专题06平行四边形压轴专项训练(10大题型+压轴题型精析)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题06平行四边形压轴专项训练 【温馨提示】10大高频压轴题型全覆盖，每类配经典母题精讲 + 梯度跟踪专练。所有题目附标准答案 + 思路分析 + 步骤详解，无基础题，学生提分、教师备课直接用，可编辑打印。 题型01.平行四边形性质判定综合证明 题型02.平行四边形动点存在性问题 题型03.平行四边形最大值问题 题型04.平行四边形最小值问题 题型05.平行四边形定值问题 题型06.平行四边形折叠问题 题型07.平行四边形多结论问题 题型08.平行四边形与坐标系综合 题型09.平行四边形中位线综合问题 题型10.平行四边形分类讨论问题 题型01.平行四边形性质判定综合证明 【典例】如图，的对角线，相交于点，点，是边上的点，满足，且，，，，则四边形的面积为_____． 【答案】/ 【分析】先利用平行四边形对角线互相平分的性质，证得；通过等腰三角形的性质和角度关系，推出；接着在直角三角形中求出高，结合等腰三角形的性质，得到的长度；最后判定四边形为平行四边形，进而计算其面积． 【详解】解：如图，在上取点，使，连接，过点作于，取的中点，连接，过点作于， ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，为中点， ∴． ∵，， ∴． 在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 在中，，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴． 【跟踪专练1】图，是的对角线，过点B作交于点G，垂足为E，过点D作交于点H，垂足为F，连接、．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长，其中正确的是（   ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，通过相关性质逐一判断即可，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，,, ∴， ∵，， ∴， ∴（）①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形；②正确； ∵， ∴不一定相等；③错误； ∵四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴,,， ∴， ∴;④正确． 【跟踪专练2】如图，在中，，点E从点A出发沿射线以的速度运动，同时点F从点B出发沿射线以的速度运动，设运动时间为． (1)连接，，当经过的中点O时，求证：； (2)请求出当t为何值时，以A，C，F，E为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】(1)见解析 (2)当或时，以A、C、F、E为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，由此即可证明，得到； （2）当点F在线段上时，则，当点F在线段延长线上时，则，再根据平行四边形的性质得到，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意得，， 当点F在线段上时，则， 当点F在线段延长线上时，则， ∵， ∴以A、C、F、E为顶点的四边形是平行四边形时，， ∴或， 解得或， ∴当或时，以A、C、F、E为顶点的四边形是平行四边形． 【跟踪专练3】在平行四边形中，点是对角线的中点，点在边上，的延长线与边交于点，连接，如图1． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，过点作的垂线，与分别交于点，如图． ①求证：；②已知，直接写出的长_________． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）通过证明，得，又，即可证明四边形是平行四边形； （2）①根据，，得，，则有，再证，得出，然后证明，得，进而根据等腰直角三角形的性质即可解决问题； ②根据题意设，勾股定理求得，得出，进而得出的长，再根据等面积法，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，点是对角线的中点， ，， ． 在和中， ， ， ． ， 四边形是平行四边形； （2）①证明：如图2，过点作于点，过点作于点， ，， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， 又，， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 又， ． ②∵ 设 ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中， ∴ ∴ ∵， ∴ 题型02.平行四边形动点存在性问题 【典例】在平面直角坐标系中，已知点，点，点，点从点出发，以2个单位每秒的速度沿射线运动，点从点出发，开始以1个单位每秒的速度向原点运动，到达原点后停止运动，若两点同时出发，设运动时间为秒，则当_____时，以点为顶点的四边形为平行四边形． 【答案】1或3 【分析】利用A、B、C的坐标可得到，根据平行四边形的判定，当时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形，分情况讨论，计算即可． 【详解】解：， 轴， ， 当时，以点为顶点的四边形为平行四边形， 若时，，此时，解得； 若时，，此时，解得； 综上所述，当t为1或3时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形． 【跟踪专练1】如图，在中，与交于，在上，，，，是的中点，点以秒的速度从出发，沿向运动，点同时以秒的速度从点出发，沿向点运动，点运动到点时停止运动，点也同时停止运动，当点运动（　　）秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形． A．3或4 B．3或5 C．4或6 D．4或5 【答案】B 【分析】先利用平行四边形的性质和已知推导出，再根据等角对等边得到，则，然后利用平行四边形的性质得到，进而列方程求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 又， ， ， ， 点是的中点， ， 以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形， ， ，或， 或5． 【跟踪专练2】如图，在中，，，连接，恰有，过点作于点．动点从点出发沿线段以的速度向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点的运动时间为． (1)求和的长度； (2)当为何值时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形． 【答案】(1)， (2)的值为2或4 【分析】（1）求出，则，利用勾股定理可得，由平行四边形的性质和平行线的性质得到，则，据此利用勾股定理求出的长即可； （2）由，可知和是该平行四边形的一组对边，则，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，和是该平行四边形的一组对边， ∴， 由题意知，两点停止运动的时间为，， 当时，， ∴， 解得； 当时， ， ∴， 解得； 综上所述，当的值为2或4时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形． 【跟踪专练3】.如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．点为的中点，点在线段上，，点为线段上一动点，连接、． (1)求直线的表达式； (2)若的面积为20，求点坐标； (3)在（2）的条件下，点在轴上，点在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形为平行四边形．若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点E坐标为 ； (3)Q坐标为或或 【分析】（1）根据一次函数解析式，分别令，可以得两点的坐标，根据两点的坐标，求出与的长度，再根据和点C为的中点来确定C与D的坐标，然后根据待定系数法可以计算出直线的解析式； （2）根据的面积的面积的面积的面积的面积，求解即可； （3）设点，点，分情况讨论∶①以，为对角线，②以，为对角线，③以，为对角线分别列二元一次方程组，求解即可． 【详解】（1）解∶∵直线交x轴于点A，交y轴于点B， 时，， 点， ， ∵点C为的中点， ， ， 当时，， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式：， 将点，点代入直线解析式 得 ， 解得 ， ∴直线的解析式为； （2）解：设点， ， ， 的面积， ， ， 的面积， 的面积， 的面积， 的面积的面积的面积的面积的面积， ， 解得， ， ∴点E坐标为 ； （3）解：存在以D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形， ∴设点，点， ①当四边形以， 为对角线时， ∵点，， ∴， 解得， ， ∴点； ②当四边形以， 为对角线， ∵点，， ， 解得， ， ∴点， ③当四边形以， 为对角线， ， 解得， ， ∴点， 综上，满足条件的点Q坐标为或或． 题型03.平行四边形最大值问题 【典例】如图，在中，，点A为上一动点（不与点M、N重合），作，分别交于点B、C，作关于直线的对称，连接，则周长的最大值________． 【答案】 10 【分析】根据题意得到是等腰三角形，，则，证明四边形是平行四边形，得到，如图所示，连接，当最小时，的值最大，即周长的值最大，结合三角形三边关系即可求解． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形，则， ∵， ∴， ∴是等腰三角形，则， ∵关于直线的对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 如图所示，连接， ∵， ∴， ∴当最小时，的值最大，即周长的值最大， ∵关于直线的对称， ∴， ∴， ∵， ∴当时，即，则，此时周长的值最大，最大值为10， 故答案为：10 ． 【跟踪专练1】如图，平行四边形中，，点M，N分别为线段上的动点（含端点），点E，F，G分别为的中点，则长度的最大值为（　　）． A． B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质等知识点，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键．如图：连接，根据三角形的中位线得到，由图形可知当N在B点处时，最大，即最大． 【详解】解：如图：连接，过点G作交于点H， ∵平行四边形中,， ∴， ∵G是的中点，， ∴ ∵点E，F分别为的中点， ∴， ∴最大时，最大， ∴N与B重合时最大， 在中，，则， ∴，， ∴ ∴ ∴，即长度的最大值为． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3、BC=4、P、Q两点分别在AC和AB上．且CP=BQ=1，在平面上找一点M．以A、P、Q、M为顶点画平行四边形，这个平行四边形的周长的最大值为（　　　） A．12 B． C． D． 【答案】D 【分析】先依据勾股定理以及相似三角形的性质，即可得到的长，再分三种情况，即可得到以、、、为顶点的平行四边形的周长，进而得出周长的最大值． 【详解】解：由勾股定定理得：，则； 过点作，垂足为，则， 则， 则， ， 由，得， 再由勾股定理得：； 如图1：周长； 如图2：周长； 如图3：周长为最长． ∵，并且 即， 故周长的最大值是 故选：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理计算得到的长． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，对于没有公共点的两个图形M，N给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值为，最小值为，则称比值为图形M和图形N的“距离关联值”，记为．已知顶点坐标为，，，． (1)若E为边上任意一点，则的最大值为_____，最小值为_____，因此 (2)若为对角线上一点，为对角线上一点，其中． ①若，则_____； ②若，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)2，1，2 (2)①6；②或 【分析】（1）当点E在点B或点D处时，的长最大，根据两点间距离公式求解即可，当点E在平行四边形与y轴的交点处时，的长最小，即可解答； （2）①先求出，再求出，，即可得到答案； ②先求出，分和两种情况，分别求出，的值，即可分别列不等式求解． 【详解】（1）解：由图可知，当点E在点B或点D处时，的长最大，最大值为， 当点E在平行四边形与y轴的交点处时，的长最小，最小值为1， ，， ； （2）解：①如图，当时，，， 设直线为， 把代入，得， ， 直线的解析式为， 把代入，得， 解得， ， 由图可知，线段上的点到上的点之间的距离的最大值为的长， ，即， 最小值为线段与之间的距离，即， ； ②将代入，得， ， ， 当时，线段上的点到上的点之间的最大距离为的长， ，即， 最小距离为线段与之间的距离，即， ， ， 解得； 当时，线段上的点到上的点之间的最大距离为的长， ，即， 最小距离为线段与之间的距离，即， ， ， 解得； 综上所述，m的取值范围是或． 【点睛】本题在解答时要先理解“距离关联值”的定义，并结合图形逐步求解，对于第（2）小题要注意分类讨论． 题型04.平行四边形最小值问题 【典例】如图，在平行四边形中，，，，点，分别是，上的动点，连接、．若、分别为、的中点，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】连接，过作于，先根据三角形的中位线性质得到，则要求的最小值只需求的最小值；根据垂线段最短知当时，最小，最小值为的长度；利用平行四边形的性质和勾股定理求解即可求解． 【详解】解：连接，过作于， 、分别为、的中点， 是的中位线， ， 则要求的最小值只需求的最小值； 当时，最小，最小值为的长度， 在平行四边形中，，， ， ， ， ， ， ，即的最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，，点为边上的一动点，连接．过点作，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质和三角形面积公式，可知的面积为定值，由，可得.要使最小，需最大；当点与点重合时，取得最大值，通过构造直角三角形利用勾股定理求出的长，进而求出的最小值． 【详解】解：过点作交的延长线于点，连接，， ∵四边形是平行四边形，， ， ， ， ，， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ， ， 又， ∴， ∴要使最小，则需最大， ∵点为边上的一动点， ∴点与点重合时，最大此时， 的最小值为， 故答案为． 【跟踪专练2】如图，在平行四边形中，，，点是射线上一点，连接，以为腰作等腰直角三角形，，连接，则的最小值是________． 【答案】/ 【分析】过点作，且，连接，利用证明，得出，过点作于，交延长线于，过点作，交延长线于，可得时，取最小值，最小值为的长，根据含角的直角三角形的性质及勾股定理求出，，进而求出的长即可． 【详解】解：如图，过点作，且，连接， ∵，， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 过点作于，交延长线于，过点作，交延长线于， ∴时，取最小值，最小值为的长，即的最小值为的长， ∵平行四边形中，，， ∴，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【跟踪专练3】如图，在中，，，为边上的一个动点，以，为邻边作，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．6 【答案】C 【分析】连接交于点，作于点，作于点，根据平行四边形的性质，得到，，进而得到当最小时，的值最小，根据垂线段最短，得到当点与点重合时，最小为的长，根据平行线间的距离处处相等，得到，进而求出的长即可. 【详解】解：连接交于点，作于点，作于点， ∵， ∴，， ∴点为的中点，当最小时，的值最小，， ∴当点与点重合时，最小为的长， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为. 题型05.平行四边形定值问题 【典例】在面积为的平行四边形中，过点作于点，作于，若，，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用平行四边形面积公式求出高和，再由勾股定理计算出和的长度，最后分别计算两种情况的即可得到结果． 【详解】解：四边形是面积为的平行四边形，，， ，，平行四边形面积， ，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 分两种情况计算： 情况：当在延长线，在延长线时， ，， ， 情况：当在延长线，在线段上时， ，， ， 综上，的值为或． 【跟踪专练1】在中，过点A分别向直线和直线做垂线，垂足分别为点E，点F．若，且的周长为，则等于______． 【答案】或 【分析】本题考查平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确画出图形，注意本题有两个解，通过计算确定高的位置．本题考虑两种情形∶①当是钝角时，设，，列方程组求出a、b，再利用勾股定理求出、，即可解决问题，②当是锐角时，求出、即可． 【详解】解∶①如图中，当是钝角时， 设，， 四边形是平行四边形， ，． ，， ，即． ， ，即． 由，解得，． 在中，，，． ． ． 在中，，，， ． ， ． ． ②如图中，当是锐角时， 由可知∶． ，． ． 故答案为∶或． 【跟踪专练2】四边形中，对角线，，点分别是的中点，连接，取中点，连接，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，延长至，使，连接，过点作于，过点作的延长线于点，则，，由三角形中位线性质可得，，由，可得四边形是平行四边形，得到，，，进而证明，得到，，设，，则，，在、、分别可得，，，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长至，使，连接，过点作于，过点作的延长线于点，则，， ∵点分别是的中点， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 设，，则，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型06.平行四边形折叠问题 【典例】如图，在中，点E是边上的动点，已知，，，现将沿折叠，点是点A的对应点，设长为x，若点落在内（包括边界），则x的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】先明确折叠的性质：，，．要确定的取值范围，需找到点落在边界上的两种极端情况：第一种情况：点落在边上，此时可利用平行四边形性质和折叠性质，证得是等边三角形，进而可求出．第二种情况：点落在边上，此时可利用角平分线的性质、等面积法和勾股定理求出x．因为点落在内（包括边界），所以的取值范围是两种极端情况对应的值之间的区间． 【详解】解：在中，，，，，，． 情况1：如图，落在边上， 由折叠性质得， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 当时，，，会落在上方， ∴． 情况2：如图，落在边上，过点D作，， 由折叠可知平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 设， 则，， 在中，，即， 解得，（大于8，舍去）， ∴， 综上，的取值范围是． 【跟踪专练1】如图，在中，，点是上一点，将沿折叠得到，连接，．下列结论：①当点落在边上时，；②当点为中点时，；③当时，；④当时，．其中所有正确结论的序号是_____． 【答案】② ③ ④ 【分析】根据平行四边形的性质，判定是等边三角形，过点E作于点F，根据勾股定理求解即可判定①错误；过点C作交延长线于点G，根据勾股定理求解即可判定②正确；设，则，计算可判定③正确；延长交于点M，根据勾股定理求解即可判定④正确； 【详解】解：当点落在边上时，如图，四边形是平行四边形， ， 由折叠可知，，， ， ，， ， ∴是等边三角形， ， 过点E作于点F， ，， 根据勾股定理可得， 在中，， 故①错误； 当点为中点时，如图，过点C作交延长线于点G， 因为四边形是平行四边形， ， ， ， ， ，， 在中，， 故②正确； 当时，则， 因为四边形是平行四边形， ， ， 设， 则， ， 故③正确； 当时，延长交于点M， 因为四边形是平行四边形， ， 由折叠可知，， ， ， ， ，， ，， 故． 故④正确； 综上，正确的有②③④． 【跟踪专练2】如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．若的周长为12，则的周长是（   ） A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，图形的周长，熟练掌握性质是解题的关键．根据平行四边形的性质，得，结合折叠的性质，得，继而证明，根据图形的周长定义计算即可． 【详解】解：， ， ， 根据折叠的性质，得， ， ， 又的周长是， 故的周长是， 的周长为12， ， 故的周长是6， 故选：B． 【跟踪专练3】如图，将沿AC所在直线折叠，点B恰好落在BA延长线上的点处，交AD于点E．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，平行线的性质，掌握翻折前和翻折后对应角相等是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，，再由，可得，再由折叠的性质和平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可知，， ∵， ∴． 故选：A． 【跟踪专练4】.如图①，在中，，将沿AC翻折，使点B落在点E处，连结． (1)求证：． (2)如图②，若点E在直线下方，相交于点O，，，求的长． (3)在翻折过程中，若，求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)或． 【分析】(1) 利用平行四边形对边相等和翻折性质，通过等量代换即可得证． (2) 由和推出，即；再由翻折性质得平分，从而；在中，过点作高，利用特殊角直角三角形性质和勾股定理即可求出． （3）情况讨论直线与直线的交点的位置：分别利用平行线性质、翻折性质得到直角三角形，再通过含、角的直角三角形边长关系，用表示与，求出比值． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 沿翻折，点落在点处， ， ． （2）解：，， ， ， 沿翻折得到， ， ， 在中，，， ， 过点作于点， 在中，， ，， 在中，， ， ， ， ， （3）解：设直线交直线于点，． 情况一如图，在延长线上， ，即， ， ，且在、之间， ， ，即， 在中，， ， ，， 由翻折知，，， 在、之间， ， 又， 在中，， ，， ， ， ， ． 情况二，点在线段上，如图 ， ， ，且在、之间， ， ， 在中，， ， ，， 由翻折知，，， 在、之间， ， 又， 在中，， ，， ， ， ， ， ． 综上所述，或． 题型07.平行四边形多结论问题. 【典例】如图，在中，、交于O，平分，，．以下结论①平分；②；③；④．正确的有（   ）个． A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】D 【分析】证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出，，可判断①正确；由三角形中位线定理得出，则可得出②正确；证明，由勾股定理求出的长，则可得出③正确；利用三角形面积公式可得出④错误． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即平分，故①正确； ∵，，， ∴点O为的中点，点E为的中点， ∴，，故②正确； ∵， ∴， ∵，，平分， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴，即， ∴，故④错误， 综上所述，正确的结论有①②③． 【跟踪专练1】如图，在中，对角线交于点O，过点O作，分别交于点E，F，连接BE．若．有下列说法：①的周长等于周长的一半；②四边形的面积是面积的一半；③；④，其中，正确结论的个数是（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】推导出，得到，推导出是的垂直平分线，得到，则，故①正确；推导出，则②正确；作的中点，连接， 推导出是等边三角形，得到，则，故③正确；根据勾股定理，求出，，则，故④正确，即可解答． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ，， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ，故①正确 ， ，故②正确； 作的中点，连接，如图 ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ，故③正确， ， ， ， ，故④正确． 综上所述，①②③④都正确． 【跟踪专练2】如图，平行四边形中，，于点，于点，，相交于点，与的延长线相交于点．下面给出五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论是_______． 【答案】①②③⑤ 【分析】根据题干信息平行四边形、特殊角以及线段的垂直关系，考虑应用等腰直角三角形的性质、平行四边形的性质，另外结论中涉及、线段相等、线段平方间的关系，考虑应用全等三角形的判定与性质和勾股定理，进行结论判断． 【详解】解：，， ∴是等腰直角三角形，， 由勾股定理得，故①正确； ，， ∴， ∴，， ∴， 四边形是平行四边形，可得， ∴，故②正确； 在和中， ， ∴（）， ∴， 平行四边形中，， ∴，故③正确. ∵， ∴ ∴， ∴， ∵，不是定值， ∴不一定等于，故④错误； ∵，， ∴，即， 在中，由勾股定理可得, ∵， ∴，故⑤正确． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的综合应用，熟练掌握图形的基本性质，并能根据几何图形的特点进行线段与角度的分析是解题关键． 【跟踪专练3】已知，在中，，点为的中点，过点作，垂足为点，以下结论中，正确的是___． ①是的角平分线；②连接，则；③若，则；④连接，则． 【答案】①③ 【分析】①由平行四边形的性质证明，则可得判断①正确； ②连接，延长交的延长线于点G，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由等腰三角形的性质得出，则可判断②错误； ③由直角三角形的性质及平行四边形的面积可得出③正确； ④分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出，得出对应线段之间关系进而得出④错误． 【详解】解：①∵F是的中点， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即是的角平分线， 故①正确，符合题意； ②连接，延长交的延长线于点G， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故②错误，不符合题意； ③∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③正确，符合题意； ④如图2，延长，交延长线于点M， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵F为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由图可知 ∵， ∴， 故④错误，不符合题意． 题型08.平行四边形与坐标系综合. 【典例】如图，在平面直角坐标系中，，，点P是直线上一动点，作平行四边形，当取最小值时，点Q的坐标为______． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质得出，利用平移性质确定点在直线上运动，将求的最小值转化为求的最小值，利用轴对称性质及两点之间线段最短求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，且， ，， 点向右平移个单位，向上平移个单位得到点， 点向右平移个单位，向上平移个单位得到点， 设，则， 点在直线上， ， 解得， 点在直线上运动， ， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则，此时最小，即最小， 设直线的解析式为， 将，代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为， 当时，， 解得， 点的坐标为． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在轴的正半轴上，且点，，直线以每秒个单位长度的速度向右平移，经过______秒该直线可将平行四边形的面积平分． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行四边形的性质，一次函数的图象，平移，解题的关键是确定平移后的直线． 根据题意可知，平移后的直线经过平行四边形对角线的交点，且平行于已知直线，从而可得平移距离，除以平移速度即可． 【详解】解：连接，，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 作平行于直线，则直线可将平行四边形的面积平分， 设直线的解析式为，则， ∴， ∴直线的解析式为， ∴ 根据直线的平移规律可知，直线向右平移个单位可得直线， ∵直线以每秒2个单位长度的速度向右平移， ∴经过秒该直线可将平行四边形的面积平分， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图1，在平面直角坐标系中，已知直线和第一象限内的（轴，）．直线l从原点O出发，沿x轴正方向平移（平移距离设为m），对应生成的直线被的两边所截得的线段长设为n．若n与m的函数图象如图2所示，则a的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由图可得，直线经过时移动的距离为，经过时移动的距离为，经过时移动的距离为，可得，当直线经过点时，交于点，过作垂足为点，如图所示：求解，直线为，则从点到点的平移可理解为：先向上移动个单位，再向右移动个单位，再进一步解答即可． 【详解】解：由图可得，直线经过时移动的距离为，经过时移动的距离为，经过时移动的距离为， ∴，，，， ∴， 当直线经过点时，交于点，过作垂足为点，如图所示： ∵轴，， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， ∴从点到点的平移可理解为：先向上移动个单位，再向右移动个单位， ∴当时，则， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查的是动态问题的函数图象，平移的性质，一次函数的应用，平行四边形的性质，化为最简二次根式，理解函数图象的含义是解本题的关键． 【跟踪专练3.】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的一边在轴上，，在第二象限，在左侧，，，，直线的解析式为，现将平行四边形沿轴向右平移，当直线恰好平分平行四边形的面积时，此时的平移距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作于，解直角三角形求得Ａ、Ｃ的坐标，即可求得中点的坐标，根据题意当直线恰好平分平行四边形的面积时，则必经过的中点，把中点的纵坐标答题直线求得横坐标，即可求得平移的距离． 【详解】解：作于， ，，， ，， ， ， ，， 的中点为， 平行四边形沿轴向右平移，当直线恰好平分平行四边形的面积时，则必经过的中点， 把代入得，，解得， ， 平移距离为． 故选：． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像与平移变换、平行四边形的性质、一次函数图像上点的坐标特征等知识点，明确直线经过平行四边形对角线的交点平分平行四边形的面积是解题的关键． 【跟踪专练4】定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫作半角四边形．如图1，直线，点A、D在直线上，点B、C在直线上，若，则四边形是半角四边形． (1)如图2，点E是的边上一点，，，，如果四边形是半角四边形，那么的长是______； (2)如图3，以的顶点C为坐标原点，边所在直线为x轴，对角线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．点E是边上一点，满足． ①求证：四边形是半角四边形； ②当，时，如果在第一象限内存在点P，使得以点A、B、E、P为顶点的四边形是半角四边形，请直接写出所有符合要求的点P的坐标． 【答案】(1) (2)①见解析；②或或或或． 【分析】（1）根据半角四边形的定义可得出，进而可得出，由等角对等边可得出，结合即可求出的长； （2）①由平行四边形的性质可得出，，进而可得出，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得出，再结合半角四边形的定义即可证出四边形是半角四边形；②先求出点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．当以点A、B、E、P为顶点的四边形为平行四边形时，画出图形，根据半角四边形的性质即可求解． 【详解】（1）解：四边形为半角四边形，，，， ，，，， ， ， ， ； （2）①证明：四边形为平行四边形， ，， ， ，即， 又， 四边形是半角四边形； ②解： ，，四边形为平行四边形， ，，， ，，， 为的中点， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 当时，则， ∵平行x轴， ∴轴， ∴点纵坐标为，， ∴， ∴， ∴， 若，如图，过点作，设交轴于点， 则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当，且时，如图，过点作轴于点， 则， 四边形为平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与点重合（舍去）； 当，且时，如图，过点作交延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 设，则，， ∴， 在中，， ∴，即， ∴，即， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵点的坐标为， ∴； 当，且时，如图，过点作交延长线于点， 同理，得， 则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴，， ∵点的坐标为， ∴； 当，且时，如图，过点作交于点， 同理，得， ∴，， ∴， ∴，， 设，则，， ∴，即， ∴（负值舍去）， ∴，， ∴的坐标为； 当，且时，如图， 同理，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴的坐标为； 综上，符合要求的点P的坐标为或或或或． 题型09.平行四边形中位线综合问题 【典例】如图，平行四边形中，为对角线交点，平分，平分，，，则的长为______． 【答案】 【分析】延长交于点，根据平行四边形的性质结合角平分线的性质证明，，根据三线合一可得是的中位线， 利用中位线定理计算即可． 【详解】解：如图，延长交于点， 四边形是平行四边形， ，，，， ，， 平分，平分， ，， ，， ，即，， ， 是的中位线， ． 【跟踪专练1】如图，中，点为线段上一动点，过点作于点，连接，点为中点，连接．则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形判定和性质，三角形中位线的性质等，延长到点，使，连接，由平行四边形的性质和等腰三角形的性质可得，即得，进而可得是等边三角形，得到，即得，又由三角形中位线的性质可得，可知当时，最小，此时为等腰直角三角形，，利用勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵点为中点，， ∴， 当时，最小，此时为等腰直角三角形，， ∴， 即的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在平行四边形中，，，点是边上的动点，连接、，是的中点，是的中点，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，由三角形中位线定理可得，当时，有最小值，即有最小值，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，过点A作于N，则∠ANB=90°， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E、F分别为、的中点， ∴， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∴当点P与点N重合时，的最小值为， ∴的最小值为． 故答案为：． 故选：C． 【跟踪专练3】如图，在中，，的平分线与交于点，，，垂足为，，则的长为（    ） A．7 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】延长、交于点，证明，得出，，证出是的中位线，得出，即可得出答案． 【详解】解：延长、交于点，如图所示： 四边形是平行四边形， ，， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ，， ，， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是中点 是的中位线， ， ； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理，证明三角形全等是解题的关键． 【跟踪专练4】如图，在平行四边形中，点E在边上，点F是中点，交于点G． (1)若点G是中点，求证：四边形是平行四边形； (2)若，平分，，求E的面积． 【答案】(1)见解析 (2)25 【分析】（1）证明是的中位线，推出，据此即可证得四边形是平行四边形； （2）证明，求得，作于点，利用直角三角形的性质求得，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴， ∵点F是中点，点G是中点， ∴是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 作于点， 在中，， ∴， ∴． 题型10.平行四边形分类讨论问题 【典例】同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为．改变E点的位置，将沿折叠，连接，当为直角三角形时，则的长是______． 【答案】或或 【分析】分和两种情况，分别作出相应图形，进行讨论求解即可． 【详解】解：①当时，延长交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴； 如图，当重合时，记，的交点为， ∵当时，， ∴，而， ∴， ∴当重合时，， 由折叠可得：； ②当时，如图，设与交于点，作， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：的长是或或． 【跟踪专练1】如图，函数与x轴，y轴交于A，B两点，点C是中点，点D从点A出发沿着方向移动，连接．将沿折叠，点A的对应点为，当，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形时，点D的坐标为__________ ． 【答案】或 【分析】根据一次函数的表达式求得，的值，进而求得的值，分两种情形：当四边形是平行四边形时，，可求得，进而得出，同样求得当四边形是平行四边形时的情形． 【详解】解：当时，， ∴， ∴． 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图1， 当四边形是平行四边形时，． ∵沿折叠，点A的对应点为， ∴． ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴． 如图2，连接， 当四边形是平行四边形时，，， ∵沿折叠，点A的对应点为， ∴． ∵，C是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵点，点均在轴上，点是，的公共点，轴， ∴点D和点O重合， ∴． 综上所述：点D的坐标为或． 【点睛】解决问题的关键是找到当四边形是平行四边形及四边形是平行四边形时的两种情况作图进行分类讨论． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，为的中点，为边上的点，连接，将沿折叠得到，连接，若以点D，E，F，A为顶点的四边形为平行四边形，则的长为_____． 【答案】或 【分析】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，分四边形是平行四边形，且点与点在直线同侧和四边形是平行四边形，且点与点在直线异侧，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：连接交直线于点， ∵将沿折叠得到， ∴点与点关于直线对称， ∴垂直平分， ∴为的中点， ∵为的中点， ∴， 如图1，四边形是平行四边形，且点与点在直线同侧，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 如图2，四边形是平行四边形，且点与点在直线异侧，则， ∴， ∴， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动，点Q从点C出发，以的速度向B运动，两点同时出发，当点Q运动到点B时，点P也随之停止运动．若设运动的时间为秒，当_____时，在A、B、C、D、P、Q六点中，恰好存在四点可以组成平行四边形． 【答案】或4或2或3 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，利用分类讨论的思想求解是解本题的关键． 如图，由题意可得：，，则，，再分六种情况讨论①当时， ②当，③当时，解得：，④当时，⑤当时，⑥当时，再逐一检验即可． 【详解】解：由题意可得：，， ∵，， ∴，，    当四边形是平行四边形时，则， ∴， 解得； 当四边形是平行四边形时，则， ∴， 解得：； 当四边形是平行四边形时，则， ∴， 解得：； 当四边形是平行四边形时，则， ∴时， 解得，不合题意，舍去； 当四边形是平行四边形时，则， ∴时， 解得：； 当四边形是平行四边形时，则， ∴， 解得：， 综上所述．当t的值为或4或2或3时，在A、B、C、D、P、Q六点中，恰好存在四点可以组成平行四边形． 故答案为：或4或2或3． 【跟踪专练4】如图，在中，，过点作，且点在点的右侧．点从点出发沿射线方向以每秒的速度运动，同时点从点出发沿射线方向以每秒的速度运动，在线段上取点，使得，连接，设点的运动时间为秒． (1)①_______，_______，（用含的式子表示） ②求为何值时，四边形是平行四边形？ (2)当_______时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形． 【答案】(1)①，；②时，四边形是平行四边形 (2)或 【分析】（1）①由题意得，，结合，即可求解；②由，当时，四边形是平行四边形，列方程求解即可； （2）分两种情况：当点、在线段上时，当点、在线段的延长线上时，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得，， ， ； ②，当时四边形是平行四边形，     ； （2）当点、在线段上时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形， 则， ， 解得； 当点、在线段的延长线上时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形 则， ， 解得； 综上所述，当或时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06平行四边形压轴专项训练 【温馨提示】10大高频压轴题型全覆盖，每类配经典母题精讲 + 梯度跟踪专练。所有题目附标准答案 + 思路分析 + 步骤详解，无基础题，学生提分、教师备课直接用，可编辑打印。 题型01.平行四边形性质判定综合证明 题型02.平行四边形动点存在性问题 题型03.平行四边形最大值问题 题型04.平行四边形最小值问题 题型05.平行四边形定值问题 题型06.平行四边形折叠问题 题型07.平行四边形多结论问题 题型08.平行四边形与坐标系综合 题型09.平行四边形中位线综合问题 题型10.平行四边形分类讨论问题 题型01.平行四边形性质判定综合证明 【典例】如图，的对角线，相交于点，点，是边上的点，满足，且，，，，则四边形的面积为_____． 【跟踪专练1】图，是的对角线，过点B作交于点G，垂足为E，过点D作交于点H，垂足为F，连接、．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长，其中正确的是（   ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【跟踪专练2】如图，在中，，点E从点A出发沿射线以的速度运动，同时点F从点B出发沿射线以的速度运动，设运动时间为． (1)连接，，当经过的中点O时，求证：； (2)请求出当t为何值时，以A，C，F，E为顶点的四边形是平行四边形？ 【跟踪专练3】在平行四边形中，点是对角线的中点，点在边上，的延长线与边交于点，连接，如图1． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，过点作的垂线，与分别交于点，如图． ①求证：；②已知，直接写出的长_________． 题型02.平行四边形动点存在性问题 【典例】在平面直角坐标系中，已知点，点，点，点从点出发，以2个单位每秒的速度沿射线运动，点从点出发，开始以1个单位每秒的速度向原点运动，到达原点后停止运动，若两点同时出发，设运动时间为秒，则当_____时，以点为顶点的四边形为平行四边形． 【跟踪专练1】如图，在中，与交于，在上，，，，是的中点，点以秒的速度从出发，沿向运动，点同时以秒的速度从点出发，沿向点运动，点运动到点时停止运动，点也同时停止运动，当点运动（　　）秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形． A．3或4 B．3或5 C．4或6 D．4或5 【跟踪专练2】如图，在中，，，连接，恰有，过点作于点．动点从点出发沿线段以的速度向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点的运动时间为． (1)求和的长度； (2)当为何值时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形． 【跟踪专练3】.如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．点为的中点，点在线段上，，点为线段上一动点，连接、． (1)求直线的表达式； (2)若的面积为20，求点坐标； (3)在（2）的条件下，点在轴上，点在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形为平行四边形．若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 题型03.平行四边形最大值问题 【典例】如图，在中，，点A为上一动点（不与点M、N重合），作，分别交于点B、C，作关于直线的对称，连接，则周长的最大值________． 【跟踪专练1】如图，平行四边形中，，点M，N分别为线段上的动点（含端点），点E，F，G分别为的中点，则长度的最大值为（　　）． A． B． C．3 D．5 【跟踪专练2】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3、BC=4、P、Q两点分别在AC和AB上．且CP=BQ=1，在平面上找一点M．以A、P、Q、M为顶点画平行四边形，这个平行四边形的周长的最大值为（　　　） A．12 B． C． D． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，对于没有公共点的两个图形M，N给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值为，最小值为，则称比值为图形M和图形N的“距离关联值”，记为．已知顶点坐标为，，，． (1)若E为边上任意一点，则的最大值为_____，最小值为_____，因此 (2)若为对角线上一点，为对角线上一点，其中． ①若，则_____； ②若，请直接写出m的取值范围． 题型04.平行四边形最小值问题 【典例】如图，在平行四边形中，，，，点，分别是，上的动点，连接、．若、分别为、的中点，则的最小值是_____． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，，点为边上的一动点，连接．过点作，则的最小值为______． 【跟踪专练2】如图，在平行四边形中，，，点是射线上一点，连接，以为腰作等腰直角三角形，，连接，则的最小值是________． 【跟踪专练3】如图，在中，，，为边上的一个动点，以，为邻边作，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．6 题型05.平行四边形定值问题 【典例】在面积为的平行四边形中，过点作于点，作于，若，，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【跟踪专练1】在中，过点A分别向直线和直线做垂线，垂足分别为点E，点F．若，且的周长为，则等于______． 【跟踪专练2】四边形中，对角线，，点分别是的中点，连接，取中点，连接，则的值为______． 题型06.平行四边形折叠问题 【典例】如图，在中，点E是边上的动点，已知，，，现将沿折叠，点是点A的对应点，设长为x，若点落在内（包括边界），则x的取值范围是______． 【跟踪专练1】如图，在中，，点是上一点，将沿折叠得到，连接，．下列结论：①当点落在边上时，；②当点为中点时，；③当时，；④当时，．其中所有正确结论的序号是_____． 【跟踪专练2】如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．若的周长为12，则的周长是（   ） A．3 B．6 C．8 D．12 【跟踪专练3】如图，将沿AC所在直线折叠，点B恰好落在BA延长线上的点处，交AD于点E．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练4】.如图①，在中，，将沿AC翻折，使点B落在点E处，连结． (1)求证：． (2)如图②，若点E在直线下方，相交于点O，，，求的长． (3)在翻折过程中，若，求的值． 题型07.平行四边形多结论问题. 【典例】如图，在中，、交于O，平分，，．以下结论①平分；②；③；④．正确的有（   ）个． A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【跟踪专练1】如图，在中，对角线交于点O，过点O作，分别交于点E，F，连接BE．若．有下列说法：①的周长等于周长的一半；②四边形的面积是面积的一半；③；④，其中，正确结论的个数是（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练2】如图，平行四边形中，，于点，于点，，相交于点，与的延长线相交于点．下面给出五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论是_______． 【跟踪专练3】已知，在中，，点为的中点，过点作，垂足为点，以下结论中，正确的是___． ①是的角平分线；②连接，则；③若，则；④连接，则． 题型08.平行四边形与坐标系综合. 【典例】如图，在平面直角坐标系中，，，点P是直线上一动点，作平行四边形，当取最小值时，点Q的坐标为______． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在轴的正半轴上，且点，，直线以每秒个单位长度的速度向右平移，经过______秒该直线可将平行四边形的面积平分． 【跟踪专练2】如图1，在平面直角坐标系中，已知直线和第一象限内的（轴，）．直线l从原点O出发，沿x轴正方向平移（平移距离设为m），对应生成的直线被的两边所截得的线段长设为n．若n与m的函数图象如图2所示，则a的值是（    ） A．1 B． C． D． 【跟踪专练3.】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的一边在轴上，，在第二象限，在左侧，，，，直线的解析式为，现将平行四边形沿轴向右平移，当直线恰好平分平行四边形的面积时，此时的平移距离为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练4】定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫作半角四边形．如图1，直线，点A、D在直线上，点B、C在直线上，若，则四边形是半角四边形． (1)如图2，点E是的边上一点，，，，如果四边形是半角四边形，那么的长是______； (2)如图3，以的顶点C为坐标原点，边所在直线为x轴，对角线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．点E是边上一点，满足． ①求证：四边形是半角四边形； ②当，时，如果在第一象限内存在点P，使得以点A、B、E、P为顶点的四边形是半角四边形，请直接写出所有符合要求的点P的坐标． 题型09.平行四边形中位线综合问题 【典例】如图，平行四边形中，为对角线交点，平分，平分，，，则的长为______． 【跟踪专练1】如图，中，点为线段上一动点，过点作于点，连接，点为中点，连接．则的最小值为______． 【跟踪专练2】如图，在平行四边形中，，，点是边上的动点，连接、，是的中点，是的中点，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【跟踪专练3】如图，在中，，的平分线与交于点，，，垂足为，，则的长为（    ） A．7 B．5 C．6 D．8 【跟踪专练4】如图，在平行四边形中，点E在边上，点F是中点，交于点G． (1)若点G是中点，求证：四边形是平行四边形； (2)若，平分，，求E的面积． 题型10.平行四边形分类讨论问题 【典例】同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为．改变E点的位置，将沿折叠，连接，当为直角三角形时，则的长是______． 【跟踪专练1】如图，函数与x轴，y轴交于A，B两点，点C是中点，点D从点A出发沿着方向移动，连接．将沿折叠，点A的对应点为，当，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形时，点D的坐标为__________ ． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，为的中点，为边上的点，连接，将沿折叠得到，连接，若以点D，E，F，A为顶点的四边形为平行四边形，则的长为_____． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动，点Q从点C出发，以的速度向B运动，两点同时出发，当点Q运动到点B时，点P也随之停止运动．若设运动的时间为秒，当_____时，在A、B、C、D、P、Q六点中，恰好存在四点可以组成平行四边形． 【跟踪专练4】如图，在中，，过点作，且点在点的右侧．点从点出发沿射线方向以每秒的速度运动，同时点从点出发沿射线方向以每秒的速度运动，在线段上取点，使得，连接，设点的运动时间为秒． (1)①_______，_______，（用含的式子表示） ②求为何值时，四边形是平行四边形？ (2)当_______时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $