专题08 二次函数问题（函数压轴，压轴题专练）（安徽专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题08 二次函数问题（函数压轴，压轴题专练） 命题预测 常设求解析式、顶点最值、图像平移考点，常搭配三角形、四边形结合出题。高频考查动点面积、线段最值与等腰、直角点存在性题型，分层设问梯度明显，着重考核数形结合与分类讨论的综合解题能力。 高频考法 1. 含参二次函数的图象与性质 2. 二次函数图象与a,b,c的关系 3. 二次函数图象变换问题 4. 二次函数对称性、增减性问题 5. 含参二次函数解析式与图象的关系 6. 二次函数图象公共点问题 典例·靶向·突破 题型1. 含参二次函数的图象与性质 1、 利用对称性求对称轴或点坐标： 如图，A,B为抛物线上纵坐标相等的两点 (1) 点A,B关于对称轴直线对称 (2) (3) 2、 利用二次函数的性质比较函数值大小的方法： (1)代入比较法：直接代入点的横坐标，比较纵坐标； (2)增减性比较法：位于对称轴异侧的点，先利用对称性将点转化到对称轴同侧，再根据增减性求解； (3)距离比较法：当a>0(或a<0)时，抛物线上的点距离对称轴越远（或近），其对应的函数值越大。 【典例1】二次函数的部分图象如图，图象过点，对称轴为直线，若抛物线与y轴交于点A，则抛物线与x轴正半轴上的交点坐标为______． 【答案】 【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点坐标为，抛物线对称轴为直线， ∴ ∴抛物线与轴另一交点坐标为， 故答案为：． 【典例2】在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为点． （1）该抛物线的对称轴为直线______； （2）若，点坐标为，直线与轴交于点，则______． 【答案】 【详解】解：（1）， 抛物线的对称轴为直线； 故答案为：； （2）把，点坐标分别代入二次函数中， 得：， ， 即， 令，则， 即； 而， ； 设直线的解析式为， 把D、C两点坐标分别代入得：， 即， ∴直线的解析式为， 令，则， 即； ； 故答案为：． 【典例3】二次函数的图像经过点，且顶点在直线上，则______． 【答案】或 【详解】解：∵二次函数的图象顶点为， 又∵二次函数的图象经过点，且顶点在直线上， ∴， 整理得： 解得：或． 【典例4】已知函数的顶点在x轴上，那么______． 【答案】 【详解】解：∵二次函数的顶点在x轴上， ∴方程只有一个实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 【典例5】已知点在函数的图象上，则的大小关系是_____． 【答案】/ 【详解】解：∵，且， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， 分别计算三个点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为. 因为开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，且， ∴． 【典例6】已知抛物线上不同的两点，，当时，则________．（填“”、“”或“”号） 【答案】 【详解】解：抛物线 的二次项系数为，则该抛物线的开口向上； ∵抛物线的对称轴为直线， 故当时，y随x增大而增大， ∵， ∴，即． 故答案为：． 题型2. 二次函数图象与a,b,c的关系 1、 解决这类试题的关键点： 关键点1二次函数图象与系数的关系： ①a的正负决定开口方向； ②a,b同时决定对称轴的位置：“同左异右”；b=0,对称轴为y轴； ③c决定与y轴交点位置。 关键点2增减性： 重点在于确定对称轴位置，结合开口方向，确定对称轴两侧的增减性 关键点3与一元二次方程结合： ①抛物线与x轴交点的横坐标是一元二次方程的根； ②利用根个数判断出系数间关系 2、 方法总结 (1) 判断a,b,c关系式与0之间的大小关系： (2) 如遇见a,c或b,c关系的式子，可利用对称轴与x等于某个值时y的式子联立求解 (3) 如遇见 (a+c)2<b2 形式的式子，先因式分解，再利用x等于某两个值的式子联立求解 (4) 判断方程 ax2+bx+c=m 的两个根的范围，可以看成是判断抛物线 y=ax2+bx+c 与直线y=m 交点横坐标的范围； (5) 恒过定点的方法： a. 将定点代入解析式，若满足则正确；不满足，则不正确； b. 求定点常用的方法：分解因式化成两点式；配方化成顶点式；代入特殊值，如x=0等。 (6) 遇到已知表格数据判断与系数有关的结论问题时，关键是从表格中找到纵坐标相同的点，再 根据对称轴左右两边的增减性画出大致函数图象，进行判断 【典例1】如图，二次函数的图象与轴交于，，其中．结合图象给出下列结论： ①；②； ③当时，随的增大而减小； ④关于的一元二次方程的另一个根是； ⑤的取值范围为．其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图可得：，对称轴， ， ，①错误； 由图得，图象经过点，将代入可得， ，②正确； 该函数图象与轴的另一个交点为，且， 对称轴， 该图象中，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大， 当时，随着的增大而减小， ③正确； ，， 关于的一元二次方程的根为， ， ，， ④正确； ，即， 解得， 即， ， ， ⑤正确． 综上，②③④⑤正确，共个． 故选：． 【典例2】已知二次函数的图象如下图所示，对称轴为直线，经过点，下列结论：①，②，③对任意实数，都有，④当时，随的增大而增大，其中，正确的结论有（） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】解：由图象可得，当时，， ∴，故结论①错误； ∵二次函数图象的对称轴为直线，经过点， ∴图象与x轴的另一交点为， ∴， 由图象可得，当时，， 由①②得， ∴，故结论②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为， ∴二次函数的最大值为， ∴对任意实数，都有， ∴，故结论③正确； ∵当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴结论④错误． 综上所述，正确的结论是②③，共2个． 【典例3】抛物线与轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：依题意，设抛物线与轴交于两点，横坐标分别为 依题意， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，，即 ∴，故A选项正确，符合题意； 若对称轴为，即， 而，不能得出对称轴为直线， 故B选项不正确，不符合题意； ∵抛物线与坐标轴有2个交点， ∴方程有两个不等实数解，即，又 ∴，故C选项错误，不符合题意； 无法判断的符号，故D选项错误，不符合题意； 故选：A． 【典例4】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1．结合图象分析下列结论：①abc＞0；②4a＋2b＋c＞0；③2a＋c＜0；④一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为＝3，＝－1；⑤若m，n（m＜n）为方程a（x＋1）（x－3）＋2＝0的两个根，则m＜－1且n＞3．其中正确的结论有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴为x＝1＞0，因此a、b异号，所以b＞0， 抛物线与y轴交点在正半轴，因此c＞0，所以abc＜0，故①不正确； 当x＝2时，y＝4a＋2b＋c＞0，故②正确； 抛物线与x轴交点（3，0），对称轴为x＝1．因此另一个交点坐标为（−1，0），所以a−b＋c＝0，又x＝−＝1，有2a＋b＝0，所以3a＋c＝0，而a＜0，因此2a＋c＞0，③不正确； 抛物线与x轴交点（3，0），（−1，0），即方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1＝3，x2＝−1；因此cx2＋bx＋a＝0的两根x1＝，x2＝−1，故④错误； 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点（3，0），（−1，0），且a＜0，因此当y＝−2时，相应的x的值大于3，或者小于−1，即m＜−1，n＞3，故⑤正确； 综上所述，正确的结论有：②⑤， 故选：A． 【典例5】抛物线（，，为常数，）上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： 有下列结论：①抛物线的开口向下；②抛物线与轴的一个交点坐标为；③抛物线的对称轴为直线；④函数的最大值为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵抛物线经过点 ∴ 解得： ∴抛物线解析式为 ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，最大值为， 故①③④正确 令，即， 解得：，抛物线与轴的一个交点坐标为，故②不正确， 故选：C． 题型3. 二次函数图象变换问题 1、 解决这类试题的关键点： 关键点1理解二次函数图象平移后的实质： 从图象上考虑：二次函数图象平移的实质是图象上点坐标的整体平移（以研究顶点坐标为主)，平移过程中开口方向及大小不变，因此可先求出其顶点坐标，再根据顶点坐标的平移求解即可 关键点2牢记二次函数图象平移规律： 左右平移：左加右减； 上下平移：上加下减 2、 规律总结： 1. 二次函数 y=ax2+bx+c 或 y=a(x-h)2+k图象的对称 (1) 关于x轴对称： a，x，y和顶点坐标的变化情况： a→-a，x不变， y→-y , (h,k)→(h,-k) (2)关于y轴对称： a，x，y和顶点坐标的变化情况： a不变 x→-x，y不变， (h,k)→(-h,k) (3)关于原点对称： a，x，y和顶点坐标的变化情况： a→-a，x→-x，y→-y，(h,k)→(-h,-k) 2.二次函数 y=ax^2+bx+c 图象的旋转： (1)绕原点旋转180°： 旋转后的参数特征及解析式：a与c符号变相反， y=-ax2+bx-c (2)绕顶点旋转180°： 旋转后的参数特征及解析式：a与b符号变相反 y=-ax2-bx+c 【典例1】在平面直角坐标系中，将抛物线（为常数）先向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度后，抛物线的顶点坐标为，则，的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解： ∴原抛物线的顶点坐标为 将抛物线向右平移2个单位长度，向下平移个单位长度后，新顶点坐标为 ∵平移后顶点坐标为 ∴列方程组得： 解得． 【典例2】在同一平面直角坐标系中，若抛物线与关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（    ） A．m=,n= B．m=5，n= -6 C．m= -1，n=6 D．m=1，n= -2 【答案】D 【详解】关于y轴对称，二次项系数与常数项相同，一次项系数互为相反数， ∴， 解之得， 故选D. 【典例3】在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于原点中心对称，且它们的顶点相距个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为，则的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】， 该抛物线的对称轴是直线， 有两条抛物线关于原点成中心对称，且它们的顶点相距个单位长度， 顶点到原点的距离是， 顶点的纵坐标的绝对值是：， ， 解得，， 故选：C． 【典例4】在同一平面直角坐标系中，有两条抛物线关于轴对称，且它们的顶点与原点的连线互相垂直，若其中一条抛物线的表达式为，则的值为（    ） A．2 B．2或0 C． D．2或 【答案】B 【详解】解：∵这两条抛物线关于y轴对称，且它们的顶点与原点的连线互相垂直， ∴每条抛物线顶点与原点的连线与y轴夹角为， 即该连线上的任意点的横、纵坐标的绝对值相等， 又∵其中一条抛物线为， ∴该抛物线的对称轴为，即顶点横坐标为1， ∴顶点纵坐标的绝对值为1， 即， 解得或． 故选：B． 【典例5】已知，二次函数（a，b是常数，a≠0）的图象经过，，三个点中的其中两个点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的（    ） A．最大值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为 【答案】C 【详解】解：由题意得，二次函数的图象经过点A，B或B、C或点A，C， ①若经过点A和点B， ∵，都在直线上，而抛物线与轴交点始终在直线上， ∴二次函数的图象不能同时经过点A，B； ②∵，， ∴抛物线也不同时经过点B，点C， ③经过点A、点C，如图， ∴ 解得， ∴， 当时，， 则点是的顶点， 此时二次函数的顶点在上，且与y轴交点，此时纵坐标为； 而经过平移，顶点始终在直线上， 故平移后函数表达式为， 当时，， 当时，y有最大值，为：， 故选：C． 题型4. 二次函数对称性、增减性问题 1、 解决这类试题的关键：确定区间内二次函数的最值 若点M(m,yM),N(n,yN)为抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上两点，且点M在点N左侧（以a>0,b<0,c<0为例)。 1.如图①，区间在抛物线对称轴左侧，则最大值为yM，最小值为yN; 2.如图②，抛物线对称轴在区间内，则最小值为抛物线顶点的纵坐标，最大值为距离抛物线对称轴较远的点N的纵坐标yN; 3.如图③，区间在抛物线对称轴右侧，则最大值为yN,最小值为yM 2、 规律总结 1.当抛物线解析式中，一次项和二次项均含参，且对称轴确定时 (1)要讨论抛物线的开口方向；(2)结合自变量的取值范围，判断取最值的位置，注意在这个过程中是否包含顶点处（最大/最小值)，取值范围两端点与对称轴的距离等都是确定最值的方法 2.当自变量取值范围或函数取值范围中含参时，要结合抛物线开口方向，对自变量两端点位置分情况讨论： (1)两端点均位于对称轴左侧 (2)两端点均位于对称轴右侧 (3)两端点位于对称轴两侧，分别求出取最大值和最小值的位置及最值 【典例1】在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求抛物线的对称轴，并用含的式子表示； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点， ①如果，，求线段的长； ②已知点在抛物线上，当时，线段的长随着的增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线， (2)①；② 【详解】（1）解：将点和点代入抛物线得： ， 解得：， 抛物线， 则抛物线对称轴为：； （2）解：①由（1）知，抛物线， 当，时， 抛物线，直线，， 将代入抛物线得：， ， 将代入直线得：， ， ； ②解：由题意得，抛物线图象开口向下， 由（1）知，抛物线， ， 、， 设抛物线与直线交于点H， 则， 解得：或， 为原点坐标， ， 点在抛物线上， 当时，， ， 设、， ， 如图，当或时，线段的长随着的增大而减小， 分情况讨论： 当时， 由题意得：， ； 当时，， ， 当时，有最大值， ， ， 此不等式组无解； 综上所述，当时，线段的长随着的增大而减小，的取值范围为． 【典例2】已知抛物线（a为常数）经过点． (1)求a的值． (2)过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，且点B为线段的中点，求t的值． (3)设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线、之间．若直线、之间的距离为16，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)8 【详解】（1）解：把代入，得：， 解得：； （2）解：由（1）知：， ∴对称轴为直线， ∵点在轴上，过点与x轴平行的直线交抛物线于B、C两点， ∴B、C两点关于对称轴对称，B、C的纵坐标均为， 又∵点B为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴代入，得：， ∴； （3）解：∵ ， ∴抛物线的顶点坐标， 当抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线、之间时，、为直线与抛物线的交点， ∴要使最大，则、为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称， 又∵直线、之间的距离为16，为定值， ∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点时，即： 时，最大，此时另一条直线的解析式为， 如图： ∴当时， 解得：， 即：，， ∴的最大值为：． 【典例3】在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数） (1)用含的代数式表示抛物线顶点的坐标为__________． (2)当抛物线的顶点在第二象限时，求的取值范围． (3)当时，先随的增大而增大，后随的增大而减小；且当时有最小值，求符合条件的整数的值． (4)已知三个顶点的坐标分别为．当抛物线与的边有两个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【详解】（1）解：抛物线， ∴抛物线顶点坐标为， （2）解：∵抛物线的顶点在第二象限 ∴可得 ， 解得： （3）解：∵当时，y先随x的增大而增大，后随x的增大而减小，且抛物线对称轴， ∴ 当时， 当时， ∵当时，有最小值， ∴， 解得： ∴． ∵m为整数， ∴ （4）解：∵抛物线顶点坐标为， ∴顶点运动轨迹为直线， 抛物线与y轴交点坐标为， 如图，当抛物线经过点时，， 解得：（舍去）或， m增大，当抛物线经过点时，， 解得：或（舍去）， ∴ m继续增大，抛物线与三角形无交点，当抛物线经过点时， ， 解得（舍）或， m增大，当抛物线经过点C时，（舍去）或 ∴ 综上，或 题型5. 含参二次函数解析式与图象的关系 1、 解读二次项系数a确定的解析式的一般方法： 1. 二次项系数a为定值：抛物线的开口方向和开口大小确定； 2. 对称轴确定：抛物线顶点在对称轴上，上下移动； 3. 对称轴不确定：看顶点坐标顶点纵坐标确定，抛物线顶点左右移动；顶点纵坐标不确定时，当顶点纵坐标与横坐标满足一次函数关系（或二次函数关系）时，顶点在一条直线上移动（或一条抛物线上移动)； 4. 画出抛物线的大致图象，并分析图象的运动变化情况 2、 解读二次项系数a不确定的解析式的一般方法： 1.二次项系数a不确定：抛物线的开口方向和开口大小不确定。 a>0 ,开口向上，a<0,开口向 下；越大开口越小，越小开口越大 2.看对称轴：当二次项系数a与一次项系数b成倍数关系时，对称轴确定 3.看是否过定点：将含参数的项合并后进行因式分解，从而求出定点； 4.画出抛物线的大致图象，并分析图象的运动变化情况 【典例1】已知抛物线． (1)求出该抛物线的对称轴，以及抛物线与x轴的交点坐标． (2)已知该抛物线经过，两点，若，判断与的大小关系并说明理由． 【答案】(1)对称轴为直线，交点坐标为和 (2)，理由见解析 【详解】（1） ∴对称轴为直线， 令，则， 解得， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和； （2）∵， ， ， ∴当时， ， ， ， ∴A，B两点都在抛物线的对称轴的右侧，且， ∵抛物线开口向上， ∴在抛物线的对称轴的右侧，y随x的增大而增大． ∴． 【典例2】在平面直角坐标系中，已知抛物线； (1)若点在此抛物线上，求出此时抛物线的对称轴． (2)若抛物线经过点，且满足，求的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线； (2)或． 【详解】（1）解：把点代入，得， 解得或（舍去）， ∴抛物线， ∴对称轴为直线； （2）解：， ∴对称轴为直线直线， ∴当时，抛物线开口向上，函数有最小值， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即， 当时，，即， ∴， 当时，，即，不合题意，舍去， ∴， ∴当时，抛物线开口向下，函数有最大值， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即， ∴， 解得． 综上可知，的取值范围是或． 题型6. 二次函数图象公共点问题 解决定抛物线与动线段或动直线交点问题的一般步骤： 步骤一：分析动线段或动直线特征：对于动线段，明确其端点的运动规律，通常表示出端点坐标，进 而得到线段所在直线的解析式 步骤二：借助数形结合的方法找到临界点：画出满足情况的大致图象，将图象问题转化为函数的 交点问题； 步骤三：联立方程：直线与抛物线联立方程组进行求解 【典例1】在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴相交于点，点在拋物线上． (1)当时，求点的坐标； (2)抛物线上点，（包含，两点）之间的部分记作． ①若与轴只有一个公共点，求的取值范围； ②已知，，，，顺次连接，，，，若落在四边形内（不包含边界）的部分随着的增大，先增大再减小，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②或 【详解】（1）解：当时，抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为y轴，当时，， 点的坐标为； （2）：①当，即时， ， 抛物线与x轴有两个交点， 当时，， 当时，， 点B的坐标为，点C的坐标为， 当与轴只有一个公共点时，分两种情况： 当点B在x轴上方，点C在x轴上或x轴下方时，， 解得； 当点C在x轴上方，点B在x轴上或x轴下方时，， 不等式组无解，即这种情况不存在， 的取值范围是； ②， 抛物线顶点A的坐标为． ，，，， 四边形是边长为4的正方形，所在直线为，所在直线为，所在直线为，所在直线为， 落在四边形内（不包含边界）的部分随着的增大，先增大再减小， 点A在正方形内，点B和点C在对称轴两侧， 由点A在正方形内，可得， 解得， 如图，当点B在对称轴左侧，点C在对称轴右侧时, ， 解得， ， 如图，当点B在对称轴右侧，点C在对称轴左侧时, , 解得， ， 综上可知，的取值范围为或． 【典例2】在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； (2)若点，，抛物线与线段只有一个交点，求m的取值范围； (3)，是抛物线上两点，若，直接写出m取值范围． 【答案】(1)直线 (2)或或 (3) 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线； （2）解：∵， ∴抛物线与轴的交点坐标为和， 抛物线与轴的交点为和，点在线段上，要使抛物线与线段只有一个交点，则另一个交点需要在线段之外，或与重合， 当交点在线段之外时，或， 解得或； 当交点与重合时，， 解得； ∴或或； （3）解：由（1）得，抛物线的对称轴为直线，且解析式，抛物线开口向上， ∴为抛物线的顶点坐标， ∴的值最小， ∵，， ∴， ∴由得， ， 整理得， 令， 当时， 解得或， ∴． 【典例3】在平面直角坐标系中，已知抛物线上与轴有两个公共点，点，，中恰有两点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)设抛物线与轴另一个公共点为，在轴上有一个动点（横坐标大于2）过点作轴的垂线，与交抛物线于一点，直线与轴交于点，求证：． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)证明见解析 【详解】（1）解：∵在抛物线中，当，， ∴抛物线必过点，且对称轴不是轴， ∴当时，抛物线上的两点在轴左右两侧，且不关于轴对称， ∴抛物线过点和， 把点和代入抛物线解析式， 可得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）证明：在抛物线的解析式中， 令，则， 解得：或， ∴点的坐标为， 设的解析式为， ∵，， ∴可得：， 解得：， ∴的解析式为， 设，且， ∴， 设直线的解析式为， ∴可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴当时，， 即， 设直线的解析式为， ∵，， ∴可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵的解析式为， ∴， ∴， ∴． 1．（2024·安徽合肥·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项符合题意； B、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项不符合题意； C、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，由直线可知，，但图象过点，求得，矛盾，故本选项不符合题意． 故选：A． 2．（2024·四川达州·一模）拋物线与轴的一个交点为，与轴交于点，点是拋物线的顶点，对称轴为直线，其部分图象如图所示，则以下结论：①；②是抛物线上的两个点，若,且，则；③点为轴上一动点，当的值最小时，点的坐标为；④若关于的方程无实数根，则的取值范围是．其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴的左侧， ∴， ∵交y轴的负半轴， ∴， ∴， 故①正确． ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而减小， 又，且， ∴， ∴．故②错误． 作点C关于x轴的对称点，连接与x轴交于点P，连接， 此时的值最小． 将代入二次函数解析式得，， 又∵， ∴ ∴，即 又抛物线与y轴的交点坐标为， ∴点C坐标为， ∴点坐标为． 又∵当时，即． 设直线的函数表达式为 将点D坐标代入得，， 解得， ∴直线的函数表达式为， 将代入得，． ∴点P的坐标为．故③正确． 将方程整理得，， ∵方程没有实数根， ∴抛物线与直线没有公共点， ∴， ∴， 解得， 又， 所以． 故④正确． 所以正确的有①③④． 故选：B． 3．（2023·湖北黄冈·二模）抛物线（a，b，c是常数，且）开口向下且过点，，其中，以下结论：①；②；③；④若方程有两个不相等的实数根，则，其中结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵过点， ∴，， ∴， ∴，故①正确； 抛物线开口向下，， 时，，故②正确． 抛物线开口向下， ， ，，时，， ，③正确． 若有两个不相等的实数根， 则，有两个不相等的实数根， 抛物线开口向下， 抛物线顶点纵坐标大于1， 即， ，故④错误． 故选：C． 4．（20-21九年级上·天津和平·期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，﹣4a），点A（4，y1）是该抛物线上一点，若点B（x2，y2）是该抛物线上任意一点，有下列结论：①4a﹣2b+c＞0；②抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），（3，0）；③若y2＞y1，则x2＞4；④若0≤x2≤4，则﹣3a≤y2≤5a．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（1，﹣4a）， ∴x＝﹣＝1，且﹣4a＝a+b+c， ∴b＝﹣2a，c＝﹣3a， ∵抛物线开口向上，则a＞0， ∴4a﹣2b+c＝4a+4a﹣3a＝5a＞0，故结论①正确； ②∵b＝﹣2a，c＝﹣3a， ∴y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣3）（x+1）， ∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），（3，0），故结论②正确； ③∵点A（4，y1）关于直线x＝1的对称点为（﹣2，y1）， ∴当y2＞y1，则x2＞4或x2＜﹣2，故结论③错误； ④当x＝4时，y1＝16a+4b+c＝16a﹣8a﹣3c＝5a， ∴当0≤x2≤4，则﹣4a≤y2≤5a，故结论④错误． 故选：C． 5．（2023·湖南常德·三模）二次函数（a，b，c是常数，）的自变量与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … n 当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②和3是关于x的方程的两个根；③．则所有正确结论的序号为______． 【答案】①②/②① 【详解】解：当时，，当时，， ，抛物线对称轴为直线， 当时，其对应的函数值， ∴在对称轴左侧，y随x增大而减小， 二次函数开口向上， ∴． ．①结论符合题意； 时，， 是关于x的方程的根． 对称轴为直线， 和3是关于x的方程的两个根．②结论符合题意； ∵ ∴二次函数解析式： ∵当时，与其对应的函数值． ∴， ∴； ∵当和时的函数值分别为和， ∴， ∴；故③错误 故答案为：①②． 6．（23-24九年级上·浙江杭州）二次函数的大致图象如图，顶点坐标为，点是抛物线上一点，若点是抛物线上任意一点，下列结论：①；②若，则；③若，则；④若方程有两个实数根和，且，则．其中正确的是__． 【答案】①④ 【详解】解：①二次函数的大致图象开口向上，顶点坐标为， ,，且， ，， 于是①的结论正确； ②点关于直线的对称点为， 当，则或， 于是②错误； ③当时，， 当，则， 于是③错误； ④方程有两个实数根和，且， 抛物线与直线交点的坐标，和，， 抛物线时，或3， 即抛物线与轴的两个交点坐标分别为和， ， 于是④正确． 故答案为：①④． 7．（25-26九年级上·北京）已知二次函数（a，b，c为常数，，）的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线．有下列结论： ①； ②若点，，均在该二次函数图象上，则； ③方程的两个实数根为，，且，则； ④若m为任意实数，则． 其中，正确结论为______． 【答案】③④ 【详解】解：∵对称轴为直线， ∴， ∴； ∵二次函数（a，b，c为常数，，）的图象与x轴的一个交点坐标为， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴，即抛物线开口向下； ∴，故①错误； ∵函数开口向下， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵点，，均在该二次函数图象上，且， ∴，故②错误； 在中，当时，， ∵， ∴， ∴抛物线与直线必有两个交点， 由对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点坐标为 ∵方程的两个实数根为，，且， ∴，即为抛物线与直线的两个交点的横坐标， ∵函数开口向下， ∴直线与抛物线的两个交点一定在直线和直线之间， ∴，故③正确． ∵抛物线开口向下，顶点的纵坐标为函数的最大值， ∴对于任意实数，有，故④正确． 故正确结论为③④， 故答案为：③④． 8．（23-24九年级上·安徽芜湖）已知抛物线与y轴的交点为A，对称轴为直线，将点A向上平移1个单位，得到点B，过点A作平行于x轴的直线l，在直线l上取一点C，点C的横坐标为． （1）________； （2）若线段与抛物线只有一个公共点，则m的取值范围是__________． 【答案】 或 【详解】解：（1）， 对称轴为直线， ∴， 故答案为：； （1）当时，， ∴点A的坐标为，则点B的坐标为，直线l为， ∴点C的坐标为， ∵对称轴为直线， ∴抛物线与直线l的另一个交点为， 当时，如图， 由图象知：或， 解得或， ∴； 当时，如图， 由图象知：， 解得， 综上，或． 故答案为：或． 9．（2026·安徽阜阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，与y轴交于． (1)求的值； (2)若抛物线的开口向下，与x轴的另一个交点B的横坐标为t．若，求a的取值范围； 【答案】(1)； (2) ； (3) 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于， ∴， ∵抛物线与x轴交于， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， ∴抛物线， ∵， ∴， 解得， ∴a的取值范围是； 10．（2023·河南洛阳·一模）已知二次函数的图象经过点，． (1)求二次函数的解析式； (2)若点都在此抛物线上，且，．比较与的大小，并说明理由； (3)点P的坐标为，点Q的坐标为，若线段PQ与该函数图象恰有一个交点，直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或． 【详解】（1）把和代入，得： 解得， ∴； （2）令，则 解得， ∴抛物线与轴的交点坐标为， ∴抛物线开口向上， ∴当时， 当时，， ∴； （3） 轴， 当时， 解得， ∴直线与抛物线的交点坐标为，， ∴这两点之间的距离为： ∵ ∴由直线与的图象可知： ①如图，当时，线段PQ与该函数图象恰有一个交点； ②如图，当时，即，线段PQ与该函数图象恰有一个交点 综上，n的取值范围为或． 11．（2023·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线的对称轴是直线x＝1． (1)用含a的式子表示b，并求抛物线的顶点坐标； (2)已知点，，若抛物线与线段AB没有公共点，结合函数图象，求a的取值范围； (3)若抛物线与x轴的一个交点为，且当m≤x≤n时，y的取值范围是m≤y≤6，结合函数图象，求出满足条件的m，n的值． 【答案】(1)； (2)； (3)，；， 【详解】（1）解：由题意知：， 解得：． 把代入得， ， ∵， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∴；抛物线的顶点坐标为：； （2）解：第一种情况：如下图： 当时，函数开口向上，抛物线的顶点坐标为：，图像与线段无交点； 第二种情况：如下图： 当时，满足当时，；当时，，即 ，解得：， ∴． 综上所述：抛物线与线段AB没有公共点时满足或． （3）解：把点代入得， ， ∵， ∴， ∴． ∵当m≤x≤n时，y的取值范围是m≤y≤6 令得：， 解得：（舍去）或 ∴， ∴当自变量的最小值与函数值的最小值都是时可得， ， 解得：或，此时顶点包含在内，不符合要求，故舍去； ∴满足条件的、的值为：，或，． 12．（24-25九年级上·江苏苏州）已知抛物线与y轴的交点为A，对称轴为直线，将点A向上平移1个单位，得到点B，过点A作平行于x轴的直线l，在直线l上取一点C，点C的横坐标为． (1) ； (2)探求抛物线经过的定点坐标； (3)若，当时，求y的最小值．（可用含m、k的代数式表示）； (4)若线段与抛物线只有一个公共点，则m的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)， (3)当时，最小值为：；当时，最小值为：； (4)或． 【详解】（1）解： ， 对称轴为直线， ∴； （2）解： ， 当时， ∴，， 此时， ∴抛物线经过的定点坐标为：，； （3）解：∵，则抛物线开口向上，如图， 当时，而， ∴当时，有最小值， 最小值为：； 当时，如图， 当时，有最小值， 最小值为：； （4）解：当时，， ∴点A的坐标为，则点B的坐标为，直线l为， ∴点C的坐标为， ∵对称轴为直线， ∴抛物线与直线l的另一个交点为， 当时，如图， 由图象知：或， 解得或， ∴； 当时，如图， 由图象知：， 解得， 综上，或． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 二次函数问题（函数压轴，压轴题专练） 命题预测 常设求解析式、顶点最值、图像平移考点，常搭配三角形、四边形结合出题。高频考查动点面积、线段最值与等腰、直角点存在性题型，分层设问梯度明显，着重考核数形结合与分类讨论的综合解题能力。 高频考法 1. 含参二次函数的图象与性质 2. 二次函数图象与a,b,c的关系 3. 二次函数图象变换问题 4. 二次函数对称性、增减性问题 5. 含参二次函数解析式与图象的关系 6. 二次函数图象公共点问题 典例·靶向·突破 题型1. 含参二次函数的图象与性质 1、 利用对称性求对称轴或点坐标： 如图，A,B为抛物线上纵坐标相等的两点 (1) 点A,B关于对称轴直线对称 (2) (3) 2、 利用二次函数的性质比较函数值大小的方法： (1)代入比较法：直接代入点的横坐标，比较纵坐标； (2)增减性比较法：位于对称轴异侧的点，先利用对称性将点转化到对称轴同侧，再根据增减性求解； (3)距离比较法：当a>0(或a<0)时，抛物线上的点距离对称轴越远（或近），其对应的函数值越大。 【典例1】二次函数的部分图象如图，图象过点，对称轴为直线，若抛物线与y轴交于点A，则抛物线与x轴正半轴上的交点坐标为______． 【典例2】在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为点． （1）该抛物线的对称轴为直线______； （2）若，点坐标为，直线与轴交于点，则______． 【典例3】二次函数的图像经过点，且顶点在直线上，则______． 【典例4】已知函数的顶点在x轴上，那么______． 【典例5】已知点在函数的图象上，则的大小关系是_____． 【典例6】已知抛物线上不同的两点，，当时，则________．（填“”、“”或“”号） 题型2. 二次函数图象与a,b,c的关系 1、 解决这类试题的关键点： 关键点1二次函数图象与系数的关系： ①a的正负决定开口方向； ②a,b同时决定对称轴的位置：“同左异右”；b=0,对称轴为y轴； ③c决定与y轴交点位置。 关键点2增减性： 重点在于确定对称轴位置，结合开口方向，确定对称轴两侧的增减性 关键点3与一元二次方程结合： ①抛物线与x轴交点的横坐标是一元二次方程的根； ②利用根个数判断出系数间关系 2、 方法总结 (1) 判断a,b,c关系式与0之间的大小关系： (2) 如遇见a,c或b,c关系的式子，可利用对称轴与x等于某个值时y的式子联立求解 (3) 如遇见 (a+c)2<b2 形式的式子，先因式分解，再利用x等于某两个值的式子联立求解 (4) 判断方程 ax2+bx+c=m 的两个根的范围，可以看成是判断抛物线 y=ax2+bx+c 与直线y=m 交点横坐标的范围； (5) 恒过定点的方法： a. 将定点代入解析式，若满足则正确；不满足，则不正确； b. 求定点常用的方法：分解因式化成两点式；配方化成顶点式；代入特殊值，如x=0等。 (6) 遇到已知表格数据判断与系数有关的结论问题时，关键是从表格中找到纵坐标相同的点，再 根据对称轴左右两边的增减性画出大致函数图象，进行判断 【典例1】如图，二次函数的图象与轴交于，，其中．结合图象给出下列结论： ①；②； ③当时，随的增大而减小； ④关于的一元二次方程的另一个根是； ⑤的取值范围为．其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知二次函数的图象如下图所示，对称轴为直线，经过点，下列结论：①，②，③对任意实数，都有，④当时，随的增大而增大，其中，正确的结论有（） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【典例3】抛物线与轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例4】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1．结合图象分析下列结论：①abc＞0；②4a＋2b＋c＞0；③2a＋c＜0；④一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为＝3，＝－1；⑤若m，n（m＜n）为方程a（x＋1）（x－3）＋2＝0的两个根，则m＜－1且n＞3．其中正确的结论有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【典例5】抛物线（，，为常数，）上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： 有下列结论：①抛物线的开口向下；②抛物线与轴的一个交点坐标为；③抛物线的对称轴为直线；④函数的最大值为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型3. 二次函数图象变换问题 1、 解决这类试题的关键点： 关键点1理解二次函数图象平移后的实质： 从图象上考虑：二次函数图象平移的实质是图象上点坐标的整体平移（以研究顶点坐标为主)，平移过程中开口方向及大小不变，因此可先求出其顶点坐标，再根据顶点坐标的平移求解即可 关键点2牢记二次函数图象平移规律： 左右平移：左加右减； 上下平移：上加下减 2、 规律总结： 1. 二次函数 y=ax2+bx+c 或 y=a(x-h)2+k图象的对称 (1) 关于x轴对称： a，x，y和顶点坐标的变化情况： a→-a，x不变， y→-y , (h,k)→(h,-k) (2)关于y轴对称： a，x，y和顶点坐标的变化情况： a不变 x→-x，y不变， (h,k)→(-h,k) (3)关于原点对称： a，x，y和顶点坐标的变化情况： a→-a，x→-x，y→-y，(h,k)→(-h,-k) 2.二次函数 y=ax^2+bx+c 图象的旋转： (1)绕原点旋转180°： 旋转后的参数特征及解析式：a与c符号变相反， y=-ax2+bx-c (2)绕顶点旋转180°： 旋转后的参数特征及解析式：a与b符号变相反 y=-ax2-bx+c 【典例1】在平面直角坐标系中，将抛物线（为常数）先向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度后，抛物线的顶点坐标为，则，的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【典例2】在同一平面直角坐标系中，若抛物线与关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（    ） A．m=,n= B．m=5，n= -6 C．m= -1，n=6 D．m=1，n= -2 【典例3】在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于原点中心对称，且它们的顶点相距个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为，则的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【典例4】在同一平面直角坐标系中，有两条抛物线关于轴对称，且它们的顶点与原点的连线互相垂直，若其中一条抛物线的表达式为，则的值为（    ） A．2 B．2或0 C． D．2或 【典例5】已知，二次函数（a，b是常数，a≠0）的图象经过，，三个点中的其中两个点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的（    ） A．最大值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为 题型4. 二次函数对称性、增减性问题 1、 解决这类试题的关键：确定区间内二次函数的最值 若点M(m,yM),N(n,yN)为抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上两点，且点M在点N左侧（以a>0,b<0,c<0为例)。 1.如图①，区间在抛物线对称轴左侧，则最大值为yM，最小值为yN; 2.如图②，抛物线对称轴在区间内，则最小值为抛物线顶点的纵坐标，最大值为距离抛物线对称轴较远的点N的纵坐标yN; 3.如图③，区间在抛物线对称轴右侧，则最大值为yN,最小值为yM 2、 规律总结 1.当抛物线解析式中，一次项和二次项均含参，且对称轴确定时 (1)要讨论抛物线的开口方向；(2)结合自变量的取值范围，判断取最值的位置，注意在这个过程中是否包含顶点处（最大/最小值)，取值范围两端点与对称轴的距离等都是确定最值的方法 2.当自变量取值范围或函数取值范围中含参时，要结合抛物线开口方向，对自变量两端点位置分情况讨论： (1)两端点均位于对称轴左侧 (2)两端点均位于对称轴右侧 (3)两端点位于对称轴两侧，分别求出取最大值和最小值的位置及最值 【典例1】在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求抛物线的对称轴，并用含的式子表示； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点， ①如果，，求线段的长； ②已知点在抛物线上，当时，线段的长随着的增大而减小，求的取值范围． 【典例2】已知抛物线（a为常数）经过点． (1)求a的值． (2)过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，且点B为线段的中点，求t的值． (3)设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线、之间．若直线、之间的距离为16，求的最大值． 【典例3】在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数） (1)用含的代数式表示抛物线顶点的坐标为__________． (2)当抛物线的顶点在第二象限时，求的取值范围． (3)当时，先随的增大而增大，后随的增大而减小；且当时有最小值，求符合条件的整数的值． (4)已知三个顶点的坐标分别为．当抛物线与的边有两个公共点时，直接写出的取值范围． 题型5. 含参二次函数解析式与图象的关系 1、 解读二次项系数a确定的解析式的一般方法： 1. 二次项系数a为定值：抛物线的开口方向和开口大小确定； 2. 对称轴确定：抛物线顶点在对称轴上，上下移动； 3. 对称轴不确定：看顶点坐标顶点纵坐标确定，抛物线顶点左右移动；顶点纵坐标不确定时，当顶点纵坐标与横坐标满足一次函数关系（或二次函数关系）时，顶点在一条直线上移动（或一条抛物线上移动)； 4. 画出抛物线的大致图象，并分析图象的运动变化情况 2、 解读二次项系数a不确定的解析式的一般方法： 1.二次项系数a不确定：抛物线的开口方向和开口大小不确定。 a>0 ,开口向上，a<0,开口向 下；越大开口越小，越小开口越大 2.看对称轴：当二次项系数a与一次项系数b成倍数关系时，对称轴确定 3.看是否过定点：将含参数的项合并后进行因式分解，从而求出定点； 4.画出抛物线的大致图象，并分析图象的运动变化情况 【典例1】已知抛物线． (1)求出该抛物线的对称轴，以及抛物线与x轴的交点坐标． (2)已知该抛物线经过，两点，若，判断与的大小关系并说明理由． 【典例2】在平面直角坐标系中，已知抛物线； (1)若点在此抛物线上，求出此时抛物线的对称轴． (2)若抛物线经过点，且满足，求的取值范围． 题型6. 二次函数图象公共点问题 解决定抛物线与动线段或动直线交点问题的一般步骤： 步骤一：分析动线段或动直线特征：对于动线段，明确其端点的运动规律，通常表示出端点坐标，进 而得到线段所在直线的解析式 步骤二：借助数形结合的方法找到临界点：画出满足情况的大致图象，将图象问题转化为函数的 交点问题； 步骤三：联立方程：直线与抛物线联立方程组进行求解 【典例1】在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴相交于点，点在拋物线上． (1)当时，求点的坐标； (2)抛物线上点，（包含，两点）之间的部分记作． ①若与轴只有一个公共点，求的取值范围； ②已知，，，，顺次连接，，，，若落在四边形内（不包含边界）的部分随着的增大，先增大再减小，求的取值范围． 【典例2】在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； (2)若点，，抛物线与线段只有一个交点，求m的取值范围； (3)，是抛物线上两点，若，直接写出m取值范围． 【典例3】在平面直角坐标系中，已知抛物线上与轴有两个公共点，点，，中恰有两点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)设抛物线与轴另一个公共点为，在轴上有一个动点（横坐标大于2）过点作轴的垂线，与交抛物线于一点，直线与轴交于点，求证：． 1．（2024·安徽合肥·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·四川达州·一模）拋物线与轴的一个交点为，与轴交于点，点是拋物线的顶点，对称轴为直线，其部分图象如图所示，则以下结论：①；②是抛物线上的两个点，若,且，则；③点为轴上一动点，当的值最小时，点的坐标为；④若关于的方程无实数根，则的取值范围是．其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 3．（2023·湖北黄冈·二模）抛物线（a，b，c是常数，且）开口向下且过点，，其中，以下结论：①；②；③；④若方程有两个不相等的实数根，则，其中结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（20-21九年级上·天津和平·期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，﹣4a），点A（4，y1）是该抛物线上一点，若点B（x2，y2）是该抛物线上任意一点，有下列结论：①4a﹣2b+c＞0；②抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），（3，0）；③若y2＞y1，则x2＞4；④若0≤x2≤4，则﹣3a≤y2≤5a．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2023·湖南常德·三模）二次函数（a，b，c是常数，）的自变量与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … n 当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②和3是关于x的方程的两个根；③．则所有正确结论的序号为______． 6．（23-24九年级上·浙江杭州）二次函数的大致图象如图，顶点坐标为，点是抛物线上一点，若点是抛物线上任意一点，下列结论：①；②若，则；③若，则；④若方程有两个实数根和，且，则．其中正确的是__． 7．（25-26九年级上·北京）已知二次函数（a，b，c为常数，，）的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线．有下列结论： ①； ②若点，，均在该二次函数图象上，则； ③方程的两个实数根为，，且，则； ④若m为任意实数，则． 其中，正确结论为______． 8．（23-24九年级上·安徽芜湖）已知抛物线与y轴的交点为A，对称轴为直线，将点A向上平移1个单位，得到点B，过点A作平行于x轴的直线l，在直线l上取一点C，点C的横坐标为． （1）________； （2）若线段与抛物线只有一个公共点，则m的取值范围是__________． 9．（2026·安徽阜阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，与y轴交于． (1)求的值； (2)若抛物线的开口向下，与x轴的另一个交点B的横坐标为t．若，求a的取值范围； 10．（2023·河南洛阳·一模）已知二次函数的图象经过点，． (1)求二次函数的解析式； (2)若点都在此抛物线上，且，．比较与的大小，并说明理由； (3)点P的坐标为，点Q的坐标为，若线段PQ与该函数图象恰有一个交点，直接写出n的取值范围． 11．（2023·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线的对称轴是直线x＝1． (1)用含a的式子表示b，并求抛物线的顶点坐标； (2)已知点，，若抛物线与线段AB没有公共点，结合函数图象，求a的取值范围； (3)若抛物线与x轴的一个交点为，且当m≤x≤n时，y的取值范围是m≤y≤6，结合函数图象，求出满足条件的m，n的值． 12．（24-25九年级上·江苏苏州）已知抛物线与y轴的交点为A，对称轴为直线，将点A向上平移1个单位，得到点B，过点A作平行于x轴的直线l，在直线l上取一点C，点C的横坐标为． (1) ； (2)探求抛物线经过的定点坐标； (3)若，当时，求y的最小值．（可用含m、k的代数式表示）； (4)若线段与抛物线只有一个公共点，则m的取值范围是 ． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $