第六章 平行四边形（必备知识+9题型+分层检测）（复习讲义）数学新教材北师大版八年级下册

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第六章平行四边形（复习讲义) 单元目标聚焦·明核心 1.了解平行四边形的定义与中心对称性，体会其边、角、对角线性质的逻辑关联及与判定定理之间的互逆 关系。 2.能用平行四边形的性质（对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分）进行线段与角度的 计算推理。 3.理解并利用四种判定方法（从边、角、对角线出发）证明一个四边形是平行四边形，注意条件应用清晰 与分类讨论。 4.掌握三角形中位线定理（平行于第三边且等于第三边的一半），能利用该定理证明线段平行或倍半关系。 知识图谱梳理，因基础 一边一对边附 对边相等 选定判定定理一 一平行四边形证明思路 对角相等 寻找条件 平行四边形的性质 角 一、 邻角互补 六、解题方法与口决 一平行四边形性质 ·对角线一互相平分 记忆口诀 中心对称性一对称中心 三角形中位线 两组对边分别平行 判定定理混淆 从边判定 两组对边分别相等 平行四边形 性质应用条件不清， 二、平行四边形的判定 组对边平行且相等 五、高频易错点 忽略分类讨论 一从角判定一两组对角分别相等 从对角线判定一对角线互相平分 中位线定理使用不当 平行四边形性质与判定的证明 定义 四、高频考点 三角形中位线定理的应用 一平行于第三边 三角形的中位线 性质定理 一等于第三边的一半 证明线段平行 应用 证明线段倍半关系 教材要点精析·夯重点 知识点01平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形.平行四边形用“口”表示，平行四边形ABCD表示为 “口ABCD”,读作“平行四边形ABCD” 知识点02平行四边形的性质 平行四边形的性质：边、角、对角线，有时会涉及对称性.如下图，四边形ABCD是平行四边形： 性质1（边）：①对边相等；②，即：AB=CD,AD=BC;AB∥CD,AD∥BC 1/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 性质2（角）：对角相等，即：∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC 性质3（对角线)：对角线相互平分，即：AO=OC,BO=OD 注：①平行四边形仅对角线相互平分，对角线不相等，即AC≠BD: ②平行四边形对角相等，但对角线不平分角，即∠DAO≠∠BAO. 性质4（对称性)：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形. 知识点03平行四边形的判定定理 平行四边形的判定：主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD: (1)判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即AD∥BC,AB∥DC (2)判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即AD=BC,AB=DC. (3)判定方法3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即AD∥BC且AD=BC;AB∥DC且AB=DC. (4)判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC. (5)判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即AO=CO且BO=DO 注：①平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）； ②判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形若四边形中，一对边平行，另一对边 相等，是无法判定为平行四边形的： 知识点04三角形的中位线定理 (1)三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段称为中位线（三角形中有3条中位线） (2)三角形中位线定理：如下图，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即若点D、E分 DE//BC 别为AB、AC的中点， DE=1BC 2 考点题型突破·拓思维 【题型一利用平行四边形的性质求解】 【例1】(24-25八年级下·广东期末)在ABCD中，若LA:LB=2:3,则∠C= 2/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式1-1】(25-26八年级上全国单元复习)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点0， ∠ADB=90°，AD=3,AC=10.则AD与BC的距离为 D B 【变式1-2】(25-26八年级上重庆期末)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O, BD=12,过点O作EF⊥BD分别交BC、AD于点E、F,若∠ADB=30°，则EF的长为 D 【变式1-3】(24-25八年级下·四川成都期末)如图，点P为平行四边形ABCD内一点，连接 AP,BP,CP,DP,且AP⊥DP,PC⊥BC,AP=DP,∠PBC=30°，若AD=6,则平行四边形ABCD的面 积是 B P 【题型二平行四边形的性质与判定多结论问题】 【例2】(25-26八年级下·江苏宿迁期中)如图，在口ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,AE平分 ∠BAD,分别交BC、BD于点E、P,连接OE,若∠ADC=60°，AB=BC=2,则下列结论：① ∠CAD=-30;②0E= AD;③S平行西造彩ABCD=AB·AC;④BD=5,正确的是() A.①② B.①②③ C.①③④ D.①②③④ 【变式2-1】(24-25八年级下·黑龙江七台河·期末)如图，在平行四边形ABCD中，∠DBC=45°， DE⊥BC于点E,BF⊥CD于点F,DE,BF相交于点H,BF,AD的延长线相交于点G,下列结论：① 3/19 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 DB=√2BE;②∠A=∠BHE;③AB=BH;④DE+EC=AD;⑤DG=HE,其中正确结论的是() 0 G E A.①②④⑤ B.①②③④ C.①③4⑤ D.①②③⑤ 【变式2-2】(24-25八年级下·全国·暑假作业)如图，EF过▣ABCD对角线的交点O,交AD于点E,交 BC于点F.有下列结论：①OE=OF;②LABC=LADC;③A0E≌COD;④S四边形ABFE=S△4BC·其中， 正确的是() A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 【变式2-3】(25-26八年级下山东潍坊·期中)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD交于点O,过点O作 EF⊥BD,分别交AD,BC于点E,F,连接BE.若AB=2,BC=4,LABC=60°.有下列说法：①aABE的 周长等于口ABCD周长的一半；②四边形ABFE的面积是▣ABCD面积的一半；③AB⊥AC;④BD=2√7， 其中，正确结论的个数是() F A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【题型三利用平行四边形的性质求动点问题】 【例3】(2026湖北随州二模)如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD,动点P从点A出发沿折线 AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止.设点P运动的路程为x,线段AP的长为y,图2是y与x的 函数关系的大致图象，则BD=,口ABCD的面积为 4/19 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 10 6 D 6 12 图1 图2 【变式3-1】(24-25八年级下，全国暑假作业)如图①，口ABCD边上有一动点P,从点A出发，沿 A→B→C→D方向，以每秒2cm的速度运动，设点P的运动时间是s,△DAP的面积为Scm,S与t之 间的函数关系图像如图②所示. ←S/cm2 D 3 t/s ① ② (1)点G表示的横坐标为 (2)点D到BC边的距离是 cm 【变式3-2】(25-26八年级下全国期中)如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD=acm, BC=bcm,b=√a-6+V6-a+8,若动点P从点A出发，以0.5cm/s的速度沿线段AD向终点D运动；同 时动点Q从点C出发以2cms的速度沿CB向终点B运动.当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动· 设运动时间为xsx>0)回答下列问题： Q B 图① 图② (1)AD=_cm,BC=_cm (2)当x=时，四边形PQCD为平行四边形： (3)如图②，若四边形ABCD变为平行四边形，AD=BC=6cm,动点P从点A出发，以0.5cm/s的速度沿线 段AD向终点D运动；同时动点Q从点C出发以2cms的速度在BC边上做往返运动，当点P到达点D时停 止运动（同时点Q也停止运动）·设运动时间为st>0).当t为何值时，以P,D,Q,B四点为顶点的 四边形是平行四边形？ 【变式3-3】(25-26八年级下山东济南·期中)如图，在四边形ABCD中， AB∥DC,AD=4,CD=12,BD⊥AD,∠A=60°，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒2个单位的 5/19 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 速度沿着折线A-D-C先由A向D运动，再由D向C运动，点Q以每秒1个单位的速度由B向A运动，当 其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒. D P P 图1 图2 D 备用图 备用图 (1)两平行线DC与AB之间的距离是 (2)当P、Q与△BCD的某两个顶点围成一个平行四边形时，t的值为 (3)当直线PQ恰好平分四边形ABCD的面积时，求t的值. 【题型四平行四边形中的折叠问题】 【例4】(2025甘肃平凉·中考真题)如图，把平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B处， B'C与AD相交于点E,此时△CDE恰为等边三角形，若AB=6cm,则AD=cm, B D B 【变式4-1】(2425八年级上山东淄博·月考)如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在 点E处，ED交BC于点F.若∠ABD=48°，∠CFD=40°.则∠E的度数为 A B E 【变式42】(24-25八年级下，宁夏银川期末)如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为 折痕，将△ABE折叠，使点A恰好落在CD边的点F上，若BCF的周长为I2,CF的长为3，则aDEF的 周长为 6/19 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 【变式4-3】(2025河北沧州模拟预测)如图，将▣ABCD沿EF(点E,F分别在边AB,CD上)折叠，使 点A与点C重合，点D落在平面上点G处.若AB=6,BC=4,∠ABC=60°，则FG的长为 D G 【题型五判断能否构成平行四边形】 【例5】(25-26八年级上·重庆·期末)如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O,AD=BC,以下 条件能判断四边形ABCD是平行四边形的是() A.AB∥CD B.∠DA0=∠BC0 C.AD=AC D.ZBAD=ZDCB 【变式5-1】(25-26八年级上·内蒙古呼和浩特期末)如图，在口ABCD中，EF∥BC,GH∥AB,EF, GH的交点P在BD上，则图中面积相等的平行四边形有()对 A H A.5 B.3 C.2 D.4 【变式5-2】(24-25八年级下山东日照·月考)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点 O,E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE=CF;②DE=BF;③LADE=LCBF;④ ∠ABE=∠CDF,其中能判定四边形DEBF是平行四边形的有() 7119 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【变式5-3】(24-25八年级下·吉林长春期末)如图，四边形ABCD的对角线交于点0，已知AB=CD,添 加下列其中一个条件，能判定四边形ABCD为平行四边形的是() A B A.AB=AC B.∠ABD=∠BDC C.OB=OD D.AC⊥BD 【题型六平行四边形中的作图】 【例6】(2026九年级下·广东清远学业考试)如图，在口ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E. A E D B C (I)在AD上求作一点F,使点F到∠BCD两边的距离相等.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作 法和证明) (2)在(1)的条件下，连接CF交BE于点G,求∠BGC的度数. 【变式6-1】(25-26八年级下·全国课后作业)如图，BD为口ABCD的对角线.请仅用无刻度的直尺分别 按下列要求画图（保留画图痕迹，不写画法）· 图① 图② (I)如图①，P为CD上任意一点，在AB上找一点E,使AE=CP. (②)如图②，P为BD上任意一点，在BD上找一点F，,使BP=DF. 【变式6-2】(25-26九年级上·江西鹰潭·期末)如图，在平行四边形ABCD中，点E在DC的延长线上，请 8/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 仅用无刻度的直尺，按要求完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）· B B 图1) 图(2) (I)如图(1)，过点E作射线EF把平行四边形ABCD分成面积相等的两部分： (2)如图(2)，若EC=CD,过点C作△BEC的中线CH. 【变式6-3】(24-25八年级下·江苏宿迁·月考)如图正方形网格中最小正方形的边长都是1，每个小正方形 的顶点称为格点，口ABCD的顶点A、B、C、D都在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按 下列要求作图，保留作图痕迹 B B 图① 图② (I)oABCD的面积为 (②)在图①中，画出口ABCD的边AD上的高BE,并求BE的长； (3)在图②中，在口ABCD的边AD上找一点F,连接AF,使LABF=45°，并直接写出BF的长： 【题型七平行四边形中的性质和判定】 【例7】(25-26八年级下·重庆期中)如图，在四边形ABCD中，点E、F在BD上，且AE‖FC, AB∥CD,BE=DF. D H (I)求证：四边形ABCD是平行四边形： (2)若BH⊥CD,AD=3,BD=4,CD=5,求BH的长. 【变式7-1】(25-26八年级下·全国·课后作业)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，分别以它的三边为边 长，在BC边的同侧作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF,连接DE、EF、AE. 9/19 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)证明：四边形ADEF是平行四边形； (2)若AC=√5，CE=√万，∠EAC=150°，求AE的长. 【变式7-2】(25-26八年级下，全国·课后作业)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点0， OA=5,E,F为直线BD上的两个动点（点E,F始终在口ABCD的外面），连接AE,CE,CF,AF. A E D (I)若DE=2OD,BF=2OB,求证：四边形AFCE为平行四边形； (2)若DE=OD,BF=OB,四边形AFCE 平行四边形；（填“是”或“不是”) (3)若DE=oD,BF=OB(n为大于1的正整数)，四边形AFCE平行四边形.（填“是或不是”） 【变式7-3】(24-25八年级下·江西吉安·期末)如下图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点0， OA5cm,E,F为直线BD上的两个点（点E,F始终在ABCD的外面D，且DE=)OD,BF)OB 连接AE,CE,CF,AF. (I)求证：四边形AFCE为平行四边形， (②)若DE=OD,BF=OB,则四边形AFCE是平行四边形吗？请说明理由.由此你能得出什么结论？ 3 (3)若CA平分∠BCD,∠AEC=60°，求四边形AFCE的周长. 【题型八与三角形中位线有关的求解问题】 10/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【例8】(25-26八年级下·广西贵港期中)如图，在ABC中，点D为BC上一点，CA=CD=5,CF平 分∠ACB,交AD于点F,点E为AB的中点，若EF=3,则BC=· E D 【变式8-1】(25-26八年级下·辽宁沈阳·期中)如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=2, 将ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC,F是AB中点，连接DF,则DF的长为： D 【变式8-2】(25-26八年级下福建泉州期中)如图，在平行四边形ABCD中，点E,F分别在AD,BC上， AE=CF,连接AC,EF交于点M,点N为AB的中点，连接MN,若MN=2,则AD的长为 D 【变式8-3】(25-26八年级下·重庆期中)如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠ADC的平分线 与边AB相交于点P,E是PD的中点，若AD=6,CD=9,则EO的长为 B 【题型九平行四边形与中位线综合问题】 【例9】(25-26八年级下·广西南宁.期中)如图所示，D为ABC内的一点，AD平分∠BAC,且 AD⊥BD,垂足为D,延长BD交AC于点G,E为BC的中点，点F在AC上，且CF=DE. 11/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B C (I)求证：四边形CEDF是平行四边形： (2)求证：AB+2CF=AC. 【变式91】(25-26八年级下·重庆·期中)如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，点F是AD中 点，CF交DE于点G. F D (I)若点G是DE中点，求证：四边形AECF是平行四边形； (②)若LADE=30°，EA平分∠BED,DE=10,求△ADE的面积. 【变式9-2】(25-26八年级下山东德州期中)如图，0是ABC内一点，连接OB,0C,并将AB,OB ,OC,AC的中点D,E,F,G依次连接，得到四边形DEFG. (I)求证：四边形DEFG是平行四边形. (2)如果∠0BC=45°，∠0CB=30°，0B=3√2，求EF的长， 【变式9-3】(2026黑龙江大庆一模)在Rt△ABC中，∠C=90°，E,F分别是边AB,AC的中点，延 长BC到点D,使CD=BC,连接EF,CE,DF. 2 D A B (I)求证：四边形CDFE是平行四边形 12/19 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)连结DE,，交AC于点O,若AB=BD=6,求DE的长. 分层阶梯训练·提能力 基础巩固通关测 一、单选题 1.(25-26八年级下.甘肃天水期中)平行四边形ABCD中，若∠C=110°，则∠A的度数为( A.40° B.70 C.110° D.150 2.(25-26八年级下·湖北期中)在四边形ABCD中，AB∥CD,要使四边形ABCD是平行四边形，则需添 加一个条件，其中错误的是() A.∠C+∠D=180° B.AD=BC C.AB=CD D.AD∥BC 3.(25-26八年级下·河南焦作·期中)如图，在口ABCD中，点E在BC上，∠ADE=30°，EA平分∠BED, DE=8,则ADE的面积为() A.32 B.24 C.18 D.16 4.(25-26九年级下·四川南充期中)如图，口ABCD中，AB=2,∠C=2LD.E,F分别是BC,CD上 的动点（不含端点），G,H分别是AF,EF的中点.则GH的最小值为() D A. B. C.1 D.√2 2 二、填空题 13/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.(25-26八年级下·吉林期中)如图，在ABC中，D,E分别是AB,AC的中点，若DE=7,则BC的 长为 B 6.(25-26八年级下·湖南娄底期中)在四边形ABCD中，已知AD∥BC,则只需添加一个条件，可 证明四边形ABCD为平行四边形. 7.(25-26八年级下·福建厦门期中)如图，平行四边形A0BC中，若0D平分∠AOB交直线AC于点D, 点A(3,4,则D点的坐标是 V D 8.(25-26八年级下·湖北孝感期中)如图，在ABCD中，AC,BD交于点O,AE平分∠BAD, ZECD =2ZCDA,EC CD =1.(1)ZABC =(2)S4BCD= O 三、解答题 9.(25-26八年级下·湖南娄底期中)如图，口ABCD中，E、F在AC上，四边形DEBF是平行四边形， D C B (I)求证：AE=CF. (②)若DE⊥AB,∠DAB=60°，AD=6,AB=8,求口ABCD的面积. 10.(25-26八年级下·上海徐汇·期中)如图，在平行四边形ABCD中，点E在DC的延长线上，EC=CD 14/19 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (I)求证：四边形ABEC是平行四边形 ②请仅用无刻度的直尺，在图中作出一条线段使其等于E(不写作法，保留作图痕迹)，并进行证明， 11.(25-26八年级下·江苏连云港期中)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，点E,F,G分别是 AD,BD,DC的中点，连接EG,EF,FG. E F (1)试判断△EFG的形状，并说明理由； (2)己知AB=10,BC=24,求EG的长. 12.(25-26八年级下.浙江台州期中)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,∠B=∠D,AB<BC, AE⊥BC于点E,点P是BC上的动点，连接AP, A D D E P E P 图1 图2 (1)证明：四边形ABCD是平行四边形； (2)若BP=3,AP=V5,CD=22,求PE的长： (3)在题(2)的基础上，如图2，过点P作PF⊥AP交CD于点F,过点B作BH⊥AP于点H,交AE于点N, 若BC=4,求CF的长. 能力提升进阶练 一、单选题 1.(25-26八年级下·江苏无锡期中)在▣ABCD中，∠A=63°，则∠B的度数是() A.116° B.117° C.1189 D.120° 15/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(25-26八年级下，浙江杭州期中)四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,下列四组条件中，一 定能判定四边形ABCD为平行四边形的是() D A.AD∥BC B.AB=CD,OC=OD C.0A=0C,0B=0D D.AD∥BC,AB=CD 3.(25-26八年级下·重庆巴南期中)如图，平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC,交AD于点E,连接 CE,点F,G分别是BE和CE的中点，若FG=2.5,DE=2,则CD的长为() G B A.3 B.2 C.2.5 D.4 4.(25-26八年级下·浙江宁波期中)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD交于点0，过点B作 BE⊥AC于点E,F为OC上一点，连接ED,DF,FB.若BE=CF=4,DB=I0,EF=6,则△AED的 面积为() D A.6 B.7.5 C.8 D.10 5.(25-26八年级下·山东济南期中)如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠DBC=45°，DE⊥BC于 点E,BF⊥CD于点F,DE,BF相交于点H,射线BF交线段AD的延长线于点G,下列结论：① ∠A=∠BHE;②AB=BH;③LBHD=∠BDG;④BH+BG2=AG.其中正确的结论是() E G D A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④ 16/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 6.(25-26八年级下·重庆北碚·月考)如图，平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于B, LBED=155°，则∠A的度数为度. E D 7.(25-26八年级下·上海期中)如图，DE为ABC的中位线，点F在DE上，已知AB=12,BC=18, 且EF=3,若LCBF=35°，则∠ABF=°. 8. (25-26八年级下·山西大同期中)如图，在口ABCD中∠B=60°，AE⊥CD于点E,点F在BC边上， 且AF=EF,∠AFE=90°，若AD=8,则CE的长为· D 9.(25-26八年级下·浙江杭州期中)如图，将▣ABCD沿EF对折，使点A落在点C处，若∠A=60°， AD=8,AB=12,则△CFE的面积为· D' D E B 10.(2026辽宁沈阳.一模)在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4,∠C=30°，点D是边BC的中点，点 E是边AC上一点，作点C关于直线DE的对称点F,点F与点E在直线BC的同侧.当DF⊥AC时，在平 面内找点G,使以A,D,F,G为顶点的四边形为平行四边形，则AG的长为 三、解答题 17/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 11.(25-26八年级下·天津红桥期中)如图，在口ABCD中，∠A=60°，AB=4cm,连接BD,恰有 LABD=9O°，过点D作DE⊥BC于点E.动点P从点D出发沿线段DA以1cm/s的速度向终点A运动，同 时点Q从点B出发，以3cms的速度沿射线BC运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P的 运动时间为s. P-D B Q→EC (I)求BD和BE的长度； (②)当t为何值时，以P,Q,C,D为顶点的四边形为平行四边形 12.(25-26八年级下·北京大兴期中)如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，BD与CE相交于点 F,DF FB,CF =2EF. (I)求证；四边形AFCD是平行四边形： (2)若∠DAB=90°，∠DBA=30°，AD=2,直接写出四边形ABCD的面积. 13.(2026河北沧州模拟预测)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠ADC=∠BAC=90°， AD=CD=6,E是AD上一点，且AE=4,EF⊥AC,垂足为点O,交AD,BC于点E,F. A (1)求证：四边形ABFE为平行四边形； (2)求0F的长； ()若点P,M分别是AC,FC的中点，PK1PM,交CD于点K,求PK的值. CK 14.(25-26八年级下·湖南永州期中)【三角形中位线定理】 18/19 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 图① 图② (I)如图1，己知：在ABC中，点D,E分别是边AB,AC的中点.请直接写出DE与BC之间的数量关系 和位置关系： 【应用】 (②)如图2，在四边形ABCD中，点E,F分别是边AB,AD的中点，若BC=5,CD=3,EF=2, ∠AFE=45°，求∠ADC的度数， 15.(25-26八年级下.浙江杭州期中)如图1，在平行四边形ABCD中，AB=3√2，AD=5,∠ABC=45°， 点E,F分别为边AD,BC上的动点（不与顶点重合），且AE=CF,连接EF,将四边形CFED沿着EF 折叠(D在BC边的上方)得到四边形C'FED'. D D 图1 图2 A D 备用图 (I)连接BD交EF于点O,连接BD', ①求证：OB=OD. ②如图2，连接DD'交OE于点H,若OF=BD',求DE的长 (②)若点C落在平行四边形ABCD的边上，请直接写出CC'所有可能的值. 19/19 第六章 平行四边形（复习讲义） 1. 了解平行四边形的定义与中心对称性，体会其边、角、对角线性质的逻辑关联及与判定定理之间的互逆关系。 2. 能用平行四边形的性质（对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分）进行线段与角度的计算推理。 3. 理解并利用四种判定方法（从边、角、对角线出发）证明一个四边形是平行四边形，注意条件应用清晰与分类讨论。 4. 掌握三角形中位线定理（平行于第三边且等于第三边的一半），能利用该定理证明线段平行或倍半关系。 知识点01 平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形.平行四边形用“▱”表示，平行四边形ABCD表示为“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD” 知识点02 平行四边形的性质 平行四边形的性质：边、角、对角线，有时会涉及对称性.如下图，四边形ABCD是平行四边形： 性质1（边）：①对边相等；②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC 性质2（角）：对角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO=OC，BO=OD 注：①平行四边形仅对角线相互平分，对角线不相等，即AC≠BD； ②平行四边形对角相等，但对角线不平分角，即∠DAO≠∠BAO. 性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形. 知识点03 平行四边形的判定定理 平行四边形的判定：主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD： （1）判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即AD∥BC，AB∥DC. （2）判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即AD=BC，AB=DC. （3）判定方法3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且AB=DC. （4）判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC. （5）判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即AO=CO且BO=DO. 注：①平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）； ②判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形.若四边形中，一对边平行，另一对边相等，是无法判定为平行四边形的. 知识点04 三角形的中位线定理 （1）三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段称为中位线（三角形中有3条中位线） （2）三角形中位线定理：如下图，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即若点D、E分别为AB、AC的中点，. 【题型一 利用平行四边形的性质求解】 【例1】（24-25八年级下·广东·期末）在中，若，则_____． 【答案】/72度 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，掌握知识点是解题的关键． 先证明，，可得到，将代入求出，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 【变式1-1】（25-26八年级上·全国·单元复习）如图，在中，对角线，相交于点，，．则与的距离为___________． 【答案】8 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理．根据平行四边形的性质和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵的对角线相交于点O，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴与的距离为8． 故答案为：8． 【变式1-2】（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，，过点O作分别交于点E、F，若，则的长为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，根据平行四边形的性质得到，可证明得到，用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵在平行四边形中，对角线与交于点O，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，点P为平行四边形内一点，连接，且，，，，若，则平行四边形的面积是______． 【答案】 【分析】延长交于点Q，由平行四边形的性质得，由得，由等腰三角形“三线合一”可求知Q为中点，从而可求出，解直角三角形求得，则，由得到答案． 此题考查平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、平行四边形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长交于点Q， 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为： 【题型二 平行四边形的性质与判定多结论问题】 【例2】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，对角线、相交于点，平分，分别交、于点、，连接，若，，则下列结论：①；②；③；④，正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】首先根据平行四边形的性质，确定，，再结合角平分线的定义可得，易知为等边三角形，进而可得，，结合三角形外角的定义和性质可求得，进一步可得，可判断结论①；证明为的中位线，由三角形中位线的性质可得，易得，可判断结论②；证明，然后由，可判断结论③；证明，根据含30度角的直角三角形的性质可得，再利用勾股定理可得，然后在中求得，易得，即可判断结论④． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，，， ∴，，，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； ∵，， ∴为的中位线， ∴，， ∴，即，故结论②正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，故结论③正确； ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴，故结论④错误． 综上所述，结论正确的有①②③． 【变式2-1】（24-25八年级下·黑龙江七台河·期末）如图，在平行四边形中，，于点E，于点F，相交于点H，的延长线相交于点．下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的是（    ） A．①②④⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．①②③⑤ 【答案】B 【分析】①由题意可知是等腰直角三角形，故此可得到；②由，证明即可；③先证明≌，从而得到，然后由平行四边形的性质可知；④根据，，即可得；⑤没有条件证明，所以不一定等于． 【详解】解：， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，故①正确，符合题意； ，， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，故②正确，符合题意； 在和中，， ≌， ，， ， ，故③正确，符合题意； 四边形是平行四边形， ， ， ；故④正确，符合题意； 根据已知不能推出，故⑤错误，不符合题意； 综上，正确的有①②③④， 故选：B． 【变式2-2】（24-25八年级下·全国·暑假作业）如图，过对角线的交点O，交于点E，交于点F．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质，牢记平行四边形的性质和全等三角形的判定定理是解题关键．根据平行四边形的性质可得到，可判断①正确；根据平行四边形的性质可得到，可判断②正确；根据，利用，可判断④正确． 【详解】解：①∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，． 在和中， ∴． ∴，故①正确． ②∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴，故②正确． ③现有条件中，与中，只有，不能判定，故③错误． ④∵， ∴． ∴，故④正确． 故选：B． 【变式2-3】（25-26八年级下·山东潍坊·期中）如图，在中，对角线交于点O，过点O作，分别交于点E，F，连接BE．若．有下列说法：①的周长等于周长的一半；②四边形的面积是面积的一半；③；④，其中，正确结论的个数是（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】推导出，得到，推导出是的垂直平分线，得到，则，故①正确；推导出，则②正确；作的中点，连接， 推导出是等边三角形，得到，则，故③正确；根据勾股定理，求出，，则，故④正确，即可解答． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ，， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ，故①正确 ， ，故②正确； 作的中点，连接，如图 ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ，故③正确， ， ， ， ，故④正确． 综上所述，①②③④都正确． 【题型三 利用平行四边形的性质求动点问题】 【例3】（2026·湖北随州·二模）如图1，四边形是平行四边形，连接，动点从点出发沿折线匀速运动，回到点后停止．设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，则________，的面积为________．      【答案】 6 【分析】根据图象，结合运动路程，把握好关键性节点，可知，，，过点B作于点，利用勾股定理求得，再根据求解． 【详解】解：根据图形和图象，当时，，故； 点P从点B运动到点D，行走路程为，； 当点P运动到点D时，，此时； 为等腰三角形，设中点为，连接， ， ， ． 【变式3-1】（24-25八年级下·全国·暑假作业）如图①，边上有一动点P，从点A出发，沿方向，以每秒2的速度运动，设点P的运动时间是，的面积为，S与t之间的函数关系图像如图②所示． （1）点G表示的横坐标为________； （2）点D到边的距离是________． 【答案】 8 5.5 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出的长度是解决问题的关键．根据函数的图象、结合图形求出的值，再根据平行四边形的性质以及三角形的面积公式即可求出点D到边的距离． 【详解】（1）解：由图2可知，动点P从点A运动到点B用了3秒， 动点P从点C运动到点D也需用3秒， ， G点表示的横坐标为8， 故答案为：8； （2）解：由图2可知，动点P从点B运动到点C用了2秒， ， 设点D到边的距离为x， 则， 解得． 点D到边的距离为． 故答案为：． 【变式3-2】（25-26八年级下·全国·期中）如图，在四边形中，，，，，若动点从点出发，以的速度沿线段向终点运动；同时动点从点出发以的速度沿向终点运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动设运动时间为回答下列问题： (1) ， (2)当 时，四边形为平行四边形； (3)如图，若四边形变为平行四边形，，动点从点出发，以的速度沿线段向终点运动；同时动点从点出发以的速度在边上做往返运动，当点到达点时停止运动（同时点也停止运动）．设运动时间为．当为何值时，以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】(1)，； (2)； (3)的值为或或． 【分析】（）利用二次根式有意义的条件即可求解； （）由于，所以当时，四边形为平行四边形，根据列出关于的方程，解方程即可； （）若以，，，四点组成的四边形是平行四边形，则，分当，，，时列方程求解即可． 【详解】（1）解：由， ∵， ∴， ∴， ∴，； （2）解：根据题意，得，，则． ∵，即， ∴当时，四边形为平行四边形， 即， 解得． 故当时，四边形为平行四边形； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴，即， 若以，，，四点组成的四边形是平行四边形，则， 当时，，， ∴， 解得（不合题意,舍去）； 当时，，， ∴， 解得； 当，，， ∴， 解得； 当时，，， ∴， 解得； 综上可得：的值为或或时，以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形． 【变式3-3】（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在四边形中，，动点、分别从、同时出发，点以每秒2个单位的速度沿着折线先由向运动，再由向运动，点以每秒1个单位的速度由向运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为秒． (1)两平行线与之间的距离是___________． (2)当、与的某两个顶点围成一个平行四边形时，的值为___________． (3)当直线恰好平分四边形的面积时，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）过点作于点，求出，得到，再利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）根据题意可知，只有点P在上时，才满足、与的某两个顶点围成一个平行四边形，分两种情况：四边形为平行四边形和四边形为平行四边形，根据平行四边形的对边相等建立方程求解即可； （3）可证明当点P在线段上时，，则点P一定在线段上；则有，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∴， ∵ ， ， ， ∴两平行线与之间的距离是； （2）解：根据题意可知，只有点P在上时，才满足、与的某两个顶点围成一个平行四边形， 当四边形为平行四边形时，则， ， ， 当四边形为平行四边形时，则， ， ， 综上所述当点、与 的某两个顶点围成一个平行四边形时，或； （3）解：∵， ∴， ∴， 由（1）得两平行线与之间的距离是， ∴，， ∴，即， 当点P在线段上时，， 此时不满足直线恰好平分四边形的面积， ∴点P一定在线段上； 如图所示，∵直线恰好平分四边形的面积， ∴， ∴， ∴， 解得． 【题型四 平行四边形中的折叠问题】 【例4】（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，把平行四边形纸片沿对角线折叠，点B落在点处，与相交于点E，此时恰为等边三角形，若，则______cm． 【答案】12 【分析】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、等边三角形的性质和30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键； 根据等边三角形的性质可得，根据折叠的性质和平行四边形的性质可得，结合三角形的外角性质可得，进而得到，再利用30度角的直角三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵折叠， ∴， ∵是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：12． 【变式4-1】（24-25八年级上·山东淄博·月考）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点A落在点E处，交于点F．若，．则的度数为______． 【答案】112° 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理， 先根据折叠的性质得，再根据平行四边形的性质得，可得，即可得出，然后根据三角形内角和角定理得出答案. 【详解】解：根据折叠的性质得， ∵四边形是平行四边形的性质， ∴， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 【变式4-2】（24-25八年级下·宁夏银川·期末）如图，在平行四边形中，点E 在边上，以为折痕，将折叠，使点A 恰好落在边的点F上，若的周长为12，的长为3，则的周长为_______． 【答案】6 【分析】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、三角形周长的计算，由折叠的性质得出，由的周长得出，即可求出的周长． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴的周长； 故答案为：6． 【变式4-3】（2025·河北沧州·模拟预测）如图，将沿（点分别在边上）折叠，使点与点重合，点落在平面上点处．若，，，则的长为__________． 【答案】 【分析】根据平行四边形，折叠的性质得到，，如图所示，过点作于点，设，则，根据含角的直角三角形的性质，勾股定理得到，，在中，由勾股定理得到，代入计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，整理得，， 解得，， ∴， ∴， 故答案为： ． 【题型五 判断能否构成平行四边形】 【例5】（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在四边形中，与相交于点，，以下条件能判断四边形是平行四边形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、，，根据一组对边平行，另一组对边相等不能判断四边形是平行四边形，该选项不符合题意； 、由可得，又，根据一组对边平行且相等能判断四边形是平行四边形，该选项符合题意； 、，，只能得到一组对边相等，不能判断四边形是平行四边形，该选项不符合题意； 、，，根据一组对边及一组对角相等不能判断四边形是平行四边形，该选项不符合题意； 故选：． 【变式5-1】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在中，，，，的交点在上，则图中面积相等的平行四边形有（   ）对 A．5 B．3 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定与性质可知，平行四边形的对角线将平行四边形的面积平分，可推出3对面积相等的平行四边形． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，是对角线， ∴，，． ∵，， ∴，， ∴四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形都是平行四边形， ∵是平行四边形的对角线， ∴， ∵是平行四边形的对角线， ∴． ∴， 即， ∴， 同理可得：． 即：，，． 故选：B． 【变式5-2】（24-25八年级下·山东日照·月考）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，、是对角线上的两点，给出下列四个条件：①；②；③；④．其中能判定四边形是平行四边形的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键． 根据平行四边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：①∵平行四边形， ∴，，，，， 若，则， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故①，能判定四边形是平行四边形； ③∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由①知四边形是平行四边形， 故③能判定四边形是平行四边形； ④∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ 由①知四边形是平行四边形， 故④能判定四边形是平行四边形； ②若，在与或在与中，“”不能判定两三角形全等，也就不能得出，故 ②不能证明对角线互相平分，就不能判定四边形是平行四边形． ∴能判定四边形是平行四边形的有①③④，共3个． 故选：D． 【变式5-3】（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，四边形的对角线交于点，已知，添加下列其中一个条件，能判定四边形为平行四边形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟记“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”是解题的关键．由平行四边形的判定定理即可得出结论． 【详解】解：添加，能判定四边形是平行四边形的是，理由如下： ， 又， 四边形是平行四边形， 只有B选项符合题意，其他选项不能判定四边形是平行四边形， 故选：B． 【题型六 平行四边形中的作图】 【例6】（2026九年级下·广东清远·学业考试）如图，在中，平分交于点． (1)在上求作一点，使点到两边的距离相等．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）． (2)在（1）的条件下，连接交于点，求的度数． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】（1）以点为圆心，任意长为半径画弧与，分别交于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧交于点，连接交于点，点即为所求； （2）由四边形是平行四边形，可得，再由、分别平分、，可得，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 由作图可得平分， ∴， ∴， ∴． 【变式6-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，为的对角线．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹，不写画法）． (1)如图①，为上任意一点，在上找一点，使． (2)如图②，为上任意一点，在上找一点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）连接交于，连接并延长交于，点即为所作； （2）连接交于，连接并延长交于，连接并延长交于，连接交于，点即为所作． 【详解】（1）解：如图①，点即为所求． （2）解：如图②，点即为所求． 【变式6-2】（25-26九年级上·江西鹰潭·期末）如图，在平行四边形中，点在的延长线上，请仅用无刻度的直尺，按要求完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图（1），过点作射线把平行四边形分成面积相等的两部分； (2)如图（2）， 若，过点作的中线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质与全等三角形的判定及性质，熟练掌握平行四边形对角线互相平分的性质及全等三角形的判定及性质是解题的关键。 （1）连接、，交于，作射线交于，交于点，则射线即为所求； （2）连接、，交于，连接交于，作直线交于点，连接，则线段即为所求。 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴（）， ∴， ∴， ∴，即过点作射线把平行四边形分成面积相等的两部分； （2）解：如图，线段即为所求。 ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即是的中线． 【变式6-3】（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图正方形网格中最小正方形的边长都是，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点、、、都在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)的面积为______； (2)在图中，画出的边上的高，并求的长； (3)在图中，在的边上找一点，连接，使，并直接写出的长：______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据割补法即可得到结论； （2）取格点，连接交于点，即可作四边形的边上的高； （3）取格点，连接，交于，则，分别作的高，，由可得，再结合，列方程，最后根据完全平方公式配方解方程即可． 【详解】（1）解：的面积； （2）解：如图， 取格点，连接，交于， 则就是的高； ， ； （3）解：如图， 取格点，连接，交于，则是等腰直角三角形，， 分别作的高，，由（2）可得， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 整理得到， ∴由平方根的性质可得， ∴或， ∵， 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； ∴． 【题型七 平行四边形中的性质和判定】 【例7】（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，得，根据一边平行且相等的四边形为平行四边形得出结论； （2）由平行四边形的性质得，，证明出，然后由三角形面积求出的长即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：由（1）可知，四边形是平行四边形， ，， ∵， ∴， ， ， ． 的长为． 【变式7-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，分别以它的三边为边长，在边的同侧作三个等边三角形，即、、，连接、、． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】（1）分别用证明，得到四边形的两组对边分别相等即可． （2）由是等边三角形可得，在中，，可得，由是等边三角形可得，由，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵、都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴四边形为平行四边形． （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 由（1）得，， ∵， ∴， 在中，． 【变式7-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线，相交于点，，，为直线上的两个动点（点，始终在的外面），连接，，，． (1)若，，求证：四边形为平行四边形； (2)若，，四边形________平行四边形；（填“是”或“不是”） (3)若，（为大于的正整数），四边形________平行四边形．（填“是”或“不是”） 【答案】(1)证明见解析 (2)是 (3)是 【分析】（1）由平行四边形的性质可知，再证明，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）（3）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形分别判定即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形； （2）解：， ， ，即， 又， ∴四边形为平行四边形， 即若，，四边形是平行四边形； （3）解：∵，，， ， ，即， 又， ∴四边形为平行四边形， 即若，，四边形为平行四边形． 【变式7-3】（24-25八年级下·江西吉安·期末）如下图，在中，对角线，相交于点，，，为直线上的两个点（点，始终在的外面），且，，连接，，，． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，，则四边形是平行四边形吗？请说明理由．由此你能得出什么结论？ (3)若平分，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是平行四边形．理由结论见解析 (3) 【分析】（1）先利用平行四边形对角线互相平分的性质得，再由的关系推出，结合对角线互相平分的四边形是平行四边形证明结论； （2）同理（1），通过推出，结合判定平行四边形，再总结一般比例下的结论； （3）利用角平分线和平行线的性质得，结合平行四边形性质推出垂直平分，进而得，再由判定为等边三角形，求出边长后计算周长． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，． ，， ， ，即， 四边形为平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形， ，． ，， ， ，即， 四边形为平行四边形． 由此可得出结论：若，，则四边形为平行四边形． （3）解：在中，， ． 平分， ， ， ． ， ， 垂直平分， ． ， 是等边三角形， ， ． 【题型八 与三角形中位线有关的求解问题】 【例8】（25-26八年级下·广西贵港·期中）如图，在中，点为上一点，，平分，交于点，点为的中点．若，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了三线合一，中位线的性质．根据，平分，可得，再由点为的中点可知，为的中位线，从而得出答案． 【详解】解：，平分， ，即点为中点， 点为的中点， 为的中位线， ， ， ． 【变式8-1】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知中，，，，将绕点顺时针旋转得到，是中点，连接，则的长为________． 【答案】 【分析】取中点，连接，结合是中点由中位线定理可得，，进而得，由是中点可求长，由旋转得长，即可得长，最后在中利用勾股定理求长即可． 【详解】解：如图，取中点，连接， 又∵是中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵是中点， ∴， 由旋转得， ∴， 在 中， ． 【变式8-2】（25-26八年级下·福建泉州·期中）如图，在平行四边形中，点E，F分别在上，，连接交于点M，点N为的中点，连接，若，则的长为_________．    【答案】4 【分析】由平行四边形的性质得到，，证明，得到，由三角形中位线定理得到，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵点N为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴． 【变式8-3】（25-26八年级下·重庆·期中）如图，的对角线，相交于点的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为________________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角形中位线定理. 根据平行四边形的性质及角平分线的定义可证得，进而求出的长，最后利用三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴ ， ∵平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵是的中点， ， ∴是的中位线 ， ∴． 【题型九 平行四边形与中位线综合问题】 【例9】（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图所示，为内的一点，平分，且，垂足为D，延长交于点，为的中点，点在上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义和垂直的定义证出，利用全等三角形的性质和三角形中位线的判定得出是的中位线，最后利用三角形中位线的性质和平行四边形的判定定理即可得出结果； （2）结合（1）的结论，得到，利用三角形的中位线定理和线段的和差即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵平分， , ∵， ， 又， ， ， 即点是线段的中点， 为的中点， 是的中位线， 又 四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得， ∴， 由（1）得是的中位线， ， 又， ， ∴． 【变式9-1】（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在平行四边形中，点E在边上，点F是中点，交于点G． (1)若点G是中点，求证：四边形是平行四边形； (2)若，平分，，求E的面积． 【答案】(1)见解析 (2)25 【分析】（1）证明是的中位线，推出，据此即可证得四边形是平行四边形； （2）证明，求得，作于点，利用直角三角形的性质求得，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴， ∵点F是中点，点G是中点， ∴是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 作于点， 在中，， ∴， ∴． 【变式9-2】（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，是内一点，连接，，并将，，，的中点，，，依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）判断是的中位线，是的中位线，则，，，，因此，且，命题得证； （2）作，垂足为，判断是等腰直角三角形，则，根据含角的直角三角形的性质可得，，由勾股定理可得，因此，结合即可计算出结果． 【详解】（1）证明：∵，分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理，是的中位线， ∴，， ∴，且， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，作，垂足为， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵在中，，且， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， ∴． 【变式9-3】（2026·黑龙江大庆·一模）在中，，，分别是边，的中点，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连结，交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形的中位线定理，可知，，据此即可证明结论； （2）容易证明，，利用勾股定理求得的长度，进而可求得的长度． 【详解】（1）证明：∵，分别为，的中点， ∴，． ∴． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，， ∴，． ∵， ∴． 在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴，． 在中，， ∴． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（25-26八年级下·甘肃天水·期中）平行四边形中，若，则的度数为（ 　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴（平行四边形的对角相等）． 2．（25-26八年级下·湖北·期中）在四边形中，，要使四边形是平行四边形，则需添加一个条件，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知，根据“一组对边平行且相等”可判定平行四边形，根据“两组对边分别平行”可判定平行四边形，根据同旁内角互补可推出另一组对边平行，而一组对边平行另一组对边相等可能是等腰梯形． 【详解】解：, 若添加，则(同旁内角互补，两直线平行)， 四边形是平行四边形，选项A正确， 若添加，则且， 四边形是平行四边形，选项C正确， 若添加，则且， 四边形是平行四边形，选项D正确， 若添加，四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，选项B错误． 3．（25-26八年级下·河南焦作·期中）如图，在中，点在上，，平分，，则的面积为（   ） A．32 B．24 C．18 D．16 【答案】D 【分析】首先根据平行四边形的性质得到，从而推出，再结合角平分线的定义得到 ，进而证得是等腰三角形，求出的长． 最后过点作边上的高，利用含角的直角三角形性质求出高，即可计算面积． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ． 平分， ， ， ． ， ． 如图，过点作于点， 在 中，，， ． ． 4．（25-26九年级下·四川南充·期中）如图，中，，．，分别是，上的动点（不含端点），分别是，的中点．则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先连接，根据中位线的性质可知，要求最小，即求最小，当时，取得最小值，再根据勾股定理求出答案． 【详解】解：连接， ∵点G，H分别为的中点， ∴是的中位线， ∴． 当时，取最小值，即最小． 在中，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 二、填空题 5．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，在中，，分别是，的中点，若，则的长为_____． 【答案】 【分析】根据题意可知分别为的中点，利用三角形中位线定理可得与的数量关系，进而求解． 【详解】解：分别是的中点， 是的中位线． ． ， ． 6．（25-26八年级下·湖南娄底·期中）在四边形中，已知，则只需添加一个条件_____，可证明四边形为平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】已知四边形中一组对边，根据平行四边形的判定定理，添加符合判定要求的一个条件即可． 【详解】解：已知，添加条件，即可证明四边形为平行四边形， 或添加，也可证明四边形为平行四边形． 7．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，平行四边形中，若平分交直线于点，点，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出的长度，再根据平行四边形的性质和平行线、角平分线的性质推出等腰三角形，进而求出的长度，最后结合点的坐标求出点的坐标． 【详解】解：点， ． 四边形是平行四边形， ． ． 平分， ． ． ． 点的坐标为，且轴， 点的纵坐标为，横坐标为． 故D点的坐标是． 8．（25-26八年级下·湖北孝感·期中）如图，在中，交于点O，平分，，．则（1）_____，（2）_____． 【答案】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得邻角互补，结合已知条件求出的度数，进而得到的度数； （2）利用角平分线的定义和平行线的性质证明是等边三角形，求出的长，作高利用勾股定理求出高，最后利用平行四边形面积公式计算即可 【详解】解：（1）四边形是平行四边形， ∴，， ， 又， ，即， ， ； （2）四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， 在中，， 是等边三角形， ， ， ， 如图，过点作于点， 则， ， ． 三、解答题 9．（25-26八年级下·湖南娄底·期中）如图，中，在上，四边形是平行四边形， (1)求证：． (2)若，，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，交于点，由平行四边形的性质得出，即可得出结论； （2）设交于点，由直角三角形性质，根据长可求出的长度，再由平行四边形面积公式即可求出结果． 【详解】（1）证明：如下图所示，连接，交于点， 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ，， ， ； （2）解：∵， ∴设交于点， 在中，，， ， ，， ． 10．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）如图，在平行四边形中，点在的延长线上， (1)求证：四边形是平行四边形 (2)请仅用无刻度的直尺，在图中作出一条线段使其等于（不写作法，保留作图痕迹），并进行证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平行四边形的判定和性质证明； （2）利用平行四边形的性质以及三角形中位线的性质求解及证明． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图所示，线段， 证明：连接交于点，连接交于点， ∵四边形为平行四边形，四边形是平行四边形， ∴点为线段的中点，点为线段的中点， ∴为的中位线， ∴． 11．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，在四边形中，，点E，F，G分别是的中点，连接． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】（1）是直角三角形，先证明是的中位线，是的中位线，由平行线的性质结合，即可得到，即可说明； （2）由（1）知是的中位线，是的中位线，可得，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵点E，F，G分别是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：由（1）知是的中位线，是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∵是直角三角形，且， ∴． 12．（25-26八年级下·浙江台州·期中）如图，在四边形中，，，，于点E，点P是上的动点，连接． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长； (3)在题（2）的基础上，如图2，过点P作交于点F，过点B作于点H，交于点N，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质结合等量代换，得到，即可得证； （2）设，则，在和中，利用勾股定理列出方程进行求解即可； （3）连接，证明，得到，进而得到，，再证明，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵，设，则． ∵， ∴， ∴在中，． ∵， ∴在中，， ∴， 解得， ∴； （3）解：连接，如图， 由（2）得，，，，， ∵， ∴，，， ∵， ∴． ∵，． 又∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）在中，，则∠B的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形对边平行，邻角互补即可计算出的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）四边形的对角线与相交于点，下列四组条件中，一定能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：对于选项C： ∵，，， ∴． ∴． 同理可得． ∴四边形为平行四边形． 选项A、B、D均不符合平行四边形的判定条件． 3．（25-26八年级下·重庆巴南·期中）如图，平行四边形中，平分，交于点E，连接，点F，G分别是和的中点，若，，则的长为（   ） A．3 B．2 C．2.5 D．4 【答案】A 【分析】证明，三角形的中位线定理，求出的长，线段的和差求出的长，即可得出结果. 【详解】解：∵平行四边形中，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点F，G分别是和的中点，，， ∴， ∴. 4．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，对角线，交于点，过点作于点，为上一点，连接．若，，，则的面积为（   ） A．6 B．7.5 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质，得，，利用勾股定理，可求，从而，，再根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形，进而可得，，最后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：在中，对角线，交于点，， ，， ，， ， ， ，即， ，，， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ． 5．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，为平行四边形的对角线，，于点，于点，，相交于点，射线交线段的延长线于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】根据余角的性质得出，根据平行四边形的性质得出，即可得出，说明①正确；证明，得出，根据平行四边形的性质得出，即可得出，判断②正确；根据，，，即可得出，判断③错误；根据勾股定理得出，根据，得出，即可判断④正确． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在平行四边形中，， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ， ， 在平行四边形中，， ∴，故②正确； ∵在平行四边形中，， ∴， ，， ， ，故③错误； ∵在平行四边形中，， ∴， ， ∵， ，故④正确； 综上，正确的有①②④． 二、填空题 6．（25-26八年级下·重庆北碚·月考）如图，平行四边形中，的平分线交于，，则的度数为______度． 【答案】 【分析】根据邻补角的定义求出的度数，利用平行四边形的性质得到，进而利用平行线的性质和角平分线的定义求出的度数，最后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在中，． 7．（25-26八年级下·上海·期中）如图，为的中位线，点F在上，已知，，且．若，则______． 【答案】35 【分析】根据三角形中位线定理求出的长及，进而求出的长，结合D为中点可得，利用等腰三角形的性质及平行线的性质即可求解． 【详解】为的中位线， 且， ，， D为中点， ， ， ． 8．（25-26八年级下·山西大同·期中）如图，在中，于点E，点F在边上，且，，若，则的长为______． 【答案】/ 【分析】根据平行四边形的性质得出，然后求出，进而得出，过点A作于点M，过点E作，交的延长线于点N，设，则，证明，，求出，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； 如图所示，过点A作于点M，过点E作，交的延长线于点N， 设， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 9．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，将沿对折，使点落在点处，若，，，则的面积为______． 【答案】19 【分析】过点作交的延长线于点，根据平行四边形的性质求出的度数，利用含30度角的直角三角形性质和勾股定理求出和的长，根据折叠的性质可得，设，在中利用勾股定理列出方程求出的值，再根据平行线的性质和折叠的性质证得，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】过点作交的延长线于点． 在中，，，，． ， ， ． 在中，， ． 由勾股定理可知：． 由折叠的性质可知，． 设，则，， ． 在中，由勾股定理得：， 即， 解得． ． ， ． 由折叠可知， ， ． ． 10．（2026·辽宁沈阳·一模）在中，，，，点D是边的中点，点E是边上一点，作点C关于直线的对称点F，点F与点E在直线的同侧．当时，在平面内找点G，使以A，D，F，G为顶点的四边形为平行四边形，则的长为________． 【答案】或10 【分析】先利用直角三角形的性质求出各边长，结合轴对称性质得到的长度，再根据确定各点坐标，最后分情况根据平行四边形对角线互相平分的性质计算的长度． 【详解】解：如图，过点F作于点H， 在中，，，， ， 由勾股定理得， 点是的中点， ， 点和点关于直线对称， ， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， 如图，以点B为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则，，，，， 设点G的坐标为， 分三种情况讨论： 若为平行四边形的对角线， ，解得， ∴， ∴； 若为平行四边形的对角线， ，解得， ∴， ∴； 若为平行四边形的对角线，可得 ，解得， ∴， ∴； 综上所述，的长为或10． 三、解答题 11．（25-26八年级下·天津红桥·期中）如图，在中，，，连接，恰有，过点作于点．动点从点出发沿线段以的速度向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点的运动时间为． (1)求和的长度； (2)当为何值时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形． 【答案】(1)， (2)的值为2或4 【分析】（1）求出，则，利用勾股定理可得，由平行四边形的性质和平行线的性质得到，则，据此利用勾股定理求出的长即可； （2）由，可知和是该平行四边形的一组对边，则，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，和是该平行四边形的一组对边， ∴， 由题意知，两点停止运动的时间为，， 当时，， ∴， 解得； 当时， ， ∴， 解得； 综上所述，当的值为2或4时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形． 12．（25-26八年级下·北京大兴·期中）如图，在四边形中，是的中点，与相交于点． (1)求证；四边形是平行四边形； (2)若，，，直接写出四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）利用三角形中位线定理得到且，结合推出，从而证明四边形是平行四边形； （2）先求出、，利用中位线性质求出，进而求出，利用求面积即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴，， 又∵， ∴， 又∵、、三点共线， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，，， ∴，， 由（1）知，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴． 13．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，在直角梯形中，，，，E是上一点，且，，垂足为点O，交，于点E，F． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求的长； (3)若点P，M分别是，的中点，，交于点K，求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】（1）利用垂直于同一条直线的两条直线平行，结合已知平行线，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行证明； （2）先利用等腰直角三角形求出及，进而推出，都是等腰直角三角形，通过平行四边形性质求出，从而得到，最后利用等腰直角三角形性质求； （3）通过作辅助线构造正方形，利用“一线三等角”模型证明，从而将线段和转化为可计算的线段，最后利用勾股定理求解比值． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，都是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，过点P作，垂足为R，作，垂足为S，则四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点M是的中点， ∴， ∵点P是的中点，， 在中，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 14．（25-26八年级下·湖南永州·期中）【三角形中位线定理】 (1)如图1，已知：在中，点D，E分别是边，的中点．请直接写出与之间的数量关系和位置关系； 【应用】 (2)如图2，在四边形中，点E，F分别是边，的中点，若，，，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理求解即可； （2）连接，利用三角形中位线定理，勾股定理逆定理求解即可． 【详解】（1）解：根据三角形中位线定理，得； （2）解：连接， 因为点E，F分别是边，的中点， 故， ， ，， ， ，，且 ， ， ． 15．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图1，在平行四边形中，，，，点E，F分别为边，上的动点（不与顶点重合），且，连接，将四边形沿着折叠（在边的上方）得到四边形．        (1)连接交于点O，连接． ①求证：． ②如图2，连接交于点H，若，求的长． (2)若点落在平行四边形的边上，请直接写出所有可能的值． 【答案】(1)①见解析；② (2)或或 【分析】（1）①根据平行四边形的性质得到，，求得，根据平行线的性质得到，，根据全等三角形的性质得到结论； ②过D作于G，根据平行线的性质得到，求得，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，，根据中位线定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到结论； （2）当在边上时，过D作，得到，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到；当C在边上时，设，交于H，连接，根据折叠的性质得到，，，故是中位线，求得，根据等腰直角三角形 的性质得到；当点与点A重合时，过A作于H，求得，根据勾股定理得到． 【详解】（1）解：在中，，， ， 即， ， ，， ， ； ②过D作于点G，如图所示： 则， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ， ∴为等腰直角三角形， ， ∴， 在中，， 根据解析①可得：， ∴， 由折叠可知．， 又， 是的中位线， ， 是的中垂线， ； （2）解：当在边上时（图1）， 由折叠可知，根据解析（1）可得：，， 过D作， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 根据解析（1）可得：， ， 由折叠，； 当在边上时（图2）， 由折叠，，， 又，故是中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； 当与A重合时（图3）， 过点A作， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． 综上所述，或或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $