第六章 平行四边形（必备知识+6大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材北师大版八年级下册

第六章 平行四边形 知识点01 平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形.平行四边形用“▱”表示，平行四边形ABCD表示为“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD” 知识点02 平行四边形的性质 平行四边形的性质：边、角、对角线，有时会涉及对称性.如下图，四边形ABCD是平行四边形： 性质1（边）：①对边相等；②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC 性质2（角）：对角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO=OC，BO=OD 注：①平行四边形仅对角线相互平分，对角线不相等，即AC≠BD； ②平行四边形对角相等，但对角线不平分角，即∠DAO≠∠BAO. 性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形. 知识点03 平行四边形的判定定理 平行四边形的判定：主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD： （1）判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即AD∥BC，AB∥DC. （2）判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即AD=BC，AB=DC. （3）判定方法3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且AB=DC. （4）判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC. （5）判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即AO=CO且BO=DO. 注：①平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）； ②判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形.若四边形中，一对边平行，另一对边相等，是无法判定为平行四边形的. 知识点04 三角形的中位线定理 （1）三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段称为中位线（三角形中有3条中位线） （2）三角形中位线定理：如下图，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即若点D、E分别为AB、AC的中点，. 易错点1 平行四边形的性质与判定多结论问题 易错总结 1. 判定性质混淆：用性质（如对角线相等）直接判定矩形，缺平行四边形前提。 2. 隐含条件遗漏：复杂图形中忽略对边平行、对角线交点等隐含关系，导致推理中断。 3. 结论跳跃不全：由一组对边平行且相等推出平行四边形后，未继续推导其他结论（如对角等）。 注意事项： - 理清逻辑链：判定用边角条件推平行四边形，性质用平行四边形推边角相等。 - 挖掘隐含：平行线得角关系，对角线交点得中点。 - 步步为营：先证基础平行四边形，再逐条推导延伸结论。 【例1】（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，在中，、交于O，平分，，．以下结论①平分；②；③；④．正确的有（   ）个． A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】D 【分析】证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出，，可判断①正确；由三角形中位线定理得出，则可得出②正确；证明，由勾股定理求出的长，则可得出③正确；利用三角形面积公式可得出④错误． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即平分，故①正确； ∵，，， ∴点O为的中点，点E为的中点， ∴，，故②正确； ∵， ∴， ∵，，平分， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴，即， ∴，故④错误， 综上所述，正确的结论有①②③． 【变式】（24-25七年级下·河南商丘·期中）如图，在平行四边形中，，F是的中点，作，垂足E在线段上，连接，则下列结论中一定成立的是（    ） ①；②；③；④． A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质以及，可得，根据平行线的性质和等边对等角可得，即可判断①，延长，交的延长线于M，证明，可得，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据，以及三角形的面积和即可判断③，设，则，根据角度关系的计算即可求得． 【详解】解：①∵F是的中点， ∴， ∵在平行四边形中，， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，故结论①正确， 延长，交的延长线于M， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ， ∵F为中点， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确， ③∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 故③错误 ④设，则 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴，故结论④正确 综上可知，一定成立的是①②④ 易错点2 利用平行四边形的性质求动点问题 易错总结 1. 对边平行漏用：动点运动时，未利用平行四边形对边平行转化角关系，导致列方程错误。 2. 分类讨论不全：动点位置变化时，平行四边形顶点顺序可能改变（如ABCD与ABDC），漏解。 3. 隐含条件忽略：未利用对角线互相平分（如中点坐标公式），导致方程条件不足。 4. 取值范围遗漏：动点运动时间或路径范围未考虑，求出解后未检验是否在线段上。 注意事项： - 标对应顶点：明确平行四边形顶点顺序，利用对边平行且相等列方程。 - 分情况画图：动点在不同位置时，分别画出图形，分类讨论。 - 对角线互平分：设未知点坐标，利用对角线中点重合列方程。 - 检验合理性：解出的动点位置需满足运动范围及几何约束。 【例2】（25-26八年级下·海南·期中）如图，已知动点在的边上沿的顺序运动，其运动速度为每秒个单位．连接，记点的运动时间为秒，的面积为．如图是关于的函数图象，则下列说法中错误的是（    ） A．的周长为 B．的面积为 C． D．秒时，线段最短 【答案】D 【分析】根据函数图象可知当时，点在上运动，即得，当时，点在上运动，保持不变，即得，再根据平行四边形的性质逐项判断即可求解． 【详解】解：由图象可知：当时，点在上运动， ， 当时，点在上运动，保持不变， ， ∵四边形是平行四边形， ，， ∴的周长，故选项正确； 当时，，即， 设为边上的高，则， ， ∴的面积，故选项正确； 当时，点在上运动， ∴运动时间为秒， ，故选项正确； 当 时，线段最短，此时， 在 中，∵，， ， 秒， 即秒时，最短，故选项错误． 【变式】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形中，，，．动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为秒． (1)请问是否存在的值，使得，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (2)请问是否存在的值，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，则________． 【答案】(1)或 (2)存在， (3)或 【分析】（1）可证明和是以、、、为顶点的平行四边形的一组对边；当点在点左侧时，则四边形是平行四边形，当点在点右侧时，则四边形是平行四边形，据此根据平行四边形的性质讨论求解即可； （2）求出，得到；由平行四边形的性质和平行线的性质可得，可证明，则可推出，根据建立方程求解即可； （3）分两种情况：点在点左侧和点在点右侧，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴和是以、、、为顶点的平行四边形的一组对边； 如图所示，当点在点左侧时，则四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得； 如图所示，当点在点右侧时，则四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或； （2）解：存在，使得 ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 如图所示，设交于点O， 由题意得，， 同理可得， ∴同理可得， ∴， ∵， ∴， 解得； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； 如图所示，当点在点左侧时，设点的对应点为， 由对称性可得， ∴是等边三角形， ∴， 由（2）可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图所示，当点在点右侧时，设点的对应点为，点为直线上一点， ∵， ∴由轴对称的性质可得， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或． 易错点3 平行四边形中的折叠问题 易错总结 1. 对应关系错：折叠后哪些点重合、哪些边相等标记不清，导致全等条件找错。 2. 折痕性质误用：折痕是对应点连线的垂直平分线，误当作角平分线使用。 3. 方程列错：利用折叠后长度相等列方程时，未在直角三角形中用勾股定理。 4. 多解遗漏：折叠方式不同（如折痕位置变化）时，只考虑一种情形。 注意事项： - 标对应点：折叠后重合的点用相同字母标记（如A与A'）。 - 折痕性质：折痕垂直平分对应点连线，且折痕上的点到对应点距离相等。 - 找直角三角形：在折叠形成的直角三角形中用勾股定理列方程。 - 分情况画图：折痕位置不同时，画出每种图形分别求解。 【例3】（25-26八年级下·辽宁鞍山·月考）同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为．改变E点的位置，将沿折叠，连接，当为直角三角形时，则的长是______． 【答案】或或 【分析】分和两种情况，分别作出相应图形，进行讨论求解即可． 【详解】解：①当时，延长交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴； 如图，当重合时，记，的交点为， ∵当时，， ∴，而， ∴， ∴当重合时，， 由折叠可得：； ②当时，如图，设与交于点，作， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：的长是或或． 【变式】（2026·河北秦皇岛·一模）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在平面上的点处，与交于点． (1)求证：； (2)若平行四边形的对角线与的交点为点，连接，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由折叠得，，由四边形是平行四边形得，，即可得，，结合对顶角即可证明； （2）由得，由平行四边形的对角线与的交点为点得为中点，由等腰三角形三线合一可得为中边上的高，即可证明． 【详解】（1）证明：由折叠得，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵平行四边形的对角线与的交点为点， ∴为中点， ∴为中边上的高， ∴． 易错点4 平行四边形中的最值问题 易错总结 1. 模型选错：将“将军饮马”与“垂线段最短”混淆，如求两线段和最小误用垂线。 2. 动点轨迹不明：动点在平行四边形边上运动时，未明确其路径范围，导致最值点定位错误。 3. 函数最值漏端：建立函数求最值时，忽略自变量边界（如边长非负），未比较端点值。 4. 几何直观误导：凭感觉认为最值在对角线交点或顶点处，未严格证明。 注意事项： - 先定模型：分析是“两点间线段最短”还是“垂线段最短”。 - 画范围图：在图上标出动点可运动的全部区域。 - 代数几何结合：设变量列函数，用配方法或不等式求最值，同时检查定义域端点。 - 验证特殊位置：检查动点在边界或中点时是否取得最值。 【例4】（2026·安徽安庆·一模）已知如图，在中，，，，点为边上一点，连接，将沿翻折，得到，其中点为边中点，点为边中点，连接、、，下列说法错误的是（    ） A．最小值为 B．最小值为2 C．的最大值为3 D．最小值为 【答案】C 【分析】当时，有最小值，利用等积法求解即可判断选项A；当B、E、C三点共线时，的值最小，据此计算即可判断选项B；根据三角形中位线定理，推出当A、B、E三点共线时，的值最小，据此计算即可判断选项C；作点B关于的对称点，当O、P、三点共线时，的值最小，即的最小值为，据此计算即可判断选项D． 【详解】解：∵，，， ∴， 当时，有最小值， ∵， ∴， ∴最小值为， 选项A正确，不符合题意； ∵点E在以B为圆心，为半径的圆上运动， ∴当B、E、C三点共线时，的值最小， ∴的值最小值为，选项B正确，不符合题意； 连接， ∵点为边中点，点为边中点， ∴根据三角形中位线定理，， ∴当A、B、E三点共线时，的值最小， ∴的值最小值为，选项C错误，符合题意； 作点B关于的对称点，连接，,，， ∵，∴， ∴当O、P、三点共线时，的值最小，即的最小值为， 记交于点，作交的延长线于点， 由对称的性质和选项A的结论，得，，， 设，则， ∵， ∴， 解得，即， ∴，， ∴， ∴最小值为，选项D正确，不符合题意． 【变式】（2026·安徽蚌埠·一模）如图，在中，，，，点是延长线上一点，以，为邻边作平行四边形，连接，，则下列结论错误的是（    ） A．的面积不变 B．的周长的最小值为 C．的最小值为4 D．若点G与点C关于对称，则的最大值为6 【答案】B 【分析】过点作于点，证明得到，再由三角形面积公式即可判断A；确定点在如图直线上运动，延长交直线于点，至点，使得，连接，则点为点关于直线的对称点，那么，则，当点三点共线时，取得最小值为，在中，求出，即可判断B；由于点在直线上运动，则，故的最小值为4，即可判断C；当点G在线段的延长线上时，的值最大，即可判断D． 【详解】解：过点作于点，则， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积不变，故A正确，不符合题意； ∵， ∴的周长， 由上知， ∴点到直线的距离为2，则点在如图直线上运动， 延长交直线于点，至点，使得，连接， ∵，， ∴， ∴点为点关于直线的对称点， ∴， ∴， 当点三点共线时，取得最小值为， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴的最小值为，即周长的最小值为， 故B错误，符合题意； ∵点在直线上运动， ∴， ∴的最小值为4，故C正确，不符合题意； ∵点C，G关于对称，则， ∴点G在以点B为圆心，2为半径的圆上， ∴当点G在线段的延长线上时，如图， 的值最大，最大值为，故D正确，不符合题意． 易错点5 平行四边形中的性质和判定 易错总结 1. 判定条件混淆：误用“对角线相等”判定矩形，或“邻边相等”判定菱形，忽略前提“平行四边形”。 2. 性质逆向乱用：由“对角相等”反推平行四边形时，误认为任意四边形满足此条件即成立。 3. 辅助线不当：需构造全等或中位线时，连线错误导致无法利用平行四边形性质。 注意事项： - 判定有层次：先证四边形是平行四边形，再证矩形、菱形、正方形。 - 性质可互推：平行四边形对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分。 - 画图标条件：在图上清晰标出已知边角关系，避免视觉误导。 【例5】（25-26八年级下·湖南长沙·期中）如图，的对角线，相交于点O，且E，F分别是，的中点，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的对角线互相平分得到，再由线段中点的定义可推出，据此可证明四边形是平行四边形； （2）由平行四边形的对角线互相平分得到的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵的对角线，相交于点O， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵的对角线，相交于点O， ∴， ∵， ∴由勾股定理得． 【变式】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）在平行四边形纸片上，E为边上一点，将沿折叠，点D的对应点为． (1)如图1，当点恰好落在边上时，判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试猜想线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为12，，直接写出线段的长． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用平行四边形的性质及折叠的性质可得，，可得四边形是菱形，可知，继而可知，即可求解； （2）利用折叠的性质可得，，结合三等分点可知，进而可得，利用三角 形外角性质可得，进而可知，可得四边形是平行四边形，再结合平行四边形的性质即可得与的 数量关系； （3）首先，由四边形是平行四边形，得，再由，，得，由折叠可知：，易知为等腰直角三角形，延长交于M，可知 ，由平行四边形的性质可得，，，进而可知，由平行四边形的面积为12，，得，求得，可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴ ，，则， 由折叠可知：，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：，证明如下： ∵ 四边形是平行四边形， ∴，， 又∵为边的三等分点， ∴， 由折叠可知，，则， ∴， 由三角形外角性质可知，， ∴， ∴ ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，则 ， ∴ ； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 由折叠可知， ∴ ， ∴为等腰直角三角形， ∴， 如图，延长交于，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ，，即， ∴， ∵平行四边形的面积为12，，即， ∴ ，则， ∴． 易错点6 平行四边形与中位线综合问题 题易错总结 1. 中位线找错：误将连接任意两边中点的线段当作中位线，忽略必须连接两边中点且平行于第三边。 2. 中点四边形形状判断错误：由原四边形对角线关系判断中点四边形形状时，结论记反（如对角线垂直得矩形，相等得菱形）。 3. 构造中位线不当：需要取中点构造中位线时，未结合平行四边形对边中点连线性质。 4. 隐含中点忽略：平行四边形对角线交点即为中点，未利用此性质构造中位线。 注意事项： - 确认中位线条件：连接两边中点，平行于第三边且等于第三边一半。 - 中点四边形规律：顺次连接任意四边形各边中点得平行四边形；原四边形对角线垂直→矩形；相等→菱形。 - 善用对角线交点：平行四边形对角线互相平分，交点可作为中点使用。 - 画图辅助：标出所有中点，连接后观察图形关系。 【例6】（25-26八年级下·北京西城·期中）如图，的中线，相交于点，且，分别是，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用三角形中位线定理可得出，，然后利用平行四边形的判定即可得证； （2）利用三线合一得，由勾股定理求出，结合平行四边形的性质可求出，再由勾股定理求出，然后根据三角形中位线定理可得的长． 【详解】（1）证明：∵的中线，交于点O， ∴，， ∵点F，G分别是，的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接， ∵，是的中线， ∴，， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， ∴． ∵，E分别是，的中点， ∴． 【变式】（25-26八年级下·广西河池·期中）按要求解答问题： (1)为了探索三角形中位线的性质，小明同学的思路如下： 如图1，在中，延长分别是，的中点）到点，使得，连接；先证，再证四边形是平行四边形，从而得到中位线与的关系是___________（直接填写结果）； (2)如图2，在正方形中，为的中点，G，F分别为，边上的点，若，求的长； (3)如图3，在四边形中，为的中点，G，F分别为，边上的点，若，求的长． 【答案】(1)，． (2) (3) 【分析】（1）根据三角形全等的判定和性质，平行四边形的性质求解即可； （2）延长，，二线交于点H，利用三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质求解即可． （3）过点D作，交延长线于点Q，连接，过点Q作，交延长线于点P，根据三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图，延长至点F，使得，连接． ∴， ∵， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． （2）解：如图，延长，，二线交于点H． ∵正方形中，为的中点， ∴， ∴，， 在和中， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴，，直线是线段的垂直平分线， ∴． （3）解：如图，过点D作，交延长线于点Q，连接，过点Q作，交延长线于点P． ∵为的中点， ∴， ∴，， 在和中， ∵， ∴ ∴，， ∵，， ∴，，直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． ∴． 一、单选题 1．（25-26八年级下·上海·期中）图，是的对角线，过点B作交于点G，垂足为E，过点D作交于点H，垂足为F，连接、．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长，其中正确的是（   ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，通过相关性质逐一判断即可，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，,, ∴， ∵，， ∴， ∴（）①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形；②正确； ∵， ∴不一定相等；③错误； ∵四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴,,， ∴， ∴;④正确． 2．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，四边形中，，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，同时动点Q从点D出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点A运动，当动点Q到达点A时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为（   ）    A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角梯形的性质，平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 由题意已知，，要使P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形，则只需要让即可，列出等式可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， 当P从B运动到C时，且P在上， ，， ， 解得， ∴当秒时，四边形是平行四边形； 当点P在延长线上时， 如图：   ， 解得， 秒或秒时，P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形． 故选：B． 二、填空题 3．（25-26八年级下·河南新乡·期中）如图，在中，，，，点分别是上动点．连接，点分别为中点，连接．则最小值为______． 【答案】 【分析】连接，根据三角形中位线定理可得，求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵点、分别是、的中点， ∴， ∴当取最小值时，可取得最小值， 如图，过点作于点，此时线段的长最小， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ 在中，，． ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是． 4．（25-26八年级下·内蒙古呼伦贝尔·月考）已知，在中，，点为的中点，过点作，垂足为点，以下结论中，正确的是___． ①是的角平分线；②连接，则；③若，则；④连接，则． 【答案】①③ 【分析】①由平行四边形的性质证明，则可得判断①正确； ②连接，延长交的延长线于点G，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由等腰三角形的性质得出，则可判断②错误； ③由直角三角形的性质及平行四边形的面积可得出③正确； ④分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出，得出对应线段之间关系进而得出④错误． 【详解】解：①∵F是的中点， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即是的角平分线， 故①正确，符合题意； ②连接，延长交的延长线于点G， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故②错误，不符合题意； ③∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③正确，符合题意； ④如图2，延长，交延长线于点M， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵F为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由图可知 ∵， ∴， 故④错误，不符合题意． 三、解答题 5．（2026·北京通州·一模）如图，在中，，点，点分别是，的中点，延长到点，使，连接，，，，与交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理可得，，进而证明，，则可证明四边形是平行四边形； （2）先利用勾股定理求出，再由平行四边形的性质求出的长，进而利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵点，点分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，，， ∴在中，， ∵点是的中点，， ∴ ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴在中，， ∴． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知是等边三角形，点分别在线段、上，，，连接、、、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质． （1）根据等边三角形的性质，通过内错角相等得到，继而得证四边形是平行四边形． （2）通过证明是等边三角形，得到，继而证明，根据对应边相等得到． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ． 7．（25-26八年级下·浙江丽水·期中）如图，在中，，，，点E，F分别为边，上的动点（不与顶点重合），且，连接，将四边形沿着折叠得到四边形，连接交于点O，连接． (1)求证：． (2)若点落在平行四边形的边上，求的长． (3)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，求得，根据平行线的性质得到，，根据全等三角形的性质得到结论； （2）作交的延长线于点，易得为含30度角的直角三角形，求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，再利用勾股定理求出的长，根据，进行求解即可； （3）过D作于H，同（2）可得，连接交于G，根据折叠的性质得到，，根据中位线定理得到 ，根据线段垂直平分线的性质得到结果． 【详解】（1）证明：在中，，， ， ，即， ， ，， ， ； （2）解： 当在边上时，如图1，作交的延长线于点， ∵，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠可知，，则， ∴， ∵， ． ∴； （3）解：过D作于H， 同（2）可得，， 连接交于G， 由折叠可知，， 又， 是的中位线， ， 是的中垂线， ． 8．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）综合与实践：平行四边形纸片的折叠 (1)探究1：我们将如图（1）所示的平行四边形纸片沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点为，延长交于点．求证：． (2)探究2：我们将如图（2）所示的平行四边形纸片沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点恰好落在的中点处．猜想，之间的数量关系，并证明． (3)探究3：我们将如图（3）所示的平行四边形纸片沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点恰好落在线段上，过点作，交延长线于点，其中，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，则，根据折叠得出，等量代换得出，等边对等角即可得证； （2）取的中点，连接，则是的中位线，得出，即可得证； （3）勾股定理求得，同（1）的方法证明，在中，勾股定理求得，进而求得，根据，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平行四边形纸片 沿过点的直线折叠，折痕交于点， 点的对应点为，延长交于点， ∴， ∴， ∴． （2）解：， 如图，取的中点，连接， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵四边形是平行四边形，，， ， ∴，，， ∵，， 在中，， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 又∵， ∴， ∴． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第六章平行四边形 思维导图 一边一对边平附 对边相等 选定判定定理一 一平行四边形证明思路 对角相等 寻找条件 一、平行四边形的性质 一角一 邻角互补 对边平行且相等，对角 六、解题方法与口决 一平行四边形性质 对角线一互相平分 记忆口诀 中心对称性一对称中心 一三角形中位线 两组对边分别平行 判定定理混淆 从边判定 两组对边分别相等 平行四边形 性质应用条件不清 组对边平行且相等 五、高频易错点 二、平行四边形的判定 忽略分类讨论 从角判定一两组对角分别相等 中位线定理使用不当 从对角线判定一对角线互相平分 平行四边形性质与判定的证明 定义 四、高频考点 三角形中位线定理的应用 平行于第三边 三 三角形的中位线 性质定理 等于第三边的一半 证明线段平行 应用 证明线段倍半关系 知识清单 知识点01平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形.平行四边形用“口”表示，平行四边形ABCD表示为 “口ABCD”,读作“平行四边形ABCD” 知识点02平行四边形的性质 平行四边形的性质：边、角、对角线，有时会涉及对称性如下图，四边形ABCD是平行四边形： 性质1（边）：①对边相等；②，即：AB=CD,AD=BC;AB∥CD,AD∥BC 性质2（角）：对角相等，即：∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC 性质3（对角线)：对角线相互平分，即：AO=OC,BO=OD 注：①平行四边形仅对角线相互平分，对角线不相等，即AC≠BD; ②平行四边形对角相等，但对角线不平分角，即∠DAO≠∠BAO. 性质4（对称性)：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形. 1/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 知识点03平行四边形的判定定理 平行四边形的判定：主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD: (1)判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即AD∥BC,AB∥DC (2)判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即AD=BC,AB=DC (3)判定方法3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即AD∥BC且AD=BC;AB∥DC且AB=DC (4)判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC (5)判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即AO=CO且BO=DO. 注：①平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）： ②判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形.若四边形中，一对边平行，另一对边 相等，是无法判定为平行四边形的 知识点04三角形的中位线定理 (1)三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段称为中位线（三角形中有3条中位线） (2)三角形中位线定理：如下图，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即若点D、E分 DE//BC 别为AB、AC的中点， 1 DE=BC 2 易错总结 易错点1平行四边形的性质与判定多结论问题 易错总结 1.判定性质混淆：用性质（如对角线相等）直接判定矩形，缺平行四边形前提。 2.隐含条件遗漏：复杂图形中忽略对边平行、对角线交点等隐含关系，导致推理中断。 3.结论跳跃不全：由一组对边平行且相等推出平行四边形后，未继续推导其他结论（如对角等)。 注意事项： 2/11 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 -理清逻辑链：判定用边角条件推平行四边形，性质用平行四边形推边角相等。 ~挖掘隐含：平行线得角关系，对角线交点得中点。 -步步为营：先证基础平行四边形，再逐条推导延伸结论。 【例1】(25-26八年级下·上海普陀期中)如图，在口ABCD中，AC、BD交于O,AE平分∠BAD, EC=CD=l,∠ECD=2∠CD4.以下结论①4C平分∠EAD:②0E-D:®BD=万，④S=日 正确的有()个. B A.①②③④ B.①③④ C.①②④ D.①②③ 【变式】(24-25七年级下·河南商丘·期中)如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB,F是AD的中点， 作CE⊥AB,垂足E在线段AB上，连接EF、CF,则下列结论中一定成立的是() ①∠DCF=】∠BCD;②EF=CF;③SBEc=2S.cEr;④LDFE=3LAEF. A.①② B.②③④ C.①②④ D.①②③④ 易错点2利用平行四边形的性质求动点问题 易错总结 1.对边平行漏用：动点运动时，未利用平行四边形对边平行转化角关系，导致列方程错误。 2.分类讨论不全：动点位置变化时，平行四边形顶点顺序可能改变（如ABCD与ABDC),漏解。 3.隐含条件忽略：未利用对角线互相平分（如中点坐标公式），导致方程条件不足。 4.取值范围遗漏：动点运动时间或路径范围未考虑，求出解后未检验是否在线段上。 注意事项： 。标对应顶点：明确平行四边形顶点顺序，利用对边平行且相等列方程。 -分情况画图：动点在不同位置时，分别画出图形，分类讨论。 3/11 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·对角线互平分：设未知点坐标，利用对角线中点重合列方程。 ~检验合理性：解出的动点位置需满足运动范围及几何约束。 【例2】(25-26八年级下·海南期中)如图1，已知动点P在口ABCD的边上沿B-C-D-A的顺序运动，其 运动速度为每秒1个单位.连接AP,记点P的运动时间为t秒，△ABP的面积为S.如图2是S关于t的函数 图象，则下列说法中错误的是() S 图1 图2 A.oABCD的周长为16 B.oABCD的面积为12 C.a=13 D.t=2.4秒时，线段AP最短 【变式】(25-26八年级下·浙江杭州期中)如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC=90°，∠B=60°， AB=I2cm.动点P从点A出发沿AD以2cms速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以8cm/s速度沿射 线CB运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒 B B E ()请问是否存在t的值，使得A,B,P,Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存 在，请说明理由； (②)请问是否存在t的值，使得PQ⊥BC?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)若点P关于直线AQ对称的点恰好落在直线AB上，则t= 易错点3平行四边形中的折叠问题 易错总结 1.对应关系错：折叠后哪些点重合、哪些边相等标记不清，导致全等条件找错。 2.折痕性质误用：折痕是对应点连线的垂直平分线，误当作角平分线使用。 3.方程列错：利用折叠后长度相等列方程时，未在直角三角形中用勾股定理。 4.多解遗漏：折叠方式不同（如折痕位置变化）时，只考虑一种情形。 注意事项： -标对应点：折叠后重合的点用相同字母标记（如A与A')。 4/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·折痕性质：折痕垂直平分对应点连线，且折痕上的点到对应点距离相等。 -找直角三角形：在折叠形成的直角三角形中用勾股定理列方程。 ·分情况画图：折痕位置不同时，画出每种图形分别求解。 【例3】(25-26八年级下·辽宁鞍山月考)同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动.在平行 四边形纸片ABCD中，己知AB=10,AD=4V10,口ABCD的面积为120.点E为BC边上任意一点，将 △ABE沿AE折叠，点B的对应点为B,改变E点的位置，将△ABE沿AE折叠，连接B'C,当BCB'为直 角三角形时，则B'C的长是 D 【变式】(2026河北秦皇岛·一模)如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的点 F处，BF与CD交于点G. 0 、G (1)求证：△BCG≌△DFG; (②)若平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点为点E,连接EG,求证：EG⊥BD, 易错点4平行四边形中的最值问题 易错总结 1.模型选错：将“将军饮马”与“垂线段最短”混淆，如求两线段和最小误用垂线。 2.动点轨迹不明：动点在平行四边形边上运动时，未明确其路径范围，导致最值点定位错误。 3.函数最值漏端：建立函数求最值时，忽略自变量边界（如边长非负），未比较端点值。 4.几何直观误导：凭感觉认为最值在对角线交点或顶点处，未严格证明。 注意事项 ·先定模型：分析是“两点间线段最短”还是“垂线段最短”。 ·画范围图：在图上标出动点可运动的全部区域。 -代数几何结合：设变量列函数，用配方法或不等式求最值，同时检查定义域端点。 5/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 -验证特殊位置：检查动点在边界或中点时是否取得最值。 【例4】(2026安徽安庆一模)己知如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2,BC=4,点P为边AC上 一点，连接BP,将△ABP沿BP翻折，得到△EBP,其中点O为边AB中点，点D为边BE中点，连接OD、 OP、CE,下列说法错误的是() A. BP最小值为4V5 B.CE最小值为2 C.0D的最大值为3 D.OP+BP最小值为i85 【变式】(2026安徽蚌埠一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2V3,BC=2,点D是AC延 长线上一点，以BA,BD为邻边作平行四边形ABDE,连接CE,BE,则下列结论错误的是() A.△ACE的面积不变 B.△BED的周长的最小值为3V3+4 C.BE的最小值为4 D.若点G与点C关于BD对称，则AG的最大值为6 易错点5平行四边形中的性质和判定 易错总结 1.判定条件混淆：误用“对角线相等”判定矩形，或“邻边相等”判定菱形，忽略前提“平行四边形”。 2.性质逆向乱用：由“对角相等”反推平行四边形时，误认为任意四边形满足此条件即成立。 3.辅助线不当：需构造全等或中位线时，连线错误导致无法利用平行四边形性质。 注意事项： 6/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·判定有层次：先证四边形是平行四边形，再证矩形、菱形、正方形。 -性质可互推：平行四边形对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分。 -画图标条件：在图上清晰标出己知边角关系，避免视觉误导。 【例5】(25-26八年级下·湖南长沙期中)如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且E,F分别是 OA,OC的中点，连接DE,DF,BE,BF. D (I)求证：四边形DEBF是平行四边形： (2)若∠CBD=90°，AC=16,BD=10,求BC的长. 【变式】(25-26八年级下·江苏无锡期中)在平行四边形纸片ABCD上，E为CD边上一点，将ADE沿 AE折叠，点D的对应点为D. D' A G B D 图1 图2 图3 (I)如图1，当点D恰好落在AB边上时，判断四边形D'BCE的形状，并说明理由； (2)如图2，当E,F为CD边的三等分点时，连接FD'并延长，交AB边于点G.试猜想线段AG与BG的数 量关系，并加以证明； (3)如图3，当∠ABC=60°，∠BAE=75°时，连接DD'并延长，交BC边于点H.若平行四边形ABCD的面 积为12，AD=3,直接写出线段DH的长. 易错点6平行四边形与中位线综合问题 题易错总结 1.中位线找错：误将连接任意两边中点的线段当作中位线，忽略必须连接两边中点且平行于第三边。 2.中点四边形形状判断错误：由原四边形对角线关系判断中点四边形形状时，结论记反（如对角线垂直得 矩形，相等得菱形)。 3.构造中位线不当：需要取中点构造中位线时，未结合平行四边形对边中点连线性质。 4.隐含中点忽略：平行四边形对角线交点即为中点，未利用此性质构造中位线。 7/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 注意事项： ·确认中位线条件：连接两边中点，平行于第三边且等于第三边一半。 ~中点四边形规律：顺次连接任意四边形各边中点得平行四边形；原四边形对角线垂直→矩形；相等→菱形。 ·善用对角线交点：平行四边形对角线互相平分，交点可作为中点使用。 。画图辅助：标出所有中点，连接后观察图形关系。 【例6】(25-26八年级下·北京西城期中)如图，ABC的中线BD,CE相交于点0，且F,G分别是OB ,0C的中点. B (I)求证：四边形DEFG是平行四边形； (2)若AB=BC=13,AC=10,求EF的长 【变式】(25-26八年级下·广西河池·期中)按要求解答问题： (1)为了探索三角形中位线的性质，小明同学的思路如下： 如图I,在ABC中，延长DE(D,E分别是AB,AC的中点)到点F,使得EF=DE,连接CF;先证 △ADE≌ACFE,再证四边形DBCF是平行四边形，从而得到中位线DE与BC的关系是 (直接 填写结果)； 图1 (2)如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G,F分别为AB,CD边上的点，若AG=3, DF=4V2,∠GEF=90°，求GF的长 图2 8/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)如图3，在四边形ABCD中，∠A=105°，∠D=120°，E为AD的中点，G,F分别为AB,CD边上的点，若 AG=3,DF=4V2,∠GEF=90°，求GF的长. 图3 易错训练 一、单选题 1.(25-26八年级下·上海期中)图，AC是。ABCD的对角线，过点B作BG⊥AC交AD于点G,垂足为E, 过点D作DH⊥AC交BC于点H,垂足为F,连接GH、EH.则下列结论：①BE=DF;②四边形 GBHD是平行四边形；③∠GAC=∠DHC;④GH平分口ABCD的周长，其中正确的是() 4 G D A.②③④ B.①②③ C.①②④ D.①③④ 2.(24-25八年级下江苏无锡期中)如图，四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，AD=16,BC=21,动 点P从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位的速度运动，同时动点Q从点D出发，在线段DA上以每秒1 个单位的速度向终点A运动，当动点Q到达点A时，动点P也同时停止运动，设点P的运动时间为t(秒). 以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为() A Q D B P C A. 21 2 5或37 4 B. 或21 C. D. 2 4 9/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 3.(25-26八年级下.河南新乡期中)如图，在口ABCD中，∠C=120°，AB=4,AD=8,点H、G分别 是CD、BC上动点.连接AH、HG,点E、F分别为AH,GH中点，连接EF.则EF最小值为· A D E H G 4.(25-26八年级下·内蒙古呼伦贝尔·月考)己知，在口ABCD中，AD=2AB,点F为AD的中点，过点C作 CE⊥AB，垂足为点E,以下结论中，正确的是· ①CF是LBCD的角平分线；②连接BF,则LBFC=120°；③若LD=60°，则S。B=V5DC2:④连接EF, 则EF=CD. D E 三、解答题 5.(2026北京通州一模)如图，在RIABC中，∠BAC=90°，点E,点F分别是BC,AC的中点，延长 BA到点D,使AD=AB,连接DE,DF,AE,EF,AF与DE交于点O. D B E (I)求证：四边形AEFD是平行四边形： (2)若AB=6,BC=10,求DE的长. 6.(25-26八年级下·全国·课后作业)如图，己知ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上， LEFB=60°，EF=DC,连接AD、CF、EA、ED. 10/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D (I)求证：四边形EFCD是平行四边形； (②)连接BE,若BF=EF,求证：AE=AD. 7.(25-26八年级下·浙江丽水·期中)如图，在口ABCD中，AB=4√3，AD=6√3，∠ABC=60°，点E,F 分别为边AD,BC上的动点（不与顶点重合），且AE=CF,连接EF,将四边形CFED沿着EF折叠得到 四边形CFED',连接BD交EF于点O,连接BD'. A D C (1)求证：0B=0D. (②)若点C落在平行四边形ABCD的BC边上，求CC'的长. (3)若OF=BD',求DE的长 8.(25-26八年级下·江苏扬州期中)综合与实践：平行四边形纸片的折叠 A D A B G (图1) (图2) (图3) (I)探究1：我们将如图(1)所示的平行四边形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，折痕交AD于点E,点A的 对应点为F,延长EF交BC于点G,求证：GB=GE. (2)探究2：我们将如图(2)所示的平行四边形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，折痕交AD于点E,点A的 对应点恰好落在BD的中点O处.猜想AE,DE之间的数量关系，并证明. (3)探究3：我们将如图(3)所示的平行四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，折痕交BC于点F,点B的 对应点E恰好落在线段DF上，过点D作DG⊥BF,交BF延长线于点G,其中AB=I3,DG=I2, BC=I5,求线段BF的长. 11/11