6.1平行四边形的性质及判定寒假预习讲义-2025-2026学年北师大版八年级下学期数学（知识点归纳+题型解读+综合测试）

6.1平行四边形的性质及判定寒假预习讲义（北师大版） ☘ 预习内容概览 1.课前预习★目标 2.重点知识★梳理归纳 3.核心考点★精讲精练 4.强化巩固★过关测试 🎯 课前预习★目标 1. 掌握平行四边形的定义并能够进行简单的判断； 2. 掌握平行四边形的性质、平行线间的距离并能够利用性质解决相关问题； 3. 掌握平行四边形的判定方法并能够根据已知条件选择合适的判定方法判定平行四边形； 4. 掌握等腰梯形的定义、性质定理。 💦 重点知识★梳理归纳 ● 知识点1、平行四边形的定义 1） 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.（如上图） 2） 记作：▱ABCD, 读作平行四边形ABCD。其中A.B.C.D是平行四边形的4个顶点. 3） 平行四边形的构成要素： ●边：两组对边分别平行且相等，共4条边 ●角：两组对角分别相等，邻角互补，共4个内角（内角和360°） ●对角线：2条对角线，互相平分（无垂直/相等默认属性） ●顶点：4个顶点，为相邻边的交点 ● 知识点2、平行四边形的性质（重点掌握） 1．边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 2．角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D； 3．对角线的性质：对角线互相平分．如图：AO=CO，BO=DO； 4.平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形。 ● 知识点3、平行四边形的判定（5种） 1.定义判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2．与边有关的判定： （1）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 3．与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 4．与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 ● 知识点4、平行四边形的周长与面积公式 周长：根据平行四边形对边相等，设相邻两边长为a,b则平行四边形的周长=2（a+b） 面积：平行四边形的面积=底×高（底为平行四边形的任意一边，高为这条边与其对边之间的距离） ● 知识点5、等腰梯形的定义 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 · 平行的两边叫做底（上底、下底） · 不平行的两边叫做腰 · 两底之间的距离叫做梯形的高 等腰梯形定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。（如下图） ● 知识点6、等腰梯形的性质定理 1.等腰梯形同一底上的两个内角相等即在等腰梯形 ABCD 中（如上图），AD∥BC，AB=CD，则 ∠ABC=∠DCB，∠BAD=∠CDA。 2.等腰梯形的两条对角线相等即 AC=BD。 3.等腰梯形是轴对称图形对称轴是上下底中点所在的直线。 4.等腰梯形同一腰上的两个角互补即 ∠BAD+∠ABC=180∘，∠CDA+∠DCB=180∘。 ✏ 核心考点★精讲精练 题型1利用平行四边形的性质求解 例1．如图，平行四边形的周长为，的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，过点作的垂线交于点，连接．已知的周长是，则平行四边形的周长是 ． 变式2．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，点E在BD的延长线上，且是等边三角形．若，，求ED的长． 解：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以________________，________________． 因为是等边三角形， 所以________，________． 在中，_______=_______， 所以_______． 在中，_______=_______， 所以_______=_______． 题型2利用平行四边形的性质证明 例2．在中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，经过点O，交于点E，交于点F．若四边形周长为12，，则 ． 变式2．如图，在中，点A，E，F，C在同一条直线上，且．求证：． 题型3平行四边形性质的其他应用 例3．下列图形中，一定是轴对称图形的是（   ） A．直角三角形 B．平行四边形 C．等腰梯形 D．梯形 变式1．平行四边形的一条对角线把平行四边形分成的两个三角形通过 变换可使它们互相重合． 变式2．下面是“作三角形一边中线”的尺规作图过程 已知： 求作： 边上的中线． 作法：如图， （1）分别以点为圆心， 长为半径作弧，两弧相交于点； （2）作直线，与交于点,所以线段就是所求作的中线． 根据上述的作法， (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明 证明： ∵ ∴四边形是平行四边形（① ） ∵ 与交于点 ∴（② ） ∴是的中线． 题型4（等腰）梯形的定义 例4．如图，找一点D，使是一个梯形．D点共有（   ）种不同的选法． A．2 B．3 C．4 D．5 变式1．梯形的一组对边 ，另一组对边 ． 变式2．下面是正方形点子图，请你在图中选一个点作为点D，使四边形成为一个梯形，至少画出两种情况 (1) (2) 题型5等腰梯形的性质定理 例5．已知，如图，在梯形中，，，，，．有以下两个说法：①梯形的面积；②梯形的周长；对这两种说法的判断正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②均正确 D．①、②均错误 变式1．在等腰梯形中，，，则等腰梯形的面积是 变式2．如图，已知等腰梯形ABCD中，，，，，，求梯形的面积． 题型6判断能否构成平行四边形 例6．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 变式1．如图，将等腰三角形纸片沿底边上的高剪成两个三角形，用这两个三角形能拼成平行四边形的个数是 ． 变式2．在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，使得点．移至图中的点的位置． (1)画出，的顶点的坐标为______； (2)作出点到直线的距离，连接，则和有怎样的关系？______； (3)直接写出平移过程中扫过的面积为______． 题型7添一个条件成为平行四边形 例7．已知在四边形ABCD中，．添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，四边形中，，，点在边上以的速度从点出发向点移动，同时点在边上以的速度从点出发向点移动．若，，则 s时，四边形是平行四边形． 变式2．如图，的对角线与相交于点O，点E，F分别在和上．请你添加一个条件，使四边形是平行四边形，并说明理由． (1)添加的一个条件是：______； (2)说明理由． 题型8数图形中平行四边形的个数 例8．如图，在中，，则图中平行四边形的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式1．如图，，若，则 ；图中共有 个平行四边形． 变式2．如图，线段，相交于点，且点，，与点，，分别四等分线段与，则依次连接这些点可以构成 个平行四边形． 题型9求与已知三点组成平行四边形的点的个数 例9．在平面直角坐标系中，已知点、、，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 变式1．在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点D，使得以A，B，C，D四点组成的四边形为平行四边形，请写出D点坐标 ． 变式2．如图，在由边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)判断的形状，并说明理由． (2)在网格中画出； 题型10证明四边形是平行四边形 例10．在四边形中，若，，，要使该四边形为平行四边形，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 变式1．如图，以的顶点为圆心，长为半径作弧，再以顶点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，．由此得到的四边形是 ，依据是 ． 变式2．已知：如图，在中，分别是边和上的点，且．求证：四边形是平行四边形． 题型11全等三角形拼平行四边形问题 例11．用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为 ． 变式2．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，有多少个平行四边形？为什么？ 题型12利用平行四边形的性质与判定求解 例12．如图，在四边形中，，，点E为的中点，将分别平移到和的位置．若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式1．如图所示，，则与线段相等的线段是 ． 变式2．已知：如图，点为内一点，、的面积分别记为、，的面积记为，试探究与之间的关系． 题型13利用平行四边形的性质和判定证明 例13．经过两点作直线，则直线（   ） A．平行于轴 B．平行于轴 C．垂直于轴 D．经过原点 变式1．如图所示，在四边形中，，对角线，相交于点O，于点E，于点F，连接，．若，则下列结论：①；②；③四边形是平行四边形；④四边形是平行四边形．其中正确的结论是 ．（填序号） 变式2．如图，在平行四边形中，平分交的延长线于点E，平分交的延长线于点F．求证：四边形是平行四边形． 题型14平行四边形性质和判定的应用 例14．如图，，，，，点，为垂足，则下列说法中错误的是（    ） A． B．直线，之间的距离是线段的长 C． D．直线，之间的距离是线段的长 变式1．如图，将沿直线方向平移到的位置，D点在上，则的面积和两阴影部分面积之和的比值为 ． 变式2．如图所示，从A地到B地要经过一条小河（河的两岸平行），现要在河上建一座桥（桥垂直于河的两岸），应如何选择桥的位置，才能使从A地到B地的路程最短？    题型15求平行线间的距离 例15．如图，，，，则点C到的距离为（   ） A．2 B．8 C．10 D．12 变式1．已知直线a，b，c互相平行，直线a，b之间的距离是3cm，直线b，c之间的距离是4cm，那么直线a，c之间的距离为 ． 变式2．如图所示，直线，，，直线与之间的距离是，直线与之间的距离是，求直线与之间的距离． 题型16利用平行线间距离解决问题 例16．如图，，平行四边形、三角形、梯形放置于和之间，它们的面积分别记为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，E是内任意一点，若平行四边形面积是6，则阴影部分面积为 ． 变式2．如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点为格点，点、、都在格点上． (1)的面积＝______； (2)利用网格画出的高； (3)在网格中找格点，使．的垂直平分线，即，结合，可得，即可得为中边上的高； ✍强化巩固★过关测试 一、单选题 1．若以长度分别为、、、的四条线段为边作梯形，则这样的梯形（ ） A．能作个 B．能作个 C．能作个 D．不能作 2．已知在平行四边形中，的度数之比为，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．在四边形中，，相交于点，，，，．要使四边形为平行四边形，则（   ） A．， B．， C．， D．， 4．如图，的对角线交点在原点，若，则点的坐标是（    ）； A． B． C． D． 5．如图，在梯形 中，，是中点，，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，面积为的三角形沿方向平移至三角形的位置，平移的距离是边的2倍，则图中四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 7．如图，在中，，，．点P从点A出发、以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动．在此运动过程中，线段出现的次数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图所示的正方形网格中共有16个格点（组成网格的小正方形的顶点称为格点），若以A，B两个格点为顶点作格点平行四边形（顶点均为格点的四边形称为格点四边形），则这样的平行四边形共有（   ） A．5个 B．8个 C．9个 D．10个 9．在平面直角坐标系中，已知点、、，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 10．如图，下面能判断四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题 11．如图，，，，，的面积为6，则四边形的面积为 ． 12．如图，在中，是上一点，过的中点，若，则图中阴影部分的面积为 ． 13．如图，已知，，，若，，则的度数可表示为 ．    14．如图①，在中，，则图①中的平行四边形有 个；如图②，作，则图②中的平行四边形有 个． 15．图①是四连杆平开窗铰链，图②是其示意图．已知，，，．当时，窗户为完全开启状态，此时点A到点E的距离为 cm． 16．如图，在四边形中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，．连接，则的周长为 ． 三、解答题 17．如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点，分别延长，，，至点，，，，使点，，，分别是，，，的中点，连接．若，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)四边形的周长为___________． 18．如图，在四边形中，点E，F分别是延长线上的点，且，． (1)请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是______； (2)添加了条件后，证明四边形为平行四边形． 19．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出向左平移个单位后的； (2)画出绕原点顺时针旋转后得到的： (3)若点在第三象限，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是__________． 20．如图，在平行四边形中，，，垂足分别为E，F，且． (1)求证：； (2)求证：． 21．如图，在梯形中，，，点在四边形内部，，连接、． (1)求证：是等腰三角形； (2)已知点在上，连接，如果，，求证：四边形是平行四边形． 22．如图1，直线与轴交于点，与轴交于点．将线段向右平移7个单位长度，向上平移1个单位长度，得到线段，连接． (1)求点的坐标； (2)求四边形的面积； (3)若直线将四边形分成面积相等的两部分，请求出的值． 23．如图，在梯形中，，，，，动点P从A点开始沿边以每秒的速度向点D移动，动点Q从C点开始沿以每秒的速度向B移动，P、Q同时出发． (1)当运动多少秒时，四边形是平行四边形？ (2)当运动多少秒时，四边形是直角梯形？ (3)多少秒后，梯形是等腰梯形？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.1平行四边形的性质及判定寒假预习讲义（北师大版） ☘ 预习内容概览 1.课前预习★目标 2.重点知识★梳理归纳 3.核心考点★精讲精练 4.强化巩固★过关测试 🎯 课前预习★目标 1. 掌握平行四边形的定义并能够进行简单的判断； 2. 掌握平行四边形的性质、平行线间的距离并能够利用性质解决相关问题； 3. 掌握平行四边形的判定方法并能够根据已知条件选择合适的判定方法判定平行四边形； 4. 掌握等腰梯形的定义、性质定理。 💦 重点知识★梳理归纳 ● 知识点1、平行四边形的定义 1） 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.（如上图） 2） 记作：▱ABCD, 读作平行四边形ABCD。其中A.B.C.D是平行四边形的4个顶点. 3） 平行四边形的构成要素： ●边：两组对边分别平行且相等，共4条边 ●角：两组对角分别相等，邻角互补，共4个内角（内角和360°） ●对角线：2条对角线，互相平分（无垂直/相等默认属性） ●顶点：4个顶点，为相邻边的交点 ● 知识点2、平行四边形的性质（重点掌握） 1．边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 2．角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D； 3．对角线的性质：对角线互相平分．如图：AO=CO，BO=DO； 4.平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形。 ● 知识点3、平行四边形的判定（5种） 1.定义判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2．与边有关的判定： （1）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 3．与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 4．与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 ● 知识点4、平行四边形的周长与面积公式 周长：根据平行四边形对边相等，设相邻两边长为a,b则平行四边形的周长=2（a+b） 面积：平行四边形的面积=底×高（底为平行四边形的任意一边，高为这条边与其对边之间的距离） ● 知识点5、等腰梯形的定义 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 · 平行的两边叫做底（上底、下底） · 不平行的两边叫做腰 · 两底之间的距离叫做梯形的高 等腰梯形定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。（如下图） ● 知识点6、等腰梯形的性质定理 1.等腰梯形同一底上的两个内角相等即在等腰梯形 ABCD 中（如上图），AD∥BC，AB=CD，则 ∠ABC=∠DCB，∠BAD=∠CDA。 2.等腰梯形的两条对角线相等即 AC=BD。 3.等腰梯形是轴对称图形对称轴是上下底中点所在的直线。 4.等腰梯形同一腰上的两个角互补即 ∠BAD+∠ABC=180∘，∠CDA+∠DCB=180∘。 ✏ 核心考点★精讲精练 题型1利用平行四边形的性质求解 例1．如图，平行四边形的周长为，的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对边相等，对角线互相平分． 由平行四边形的周长为，可得，再由的周长为，可得，则，根据平行四边形对角线互相平分可得，即可求解． 【详解】解：∵平行四边形的周长为， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 故选：B． 变式1．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，过点作的垂线交于点，连接．已知的周长是，则平行四边形的周长是 ． 【答案】18 【分析】本题考查平行四边形的性质，垂直平分线的性质．由平行四边形对角线互相平分和可知，由的周长是，即可推导出，即可解答． 【详解】解：在平行四边形中，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵的周长是， ∴， ∵在平行四边形中，， ∴． 故答案为：18． 变式2．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，点E在BD的延长线上，且是等边三角形．若，，求ED的长． 解：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以________________，________________． 因为是等边三角形， 所以________，________． 在中，_______=_______， 所以_______． 在中，_______=_______， 所以_______=_______． 【答案】        【分析】本题考查了平行四边形的性质定理，熟练掌握平行四边形性质定理是解题的关键； 由平行四边形对角线互相平分的性质可得相等，再根据等边三角形三线合一的性质可得垂直关系，然后利用勾股定理求边长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，； 是等边三角形， ∴，． 在中，， ∴． 在中，， ∴． 题型2利用平行四边形的性质证明 例2．在中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 根据平行四边形的性质得，结合求出，进而可求出的度数． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选B． 变式1．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，经过点O，交于点E，交于点F．若四边形周长为12，，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．证明，利用全等的性质得到，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 在和中 ， ∴， ∴， 则四边形的周长， ∴， 故答案为：8． 变式2．如图，在中，点A，E，F，C在同一条直线上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，则有，再证出，根据全等三角形的性质即可证明． 【详解】证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴，即， ∴， ∴． 题型3平行四边形性质的其他应用 例3．下列图形中，一定是轴对称图形的是（   ） A．直角三角形 B．平行四边形 C．等腰梯形 D．梯形 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，平行四边形的性质，轴对称图形是指沿一条直线对折后两边能完全重合的图形，据此判断各选项是否一定满足条件即可求解． 【详解】解：A.直角三角形不一定是轴对称图形（如含30°的直角三角形），故A不符合； B.平行四边形不一定是轴对称图形（如一般平行四边形），故B不符合； C.等腰梯形一定是轴对称图形（有一条对称轴），故C符合； D.梯形不一定是轴对称图形（如直角梯形），故D不符合． 故选：C． 变式1．平行四边形的一条对角线把平行四边形分成的两个三角形通过 变换可使它们互相重合． 【答案】旋转 【分析】根据平行四边形的中心对称性求解． 【详解】平行四边形的一条对角线把平行四边形分成的两个三角形通过旋转变换可使它们互相重合． 故答案为：旋转． 【点睛】本题考查平行四边形的中心对称性，理解中心对称的定义是解题的关键． 变式2．下面是“作三角形一边中线”的尺规作图过程 已知： 求作： 边上的中线． 作法：如图， （1）分别以点为圆心， 长为半径作弧，两弧相交于点； （2）作直线，与交于点,所以线段就是所求作的中线． 根据上述的作法， (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明 证明： ∵ ∴四边形是平行四边形（① ） ∵ 与交于点 ∴（② ） ∴是的中线． 【答案】(1)见解析 (2)①两组对边分别相等的四边形是平行四边形；②平行四边形的对角线互相平分． 【分析】本题考查尺规作图，平行四边形的性质． （1）根据作图步骤作图即可； （2）由知，是根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形来判定的，而是根据平行四边形的对角线互相平分得出的． 【详解】（1）解：如图，线段就是所求作的中线 （2）证明： ∵ ∴四边形是平行四边形（①两组对边分别相等的四边形是平行四边形） ∵ 与交于点 ∴（②平行四边形的对角线互相平分） ∴是的中线． 题型4（等腰）梯形的定义 例4．如图，找一点D，使是一个梯形．D点共有（   ）种不同的选法． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查梯形． 根据梯形的定义，确定点的位置即可． 【详解】解：若，且，则点可以位于、、的位置， 若，且，则点可以位于、的位置， ∴点共有种不同的选法． 故选：D． 变式1．梯形的一组对边 ，另一组对边 ． 【答案】 平行 不平行 【分析】本题考查了梯形的定义，就是只有一组对边平行的四边形是梯形． 根据梯形的定义，梯形是只有一组对边平行的四边形，因此一组对边互相平行，另一组对边不平行． 【详解】解：梯形是指一组对边互相平行，另一组对边不平行的四边形． 故答案为：平行；不平行． 变式2．下面是正方形点子图，请你在图中选一个点作为点D，使四边形成为一个梯形，至少画出两种情况 (1) (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查梯形作图，只有一组对边平行的四边形是梯形，据此解答． 【详解】（1） （2） 题型5等腰梯形的性质定理 例5．已知，如图，在梯形中，，，，，．有以下两个说法：①梯形的面积；②梯形的周长；对这两种说法的判断正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②均正确 D．①、②均错误 【答案】C 【分析】此题考查了梯形的性质，勾股定理等知识，解题的关键掌握以上知识点． 设，交于点O，根据题意得到，，，然后利用勾股定理求出，，，进而利用梯形的面积和周长公式求解即可． 【详解】如图所示，设，交于点O， ∵在梯形中，，， ∴，， ∵，， ∴，即 ∴ 同理可得， ∴ ∵ ∴梯形的面积； ∵，， ∴ ∴ ∴梯形的周长． 故选：C． 变式1．在等腰梯形中，，，则等腰梯形的面积是 【答案】 【分析】此题考查了等腰梯形的性质．首先设与交于点，由四边形是等腰梯形，，可求得的长，又由，即可求得答案． 【详解】解：设与交于点， 四边形是等腰梯形， ， ， ， 故答案为：． 变式2．如图，已知等腰梯形ABCD中，，，，，，求梯形的面积． 【答案】梯形的面积是25． 【分析】本题考查了等腰梯形的性质，解题关键是根据等腰梯形的性质得出全等，再求出高即可． 【详解】解：过点D作的平行线交的延长线于点E，过点D作于H． ， ， 四边形ACED是平行四边形， ，， ， ． 四边形是等腰梯形，， ， ， ， ， ， ， ，， ． ． 答：梯形的面积是25． 题型6判断能否构成平行四边形 例6．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是记住平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形． 根据平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，即需满足且，由此即可得到结论. 【详解】解：A、，，，，不能判定这个四边形是平行四边形，不符合题意； B、，，，，不能判定这个四边形是平行四边形，不符合题意； C、∵，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，能判定这个四边形是平行四边形，符合题意； D、，，，，不能判定这个四边形是平行四边形，不符合题意； 故选：C． 变式1．如图，将等腰三角形纸片沿底边上的高剪成两个三角形，用这两个三角形能拼成平行四边形的个数是 ． 【答案】3个 【分析】本题考查了平行四边形的判定．把相等的边靠在一起即可得到答案，有三种拼法． 【详解】解：有三种拼法，如图1、2、3， 故答案为：3个． 变式2．在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，使得点．移至图中的点的位置． (1)画出，的顶点的坐标为______； (2)作出点到直线的距离，连接，则和有怎样的关系？______； (3)直接写出平移过程中扫过的面积为______． 【答案】(1) (2)且 (3) 【分析】本题考查平移，平行线，勾股定理，平面直角坐标系的知识，解题的关键是掌握平移的性质，勾股定理，平面直角坐标系的性质，即可． （1）根据点的平移规律，得到平移的规律； （2）过点作；根据平移的性质，勾股定理即可得到答案； （3）根据图形，则平移过程中扫过的面积为：，即可． 【详解】（1）∵点平移至图中点， ∴平移的规律为：先向上平移个单位，再向右平移个单位， ∴点，点， 连接，，，即为所求． （2）过点作交于点，即为所求； 由平移可知，， 由图形可知，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 故答案为：且． （3） 由图形可得：平移过程中扫过的面积为：． 题型7添一个条件成为平行四边形 例7．已知在四边形ABCD中，．添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，以及区分等腰梯形与平行四边形的特征是解题的关键． 已知，需结合平行四边形的判定定理，逐一分析每个选项是否能确定四边形为平行四边形． 【详解】解：A、，此条件可能构成等腰梯形，不符合题意； B、，等腰梯形也满足对角线相等，不能判定为平行四边形，不符合题意； C、，且，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，则四边形是平行四边形，符合题意； D、，仅涉及一组邻边相等，不涉及对边关系，不能判定为平行四边形，不符合题意． 故选：C． 变式1．如图，四边形中，，，点在边上以的速度从点出发向点移动，同时点在边上以的速度从点出发向点移动．若，，则 s时，四边形是平行四边形． 【答案】3 【分析】本题考查了平行四边形的判定，动点问题的方程思想，掌握利用平行四边形一组对边平行且相等的判定定理，结合动点速度列方程求解是解题的关键． 设运动时间为秒，利用平行四边形一组对边平行且相等” 的判定定理，结合动点速度表示线段长度，列方程求解． 【详解】解：设时，四边形是平行四边形． 根据题意，得，． ， ． ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得． 故答案为：． 变式2．如图，的对角线与相交于点O，点E，F分别在和上．请你添加一个条件，使四边形是平行四边形，并说明理由． (1)添加的一个条件是：______； (2)说明理由． 【答案】(1)，答案不唯一 (2)见解析 【分析】（1）从对角线的角度思考，添加条件即可； （2）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可． 本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】（1）解：从对角线的角度思考，可以添加， 故答案为：．不唯一 （2）证明：∵的对角线与相交于点O，     ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 题型8数图形中平行四边形的个数 例8．如图，在中，，则图中平行四边形的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握根据两组对边分别平行的判定条件是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理逐一分析． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∵ ∴可以通过选择两条平行于的线段和两条平行于的线段来构成新的平行四边形 ∴图中的平行四边形有： 平行四边形 平行四边形 平行四边形 平行四边形 平行四边形 平行四边形 ∴共有个平行四边形． 故选：D． 变式1．如图，，若，则 ；图中共有 个平行四边形． 【答案】 4 3 【分析】此题主要考查平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定找出平行四边形有3个．根据平行四边形的性质，对边相等可得出． 【详解】解：由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得图中的平行四边形有、、三个． ∵四边形为平行四边形， ∴． 故答案为：4；3． 变式2．如图，线段，相交于点，且点，，与点，，分别四等分线段与，则依次连接这些点可以构成 个平行四边形． 【答案】4 【分析】本题考查了平行四边形的定义，熟练掌握相关内容是解题的关键； 根据平行四边形的定义数出具体有几个平行四边形． 【详解】解：根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可得： 在四边形中，， ∴四边形是平行四边形 同理可得，四边形，四边形，四边形，均为平行四边形；一共4个； 故答案为：4． 题型9求与已知三点组成平行四边形的点的个数 例9．在平面直角坐标系中，已知点、、，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．分三种情况：①和为对角线时，②和为对角线时，③和为对角线时，设点的坐标为，利用平行四边形两对角线互相平分结合中点公式即可求解． 【详解】解：设点的坐标为， 分三种情况：①和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； ②和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； ③和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； 综上所述，点C的坐标可能是或或，不可能是． 故选：D． 变式1．在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点D，使得以A，B，C，D四点组成的四边形为平行四边形，请写出D点坐标 ． 【答案】，， 【分析】需要分类讨论：以为边的平行四边形和以为对角线的平行四边形． 【详解】解：①当为边且为邻边时：如图    因为点、， 所以点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点， 相应的点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点， ， ； ②当为边且为邻边时：如图    因为点、， 所以点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点， 相应的点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点， ， ； ③当为对角线时：如图    因为点、， 所以点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点， 相应的点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点， ， ； 故答案为：，， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及点的平移问题，解题关键是准确作出对应图形，利用数形结合思想解决． 变式2．如图，在由边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)判断的形状，并说明理由． (2)在网格中画出； 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，平行四边形的判定及作图能力，解题的关键是数形结合． （1）由勾股定理的逆定理进行证明； （2）根据由平行四边形的判定画图即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ，，， ， 是直角三角形； （2）如图所示，即为所求． 题型10证明四边形是平行四边形 例10．在四边形中，若，，，要使该四边形为平行四边形，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，掌握两组对边分别相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 根据平行四边形的判定，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，已知，故当时，四边形为平行四边形． 【详解】要使四边形为平行四边形，根据判定定理，需两组对边分别相等， 即且 已知，满足； ∵， ∴． 故选：C． 变式1．如图，以的顶点为圆心，长为半径作弧，再以顶点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，．由此得到的四边形是 ，依据是 ． 【答案】 平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，尺规作图的性质，掌握两组对边分别相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 根据尺规作图的结果，得到四边形两组对边分别相等，再依据平行四边形的判定定理得出结论． 【详解】解：以顶点为圆心， 的长度为半径作弧， 以顶点为圆心， 的长度为半径作弧， 两弧相交于点D，连接AD、CD； 此时的长度等于半径的长度，的长度等于半径的长度 即， ∵在四边形中，， ∴四边形是平行四边形． ∴依据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 故答案为：平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 变式2．已知：如图，在中，分别是边和上的点，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的性质证明，得到，，再根据平行四边形的判定即可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 题型11全等三角形拼平行四边形问题 例11．用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．以三角尺的三边为对角线，分别拼成不同的平行四边形，即可得出结论． 【详解】解：如图所示， 用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有3个． 故选：C． 变式1．如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为 ． 【答案】． 【分析】设与之间的距离为，由条件可知的面积是的面积的2倍，可求得的面积，，因此可求得的长． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设与之间的距离为， ∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，由已知条件得到四边形ABCD的面积是△ABC的面积的2倍是解题的关键（本题也可以采用等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半来求解）． 变式2．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，有多少个平行四边形？为什么？ 【答案】6个，两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【分析】根据平行四边形的判定定理求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵六个三角形是全等的正三角形， ∴OA=EF，AF=OE， ∵两组对边分别相等， ∴四边形AOEF为平行四边形； 同理可证，四边形ABOF，四边形ABCO，四边形BCDO，四边形CDEO，四边形DEFO均为平行四边形， ∴共有6个平行四边形，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，理解并熟练运用平行四边形的判定方法是解题关键． 题型12利用平行四边形的性质与判定求解 例12．如图，在四边形中，，，点E为的中点，将分别平移到和的位置．若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形的平移变换及性质，平行四边形的判定和性质，首先证明四边形，四边形均为平行四边形，从而得，，进而得，据此可得出的长． 【详解】解：∵为的中点，， ∴ 根据平移的性质得：， 又∵， ∴四边形，四边形均为平行四边形， ∴， ∴， ∴． 故选：C 变式1．如图所示，，则与线段相等的线段是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，证明四边形是平行四边形是解题的关键． 先证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可解答． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，即与线段相等的线段是． 故答案为：． 变式2．已知：如图，点为内一点，、的面积分别记为、，的面积记为，试探究与之间的关系． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，过点作分别交、于点、，过点作于点，过点作于点，可得与同底同高，与同底同高，由此即可求解．掌握平行四边形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：与之间的关系∶． 理由：如图，过点作分别交、于点、，过点作于点，过点作于点， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴四边形、四边形都是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， 即． 题型13利用平行四边形的性质和判定证明 例13．经过两点作直线，则直线（   ） A．平行于轴 B．平行于轴 C．垂直于轴 D．经过原点 【答案】A 【分析】本题主要考查平行四边形的性质和判定，坐标与图形性质，过B作轴于C，过A作轴于D，推出，根据点A、B的坐标求出，根据平行四边形的判定即可推出答案． 【详解】解：过B作轴于C，过A作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，即轴， 故选：A． 变式1．如图所示，在四边形中，，对角线，相交于点O，于点E，于点F，连接，．若，则下列结论：①；②；③四边形是平行四边形；④四边形是平行四边形．其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 根据题意易证，进而得到，根据、，证得四边形是平行四边形，同理证得四边形是平行四边形，根据平行四边形对角线的性质得到． 【详解】解：、， ， ， ， ， 在和中 ， ， 故①正确； 、， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故②③正确； ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 变式2．如图，在平行四边形中，平分交的延长线于点E，平分交的延长线于点F．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质．先证明和，再根据“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”即可判断． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵平分，平分， ∴，． ∴． ∴． 又∵， ∴，． ∴． ∴四边形是平行四边形． 题型14平行四边形性质和判定的应用 例14．如图，，，，，点，为垂足，则下列说法中错误的是（    ） A． B．直线，之间的距离是线段的长 C． D．直线，之间的距离是线段的长 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，平行线间的距离，根据平行四边形的性质可判断A选项，根据点到直线的距离为垂线段的长度，平行线间的距离处处相等，可判断BCD选项． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴；故A选项正确，不符合题意； ∵，，， ∴A、B两点间的距离就是线段或的长，故选项B错误，符合题意； ∵，，， ∴；故选项C正确，不符合题意； ∵，，， ∴A、B两点间的距离就是线段或的长，故选项D正确，不符合题意； 故选：B． 变式1．如图，将沿直线方向平移到的位置，D点在上，则的面积和两阴影部分面积之和的比值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查平移的性质，平行四边形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．由平移性质可证明四边形为平行四边形，则可证面积为面积的一半，则题目可求． 【详解】解：∵将沿直线方向平移到的位置， ， ∴四边形为平行四边形， 与同底等高， ， ， ． 故答案为：1． 变式2．如图所示，从A地到B地要经过一条小河（河的两岸平行），现要在河上建一座桥（桥垂直于河的两岸），应如何选择桥的位置，才能使从A地到B地的路程最短？    【答案】见解析 【分析】根据桥垂直于河的两岸可得桥的长度为定值，将点A向下平移至点C，使的长等于河宽，连接，与河岸相交于点N，过点N作于点M，连接．利用平行四边形的性质可得为所建桥的位置． 【详解】解：如图，将点A向下平移至点C，使的长等于河宽；连接，与河岸相交于点N，过点N作于点M，连接．则为所建桥的位置．    ∵桥垂直于河的两岸， ∴可得桥的长度为定值， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点与点之间线段最短，为定值， ∴最短，即从A地到B地的路程最短， ∴为所建桥的位置． 【点睛】此题考查了平移及最短路径问题及平行四边形得判定与性质，主要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法． 题型15求平行线间的距离 例15．如图，，，，则点C到的距离为（   ） A．2 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质，运用平行线之间三角形面积相等是解题的关键． 首先利用平行线之间三角形面积相等，得到的面积，再根据面积公式求解点C到的距离即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点C到的距离为， 故选：A． 变式1．已知直线a，b，c互相平行，直线a，b之间的距离是3cm，直线b，c之间的距离是4cm，那么直线a，c之间的距离为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查对平行线之间的距离的理解和掌握，能求出所有情况是解此题的关键． 由于三条直线互相平行，直线与之间的距离取决于直线的位置，有两种情况：当直线位于直线和之间时，距离为两段距离之和；当直线位于直线和同侧时，距离为两段距离之差的绝对值. 【详解】解：有两种情况，如图： （1）直线与的距离是； （2）直线与的距离是； 故答案为：或. 变式2．如图所示，直线，，，直线与之间的距离是，直线与之间的距离是，求直线与之间的距离． 【答案】直线与之间的距离为 【分析】本题主要考查了垂直的性质、平行线之间的距离等知识点，过一条平行线上的任意一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． 根据垂直的性质可得，再根据垂线段的长度的定义以及线段的和差即可解答． 【详解】解：直线，，， ． 又直线与之间的距离是，直线与之间的距离是， ，， ，即直线与之间的距离为． 题型16利用平行线间距离解决问题 例16．如图，，平行四边形、三角形、梯形放置于和之间，它们的面积分别记为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线之间的距离，设和之间的距离为h，然后表示出，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴设和之间的距离为h， ∴，，， ∴． 故选：D． 变式1．如图，E是内任意一点，若平行四边形面积是6，则阴影部分面积为 ． 【答案】3 【分析】此题考查了平行四边形的性质、平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的面积公式底高．过E作，交于M，交于N，连接，，设边上的高为h，根据同底等高的三角形的面积相等得到，，进而可求解． 【详解】解：过E作，交于M，交于N，连接，，设边上的高为h， 在中，，，， ∴， ∴，， ∴ ， ∴阴影部分面积为3． 故答案为：3． 变式2．如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点为格点，点、、都在格点上． (1)的面积＝______； (2)利用网格画出的高； (3)在网格中找格点，使． 【答案】(1) (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查了网格中三角形面积的计算、三角形高的画法、平行线间的距离与三角形面积的关系，利用割补法求面积和利用平行线间距离相等保证面积相等是解题的关键． （1）用矩形面积减去周围个三角形面积即得的面积； （2）取格点、使，且，可得，由图可知，，取格点，使，可得是的垂直平分线，即，结合，可得，即可得为中边上的高； （3）借助网格，过点作的平行线，由平行线间距离可知在此直线上的点到的距离都相等，在此直线上取格点，则△与底均为，高相等，可得，故点即为所求． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：如图，取格点，连接并延长，交于点，即为的高； （3）解：如图，点即为所求． ✍强化巩固★过关测试 一、单选题 1．若以长度分别为、、、的四条线段为边作梯形，则这样的梯形（ ） A．能作个 B．能作个 C．能作个 D．不能作 【答案】B 【分析】本题考查了梯形的定义，平行四边形的判定与性质，三角形的三边关系． 过梯形一个底的顶点作腰的平行线与另一个底相交，则可得该梯形被分割为一个平行四边形和一个三角形，再根据平行四边形的对边相等，以及三角形的三边关系判断该三角形是否成立即可． 【详解】解：可以作两个梯形 以为上底，为下底，和为腰， 以为上底，为下底，和为腰． 故选B． 2．已知在平行四边形中，的度数之比为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定定理，熟知两组对角分别相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 要判定四边形是平行四边形，则其两组对角需要分别相等，即且，结合角度比例即可求解. 【详解】解：设，，，. 要判定四边形是平行四边形，则其两组对角需要分别相等，即且， 由可得，解得； 由可得，解得 此时. ∴当时，能判定四边形是平行四边形， 故选：C． 3．在四边形中，，相交于点，，，，．要使四边形为平行四边形，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质和二元一次方程组的求解，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 利用平行四边形对角线互相平分的性质，建立关于和的方程并求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴对角线与互相平分，即， ∴，即；且，即， 联立方程得： 解得： 故选：A． 4．如图，的对角线交点在原点，若，则点的坐标是（    ）； A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，关于原点对称的点的坐标特征；由平行四边形是中心对称图形即可求解． 【详解】解：在中，A、C关于原点成中心对称， ∵， ∴． 故选：A． 5．如图，在梯形 中，，是中点，，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了梯形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，根据梯形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、由题意无法得出，不符合题意； 、由题意无法得出，不符合题意； 、如图，延长交延长线于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，符合题意； 、由题意无法得出，不符合题意； 故选：． 6．如图，面积为的三角形沿方向平移至三角形的位置，平移的距离是边的2倍，则图中四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质及三角形面积的计算，推出四边形的面积是的4倍是解本题的关键． 根据平移的性质得出四边形是平行四边形，用表示出、，设点A到的距离为h，然后根据三角形的面积公式与平行四边形的面积公式列式进行计算即可． 【详解】面积为的沿方向平移至的位置，平移的距离是边的2倍， ，即， ，， 四边形为平行四边形， 设点A到的距离为h， ， ∴四边形的面积为： 故选：C． 7．如图，在中，，，．点P从点A出发、以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动．在此运动过程中，线段出现的次数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，一元一次方程的应用，全等三角形的判定与性质，分四种情况：当时，当时，当时，四边形为平行四边形；当时，四边形为等腰梯形，分别求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：在中， ，， ∴，， ∵点P从点A出发、以的速度沿运动， ∴点P从点A出发到达D点的时间为：， ∵点Q从点C出发，以的速度沿往复运动， ∴点Q从点C出发到B点的时间为：， ∵， ∴， 当时，四边形为平行四边形， ∴， 当时，四边形为等腰梯形， ∴， 设同时运动的时间为， 当时，， ∴， 此时，四边形为平行四边形，， 如图：过点分别作的垂线，分别交于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是等腰梯形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时是等腰梯形，， 当时，， ∴， 此时，四边形为平行四边形，， 当时，， ∴， 此时，四边形为平行四边形，， 综上，当或或或时，，共4次， 故选：B． 8．如图所示的正方形网格中共有16个格点（组成网格的小正方形的顶点称为格点），若以A，B两个格点为顶点作格点平行四边形（顶点均为格点的四边形称为格点四边形），则这样的平行四边形共有（   ） A．5个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】D 【分析】此题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定和网格的特点求解即可． 【详解】解：如图所示， 以为边的格点平行四边形共有5个，以为对角线的格点平行四边形共有5个， ∴以A，B两个格点为顶点作格点平行四边形，这样的平行四边形共有10个． 故选：D． 9．在平面直角坐标系中，已知点、、，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．分三种情况：①和为对角线时，②和为对角线时，③和为对角线时，设点的坐标为，利用平行四边形两对角线互相平分结合中点公式即可求解． 【详解】解：设点的坐标为， 分三种情况：①和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； ②和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； ③和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； 综上所述，点C的坐标可能是或或，不可能是． 故选：D． 10．如图，下面能判断四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握判定定理：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 根据平行四边形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：A、∵，，不能得出四边形是平行四边形，错误； B、∵，，邻角相等，∴不能得出四边形是平行四边形，错误； C、∵，，∴四边形是平行四边形，正确； D、∵，，不能得出四边形是平行四边形，错误． 故选：C． 二、填空题 11．如图，，，，，的面积为6，则四边形的面积为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了平行四边形的判定与面积计算，以及三角形面积公式的应用，掌握利用平行线间的距离相等，通过三角形面积求出平行四边形的高是解题的关键． 先判定四边形为平行四边形，求出的长度，再通过的面积求出平行线间的高，最后计算平行四边形的面积． 【详解】解：∵ 且 ∴ 四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ 设点到直线的距离为 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 12．如图，在中，是上一点，过的中点，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】16 【分析】本题考查全等三角形的判定与平行线的性质，关键是连接，先证三角形全等得到面积等量关系，再通过面积和差推导完成等面积转换，将不规则的四边形的面积转化为可直接计算的的面积． 【详解】解：如图，连接， ∵是的中点， ∴． 又∵， ∴，， ∴， ∴， ， ， ∵的面积为， 即阴影部分的面积为16． 故答案为：． 13．如图，已知，，，若，，则的度数可表示为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的性质是解题的关键，根据题意易得四边形为平行四边形，进而易得，利用等量代换即可得到的度数． 【详解】解：∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 14．如图①，在中，，则图①中的平行四边形有 个；如图②，作，则图②中的平行四边形有 个． 【答案】 3 9 【分析】本题考查了平行四边形的判定与有序计数．掌握“两组对边分别平行”的判定定理，并能有条理、不重不漏地识别图形中的所有平行四边形是解题的关键． 在已知平行四边形中，增加条件．利用平行四边形对边平行的性质，可推导出，由此，图形中被分割出的三个四边形、以及原四边形均满足两组对边分别平行，因此都是平行四边形，共有3个．在①的基础上，再作，此条件与原有平行关系结合，产生了更多平行线组，从而划分出更多小的平行四边形．计数时，需从不同大小、不同位置系统性地识别，包括由新交点G产生的小平行四边形（如）、原有的大平行四边形（如）以及新组合成的平行四边形（如）．通过有序枚举，共得到9个平行四边形． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， 又∵， ∴, ∴四边形、、均为平行四边形， 故图①中的平行四边形有3个． 设线段与线段交于点G， ∵， ∴， ∴四边形、、、、、、、、均为平行四边形， 故图②中的平行四边形有9个． 故答案为：3；9． 15．图①是四连杆平开窗铰链，图②是其示意图．已知，，，．当时，窗户为完全开启状态，此时点A到点E的距离为 cm． 【答案】28 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，正确计算是解题的关键． 根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质可得，通过勾股定理可求出，最后再根据线段的和与差即可求解． 【详解】解：，， ∴四边形为平行四边形， ． ， ． 在中，，， ， ，即点到点的距离为． 故答案为：． 16．如图，在四边形中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，．连接，则的周长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、垂直平分线的性质，掌握平行四边形的对边相等，及垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 先根据且判定四边形是平行四边形，得到对边相等；再利用垂直平分线的性质得出；最后将的周长转化为，代入对应边长计算． 【详解】解：∵且， ∴ 四边形是平行四边形， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴ 则的周长 ． 故答案为：10． 三、解答题 17．如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点，分别延长，，，至点，，，，使点，，，分别是，，，的中点，连接．若，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)四边形的周长为___________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理． （1）根据平行四边形的性质可得，，由点，，，分别是，，，的中点，可得，，，，进而得到，，即可证明； （2）根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：的对角线，相交于点， ，， 点，，，分别是，，，的中点， ，，，， ，， 四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴四边形的周长为， 故答案为：． 18．如图，在四边形中，点E，F分别是延长线上的点，且，． (1)请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是______； (2)添加了条件后，证明四边形为平行四边形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质． （1）添加的条件是； （2）利用证明，推出，，证明，得到，即可证明四边形为平行四边形． 【详解】（1）解：添加的条件是； 故答案为：； （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． 19．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出向左平移个单位后的； (2)画出绕原点顺时针旋转后得到的： (3)若点在第三象限，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是__________． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3) 【分析】（）根据平移的性质画图即可； （）根据旋转的性质画图即可； （）根据平行四边形的判定解答即可； 本题考查了平移作图，旋转作图，平行四边形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图，当点的坐标是时，点在第三象限，可知且，此时以，，，为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：． 20．如图，在平行四边形中，，，垂足分别为E，F，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识；熟练掌握菱形的判定和平行四边形的性质，证明是解题的关键． （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，根据平行四边形的性质得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴． 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 21．如图，在梯形中，，，点在四边形内部，，连接、． (1)求证：是等腰三角形； (2)已知点在上，连接，如果，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先证明梯形是等腰梯形，再，即可证明； （2）先证明，再证明，即可证明． 【详解】（1）证明 ∵， ∴梯形是等腰梯形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 即是等腰三角形； （2）证明：由（1）得 ∴ ∵ ∴ ∵四边形是等腰梯形 ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形． 22．如图1，直线与轴交于点，与轴交于点．将线段向右平移7个单位长度，向上平移1个单位长度，得到线段，连接． (1)求点的坐标； (2)求四边形的面积； (3)若直线将四边形分成面积相等的两部分，请求出的值． 【答案】(1) (2)20 (3) 【分析】（1）根据直线性质，求出与轴交点，与轴交点的坐标，再由图形平移得到点的平移即可确定点的坐标； （2）根据平移性质，结合平行四边形性质得到，数形结合，通过间接表示，代值求解即可得到答案； （3）连接相交于点，如图所示，求出，联立得到点坐标，代入直线即可得到答案． 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， ， 当时，，解得， ， 将线段向右平移7个单位长度，向上平移1个单位长度，得到线段， ； （2）解：线段平移得到线段， ，且； 四边形是平行四边形， ， 延长交轴于点，如图所示： 设， 将代入得， ， 当时，，解得， ， ， ， ； （3）解：连接相交于点，如图所示： 设， 将代入得，解得：， ， 联立，解得， 点坐标为， 将代入直线，解得． 【点睛】本题考查直线与四边形综合，涉及一次函数图象与性质、图形平移、点的平移、待定系数法确定函数表达式、平行四边形的判定与性质、直线的交点坐标及直线等分四边形面积等知识，读懂题意，灵活掌握相关几何性质，数形结合是解决问题的关键． 23．如图，在梯形中，，，，，动点P从A点开始沿边以每秒的速度向点D移动，动点Q从C点开始沿以每秒的速度向B移动，P、Q同时出发． (1)当运动多少秒时，四边形是平行四边形？ (2)当运动多少秒时，四边形是直角梯形？ (3)多少秒后，梯形是等腰梯形？ 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的判定以及全等三角形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法． （1）由当时，四边形为平行四边形，可得方程，解方程即可； （2）当时，四边形是直角梯形，可得方程，解方程即可； （3）首先过D作于E，可求得的长，又由当时，四边形为等腰梯形，可求得当，即时，四边形为等腰梯形，解方程即可； 【详解】（1）解：根据题意得：，，则． ∵， 即， ∴当时，四边形为平行四边形， 即， 解得：， 即当运动6秒时，四边形为平行四边形； （2）解：当时，四边形是直角梯形， ∴， ∴， 即当运动秒时，四边形是直角梯形． （3）解：过D作于E， 则四边形为矩形， ∴， ∴， 当时，四边形为等腰梯形，如图所示： 过点P作于点F， 则四边形是矩形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， 即当运动7秒时，四边形为等腰梯形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $