠，点B的对应 点B'恰好落在边DC上；将△ADB'沿AB折叠，点D的对应点D'恰好落在AE上.若∠C=a,则 ∠CB'E= (用含0的式子表示) D B 2（2425八年级下浙江宁波期中)如图，函数y=5 3 x+2与x轴，y轴交于A,B两点，点C是AB中 点，点D从点A出发沿着AO方向移动，连接CD.将△ACD沿CD折叠，点A的对应点为'，当A',B, C,D四点构成的四边形是平行四边形时，点D的坐标为 B 1 A 3.(25-26八年级下·浙江金华月考)如图1，在口ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O的直线EF 分别与AD,BC交于点E,F,将四边形ABFE沿EF折叠得到四边形MNFE,点M在AD上方，MN交 线段AD于点T,交线段CD于点H,FV交线段CD于点G,连接OH. 1/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (①)求证：EM=FC: (2)求证：△EMT≌△FCG,OH⊥EF (3)如图2，若MN⊥CD,∠ABC=60°，BF=4+2V5,FC=2,求GN、OH的长. 4.(2425八年级下·江西吉安期末)在平行四边形纸片ABCD中，E为CD边上一点，将△ADE沿AE折 叠，点D的对应点为D D G E E 图① 图② 图③ (I)如图①，当点D'恰好落在AB边上时，四边形D'BCE的形状为. (2)如图②，当E,F为CD边的三等分点时，连接FD'并延长，交AB边于点G.试判断线段AG与BG的 数量关系，并说明理由： (3)如图③，当∠ABC=60°，∠DAE=45°时，连接DD'并延长，交BC边于点H.若口ABCD的面积为24， AD=4,求线段D'H的长. 题型二、平行四边形中旋转问题 5.(25-26八年级上山东泰安期末)如图，将平行四边形ABCD绕点A旋转°得到平行四边形ABCD, 点B落在边CD上，若∠C=76°，则当B,B,C三点共线时，Q等于 B 6.(24-25八年级下山东青岛月考)如图，在口04BC中，A(1,2),C0=4,将口0ABC绕0点逆时针方 向旋转90°到oOA'B'C'的位置，则点B的坐标是 218 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.(25-26八年级下·江苏无锡月考)如图，为验证平行四边形的中心对称性，小明将两张全等的平行四 边形纸片重叠在一起，其中AB=6,BC=10.将其中一张纸片绕它的中心旋转，当点A和点C的对应点 和C分别落在边AD和BC上时，BC'=2,则AD的长为 两张纸片重合部分（阴影部分）的 面积是 B D B D 8.(2425八年级下山西运城期末)如图，在平面直角坐标系中，口OABC的顶点A,B的坐标分别为 (4,0),(5,3),将口OABC绕点O逆时针方向旋转得到-OAB'C',当点C'落在BC的延长线上时，边OA 的延长线交BC于点E,则线段CE的长度为」 题型三、平行四边形中最值问题 9.(24-25八年级下福建漳州期中)如图，在口ABCD中，AB=4V2,BC=6,点E为直线BC上一动 点，连接AE,DE,若∠ABC=45°，则AE+DE的最小值为一· D E C 10.(24-25八年级下江苏无锡月考)如图，口ABCD中，∠DAB=30°，AB=4,BC=3,P为边CD上 318 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的一动点，则PB+与PD的最小值等于 B 11.(24-25八年级下·贵州遵义期末)如图，在口ABCD中，∠BAC=90°，AD=5,AC=4.点E,F分 别是线段BC,AC上的两动点，且BE=CF,连接AE,BF,则AE+BF的最小值为 D 12. (24-25八年级上广东广州期末)如图，在口ABCD中AD=1,AB=2,∠DAB=60° D D 图1 图2 图3 备用图 (I)求∠ADB度数. (2)点E是AB上的动点，将△ADE沿直线DE翻折等到△A'DE,则线段A'B是否存在最小值？存在则求出 最小值，不存在请说明理由. (3)在(2)的条件之下，点P是线段AB上的动点，连接CP,AP,CP+AP是否存在最小值？存在则求 出最小值，不存在请说明理由.· 题型四、平行四边形中新定义型问题 13.(24-25八年级下·浙江舟山期中)类比于等腰三角形的定义，我们定义：有组邻边相等的凸四边形叫 做“等邻边四边形” C 图1 图2 图3 备用图 4/8 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)如图1，四边形ABCD的顶点A、B、C在网格格点上，请你在5×T的正方形网格中分别画出3个不同 形状的等邻边四边形ABCD,要求顶点D在网格格点上； (2)如图2，在平行四边形ABCD中，E是BC上一点，F是AE上一点，AD=AE,∠DFE=∠C,请说明 四边形DCEF是“等邻边四边形”； (3)如图3，在平行四边形ABCD中，∠C=60°，AE平分∠DAB,交BC于点E,AB=4,CE=2,F是 线段AE上一点，当四边形DCEF是“等邻边四边形”时，请求出AF的长度 14.(24-25八年级下·江西赣州期中)定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形。 B E 图1 图2 图3 图4 (I)如图1，在邻余四边形ABCD中，∠B=38°，则∠C= (2)如图2，在△ABC中，AC=8N5,BC=8,DE垂直平分AC交AB于点E,垂足为D,且DE=2V5, BE=6,F为BC上一点，求证：四边形AEFC是邻余四边形： (3)如图3、图4，在邻余四边形ABCD中，E为AB中点，∠DEC=90° ①如图3，当DE⊥AD时，判断四边形BCDE的形状并证明你的结论： ②如图4，当AD=9,BC=12时，求CD的长. B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(25-26八年级上山东潍坊期末)如图，将口ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，BF交AD 于点E.若口ABCD的周长为12，则△ABE的周长是() 5/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.3 B.6 C.8 D.12 2.(24-25八年级下山东济南期末)如图，在口ABCD中，∠B=65°，将口ABCD绕顶点A按顺时针方向 旋转得到口AB'CD',当CD首次经过点D时，旋转角的度数为() B A.70° B.65 C.50° D.45° 3.(2026安徽蚌埠一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2W5,BC=2,点D是AC延长线 上一点，以BA,BD为邻边作平行四边形ABDE,连接CE,BE,则下列结论错误的是() B A.△ACE的面积不变 B.△BED的周长的最小值为3V3+4 C.BE的最小值为4 D.若点G与点C关于BD对称，则AG的最大值为6 二、填空题 4.(2425八年级下陕西西安期末)如图，口ABCD绕点A按逆时针方向旋转36°，得到口ABCD,点 B'恰好落在BC边上，B'C'和CD相交于点E,则∠B'EC的度数是 D B B' 5.(2425八年级下·贵州六盘水期末)如图，在面积为24的口ABCD中，BC=6,点P为AD边上的一 点，连接PB,PC则PB+PC的最小值为 P D 6/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.(25-26八年级下辽宁鞍山：月考)同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动.在平行 四边形纸片ABCD中，己知AB=10,AD=4W10,口ABCD的面积为120.点E为BC边上任意一点，将 △ABE沿AE折叠，点B的对应点为B'.改变E点的位置，将△ABE沿AE折叠，连接B'C,当△BCB为直 角三角形时，则B'C的长是 三、解答题 7.(2025湖南长沙·一模)如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落 在点G处，折痕为EF G E (I)求证：△EBC≌△FGC: (2)若∠ECB=30°，∠A=120°，试判断△ECF的形状，并说明理由. 8.(24-25八年级上山东威海期末)综合实践课上，老师让同学们开展了口ABCD的折纸活动，E是BC 边上的一动点，F是AD边上的一动点，将口ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AB边上的点M处，点D 的对应点为点N,连接CM A M B E E 图1 图2 (I)【观察发现】如图1，若∠D=60°，ME⊥AB,BE=2,则EC= ∠NFA= (2)【操作探究】如图2，当点N落在BA的延长线上时，求证：四边形EMWF为平行四边形 9.(2425八年级上山东潍坊期末)已知：将口ABCD沿对角线AC折叠，△DAC折到△FAC位置. 718 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)证明BE=EF: (2)如果AC=6cm,B、D两点间距离为8cm,请在对角线AC上找一点O,使得OB+OF的值最小，并求 最小值： (3)探索：线段AF与BC满足什么关系时，点D、C、F在同一条直线上，请给出证明， 10.(25-26八年级下·上海普陀期中)定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫 作半角四边形.如图1，直线！∥L,点4、D在直线1上，点B、C在直线L上，若∠BCD=)∠BAD,则 四边形ABCD是半角四边形. A D O(C) 图1 图2 图3 (1)如图2，点E是口ABCD的边AD上一点，∠A=60°，AB=4,AE=6,如果四边形ABCE是半角四边 形，那么BC的长是一： (2)如图3，以口ABCD的顶点C为坐标原点，边CD所在直线为x轴，对角线AC所在直线为y轴，建立平 面直角坐标系.点E是边AD上一点，满足BC=AE+CE ①求证：四边形ABCE是半角四边形： ②当AB=AE=4,∠B=60°时，如果在第一象限内存在点P,使得以点A、B、E、P为顶点的四边形是半 角四边形，请直接写出所有符合要求的点P的坐标。 818 专题02 平行四边形中折叠、旋转、线段最值、新定义型问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、平行四边形中折叠问题 1 题型二、平行四边形中旋转问题 9 题型三、平行四边形中最值问题 14 题型四、平行四边形中新定义型问题 19 B综合攻坚・能力跃升 题型一、平行四边形中折叠问题 1．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点在边上，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上；将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则______．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，平行线的性质，由四边形是平行四边形，得，，由折叠性质可知， ，，，故有，根据平行线的性质得，，最后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠性质可知，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，函数与x轴，y轴交于A，B两点，点C是中点，点D从点A出发沿着方向移动，连接．将沿折叠，点A的对应点为，当，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形时，点D的坐标为__________ ． 【答案】或 【分析】根据一次函数的表达式求得，的值，进而求得的值，分两种情形：当四边形是平行四边形时，，可求得，进而得出，同样求得当四边形是平行四边形时的情形． 【详解】解：当时，， ∴， ∴． 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图1， 当四边形是平行四边形时，． ∵沿折叠，点A的对应点为， ∴． ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴． 如图2，连接， 当四边形是平行四边形时，，， ∵沿折叠，点A的对应点为， ∴． ∵，C是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵点，点均在轴上，点是，的公共点，轴， ∴点D和点O重合， ∴． 综上所述：点D的坐标为或． 3．（25-26八年级下·浙江金华·月考）如图1，在中，O是对角线的中点，过点O的直线分别与，交于点E，F，将四边形沿折叠得到四边形，点M在上方，交线段于点T，交线段于点H，交线段于点G，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，若，求、的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4； 【分析】（1）根据平行四边形的性质，证明，得到．根据折叠性质，得到．等量代换即可得证． （2）根据平行四边形的性质，折叠的性质，证明，，继而证明，延长交的延长线于点K，延长交的延长线于点L，证明，得到，，根据等腰三角形的三线合一性质即可证明． （3）过点H作交的延长线于点Q，过点O作于点R，连接，过点C作于点K，得到，根据折叠的性质，勾股定理等证明是等腰直角三角形，再利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：， ∴，， ∴．， 在和中， ∵， ∴， ∴． ∵四边形沿折叠得到四边形， ∴． ∴． （2）证明：∵四边形沿折叠得到四边形， ∴，，，， ， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 延长交的延长线于点K，延长交的延长线于点L， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． （3）解：过点H作交的延长线于点Q，过点O作于点R，连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， 过点C作于点K， ，， ， ， 根据折叠的性质，得， ； ，， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 根据（2）证明，得， ， ， ． 4．（24-25八年级下·江西吉安·期末）在平行四边形纸片中，E为边上一点，将沿折叠，点D的对应点为． (1)如图①，当点恰好落在边上时，四边形的形状为 ． (2)如图②，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图③，当，时，连接并延长，交边于点H．若的面积为，，求线段的长． 【答案】(1)平行四边形； (2)，理由见详解； (3) 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，菱形的判定，翻折的性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． （1）利用平行四边形的性质及折叠的性质可得，，可得四边形是菱形，可知，继而可知，即可求解； （2）利用折叠的性质可得，，结合三等分点可知，进而可得，利用三角形外角性质可得，进而可知，可得四边形是平行四边形，再结合平行四边形的性质即可得与的数量关系； （3）由折叠可知：，，易知为等腰直角三角形，延长交于M，可知，由平行四边形的性质可得，，，进而可知由的面积为，，得，求得，可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，则， 由折叠可知：，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：平行四边形； （2）（2），理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵E，F为边的三等分点， ∴， 由折叠可知：，， 则， ∴， 由三角形外角性质可知：， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，则， ∴； （3）（3）由折叠可知：，， ∴，则为等腰直角三角形， ∴， 延长交于M，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，即， ∴， ∵的面积为，，即：， ∴， 则， ∴． 题型二、平行四边形中旋转问题 5．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，将平行四边形绕点旋转得到平行四边形，点落在边上，若，则当，，三点共线时，等于_________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质等知识， 根据旋转的性质，平行四边形的性质可求出，，，根据平行线的性质可求出，然后根据等边对等角求出，根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：∵平行四边形绕点旋转得到平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵等于， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·山东青岛·月考）如图，在中，，，将绕O点逆时针方向旋转到的位置，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及旋转的性质，由平行四边形的性质可得，可求点B的坐标，利用旋转的性质得B点对应点到原点距离相同，进而得出坐标． 【详解】解：如图，过点B作轴于E，点作轴于D，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵将绕O点逆时针方向旋转到的位置，且， ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴点的坐标是：． 故答案为：． 7．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）如图，为验证平行四边形的中心对称性，小明将两张全等的平行四边形纸片重叠在一起，其中，．将其中一张纸片绕它的中心旋转，当点A和点C的对应点和分别落在边和上时，，则的长为________．两张纸片重合部分（阴影部分）的面积是________． 【答案】 2 【分析】先证明四边形为矩形，再由角边角的证明方法证明与全等，由此可得，再由角角边的证明方法证明与全等，由此可得，再通过勾股定理求解的长度，再由面积公式计算即可． 【详解】解：连接，，过点作，点M如图， 根据题意可知，， ∴四边形为矩形， ∴， 在平行四边形中，，， 且， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∵，， 在与中， ， ∴， ∴， 设， ∵，， 在中，， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 即，解得， ∴， ∴阴影部分的面积是． 8．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，，将绕点逆时针方向旋转得到，当点落在的延长线上时，边的延长线交于点，则线段的长度为_______． 【答案】5 【分析】连接，设与轴相交于点，由平行四边形性质得，，轴，则点，设，，由旋转的性质得，，，，进而得，，则点，，，利用三角形内角和定理计算得，则点，，三点共线，再求出直线的表达式为，进而可求出直线的表达式为，设点的坐标为，根据得，由此解出得点，继而可求出直线的表达式为，然后再求出点的坐标为即可得出的长． 【详解】解：连接，设与轴相交于点，如图所示： 点，点， ，， 四边形是平行四边形， ，，， ，轴， 点， ， 设，， 由旋转的性质得：，，，，， ， ，， 点的坐标为，， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 点，，三点共线， ， 设直线的表达式为：， 将点代入，得：， 直线的表达式为：， ， 设直线的表达式为：， 将点代入，得：， 直线的表达式为：， 设点的坐标为， ，，， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ， 点的坐标为， 设直线的表达式为：， 将点代入，得：， 解得：， 直线的表达式为：， 对于，当时，， 点的坐标为， ， ． 故答案为：． 题型三、平行四边形中最值问题 9．（24-25八年级下·福建漳州·期中）如图，在中，，，点E为直线上一动点，连接，，若，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称——最短路线问题，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握轴对称——最短路线问题是解题的关键． 作点关于的对称点，连接，设交于点，则即为的最小值，根据可得是等腰直角三角形，进而求出在中， ，再在中，根据勾股定理可得，由此即可求出的最小值． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，，设交于点， 则即为的最小值， 由轴对称的性质可得： ，， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 的最小值为， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，的直角边等于斜边的一半，垂线段最短，根据题意添加合适的辅助线是解题关键． 过点作，交的延长线于点，利用平行四边形的性质得，通过“直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”可得，即当点、点、点三点共线，且时，有最小值，结合、即可求解的值． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 当点、点、点三点共线，且时，有最小值，即， ，， ． 故答案为：． 11．（24-25八年级下·贵州遵义·期末）如图，在中，，，．点，分别是线段，上的两动点，且，连接，，则的最小值为________．    【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理，两点之间，线段最短，过点B作且使，连接，，证明，得进而可得，再由两点之间线段最短可得：，所以当点在上时，有最小值为，利用勾股定理计算即可，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：过点B作且使，连接，，    ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可得： ，所以当点在上时，有最小值, 即有最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴中，， ∴最小值为：， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，， (1)求度数． (2)点是上的动点，将沿直线翻折等到，则线段是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． (3)在（2）的条件之下，点是线段上的动点，连接，，是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，； (3)存在，． 【分析】（1）取的中点，连接、，则，证明是等边三角形得出，再由等边对等角结合三角形外角的定义及性质计算即可得解； （2）得出的轨迹是以为圆心，以为半径的半圆．结合当点在线段上时，线段最小，即可得解； （3）作点关于直线的对称点，连接交于，连交于，点即为所求，当、、共线时，的值最小，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：取的中点，连接、，则， ，，， 是等边三角形 ∴， 又， ∴， ． （2）解：∵到点的距离等于， ∴的轨迹是以为圆心，以为半径的半圆． 当在线段上时，线段最小， 由（1）可得， ∴， 即线段长度最小值为 （3）解：存在． 作点关于直线的对称点，连接交于，连交于，点即为所求． ， 则， 当、、共线时，的值最小， 由题意可得：，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴，即， ∴ ∴，即的最小值为． 题型四、平行四边形中新定义型问题 13．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）类比于等腰三角形的定义，我们定义：有组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． (1)如图1，四边形的顶点、、在网格格点上，请你在的正方形网格中分别画出3个不同形状的等邻边四边形，要求顶点在网格格点上； (2)如图2，在平行四边形中，是上一点，是上一点，，，请说明四边形是“等邻边四边形”； (3)如图3，在平行四边形中，，平分，交于点，，，是线段上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，请求出的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或或． 【分析】（1）根据勾股定理和“等邻边四边形”的定义求解即可； （2）根据题意证明出，得到，进而求解即可； （3）如图所示，过点B作交于点G，首先求出，得到，求出，然后根据题意分3种情况讨论，然后分别根据勾股定理和等边三角形的性质求解即可． 【详解】（1）如图所示， 图（甲）和图（乙）中，； 图（丙）中； ∴四边形是等邻边四边形； （2）∵四边形是平行四边形 ∴，， ∴ ∵，， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴四边形是“等邻边四边形”； （3）如图所示，过点B作交于点G ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平分 ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴当四边形是“等邻边四边形”，且时， ∴； 如图所示，当时，过点F作交于点H，连接 ∴ ∵， ∴， ∵，即 ∴ ∴， ∴ ∴此时四边形是“等邻边四边形”； ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴， 如图所示，当时，过点M作交于点M ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 综上所述，当四边形是“等邻边四边形”时，的长度为或或． 14．（24-25八年级下·江西赣州·期中）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形． (1)如图1，在邻余四边形中，，则________； (2)如图2，在中，，，垂直平分交于点，垂足为，且，，为上一点，求证：四边形是邻余四边形； (3)如图3、图4，在邻余四边形中，为中点，， ①如图3，当时，判断四边形的形状并证明你的结论； ②如图4，当，时，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)15 【分析】（1）根据邻余四边形的定义即可作答； （2）垂直平分，根据勾股定理逆定理，，即可证明； （3）①四边形是邻余四边形，，进而推出，，四边形是平行四边形，进而即可证明； ②延长到点F，使得，连接，推出，，则，进而作答即可． 【详解】（1）解：∵邻余四边形，为锐角， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是邻余四边形； （3）解：①四边形为平行四边形， ∵四边形是邻余四边形， ∴， ∵， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵E是中点， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵A、E、B三点共线且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E是中点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵A、E、B三点共线，， ∴， ∴四边形是平行四边形； ②如图，延长到点F，使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是邻余四边形， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴的长为15． 一、单选题 1．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．若的周长为12，则的周长是（   ） A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，图形的周长，熟练掌握性质是解题的关键．根据平行四边形的性质，得，结合折叠的性质，得，继而证明，根据图形的周长定义计算即可． 【详解】解：， ， ， 根据折叠的性质，得， ， ， 又的周长是， 故的周长是， 的周长为12， ， 故的周长是6， 故选：B． 2．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，将绕顶点A按顺时针方向旋转得到，当首次经过点D时，旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，旋转的性质，等边对等角． 根据平行四边形的性质得到，由旋转的性质得到，，根据等边对等角得到，即可求出旋转角的度数． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵绕顶点A按顺时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 故选：C 3．（2026·安徽蚌埠·一模）如图，在中，，，，点是延长线上一点，以，为邻边作平行四边形，连接，，则下列结论错误的是（    ） A．的面积不变 B．的周长的最小值为 C．的最小值为4 D．若点G与点C关于对称，则的最大值为6 【答案】B 【分析】过点作于点，证明得到，再由三角形面积公式即可判断A；确定点在如图直线上运动，延长交直线于点，至点，使得，连接，则点为点关于直线的对称点，那么，则，当点三点共线时，取得最小值为，在中，求出，即可判断B；由于点在直线上运动，则，故的最小值为4，即可判断C；当点G在线段的延长线上时，的值最大，即可判断D． 【详解】解：过点作于点，则， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积不变，故A正确，不符合题意； ∵， ∴的周长， 由上知， ∴点到直线的距离为2，则点在如图直线上运动， 延长交直线于点，至点，使得，连接， ∵，， ∴， ∴点为点关于直线的对称点， ∴， ∴， 当点三点共线时，取得最小值为， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴的最小值为，即周长的最小值为， 故B错误，符合题意； ∵点在直线上运动， ∴， ∴的最小值为4，故C正确，不符合题意； ∵点C，G关于对称，则， ∴点G在以点B为圆心，2为半径的圆上， ∴当点G在线段的延长线上时，如图， 的值最大，最大值为，故D正确，不符合题意． 二、填空题 4．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，绕点按逆时针方向旋转，得到，点恰好落在边上，和相交于点，则的度数是________． 【答案】/36度 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，由旋转的性质可得，，，，由等腰三角形的性质可得，由三角形的内角和定理可求解． 【详解】解：平行四边形绕点逆时针旋转，得到， ，，，， ， ，， ， ， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·贵州六盘水·期末）如图，在面积为24的中，，点为边上的一点，连接，则的最小值为___________． 【答案】10 【分析】本题考查平行四边形面积公式，轴对称的性质，三角形三边关系，勾股定理；作C点关于的对称点，连接，，，由轴对称的性质可得，，，所以，当P点与F点重合时时有最小值即为的长度，再根据平行四边形面积公式和勾股定理计算出的长度即可. 【详解】解：作C点关于的对称点，连接，，，如图所示， 由轴对称的性质可得，，， ∴ 当P点与F点重合时时有最小值即为的长度， ∵的面积为24 ∴ ∴ ∴ ∵四边行是平行四边形 ∴ ∴ 在中， ∴的最小值为10， 故答案为：10 6．（25-26八年级下·辽宁鞍山·月考）同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为．改变E点的位置，将沿折叠，连接，当为直角三角形时，则的长是______． 【答案】或或 【分析】分和两种情况，分别作出相应图形，进行讨论求解即可． 【详解】解：①当时，延长交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴； 如图，当重合时，记，的交点为， ∵当时，， ∴，而， ∴， ∴当重合时，， 由折叠可得：； ②当时，如图，设与交于点，作， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：的长是或或． 三、解答题 7．（2025·湖南长沙·一模）如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)为等腰直角三角形，理由见解析 【分析】（1）由折叠得到，，，然后得到，即可证明出； （2）首先根据平行四边形的性质得到，，然后由全等得到，得到，即可证明出为等腰直角三角形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 由折叠可得，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形． 8．（24-25八年级上·山东威海·期末）综合实践课上，老师让同学们开展了的折纸活动，是边上的一动点，是边上的一动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，连接．    (1)【观察发现】如图1，若，，，则___________，___________． (2)【操作探究】如图2，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质和直角三角形的性质结合勾股定理求得，由折叠知，由折叠的性质可得，再由平行四边形的性质求得，据此即可求解． （2）根据折叠的性质先证，再证即可证明四边形为平行四边形． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 由折叠知， 由折叠知， ∵， ∴， ∴， 由折叠知， ∴， 故答案为：，； （2）证明：由折叠知，，． ， ， ， ， ， ∵， ∴，， ， ， ， ，点在延长线上， ， ， ． ， ， 四边形是平行四边形． 9．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）已知：将沿对角线折叠，折到位置． (1)证明； (2)如果，B、D两点间距离为，请在对角线上找一点O，使得的值最小，并求最小值； (3)探索：线段与满足什么关系时，点D、C、F在同一条直线上，请给出证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)当线与互相平分时，点D、C、F在同一条直线上，理由见解析 【分析】（1）本题考查了平行四边形的性质，翻折的性质，解题的关键是证明； （2）本题考查了平行四边形的性质，翻折的性质，解题的关键是证明； （3）本题考查了平行四边形的性质，翻折的性质，解题的关键是证明． 【详解】（1）解：证明：如图1中， 四边形是平行四边形， ， ， 翻折得到， ， ， ， ， ， ； （2）连接交于点O，连接， 点F与D关于对称， ， 当点O为与交点时，的值最小，最小值为线段的长，即最小值为； （3）当线段与互相平分时，点D、C、F在同一条直线上． 理由：与互相平分，， ， ， ， ， 即， 翻折得到， ， 点D、C、F在同一条直线上． 10．（25-26八年级下·上海普陀·期中）定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫作半角四边形．如图1，直线，点A、D在直线上，点B、C在直线上，若，则四边形是半角四边形． (1)如图2，点E是的边上一点，，，，如果四边形是半角四边形，那么的长是______； (2)如图3，以的顶点C为坐标原点，边所在直线为x轴，对角线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．点E是边上一点，满足． ①求证：四边形是半角四边形； ②当，时，如果在第一象限内存在点P，使得以点A、B、E、P为顶点的四边形是半角四边形，请直接写出所有符合要求的点P的坐标． 【答案】(1) (2)①见解析；②或或或或． 【分析】（1）根据半角四边形的定义可得出，进而可得出，由等角对等边可得出，结合即可求出的长； （2）①由平行四边形的性质可得出，，进而可得出，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得出，再结合半角四边形的定义即可证出四边形是半角四边形；②先求出点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．当以点A、B、E、P为顶点的四边形为平行四边形时，画出图形，根据半角四边形的性质即可求解． 【详解】（1）解：四边形为半角四边形，，，， ，，，， ， ， ， ； （2）①证明：四边形为平行四边形， ，， ， ，即， 又， 四边形是半角四边形； ②解： ，，四边形为平行四边形， ，，， ，，， 为的中点， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 当时，则， ∵平行x轴， ∴轴， ∴点纵坐标为，， ∴， ∴， ∴， 若，如图，过点作，设交轴于点， 则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当，且时，如图，过点作轴于点， 则， 四边形为平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与点重合（舍去）； 当，且时，如图，过点作交延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 设，则，， ∴， 在中，， ∴，即， ∴，即， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵点的坐标为， ∴； 当，且时，如图，过点作交延长线于点， 同理，得， 则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴，， ∵点的坐标为， ∴； 当，且时，如图，过点作交于点， 同理，得， ∴，， ∴， ∴，， 设，则，， ∴，即， ∴（负值舍去）， ∴，， ∴的坐标为； 当，且时，如图， 同理，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴的坐标为； 综上，符合要求的点P的坐标为或或或或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $