专题16 二次函数压轴题（安徽专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题16 二次函数压轴题（原卷版） 1．（2025·安徽·中考真题）已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点和分别在抛物线和上（与原点都不重合）． ①若，且，比较与的大小； ②当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 2．（2024·安徽·中考真题）已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1． (1)求b的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上． （ⅰ）若，且，，求h的值； （ⅱ）若，求h的最大值． 3．（2023·安徽·中考真题）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线． (1)求的值； (2)已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点． （ⅰ）当时，求与的面积之和； （ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点的横坐标的值；若不存在，请说明理由． 4．（2022·安徽·中考真题）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点，在x轴上，MN与矩形的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段，，，MN长度之和．请解决以下问题： （ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点，在抛物线AED上．设点的横坐标为，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值； （ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围（在右侧）． 5．（2021·安徽·中考真题）设抛物线，其中a为实数． （1）若抛物线经过点，则 ； （2）将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 ． 6．（2021·安徽·中考真题）已知抛物线的对称轴为直线． （1）求a的值； （2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且，．比较y1与y2的大小，并说明理由； （3）设直线与抛物线交于点A、B，与抛物线交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比． 一、单选题 1．（2025·安徽合肥·一模）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，若点为线段上的动点（与，不重合），作射线交抛物线于点，在点的运动过程的最大值为（   ） A． B． C． D．不存在 二、填空题 2．（2025·安徽合肥·二模）羽毛球发球时，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，击球点P到球网的水平距离．某次发球后，击出的羽毛球的飞行高度y（单位：）与水平距离x（单位：）的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 竖直高度 1.1 1.6 1.9 2 1.9 根据上述信息，回答下列问题： （1）羽毛球飞行的最大高度为 ； （2）已知球网的高度是，接球一方在球过网后且高度不低于时，可以采用“平抽”技术将球快速击打过网，若球发出后水平向前的速度是，接球者在球过网后可以用“平抽”技术的时长为 ．（“平抽”技术：快速平直的回球，球的飞行轨迹低平，速度快．） 3．（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线． （1）当时，抛物线的顶点坐标为 ； （2）点，为抛物线上两点，若，总有，则的取值范围是 ． 4．（2023·安徽合肥·二模）已知函数（m为常数）的图形经过点． （1） ． （2）当时，y的最大值与最小值之和为2，则n的值 ． 5．（2025·安徽合肥·一模）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标一半的点，则把该函数称为“半值函数”，该点称为“半值点”．例如：“半值函数”，其“半值点”为． （1）函数的图象上的“半值点”是 ． （2）若关于x的函数的图象上存在唯一的“半值点”，且当时，n的最小值为k，则k的值为 ． 6．（2025·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位得到抛物线，点在抛物线上，点在抛物线上． （1）当时，抛物线的对称轴为直线 ； （2）当，时，总有，则的取值范围是 ． 三、解答题 7．（2025·安徽淮北·三模）已知抛物线L：的系数满足等式． (1)若抛物线L经过点，求的值． (2)若，抛物线还经过另一点，且． ①求b的取值范围． ②记抛物线的顶点纵标为，求的最小值． 8．（2025·安徽蚌埠·三模）已知抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于点、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)已知点P抛物线对称轴上一点，若，求P点的坐标； (3)若抛物线上仅存在一个点，使得，若，求n的最大值． 9．（2025·安徽宣城·三模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（a，b，c为常数，且）与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)P，Q两点均在抛物线上，轴于点D，轴于点E，与y轴交于点F．已知P，Q两点的横坐标分别为t和，且． （ⅰ）分别记和的面积为，，求的最小值． （ⅱ）分别记和的面积为，，若，求t的值． 10．（2025·安徽亳州·三模）二级火箭是航天发射中常见的一种火箭类型，其第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某数学兴趣小组受到启发，根据二级火箭的运行路径，运用信息技术设计了一种小球运动模型．如图，小球P从点O处发射，以发射点O为坐标原点，以水平地面为x轴建立平面直角坐标系．已知小球P飞行轨迹的段为抛物线的一部分，A为小球P飞行轨迹的最高点．小球P在距离地面高度为的点B处开始加速冲击目标C，冲击目标阶段为直线的一部分． (1)求b的值． (2)已知小球P上升阶段在竖直方向上的平均速度为，下降阶段在竖直方向上的平均速度为，冲击目标阶段在竖直方向上的平均速度为，那么小球P从点O发射开始，到击中目标C这一过程中，一共用时多少秒？ (3)现要在线段上的点M处设置一个拦截装置，发射小球Q来拦截小球P，小球Q的拦截轨迹为直线的一部分，且与平行．若要在小球P下降阶段（不包含点A）拦截，求出点M的横坐标m的取值范围． 11．（2025·安徽阜阳·三模）已知抛物线与轴交于A，B两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，直线经过点． (1)求A，B两点的坐标； (2)当时，直线与抛物线的对称轴交于点． ①若点向上平移2个单位就与点重合，求的值； ②若点在第四象限并且在点的上方，记，求的最大值． 12．（2023·安徽·一模）某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米． (1)以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为d米，求d的取值范围； (3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离． 13．（2025·安徽合肥·三模）已知抛物线的对称轴为直线，且与轴交于点、两点，与轴交于点． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)已知点抛物线对称轴上一点，若，求点的坐标： (3)若抛物线上仅存在一个点，使得，若，求的最大值． 14．（2025·安徽阜阳·二模）随着高产农田项目的推进，新型灌溉方式——喷灌逐步推广，如图1，它比传统的渠道灌溉节省了土地，减少了水资源的浪费．为此，学校数学兴趣小组开展数学项目式实践活动，对某种喷灌系统建立数学模型．如图2，以喷水管所在直线为轴，地面为轴，喷水管的底部为原点建立平面直角坐标系，喷出的水柱最外层的形状为抛物线，轴上的点为水柱的最外落水点．经测量：以点为喷水口，水管高度，喷水管底部点与点的距离为，，在点用标杆测得． (1)求最外层水柱所在抛物线的函数表达式； (2)观察到该喷灌系统可顺、逆时针往返喷洒，但平面旋转角度不超过，且喷出的水可渗透到外，这个喷头最多可灌溉多少平方米土地? (3)同学们把喷水管换成了不同的长度，水压不变，观察到：水柱的最外落水点与点的距离也不同，测量数据如下： 喷水管长度 1.0m 的距离 若与成二次函数关系，求： ①当喷水管长度为_____时，水柱的最外落水点与点的距离最大； ②最大距离为多少米? 15．（2025·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于点、，且，点是该抛物线上位于，两点之间的动点． (1)当，时，求抛物线的解析式； (2)在（）的条件下，当面积最大时，求点的坐标； (3)设抛物线顶点的横坐标为，当，且时，求证：． 16．（2025·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P为抛物线的顶点，直线交x轴于点D． (1)若点C的坐标为． （ⅰ）当点A的坐标为时，求抛物线的顶点坐标； （ⅱ）当时，求直线的解析式； (2)若，，求b的值． 17．（2025·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点，其对称轴与轴交于点，若抛物线的对称轴为直线． (1)求的值； (2)若点是抛物线上不与点重合的点，且，求证：点，，三点共线； (3)点，是抛物线上的两点，记抛物线在，之间的部分为图象（包含，两点），图象上任意两点纵坐标差的最大值记为，若，求的值． 18．（2025·安徽合肥·一模）如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)若点为线段上任意一点（不与端点重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，过点作轴的垂线交抛物线与点，以为邻边构造矩形． 设点的横坐标为，矩形的周长为，求关于的函数表达式； 当直线与中函数的图象交点有个时（从左到右依次为），直线与中函数的图象交点有个时（从左到右依次为），且满足，直接写出的值． 19．（2025·安徽芜湖·三模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线为常数，且与轴交于点． (1)若，该抛物线与轴交于点． ①求该抛物线与轴的另一个交点的横坐标． ②过线段上一点作轴于E，的延长线交抛物线于，若，求的值． (2)已知点在该抛物线上，且直线经过该抛物线的顶点，设与轴，轴所围成的三角形面积为，且，求的最小值． 20．（2025·安徽合肥·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与直线l：交于点，交x轴正半轴于点B．    (1)求抛物线的函数表达式和点B的坐标； (2)将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移3个单位，得到平移后的抛物线，直线l与抛物线交于点D．若点P是抛物线上A，B之间（包含端点）的一点，作轴交抛物线于点Q，设点P的横坐标为m． ①用含有m的代数式表示线段的长； ②连接，，当m为何值时，的面积最大，并求出最大值． 21．（2025·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（a为常数）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B，若抛物线的对称轴为直线． (1)求a的值； (2)若点是抛物线上，且，求证：点C在所在的直线上； (3)点是抛物线上的两点，记抛物线在P，Q之间的部分为图象G（包含P，Q两点），图象G上任意两点纵坐标差的最大值记为h，若，求t的值． 22．（2025·安徽安庆·二模）已知二次函数（为常数，且）． (1)若二次图象经过坐标原点，请求出此时函数图象的顶点坐标； (2)二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，当点的纵坐标取到最大值时，求出此时的面积： (3)当时，函数在处取得最大值，请直接写出的范围． 23．（2025·安徽合肥·二模）在同一直角坐标系中，抛物线C1：2与抛物线C2：2关于轴对称，C2与轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧交y轴于点D． （1）求A、B两点的坐标； （2）对于抛物线C2：2在第三象限部分的一点P，作PF⊥轴于F，交AD于点E，若E关于PD的对称点E′恰好落在轴上，求P点坐标； （3）在抛物线C1上是否存在一点G，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以A、B、G、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出G、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（2025·安徽合肥·二模）已知抛物线交轴于，两点，交轴于点，对称轴为． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)当时，求的取值范围； (3)将抛物线向上平移个单位长度，平移后的抛物线与直线相交于（点在点的左边）两点，若，求的最大值． 25．（2025·安徽合肥·二模）如图，二次函数的图象经过点，，且与轴交于点． (1)试求此二次函数的解析式； (2)试证明：（其中是原点）； (3)若是线段上的一个动点（不与、重合），过作轴的平行线，分别交此二次函数图象及轴于、两点，试问：是否存在这样的点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 26．（2025·安徽合肥·一模）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，． (1)求抛物线的对称轴； (2)点是抛物线上一个动点，连接，，交轴交于点，作轴于点． ①若点是的中点，求的面积； ②若以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，求的值． 27．（2025·安徽安庆·一模）已知抛物线过点，抛物线（其中为常数）． (1)求的值和的顶点坐标． (2)已知无论为何值，与总交于一个定点，这个定点的坐标为________； (3)当时，平移抛物线，使其顶点在抛物线上．平移后的抛物线与轴交点记为，顶点为，点为坐标原点．当时，求面积的最大值． 28．（2025·安徽合肥·一模）如图1，已知抛物线与轴交于点，且图象经过点，抛物线与直线在第一象限交于点，； (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，若点为上方抛物线上的动点，求到直线距离的最大值； (3)若点在轴上方的抛物线上，满足，请在图3用尺规作图，作出满足条件点的位置（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出点的坐标． 29．（安徽省亳州市利辛县2024一2025学年上学期义务教育数学质量监测九年级试题（中考一模数学试题））已知抛物线经过点且与直线的一个交点为． (1)求的值； (2)判断抛物线的顶点是否在直线上； (3)平移抛物线，使其顶点在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值． 试卷第1页，共3页 第1页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 二次函数压轴题（解析版） 1．（2025·安徽·中考真题）已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点和分别在抛物线和上（与原点都不重合）． ①若，且，比较与的大小； ②当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 【答案】(1)对称轴是直线 (2)；， 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求抛物线的对称轴，判断函数值的大小，利用函数值的数量关系求系数，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）将已知点的坐标代入解析式中，得出系数之间的关系，利用对称轴公式即可求解； （2）①根据题意得出函数的解析式，将代入解析式中，利用作差法即可得出函数值的大小； ②将函数值用各自自变量表示，整理得出两自变量的数量关系，即，再利用特殊值法即可求出系数的值． 【详解】（1）解：由题意得，将点代入得， ，即， 所以， 故所求抛物线的对称轴是直线． （2）解：①由（1）可知，抛物线的解析式为． 又， 故． 因为抛物线过原点，且点A与原点不重合，所以． 于是， 故． ②由题意知，，． ∵， ∴． 因为两条抛物线均过原点，且A，B与原点都不重合，所以，． 故，即． 于是． 依题意知，是与无关的定值． 则，解得． 经检验，当时，是一个与无关的定值，符合题意． 所以，． 2．（2024·安徽·中考真题）已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1． (1)求b的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上． （ⅰ）若，且，，求h的值； （ⅱ）若，求h的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）3；（ⅱ） 【分析】题目主要考查二次函数的性质及化为顶点式，解一元二次方程，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据题意求出的顶点为，确定抛物线（b为常数）的顶点横坐标为2，即可求解； （2）根据题意得出， ，然后整理化简；（ⅰ）将代入求解即可；（ⅱ）将代入整理为顶点式，即可得出结果． 【详解】（1）解：， ∴的顶点为， ∵抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1， ∴抛物线（b为常数）的顶点横坐标为2， ∴， ∴； （2）由（1）得 ∵点在抛物线上，点在抛物线上． ∴， ， 整理得： （ⅰ）∵， ∴， 整理得：， ∵，， ∴， ∴； （ⅱ）将代入， 整理得， ∵， ∴当，即时，h取得最大值为． 3．（2023·安徽·中考真题）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线． (1)求的值； (2)已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点． （ⅰ）当时，求与的面积之和； （ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点的横坐标的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（2） 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）（ⅰ）根据题意画出图形，得出，，，继而得出，，当时，根据三角形的面积公式，即可求解． （ⅱ）根据（ⅰ）的结论，分和分别求得梯形的面积，根据四边形的面积为建立方程，解方程进而即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， 解得：， ∴； （2）（ⅰ）设直线的解析式为， ∵， ∴ 解得：， ∴直线， 如图所示，依题意，，，，    ∴， ， ∴当时，与的面积之和为， （ⅱ）当点在对称右侧时，则， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得：，    当时，， ∴， ∴， 解得：（舍去）或（舍去）    综上所述，． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，待定系数法求二次函数解析式，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 4．（2022·安徽·中考真题）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点，在x轴上，MN与矩形的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段，，，MN长度之和．请解决以下问题： （ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点，在抛物线AED上．设点的横坐标为，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值； （ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围（在右侧）． 【答案】(1)y＝x2＋8 (2)（ⅰ）l＝m2＋2m＋24，l的最大值为26；（ⅱ）方案一：最大面积27，＋9≤P1横坐标≤；方案二：最大面积＋≤P1横坐标≤ 【分析】（1）通过分析A点坐标，利用待定系数法求函数解析式； （2）（ⅰ）结合矩形性质分析得出P2的坐标为（m，－m2＋8），然后列出函数关系式，利用二次函数的性质分析最值； （ⅱ）设P2P1＝n，分别表示出方案一和方案二的矩形面积，利用二次函数的性质分析最值，从而利用数形结合思想确定取值范围． 【详解】（1）由题意可得：A（－6，2），D（6，2）， 又∵E（0，8）是抛物线的顶点， 设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋8，将A（－6，2）代入， （－6）2a＋8＝2， 解得：a＝， ∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2＋8； （2）（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上， ∴P2的坐标为（m，m2＋8）， ∴P1P2＝P3P4＝MN＝m2＋8，P2P3＝2m， ∴l＝3（m2＋8）＋2m＝m2＋2m＋24＝（m－2）2＋26， ∵＜0， ∴当m＝2时，l有最大值为26， 即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l＝m2＋2m＋24，l的最大值为26； （ⅱ）方案一：设P2P1＝n，则P2P3＝18－3n， ∴矩形P1P2P3P4面积为（18－3n）n＝－3n2＋18n＝－3（n－3）2＋27， ∵－3＜0， ∴当n＝3时，矩形面积有最大值为27， 此时P2P1＝3，P2P3＝9， 令x2＋8＝3， 解得：x＝， ∴此时P1的横坐标的取值范围为＋9≤P1横坐标≤， 方案二：设P2P1＝n，则P2P3＝9－n， ∴矩形P1P2P3P4面积为（9－n）n＝－n2＋9n＝－（n－）2＋， ∵－1＜0， ∴当n＝时，矩形面积有最大值为， 此时P2P1＝，P2P3＝， 令x2＋8＝， 解得：x＝， ∴此时P1的横坐标的取值范围为＋≤P1横坐标≤． 【点睛】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，准确识图，确定关键点的坐标，利用数形结合思想解题是关键． 5．（2021·安徽·中考真题）设抛物线，其中a为实数． （1）若抛物线经过点，则 ； （2）将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 ． 【答案】 0 2 【分析】（1）直接将点代入计算即可 （2）先根据平移得出新的抛物线的解析式，再根据抛物线顶点坐标得出顶点坐标的纵坐标，再通过配方得出最值 【详解】解：（1）将代入得： 故答案为：0 （2）根据题意可得新的函数解析式为： 由抛物线顶点坐标 得新抛物线顶点的纵坐标为： ∵ ∴当a=1时，有最大值为8， ∴所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 故答案为：2 【点睛】本题考查将抛物线的顶点坐标、将点代入代入函数解析式、利用配方法求最值是常用的方法 6．（2021·安徽·中考真题）已知抛物线的对称轴为直线． （1）求a的值； （2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且，．比较y1与y2的大小，并说明理由； （3）设直线与抛物线交于点A、B，与抛物线交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比． 【答案】（1）；（2），见解析；（3） 【分析】（1）根据对称轴，代值计算即可 （2）根据二次函数的增减性分析即可得出结果 （3）先根据求根公式计算出，再表示出，=，即可得出结论 【详解】解：（1）由题意得： （2）抛物线对称轴为直线，且 当时，y随x的增大而减小， 当时，y随x的增大而增大． 当时，y1随x1的增大而减小， 时，，时， 同理：时，y2随x2的增大而增大 时，．             时，               （3）令        令 AB与CD的比值为 【点睛】本题考查二次函数的图像性质、二次函数的解析式、对称轴、函数的交点、正确理解二次函数的性质是关键，利用交点的特点解题是重点 一、单选题 1．（2025·安徽合肥·一模）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，若点为线段上的动点（与，不重合），作射线交抛物线于点，在点的运动过程的最大值为（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】首先求出抛物线表达式，连接， 得到点的坐标， 利用得出的面积，证明 ，根据相似三角形的判定与性质，可得根据三角形的面积，可得 ，根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】解：∵抛物线，可得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 令，则 ， ∴点的坐标为； 连接， 设点的横坐标为， ， ， 如图， 过点作于， ，，， 满足， ， 又，， ， ， ， ， ． ∴当时，存在最大值． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及到相似三角形的判定与性质，三角形面积求法，待定系数法，勾股定理，综合性强，有一定难度，解题时要注意数形结合． 二、填空题 2．（2025·安徽合肥·二模）羽毛球发球时，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，击球点P到球网的水平距离．某次发球后，击出的羽毛球的飞行高度y（单位：）与水平距离x（单位：）的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 竖直高度 1.1 1.6 1.9 2 1.9 根据上述信息，回答下列问题： （1）羽毛球飞行的最大高度为 ； （2）已知球网的高度是，接球一方在球过网后且高度不低于时，可以采用“平抽”技术将球快速击打过网，若球发出后水平向前的速度是，接球者在球过网后可以用“平抽”技术的时长为 ．（“平抽”技术：快速平直的回球，球的飞行轨迹低平，速度快．） 【答案】 2 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟知二次函数的对称性是解题的关键． （1）当和当时的函数值相同，则对称轴为直线，据此可得答案； （2）根据对称性可得当时的函数值为，则在羽毛球过网之后到这个过程都可以“平抽”技术，据此根据时间等于路程除以速度即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意得，当和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∵抛物线开口向下， ∴在对称轴处函数有最大值，即此时羽毛球在飞行过程中有最大高度，即； 故答案为：2； （2）∵对称轴为直线， ∴当和时的函数值相同，即当时的函数值为， ∵， ∴在羽毛球过网之后到这个过程都可以“平抽”技术， ∴接球者在球过网后可以用“平抽”技术的时长为， 故答案为：． 3．（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线． （1）当时，抛物线的顶点坐标为 ； （2）点，为抛物线上两点，若，总有，则的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】（1）配方成顶点式求解即可； （2）首先求出对称轴为直线，然后分两种情况讨论：当时，当时，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）当时， ∴抛物线的顶点坐标为 故答案为：； （2）∵抛物线 ∴对称轴为直线 当时，抛物线开口向上 ∴时，y随x的增大而增大 ∵点，为抛物线上两点，若，总有， ∴ ∴； 当时，抛物线开口向下 ∴时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小； ∵点，为抛物线上两点，若，总有， ∴ ∴ 综上所述，的取值范围是或． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，将一般式配方成顶点式，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 4．（2023·安徽合肥·二模）已知函数（m为常数）的图形经过点． （1） ． （2）当时，y的最大值与最小值之和为2，则n的值 ． 【答案】 4 或 【分析】（1）把已知坐标代入解析式计算即可． （2）根据抛物线额性质，分类计算． 【详解】（1）∵函数（m为常数）的图形经过点． ∴， 解得， 故答案为：4． （2）∵函数（m为常数）的图形经过点． ∴， 解得， ∴函数的解析式为， ∴， 故抛物线的对称轴为直线，二次函数的最小值为， 的对称点为， 当时，y的最大值与最小值之和为2， 当时，最大值为5，时，取得最小值，且为， 根据题意，得， 解得（舍去）， 故； 当时，最大值为5，时，取得最小值，且为， 根据题意，得，不符合题意； 当时，时，取得最小值，且为，时，取得最大值，且为， 根据题意，得， 解得（舍去）， 故； 故答案为或． 【点睛】本题考查了抛物线的对称性，增减性，熟练掌握函数的性质是解题的关键． 5．（2025·安徽合肥·一模）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标一半的点，则把该函数称为“半值函数”，该点称为“半值点”．例如：“半值函数”，其“半值点”为． （1）函数的图象上的“半值点”是 ． （2）若关于x的函数的图象上存在唯一的“半值点”，且当时，n的最小值为k，则k的值为 ． 【答案】 和 0或 【分析】本题主要考查二次函数与反比例的函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键； （1）设函数的图象上的“半值点”的坐标是，则可求出，然后问题可求解； （2）由题意易得，则有，然后可分当时，当时，当时，进而根据二次函数的最值问题可进行求解． 【详解】解：（1）设函数的图象上的“半值点”的坐标是，则有： ， 解得：， ∴函数的图象上的“半值点”的坐标是和， 故答案为和； （2）由题意得：， 整理得：， ∴，即， 此时可看作是n与m成二次函数关系， 即当时，n有最小值， ∵， ∴当时，则n的最小值为0，即，符合题意； 当时，此时n随m的增大而增大， ∴当时，n有最小值k，即，（此时方程无解）； 当时，此时n随m的增大而减小， ∴当时，n有最小值k，即， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上所述：k的值为0或； 故答案为0或． 6．（2025·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位得到抛物线，点在抛物线上，点在抛物线上． （1）当时，抛物线的对称轴为直线 ； （2）当，时，总有，则的取值范围是 ． 【答案】 3； 【分析】本题主要考查了二次函数的对称轴，平移的性质，二次函数和不等式的综合等，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和求不等式组的解集． （1）利用对称轴的公式求出抛物线的对称轴，再利用平移的性质可求得抛物线的对称轴； （2）根据题意求出，，把两个点的坐标代入解析式再求出，整理表示出，再根据即可求解． 【详解】解：（1）抛物线的对称轴为直线， 当时，直线， 所以，抛物线的对称轴为直线， 故答案为：3； （2）已知，则抛物线， ∴的表达式为， ∵点在抛物线上，把代入，可得， 点在抛物线上，把代入，可得， ∵， ∴， 整理得， ∵， ∴ ，即， 解不等式可得； 解不等式可得； 又∵时，总有， ∴， 解得， 故答案为：． 三、解答题 7．（2025·安徽淮北·三模）已知抛物线L：的系数满足等式． (1)若抛物线L经过点，求的值． (2)若，抛物线还经过另一点，且． ①求b的取值范围． ②记抛物线的顶点纵标为，求的最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了求二次函数的最值，求抛物线的对称轴，根据二次函数的性质求字母参数的范围，解题关键是掌握二次函数的性质的进行求解． （1）先抛物线L经过点，得到关于待定系数的关系式，再结合系数满足等式，求出的值； （2）①先求出点的坐标，再求出抛物线的对称轴，根据，求得的取值范围． ②先根据抛物线的顶点纵标为，得出，根据，得到，再根据，得到，从而可用表示出，然后可得当时，取最小值，求出的最小值即可． 【详解】解：（1）∵抛物线L经过点， ∴当时，， ， ， ． （2）①∵， ∴， ∴抛物线经过， 抛物线经过， ∴抛物线的对称轴为． ． 的取值范围为． ②． ． ． 由①知， ∴当时，取最小值． 的最小值为． 8．（2025·安徽蚌埠·三模）已知抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于点、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)已知点P抛物线对称轴上一点，若，求P点的坐标； (3)若抛物线上仅存在一个点，使得，若，求n的最大值． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)P点的坐标为或 (3) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、面积问题、二次函数的最值等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键． （1）根据对称轴求出，利用求出，得到，即可得到函数解析式； （2）设与y轴交于点D，利用面积得到或，求出一次函数解析式，求出与对称轴的交点即可； （3）由题意得：，仅存在一个点，使得，即抛物线与直线仅有一个交点，得到，根据二次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：由题意得即， 把代入得， 解得， ， ， ∴顶点坐标为 （2）设与y轴交于点D， ， 又，对称轴为直线， ， 或， 设直线，由得 解得 ∴， 当时， ∴， 由同理可得得，得到 综上P点的坐标为或． （3）由题意得：， 仅存在一个点，使得， 抛物线与直线仅有一个交点， ， 整理得， ， ， 又，当时，随着的增大而减小， ∴时，n最大为． 9．（2025·安徽宣城·三模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（a，b，c为常数，且）与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)P，Q两点均在抛物线上，轴于点D，轴于点E，与y轴交于点F．已知P，Q两点的横坐标分别为t和，且． （ⅰ）分别记和的面积为，，求的最小值． （ⅱ）分别记和的面积为，，若，求t的值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）把，，点代入，再建立方程组求解即可； （2）（ⅰ）如图1，设，求解直线的函数表达式为，表示，，再进一步利用二次函数的性质解题即可； （ⅱ）如图2，表示，，可得，，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，解得． ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：（ⅰ）如图1，设， 直线的函数表达式为． ∵直线经过，， ∴． ∴， 即． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴的最小值为． （ⅱ）如图2， ∵，，即． ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 解得． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解函数解析式，二次函数与图形面积，二次函数的性质，本题的计算量大，细心的计算，熟练的表示三角形的面积是解本题的关键. 10．（2025·安徽亳州·三模）二级火箭是航天发射中常见的一种火箭类型，其第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某数学兴趣小组受到启发，根据二级火箭的运行路径，运用信息技术设计了一种小球运动模型．如图，小球P从点O处发射，以发射点O为坐标原点，以水平地面为x轴建立平面直角坐标系．已知小球P飞行轨迹的段为抛物线的一部分，A为小球P飞行轨迹的最高点．小球P在距离地面高度为的点B处开始加速冲击目标C，冲击目标阶段为直线的一部分． (1)求b的值． (2)已知小球P上升阶段在竖直方向上的平均速度为，下降阶段在竖直方向上的平均速度为，冲击目标阶段在竖直方向上的平均速度为，那么小球P从点O发射开始，到击中目标C这一过程中，一共用时多少秒？ (3)现要在线段上的点M处设置一个拦截装置，发射小球Q来拦截小球P，小球Q的拦截轨迹为直线的一部分，且与平行．若要在小球P下降阶段（不包含点A）拦截，求出点M的横坐标m的取值范围． 【答案】(1) (2)一共用时秒 (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用    ； （1）先由直线解析式求出，再代入计算即可； （2）先求出顶点，即可求出上升、下降、冲击三个阶段竖直方向上的路程，然后就出对应的时间，最后求和即可； （3）设，则，解析式为，求出进过时， ，然后结合图形求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，点纵坐标为， ∴当时，解得， ∴， 把代入得，解得； （2）解：由（1）可得抛物线， ∴， ∴小球P从点O发射开始，上升阶段在竖直方向上运动的路程为，时间为，下降阶段在竖直方向上运动的路程为，时间为，冲击目标阶段在竖直方向上运动的路程为，时间为， ∴小球P从点O发射开始，到击中目标C这一过程中，一共用时秒 （3）解：∵线段上的点M处，点M的横坐标m， ∴，， ∵小球Q的拦截轨迹为直线的一部分，且与平行， ∴设解析式为，在直线下方， 当过时，，解得， 当过时，，解得， ∵要在小球P下降阶段（不包含点A）拦截， ∴． 11．（2025·安徽阜阳·三模）已知抛物线与轴交于A，B两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，直线经过点． (1)求A，B两点的坐标； (2)当时，直线与抛物线的对称轴交于点． ①若点向上平移2个单位就与点重合，求的值； ②若点在第四象限并且在点的上方，记，求的最大值． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及二次函数图象上点坐标的特征，二次函数的性质． （1）由题意得，则，，令，解方程即可； （2）①根据直线经过点，得，进而求得点，点，根据点向上平移2个单位就与点重合，得，解方程即可； ②用关于k的代数式表示出，再利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：抛物线的顶点为， ， 即，， 令，即， 解得， ； （2）解：①直线经过点， ， ， 直线的解析式为，把代入得，， 即点， 把代入得，， 即点， 点向上平移2个单位就与点重合， ， 解得或 舍去， 当时，； ②，点在点的上方， ， ∵与轴交于点，即， ， ， ， 当时，的最大值是． 12．（2023·安徽·一模）某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米． (1)以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为d米，求d的取值范围； (3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离． 【答案】(1) (2) (3)米 【分析】（1）根据题意得到第一象限内的抛物线的顶点坐标，将抛物线设成顶点式，再将点坐标代入即可求出第一象限内的抛物线解析式； （2）直接令，解方程求出的值，再根据函数的图象和性质，求出时的取值范围即可； （3）先作辅助线，作出直线的平行线，使它与抛物线相切于点，然后设出直线的解析式，联立直线与抛物线解析式，利用相切，方程只有一个解，解出直线的解析式，从而得到直线与轴交点，最后利用锐角三角函数求出直线与直线之间的距离． 【详解】（1）解：根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为，， 设第一象限内的抛物线解析式为， 将点代入物线解析式， ， 解得， 第一象限内的抛物线解析式为； （2）解：根据题意，令， 即， 解得，， ，抛物线开口向下， 当时，， 的取值范围为； （3）解：作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点，作，垂足为，如图所示， ， 设直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式， ， 整理得， 直线与抛物线相切， 方程只有一个根， ， 解得， 直线的解析式为， 令，则， ， ， 即， 射灯射出的光线与地面成角， ， ， ， ， 光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解直角三角形，一次函数的平移与性质，直线和抛物线相切等知识，关键是求抛物线解析式． 13．（2025·安徽合肥·三模）已知抛物线的对称轴为直线，且与轴交于点、两点，与轴交于点． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)已知点抛物线对称轴上一点，若，求点的坐标： (3)若抛物线上仅存在一个点，使得，若，求的最大值． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)P点的坐标为或 (3) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、面积问题、二次函数的最值等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键． （1）根据对称轴求出，利用求出，得到，即可得到函数解析式； （2）设与y轴交于点D，利用面积得到或，求出一次函数解析式，求出与对称轴的交点即可； （3）由题意得：，仅存在一个点，使得，即抛物线与直线仅有一个交点，得到，根据二次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：由题意得即， 把代入得， 解得， ， ， ∴顶点坐标为 （2）设与y轴交于点D， ， 又，对称轴为直线， ， 或， 设直线，由得 解得 ∴， 当时， ∴， 由同理可得得，得到 综上P点的坐标为或． （3）由题意得：， 仅存在一个点，使得， 抛物线与直线仅有一个交点， ， 整理得， ， ， 又，当时，随着的增大而减小， ∴时，n最大为． 14．（2025·安徽阜阳·二模）随着高产农田项目的推进，新型灌溉方式——喷灌逐步推广，如图1，它比传统的渠道灌溉节省了土地，减少了水资源的浪费．为此，学校数学兴趣小组开展数学项目式实践活动，对某种喷灌系统建立数学模型．如图2，以喷水管所在直线为轴，地面为轴，喷水管的底部为原点建立平面直角坐标系，喷出的水柱最外层的形状为抛物线，轴上的点为水柱的最外落水点．经测量：以点为喷水口，水管高度，喷水管底部点与点的距离为，，在点用标杆测得． (1)求最外层水柱所在抛物线的函数表达式； (2)观察到该喷灌系统可顺、逆时针往返喷洒，但平面旋转角度不超过，且喷出的水可渗透到外，这个喷头最多可灌溉多少平方米土地? (3)同学们把喷水管换成了不同的长度，水压不变，观察到：水柱的最外落水点与点的距离也不同，测量数据如下： 喷水管长度 1.0m 的距离 若与成二次函数关系，求： ①当喷水管长度为_____时，水柱的最外落水点与点的距离最大； ②最大距离为多少米? 【答案】(1) (2) (3)①0.8；② 【分析】（1）根据抛物线过交y轴于0.6m，可设抛物线的表达式为，再将B、D两点的坐标代入，求出抛物线的表达式； （2）根据这个喷灌系统最多可灌溉的半径和扇形的圆心角，利用扇形面积公式求解； （3）①根据测量数据，得到的一对对称点，求出对称轴； ②设与的关系式为，将测量数据的三对值代入与的关系式中，得到关于待定系数的方程组求解，求出与的关系式． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，，． ∴设抛物线的表达式为． 解得： 最外层水柱所在抛物线的函数表达式为． （2）∵这个喷灌系统最多可灌溉的半径为， 这个喷灌系统最多可灌溉的面积为． 答：这个喷灌系统最多可灌溉的土地． （3）①∵点，关于与所成的二次函数的图象的对称轴对称， 该二次函数的对称轴为直线． 故答案为：． ②设与的关系式为，把，，代入，得 解得 与的关系式为． 当时，． 最大距离为． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，利用待定系数法求二次函数解析式，求二次函数的最值，求扇形面积等知识，解题的关键是根据题意利用待定系数法求出函数表达式． 15．（2025·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于点、，且，点是该抛物线上位于，两点之间的动点． (1)当，时，求抛物线的解析式； (2)在（）的条件下，当面积最大时，求点的坐标； (3)设抛物线顶点的横坐标为，当，且时，求证：． 【答案】(1) (2) (3)详见解析 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与图形的面积，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求出解析式即可； （）过点作轴交直线于点，设点，则，则，再通过二次函数的性质即可求解； （）将，代入得，，故有，则，又，所以，从而求证． 【详解】（1）解：当时，，时，， ∴将，代入得 ，解得， ∴； （2）解：过点作轴交直线于点， 设点，则， ∴， ∵ ， ∴当时，有最大值， ∴； （3）解：当，，且， 将，代入得： ，， 得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 16．（2025·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P为抛物线的顶点，直线交x轴于点D． (1)若点C的坐标为． （ⅰ）当点A的坐标为时，求抛物线的顶点坐标； （ⅱ）当时，求直线的解析式； (2)若，，求b的值． 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． （1）（i）利用待定系数法求出函数解析式，再把解析式化为顶点式即可得到答案；（ii）根据点C坐标得到c的值，再根据，推出点P的纵坐标为6，把解析式化为顶点式得到得到点P纵坐标，据此建立方程求出点P坐标，再利用待定系数法求出对应的函数解析式即可； （2）把解析式化为顶点式求出点P的坐标为，求出点B坐标，再求出直线解析式，过点P作轴交于D，则，可得，根据建立方程求解即可． 【详解】（1）解：（i）把点A和点C坐标代入解析式中得， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为； （ii）在中，当时，， ∴， ∵点C的坐标为， ∴， ∵， ∴点C为的中点， ∵直线交x轴于点D，即点D的纵坐标为0， ∴点P的纵坐标为6， ∵抛物线解析式为， ∴点P的坐标为， ∴， ∴或（舍去）， ∴， 设直线解析式为， 则将点与点代入得：， ∴， ∴直线解析式为； （2）解：当时，抛物线解析式为， ∴点P的坐标为， 令，解得或， ∴， 同理可求出直线解析式为， 如图所示，过点P作轴交于D，则，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）． 17．（2025·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点，其对称轴与轴交于点，若抛物线的对称轴为直线． (1)求的值； (2)若点是抛物线上不与点重合的点，且，求证：点，，三点共线； (3)点，是抛物线上的两点，记抛物线在，之间的部分为图象（包含，两点），图象上任意两点纵坐标差的最大值记为，若，求的值． 【答案】(1)1 (2)见解析 (3)0或3 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）根据对称轴即可解得； （2）根据题意求出直线的解析式为，求出即可证明； （3）由题意得出，，，分当，均在对称轴左侧；当点，在对称轴两侧；当，均在对称轴的右侧三种情况分析即可． 【详解】（1）解：抛物线（为常数）的对称轴为直线， ， 解得； （2）证明：由（1）知， ， 抛物线与轴交于点，对称轴与轴交于点， ，， 设经过点，的直线的解析式为，将其坐标代入，得 ，解得， 直线的解析式为， 点是抛物线上不与点重合的点， ，解得或， ， ， 将代入直线，得当时，， 点在直线上，即点，，三点共线； （3）解：由（1）知， ， 点，是抛物线上的两点， ，， 抛物线的开口向上，对称轴为， 分以下三种情况： ①当，均在对称轴左侧，即时，随的增大而减小，此时点的纵坐标最大，点的纵坐标最小， ，解得； ②当点，在对称轴两侧，则，即，此时图象上的最低点是抛物线的顶点，其纵坐标为2， ， 当点与对称轴的距离小于点与对称轴的距离时，则，即， ，此时点的纵坐标最大， ， 解得（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）； 当点与对称轴的距离大于点与对称轴的距离时， 则， 即， ，此时点的纵坐标最大， ， 解得（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）； ③当，均在对称轴的右侧，则，即时，随的增大而增大， 此时点的纵坐标最小，点的纵坐标最大， ，解得； 综上所述，的值为0或3． 18．（2025·安徽合肥·一模）如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)若点为线段上任意一点（不与端点重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，过点作轴的垂线交抛物线与点，以为邻边构造矩形． 设点的横坐标为，矩形的周长为，求关于的函数表达式； 当直线与中函数的图象交点有个时（从左到右依次为），直线与中函数的图象交点有个时（从左到右依次为），且满足，直接写出的值． 【答案】(1)抛物线对应的函数表达式为； (2)关于的函数表达式为；或． 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图像与性质，待定系数法求解析式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）先求出直线解析式，则，所以，故有，然后分当点在点左侧时，即和当点在点右侧时，即两种情况分析即可； 结合题意，结合图形分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点点，， ∴， 解得：， ∴抛物线对应的函数表达式为； （2）解：由抛物线对应的函数表达式为得，抛物线对称轴为直线， 当时，， ∴点， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， ∵点的横坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，当点在点左侧时，即， ∵关于直线对称，，且轴， ∴点横坐标为， ∴， ∴矩形的周长为； 如图，当点在点右侧时，即， ∵关于直线对称，，且轴， ∴点横坐标为， ∴， ∴矩形的周长为； 综上可得：关于的函数表达式为； 函数的图象如图， 由于两段图象相同，可以通过平移得到： ，顶点坐标， ，顶点坐标， 当时，到直线的距离等于到直线的距离， ∴； 如图， 直线过顶点（与重合），此时，，， ∴的横坐标，的纵坐标， ∴， 综上可知：或． 19．（2025·安徽芜湖·三模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线为常数，且与轴交于点． (1)若，该抛物线与轴交于点． ①求该抛物线与轴的另一个交点的横坐标． ②过线段上一点作轴于E，的延长线交抛物线于，若，求的值． (2)已知点在该抛物线上，且直线经过该抛物线的顶点，设与轴，轴所围成的三角形面积为，且，求的最小值． 【答案】(1)①该抛物线与轴的另一个交点的横坐标为1；②1或 (2)最小值为 【分析】（1）①首先待定系数法求出该抛物线的表达式为，然后令求解即可； ②首先求出点的坐标为，求出直线的表达式为，设，则，根据列方程求出或，然后代入求解即可； （2）设直线的表达式为，将抛物线顶点代入得到，求出直线AP的表达式为，然后令，求出，然后表示出，然后结合求解即可． 【详解】（1）① ． 又该抛物线与轴交于点 ，解得． 该抛物线的表达式为． 令，即， 解得或． 该抛物线与轴的另一个交点的横坐标为1． ②抛物线的表达式为 点的坐标为， ∵ ∴可得直线的表达式为． 设，则 ． ， 解得或． 当时，， ∴； 当时，， ∴； 的值为1或； （2）由题意，设直线的表达式为， 该抛物线的顶点为． 直线经过该抛物线的顶点， ， 解得． 直线AP的表达式为． 令，解得 ． ． 又， ∵的对称轴为直线，开口向上 当时，随的增大而增大 当时，取得最大值3 ∴此时取最小值，最小值为． 【点睛】此题考查了一次函数和二次函数综合问题，二次函数和x轴交点问题，二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握以上知识点． 20．（2025·安徽合肥·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与直线l：交于点，交x轴正半轴于点B．    (1)求抛物线的函数表达式和点B的坐标； (2)将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移3个单位，得到平移后的抛物线，直线l与抛物线交于点D．若点P是抛物线上A，B之间（包含端点）的一点，作轴交抛物线于点Q，设点P的横坐标为m． ①用含有m的代数式表示线段的长； ②连接，，当m为何值时，的面积最大，并求出最大值． 【答案】(1)， (2)①；②时，三角形面积的最大值为6 【分析】（1）先根据点A的坐标求出a的值，再把a的值和点A的坐标代入二次函数中即可求出b的值，然后由二次函数的解析式可以求点B； （2）①先根据平移的性质求出的解析式，设点P的横坐标为m，表示出点P、点Q的坐标，再让这两点的纵坐标相减即可表示出的长； ②先由的解析式和直线AB的解析式求出点D的坐标，再以为底，点D到的距离为高表示出的面积，建立关于m的函数模型，求出函数的最大值就是三角形面积的最大值． 【详解】（1）解：把点A代入中解得， 把和点A的坐标代入二次函数中解得， 的解析式为，点B的坐标为； （2）①的解析式为， 根据平移的性质可得的解析式为， 点P的横坐标为m，则点P的坐标为，点Q的坐标为（， ； ②由的解析式和直线的解析式求出点D的坐标为， 点D到直线的距离为， ， ， 时，S有最大值为6． ∴三角形面积的最大值为6． 【点睛】本题是二次函数的综合性问题，主要考查二次函数的性质，建立函数模型是解题的关键． 21．（2025·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（a为常数）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B，若抛物线的对称轴为直线． (1)求a的值； (2)若点是抛物线上，且，求证：点C在所在的直线上； (3)点是抛物线上的两点，记抛物线在P，Q之间的部分为图象G（包含P，Q两点），图象G上任意两点纵坐标差的最大值记为h，若，求t的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)0或3 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）根据对称轴即可解得； （2）根据题意求出直线的解析式为，求出即可证明； （3）由题意得出，，，分当，均在对称轴左侧；当点，在对称轴两侧；当，均在对称轴的右侧三种情况分析即可． 【详解】（1）解：抛物线（为常数）的对称轴为直线， ， 解得； （2）证明：由（1）知， ， 抛物线与轴交于点，对称轴与轴交于点， 将代入，则， ，， 设经过点，的直线的解析式为，将其坐标代入，得 ，解得， 直线的解析式为， 点是抛物线的点， ， 解得或， ， ， 将代入直线，得当时，， 点在直线上； （3）解：由（1）知， ， 点，是抛物线上的两点， ，， 抛物线的开口向下，对称轴为， 分以下三种情况： ①当，均在对称轴左侧，即时，随的增大而增大，此时点的纵坐标最小，点的纵坐标最大， ，解得； ②当点，在对称轴两侧，则，即，此时图象上的最高点是抛物线的顶点，其纵坐标为， ， 当点与对称轴的距离小于点与对称轴的距离时，则，即， ，此时点的纵坐标最小， ， 解得（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）； 当点与对称轴的距离大于点与对称轴的距离时， 则， 即， ，此时点的纵坐标最小， ， 解得（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）； ③当，均在对称轴的右侧，则，即时，随的增大而减小， 此时点的纵坐标最大，点的纵坐标最小， ，解得； 综上所述，的值为0或3． 22．（2025·安徽安庆·二模）已知二次函数（为常数，且）． (1)若二次图象经过坐标原点，请求出此时函数图象的顶点坐标； (2)二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，当点的纵坐标取到最大值时，求出此时的面积： (3)当时，函数在处取得最大值，请直接写出的范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． （）将代入函数解析式求得函数解析式，然后配方成顶点式即可求解； （）令，则，则，，故，当时，，当时，有最大值，然后利用面积公式即可求解； （）分当时，当时两种情况，然后根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：将代入可得， 解得（舍去）， ∴函数解析式为 ∴此时函数图象的顶点坐标； （2）解：令，则， 解得：，， ∴， 当时，， ∴当时，有最大值 ∴， ∴此时的面积为； （3）解：由得，则与轴交点为，， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，开口向上，且， ∴抛物线的对称轴直线必在点的左侧， 当离对称轴越远，的值越大，即时，函数在处取得最大值， ∴，解得， 当时，开口向下，且，当离对称轴越远，的值越小， ∴抛物线的对称轴直线必在点的右侧，而当对称轴直线位于之间时，函数不可能在处取得最大值， ∴当时，函数在处取得最大值， 解得：， ∴的取值范围为或． 23．（2025·安徽合肥·二模）在同一直角坐标系中，抛物线C1：2与抛物线C2：2关于轴对称，C2与轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧交y轴于点D． （1）求A、B两点的坐标； （2）对于抛物线C2：2在第三象限部分的一点P，作PF⊥轴于F，交AD于点E，若E关于PD的对称点E′恰好落在轴上，求P点坐标； （3）在抛物线C1上是否存在一点G，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以A、B、G、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出G、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）A(﹣3，0)，B(1，0)；（2），；（3）存在满足条件的点G、Q，其坐标为G(﹣2，5)，Q(2，5)或G(2，﹣3)，Q(﹣2，﹣3)或G(，﹣2)，Q(﹣2﹣，2)或G(﹣，2)，Q(﹣2+，﹣2)． 【分析】（1）由对称可求得、的值，则可求得两函数的对称轴，可求得的值，则可求得两抛物线的函数表达式；由C2的函数表达式可求得A、B的坐标； （2）可判定四边形PEDE′是菱形，然后根据PE＝DE的条件，列出方程求解； （3）由题意可知AB可能为平行四边形的边或对角线，利用平行四边形的性质，可设出G点坐标和Q点坐标，代入C2的函数表达式可求得G、Q的坐标． 【详解】（1）∵C1、C2关于y轴对称， ∴C1与C2的交点一定在轴上，且C1与C2的形状、大小均相同， ∴＝1，＝﹣3， ∴C1的对称轴为＝1， ∴C2的对称轴为＝， ∴＝2， ∴C1的函数表示式为2，C2的函数表达式为2； 在C2的函数表达式为2中，令＝0可得2， 解得或， ∴A(﹣3，0)，B(1，0)； （2）∵点E、E′关于直线PD对称， ∴∠EPD＝∠E′PD，DE＝DE′，PE＝PE′． ∵PE平行于y轴，∴∠EPD＝∠PDE′， ∴∠E′PD＝∠PDE′， ∴PE′＝DE′， ∴PE＝DE＝PE′＝DE′， 即四边形PEDE′是菱形． 当四边形PEDE′是菱形存在时，由直线AD解析式，∠ADO＝45°， 设P(，2)，E(，)， ∴DE＝﹣，PE＝﹣32+3＝﹣23， ∴﹣23，解得a1＝0（舍去），a2＝， ∴P()． （3）存在． ∵AB的中点为(﹣1，0)，且点G在抛物线C1上，点Q在抛物线C2上， 当AB为平行四边形的一边时， ∴GQ∥AB且GQ＝AB， 由（2）可知AB＝1(﹣3)＝4， ∴GQ＝4， 设G(t，t22t3)，则Q(t+4，t2t3)或(t4，t22t3)， ①当Q(t+4，t2+2t3)时，则t22t3＝(t+4)2+2(t+4)3， 解得t＝﹣2， ∴t22t3＝4+43＝5， ∴G(﹣2，5)，Q(2，5)； ②当Q(t4，t22t3)时，则t22t3＝(t4)2+2(t4)3， 解得t＝2， ∴t22t3＝443＝﹣3， ∴G(2，﹣3)，Q(﹣2，﹣3)， 当AB为平行四边形的对角线时，设G(m，m22m3)，Q(n，n2+2n3)， ∴ 解得m＝，n＝﹣2或m＝﹣，n＝﹣2+， ∴G(，﹣2)，Q(﹣2﹣，2)或G(﹣，2)，Q(﹣2+，﹣2)． 综上可知，存在满足条件的点G、Q，其坐标为G(﹣2，5)，Q(2，5)或G(2，﹣3)，Q(﹣2，﹣3)或G(，﹣2)，Q(﹣2﹣，2)或G(﹣，2)，Q(﹣2+，﹣2)． 【点睛】本题考查二次函数及其图像的性质、菱形及平行四边形的性质，解题的关键是根据解析式设出点的坐标再结合图形性质列方程求解． 24．（2025·安徽合肥·二模）已知抛物线交轴于，两点，交轴于点，对称轴为． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)当时，求的取值范围； (3)将抛物线向上平移个单位长度，平移后的抛物线与直线相交于（点在点的左边）两点，若，求的最大值． 【答案】(1)，顶点坐标 (2) (3) 【分析】（）利用待定系数法可求出抛物线的解析式，进而可求出顶点坐标； （）根据二次函数的性质解答即可求解； （）利用待定系数法求出直线的解析式，又由点的坐标可得，联立函数解析式可得，即可得，得到，再根据二次函数的性质可求出的最大值； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于点， ∴， ∴， ∵抛物线对称轴为，且与轴交于， ， 解得， ∴， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：，， 当时，取最大值，的最大值为， ，且函数图象的开口向下， ∴当时，取最小值，， ∴； （3）解：设直线的解析式为， ， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由，整理得， ， ， 解得， ∵， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，最大值为． 25．（2025·安徽合肥·二模）如图，二次函数的图象经过点，，且与轴交于点． (1)试求此二次函数的解析式； (2)试证明：（其中是原点）； (3)若是线段上的一个动点（不与、重合），过作轴的平行线，分别交此二次函数图象及轴于、两点，试问：是否存在这样的点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在，P1与 【分析】（1）利用待定系数法把坐标代入抛物线解析式即可； （2）根据已知条件求出的正切值，根据正切值相等解答即可； （3）利用待定系数法得到直线的解析式，再根据两点之间的距离公式列方程解方程即可． 【详解】（1）解：∵点与在二次函数图象上， ∴ 解得， ∴二次函数解析式为． （2）解：解：过作轴于点，由（1）得， ∵，， ∴点， ∴，，，， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴； （3）解：∵点与， 设直线的解析式为, ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， 则 ∵， ∴， ∴， 当时， 解得（舍去）， ∴， 当时 解得（舍去）， ∴， 综上所述，存在满足条件的点，它们是与． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，两点之间的距离公式，二次函数与锐角三角函数，二次函数与一次函数的解析式，掌握二次函数与一次函数的性质是解题的关键． 26．（2025·安徽合肥·一模）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，． (1)求抛物线的对称轴； (2)点是抛物线上一个动点，连接，，交轴交于点，作轴于点． ①若点是的中点，求的面积； ②若以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，求的值． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线； (2)①；②的值为或． 【分析】（1）根据题意求得，，再根据抛物线的对称性质求解即可； （2）①先利用待定系数法求得抛物线的解析式，求得点，再求得直线的解析式，求得，再利用三角形的面积公式求解即可； ②分当点在原点上方和下方两种情况讨论，根据，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：①将，代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵点是的中点， ∴点， 当时，， 则点， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， ∴； ②∵点是抛物线上一个动点， ∴，则， 当点在原点上方时， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵以点，，，为顶点的四边形为平行四边形， ∴，即， 解得， ∴； 当点在原点下方时， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵以点，，，为顶点的四边形为平行四边形， ∴，即， 解得， ∴； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，两点之间的距离公式和平行四边形的性质，是一道综合性较强的题，解题的关键是求出二次函数和一次函数解析式以及分情况讨论． 27．（2025·安徽安庆·一模）已知抛物线过点，抛物线（其中为常数）． (1)求的值和的顶点坐标． (2)已知无论为何值，与总交于一个定点，这个定点的坐标为________； (3)当时，平移抛物线，使其顶点在抛物线上．平移后的抛物线与轴交点记为，顶点为，点为坐标原点．当时，求面积的最大值． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2) (3) 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式及顶点坐标，二次函数的性质，二次函数的平移，以及利用二次函数解决几何面积最值问题，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）解析式联立利用根的判别式确定交点的个数，整理解析式即可求解； （3）根据题意画出图形，利用函数解析式表示出顶点纵坐标，利用三角形面积公式列出关于的二次函数，根据顶点坐标求最值即可． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得， ， 顶点坐标为； （2）解：联立得， 整理得 ∴两个图形一定有交点， 整理得 ∴当时，无论取何值， 由（1）得，的顶点坐标为， ∴与总交于一个定点的坐标为， 故答案为：； （3）解： 如图所示， 当时，抛物线， 平移之后顶点坐标为，即 ∴平移之后 ，此二次函数抛物线开口向下， 可求顶点横坐标为，， ∴顶点纵坐标为最大值 当时，代入二次函数得， ∴面积的最大值 28．（2025·安徽合肥·一模）如图1，已知抛物线与轴交于点，且图象经过点，抛物线与直线在第一象限交于点，； (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，若点为上方抛物线上的动点，求到直线距离的最大值； (3)若点在轴上方的抛物线上，满足，请在图3用尺规作图，作出满足条件点的位置（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)到直线距离的最大值为 (3)图见详解， 【分析】（1）将代入，可得，从而得出抛物线的解析式． （2）过点作轴垂线，交于点，交轴于点，再过点作垂线，交于点，由（1）可设点坐标为，从而得出点坐标为，，结合，，可得，根据三角函数可得，代入数值配方可得，即可得出到直线距离的最大值． （3）过点作轴垂线，交于点，交轴于点，再过点作垂线，交于点，在轴上方的抛物线上取点，令其满足，过点作轴垂线，交轴于点，连接，同（2）可得，，即，设点坐标为，可得，进而可列，即，故点坐标为．尺规作图，作出点的位置即为：先作的角平分线，再作的角平分线即可． 【详解】（1）解：将代入，得：， 得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：过点作轴垂线，交于点，交轴于点，再过点作垂线，交于点，如图所示： 由（1）可设点坐标为， ∵的解析式为，轴， ∴点坐标为， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取最大值， ∴到直线距离的最大值为． （3）解：过点作轴垂线，交于点，交轴于点，再过点作垂线，交于点，在轴上方的抛物线上取点，令其满足，过点作轴垂线，交轴于点，连接，如图所示： ∵，的解析式为，轴， ∴点坐标为，点坐标为， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴, ∴，即 设点坐标为， ∵ ∴， ∵ ∴，即 解得： ∴ ∴点坐标为． 先作的角平分线，可得 ∴， 再作的角平分线，可得，即，如图所示： 【点睛】本题考查一次函数与二次函数的综合，待定系数法求二次函数解析式，尺规作图角平分线，三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，能够综合应用上述知识是解题的关键． 29．（安徽省亳州市利辛县2024一2025学年上学期义务教育数学质量监测九年级试题（中考一模数学试题））已知抛物线经过点且与直线的一个交点为． (1)求的值； (2)判断抛物线的顶点是否在直线上； (3)平移抛物线，使其顶点在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值． 【答案】(1)2 (2)抛物线的顶点是否在直线上 (3) 【分析】（1）直接将代入直线求解即可； （2）由（1）可得，将、代入列方程组求得a、b的值，可求得抛物线的解析式，然后画成顶点式确定顶点，最后代入直线验证即可． （3）设平移后的解析式为：，由题意可得，即；令，则有，然后配方运用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：将代入直线可得：． （2）解：由（1）可得：， 将、代入可得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为； 当时，，则抛物线的顶点在直线上． （3）解：设平移后的解析式为：， ∵平移后的解析式的顶点在直线上， ∴， ∴， 令，则有， ∴当时，平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值为． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上的点、二次函数的性质、求二次函数解析式、二次函数求最值，二次函数图象的平移等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键． 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$