专题10 概率与随机变量及分布列（8大考点）（山东专用）2026年高考数学二模分类汇编

专题10 概率与随机变量及分布列 8大考点概览 考点01古典概型 考点02 条件概率 考点03 离散型随机变量分布小题 考点04 概率统计综合问题 考点05 相互独立事件的概率 考点06 离散型随机变量分布解答题 考点07 决策问题 考点08 融合创新 ( 古典概型 考点 1 ) 1.（2026·山东淄博·二模）已知两个相同的正四面体的四个面分别标有数字1，2，3，4，某人每次同时投掷这两个正四面体，规定每次两个正四面体的底面上的数字之和为所得数字，共投掷3次，则3次所得数字之积能被10整除的概率为__________. ( 条件概率 考点 2 ) 1.（2026·山东东营·二模）某公司开发了两款智能模型和用于客服系统．测试期间，系统在第1天随机选择一款模型投入使用．若第1天使用模型，则第2天继续使用模型的概率为0.6；若第1天使用模型，则第2天切换到模型的概率为0.8．则第2天使用模型的概率为（   ） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9 2．（2026·山东菏泽·二模）已知甲袋中有3个红球和2个白球，乙袋中有2个红球和3个白球.从甲袋中随机摸出一个球放入乙袋，再从乙袋中摸出一个球，则从乙袋中摸到红球的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·山东淄博实验中学·二模）现进行如下试验：从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，依次类推，直至选中1为止.记事件“试验过程中，数字被选到”，表示事件发生的概率（），则（    ） A． B． C． D．且 ( 离散型随机变量分布列小题 考点 3 )1.（2026·山东济宁·二模）抛掷一枚质地均匀、六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体骰子，当出现6点时，就说这次试验成功，每次试验的结果相互独立，则在30次试验中成功次数的均值和方差分别为（    ） A．5， B．5， C．10， D．10， 2．（多选）（2026·山东泰安·二模）下列选项正确的是（    ） A．若随机变量，则 B．一组不全相等的数的平均数为，方差为，若再插入一个数，则这个数的方差为，则 C．若随机变量，，则 D．若，，，则 3．（2026·山东淄博·二模）随机变量X的取值为0，1，2，若，，则__________. 4．（2026·山东淄博·二模）甲和乙各自从门选修课中任意选取3门，记为被甲或乙选中的选修课数量，则的数学期望为______． ( 统计概率综合问题 考点 4 ) 1．（2026·山东济宁·二模）随着量子计算技术的突破，传统密码的安全性受到挑战.某实验室为研究“量子算力等级”与“密码破译成功率”的关系，进行了模拟测试，统计数据如下： 量子算力等级 密码破译成功 密码破译失败 合计 高算力量子机 64 16 80 低算力量子机 36 24 60 合计 100 40 140 (1)依据小概率值的独立性检验，即认为密码破译成功率是否与量子算力等级有关； (2)该实验室使用两台不同算力的量子机（记高算力量子机为A机、低算力量子机为B机）对同一套传统密码进行破译测试，已知A机单次破译成功的概率为，失败的概率为；B机单次破译成功的概率为，失败的概率为；两台机器的破译过程相互独立.测试方案：先随机选择一台机器进行第一次破译，选中A机的概率为，选中B机的概率为；若第一次破译成功则停止测试；若第一次破译失败，则换用另一台机器进行第二次破译，无论第二次破译是否成功都停止测试，求破译成功的概率. 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 2．（2026·山东淄博·二模）下图是某校高一学生“运动与健康”评价得分的频率分布直方图，评分在区间，，，上，分别对应A，B，C，D四个等级.为了进一步加强学生对运动与健康的重视，初评获A等级的学生不参加复评，等级不变；对其余学生学校将进行一次复评.复评中，原获B等级的学生有的概率提升为A等级；原获C等级的学生有的概率提升为B等级；原获D等级的学生有的概率提升为C等级，未提升等级的保持等级不变.假设用频率估计概率，且每名学生复评结果相互独立. (1)求该校高一学生“运动与健康”评价得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若初评中甲获得B等级，乙、丙获得C等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为B等级的人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)从全体高一学生中任选1人，在已知该学生是复评提升等级的条件下，求该学生初评是B等级的概率. ( 相互独立事件的概率 考点 5 )1.（2026·山东枣庄·二模）某人工智能实验室要对一款新型学习智能体进行轮测试（每轮测试的结果相互独立），每轮测试中智能体会随机接受类与类任务中的一个．已知该智能体每轮成功完成类任务的概率均为，每轮成功完成类任务的概率均为．成功完成一次类任务得1分，成功完成一次类任务得2分，不成功均得0分．记智能体在第1轮测试后的得分为． (1)求的分布列； (2)记智能体经过2轮测试后的总得分为，求； (3)每轮测试中智能体成功完成类或类任务就称为“过关”．记轮测试中智能体过关的次数为，求和． 2.（2026·山东德州·二模）某社区举行乒乓球比赛，现有甲､乙等名选手参加.规则如下，将所有选手随机编号为，第一轮1号与2号对战，3号与4号对战，以此类推，共决出名胜者进入第二轮；第二轮1号与2号的胜者和3号与4号的胜者对战，以此类推，决出名胜者进入第三轮；最终有2名胜者进入第轮对战，第轮对战的胜者即为整场比赛的冠军.已知甲选手与其他选手对战时，甲获胜的概率为；其余选手两两对战时，双方获胜的概率均为0.5；比赛没有平局，且每场比赛结果相互独立. (1)若，求乙获得冠军的概率； (2)记为甲和乙恰在第轮比赛中对战的概率，求； (3)记为甲和乙对战过且乙获得冠军的概率，求. ( 离散型随机变量分布列解答题 考点 6 )1.（2026·山东日照·二模）某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互不影响． (1)当时， （i）求甲答对某道题的概率； （ii）甲答了4道题，记甲答对题目的个数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望； (2)已知乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率的最小值． 2．（2026·山东东营·二模）某商场组织抽奖活动，规则如下：在一个不透明的盒子中装有10个形状、大小、质地完全相同的小球，其中白球4个，红球6个．每位顾客从盒子中随机抽取1个球，记录颜色后放回盒子中．若抽得白球，则获得九折优惠券；若抽得红球，则获得七折优惠券．每位顾客只有一次抽奖机会． (1)求前四位顾客中，至少有两位顾客获得七折优惠券的概率； (2)若一个不透明的盒子中共有个形状、大小、质地相同的小球，其中红球的个数是一个离散型随机变量．证明：从该盒子中随机抽取1个球，抽到红球的概率为； (3)为增加趣味性，商场第二天调整了规则：在每位顾客抽奖完成并放回小球后，店员往盒子中增加3个与刚才取出球颜色不同的小球（若取出红球，则增加3个白球；若取出白球，则增加3个红球），然后下一位顾客再进行抽奖．已知第一位顾客抽奖前，盒子中仍为4个白球和6个红球．求第位顾客获得七折优惠券的概率． 参考公式：若是离散型随机变量，有． 3.（2026·山东济南·二模）有一个不断分裂的细胞，每秒钟分裂次，每次分裂生成个细胞的概率为，生成个细胞的概率为，生成个细胞的概率为，原来的细胞分裂后消失，分裂出的新细胞下一秒继续分裂且各个细胞间相互独立.假设多个细胞每次个数的变化只进行整体考虑，不分开考虑每个细胞.记个细胞分裂次后共有个细胞的概率为. (1)求、； (2)求； (3)已知：若和均为离散型随机变量，则.证明：. ( 决策问题 考点 7 ) 1．（2026·山东淄博·二模）甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛的结果是独立的． (1)当时，求甲最终获胜的概率； (2)为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大． ( 融合创新 考点 8 ) 1．（2026·山东青岛·二模）设随机变量的分布列为，且，则（    ） A．数列是等比数列 B． C．数列前7项之和为 D． 2.（多选）（2026·山东青岛·二模）如图，正八面体中，记侧面为，侧面为，侧面为，若质点从出发，每次等可能地移动到共享一条棱的相邻表面，则（    ） A．质点移动2次后返回到的概率为 B．质点移动3次后到达的路径有9种 C．质点移动次后到达的概率为 D．已知质点移动4次后经过的次数为2，则第4次到达的概率为 3.（2026·山东东营·二模）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定满二进一，就是二进制；满十进一就是十进制；满十六进一，就是十六进制等等．一般地，若是一个大于1的整数，那么以为基数的进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式进制的数也可以表示成不同位上数字符号与基数的幂的乘积之和的形式，如．例如：十进制数，，所以在三进制下可写为，则下列说法正确的是（   ） A．三进制数转化成五进制数为 B．现用八进制表示十进制的，则这个八进制数的最后一位为1 C．正整数在三进制下的各位数字之和记为，在集合中任选一个正整数，则为3的倍数的概率为 D．一副两种颜色的卡片共22张，每种颜色11张，上面分别标有数字，从这22张卡片中任取张，则取出的卡片上数字之和为的取法共有种 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 概率与随机变量及分布列 8大考点概览 考点01古典概型 考点02 条件概率 考点03 离散型随机变量分布小题 考点04 概率统计综合问题 考点05 相互独立事件的概率 考点06 离散型随机变量分布解答题 考点07 决策问题 考点08 融合创新 ( 古典概型 考点 1 ) 1.（2026·山东淄博·二模）已知两个相同的正四面体的四个面分别标有数字1，2，3，4，某人每次同时投掷这两个正四面体，规定每次两个正四面体的底面上的数字之和为所得数字，共投掷3次，则3次所得数字之积能被10整除的概率为__________. 【答案】 【解析】根据题意，每次投掷得到情形A：掷出5点，情形B：掷出偶数点， 情形C：掷出3或7点的概率分别为， 于是3次投掷均没有5的概率为，3次投掷均没有偶数的概率为， 3次投掷既没有5也没有偶数的概率为， 因此根据容斥原理，3次投掷既有5也有偶数的概率为. ( 条件概率 考点 2 ) 1.（2026·山东东营·二模）某公司开发了两款智能模型和用于客服系统．测试期间，系统在第1天随机选择一款模型投入使用．若第1天使用模型，则第2天继续使用模型的概率为0.6；若第1天使用模型，则第2天切换到模型的概率为0.8．则第2天使用模型的概率为（   ） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9 【答案】C 【解析】设第2天使用模型为事件C，则. 2．（2026·山东菏泽·二模）已知甲袋中有3个红球和2个白球，乙袋中有2个红球和3个白球.从甲袋中随机摸出一个球放入乙袋，再从乙袋中摸出一个球，则从乙袋中摸到红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设事件表示“从甲袋取出又放入乙袋中的球是红球”，则事件表示“从甲袋中取出又放入乙袋中的球是白球”， 事件表示“最后从乙袋中取出的球是红球”， 所以，故，， 故，故A正确. 3．（2026·山东淄博实验中学·二模）现进行如下试验：从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，依次类推，直至选中1为止.记事件“试验过程中，数字被选到”，表示事件发生的概率（），则（    ） A． B． C． D．且 【答案】BCD 【解析】对于A，若数字9被选到，有两种情况： 第一次选数时，从1到10中选到9，概率为， 第一次选到10，第二次从1到9中选到9，概率为， 所以，选项A错误； 对于B，若数字8被选到，有以下几种情况：第一次就选到8，概率为； 发生后，下一次从1到8中选到8，概率为， 发生后，下一次从1到9中选到8，概率为， 这几种情况彼此互斥，所以，选项B正确； 对于C，根据条件概率公式，， 若发生，即数字9被选到，那么在选到9的情况下， 下一次从1到8中选到8的概率为，即， 若发生，即数字10被选到，那么在选到10的情况下，可以下一次从1到9中选到8， 也可以是下一次从1到9中选到9，再下一次从1到8中选到8， 即， 所以，选项C正确； 对于D，对于即选中的情况，设为选中数当中不小于的最小整数， 则 ， 当时，有，，， 结合知，， 所以最大数选取是任意的，始终有， 对于同时选中情况，不妨设，可理解为从中按规则取数， 选中的概率，则有， 可得，选项D正确. 故选：BCD ( 离散型随机变量分布列小题 考点 3 )1.（2026·山东济宁·二模）抛掷一枚质地均匀、六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体骰子，当出现6点时，就说这次试验成功，每次试验的结果相互独立，则在30次试验中成功次数的均值和方差分别为（    ） A．5， B．5， C．10， D．10， 【答案】B 【解析】依题意试验一次成功的概率为，且每次试验是相互独立的， 所以30次试验中成功次数服从二项分布,即． 故. 2．（多选）（2026·山东泰安·二模）下列选项正确的是（    ） A．若随机变量，则 B．一组不全相等的数的平均数为，方差为，若再插入一个数，则这个数的方差为，则 C．若随机变量，，则 D．若，，，则 【答案】ABD 【解析】已知随机变量， 根据二项分布的方差公式可得， 所以，故A正确； 一组不全相等的数的平均数为，所以方差， 若再插入一个数，则这个数的方差， 因为，所以，所以，故B正确； 因为随机变量，则正态分布曲线关于对称，所以， 所以， 同理，随机变量，则正态分布曲线关于对称，所以， 所以， 由正态分布的性质可知，， 所以，故C错误； 由，， 可得，， 又，所以， 又，所以， 解得，故D正确. 3．（2026·山东淄博·二模）随机变量X的取值为0，1，2，若，，则__________. 【答案】 【解析】设， 根据题意得，解得. 则. 4．（2026·山东淄博·二模）甲和乙各自从门选修课中任意选取3门，记为被甲或乙选中的选修课数量，则的数学期望为______． 【答案】 【解析】将门选修课编号为， 设为第i门课是否被选中，， 则， 又， 则． ( 统计概率综合问题 考点 4 ) 1．（2026·山东济宁·二模）随着量子计算技术的突破，传统密码的安全性受到挑战.某实验室为研究“量子算力等级”与“密码破译成功率”的关系，进行了模拟测试，统计数据如下： 量子算力等级 密码破译成功 密码破译失败 合计 高算力量子机 64 16 80 低算力量子机 36 24 60 合计 100 40 140 (1)依据小概率值的独立性检验，即认为密码破译成功率是否与量子算力等级有关； (2)该实验室使用两台不同算力的量子机（记高算力量子机为A机、低算力量子机为B机）对同一套传统密码进行破译测试，已知A机单次破译成功的概率为，失败的概率为；B机单次破译成功的概率为，失败的概率为；两台机器的破译过程相互独立.测试方案：先随机选择一台机器进行第一次破译，选中A机的概率为，选中B机的概率为；若第一次破译成功则停止测试；若第一次破译失败，则换用另一台机器进行第二次破译，无论第二次破译是否成功都停止测试，求破译成功的概率. 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【解】（1）零假设密码破译成功率与量子算力等级无关， ， 所以，依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为分析密码破译成功率与量子算力等级有关； （2）记“破译成功”为事件，A机单次破译成功为事件，A机单次未破译成功为事件， B机单次破译成功为事件，B机单次未破译成功为事件， 选中A机为事件，选中B机为事件， 则 ， 故破译成功的概率为． 2．（2026·山东淄博·二模）下图是某校高一学生“运动与健康”评价得分的频率分布直方图，评分在区间，，，上，分别对应A，B，C，D四个等级.为了进一步加强学生对运动与健康的重视，初评获A等级的学生不参加复评，等级不变；对其余学生学校将进行一次复评.复评中，原获B等级的学生有的概率提升为A等级；原获C等级的学生有的概率提升为B等级；原获D等级的学生有的概率提升为C等级，未提升等级的保持等级不变.假设用频率估计概率，且每名学生复评结果相互独立. (1)求该校高一学生“运动与健康”评价得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若初评中甲获得B等级，乙、丙获得C等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为B等级的人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)从全体高一学生中任选1人，在已知该学生是复评提升等级的条件下，求该学生初评是B等级的概率. 【解】（1）根据频率分布直方图，各组组距为， 则平均值. （2）甲初评，不升级为的概率为； 乙、丙初评，升级为的概率均为，不升级的概率为. 的所有可能取值为. ，， ，. 分布列如下： 因此. （3）设事件：学生复评提升等级，事件分别为初评等级为，由条件概率公式. ，，，各等级提升概率，，. . 由全概率公式，因此. ( 相互独立事件的概率 考点 5 )1.（2026·山东枣庄·二模）某人工智能实验室要对一款新型学习智能体进行轮测试（每轮测试的结果相互独立），每轮测试中智能体会随机接受类与类任务中的一个．已知该智能体每轮成功完成类任务的概率均为，每轮成功完成类任务的概率均为．成功完成一次类任务得1分，成功完成一次类任务得2分，不成功均得0分．记智能体在第1轮测试后的得分为． (1)求的分布列； (2)记智能体经过2轮测试后的总得分为，求； (3)每轮测试中智能体成功完成类或类任务就称为“过关”．记轮测试中智能体过关的次数为，求和． 【解】（1）的可能取值为， ， ，， 所以分布列为： 0 1 2 （2）由（1），，, 所以. （3）由题意，， 所以， 所以，, 2.（2026·山东德州·二模）某社区举行乒乓球比赛，现有甲､乙等名选手参加.规则如下，将所有选手随机编号为，第一轮1号与2号对战，3号与4号对战，以此类推，共决出名胜者进入第二轮；第二轮1号与2号的胜者和3号与4号的胜者对战，以此类推，决出名胜者进入第三轮；最终有2名胜者进入第轮对战，第轮对战的胜者即为整场比赛的冠军.已知甲选手与其他选手对战时，甲获胜的概率为；其余选手两两对战时，双方获胜的概率均为0.5；比赛没有平局，且每场比赛结果相互独立. (1)若，求乙获得冠军的概率； (2)记为甲和乙恰在第轮比赛中对战的概率，求； (3)记为甲和乙对战过且乙获得冠军的概率，求. 【解】（1）记：事件为“甲获得冠军”，事件为“乙获得冠军”，则 由对称性知：除甲以外的所有选手获得冠军的概率相同， 因此，解得， 所以乙获得冠军的概率为. （2）由对称性不妨设甲编号为1，若乙在第轮比赛中与甲对战， 则抽签时乙的编号，其概率为， 甲和乙在第轮之前不被淘汰的概率分别为，所以， 所以. 该结果表示甲与乙在整场比赛中对战过的概率. （3）设表示甲与乙在第轮比赛对战过且乙获得冠军的概率， 则. 所以. ( 离散型随机变量分布列解答题 考点 6 )1.（2026·山东日照·二模）某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互不影响． (1)当时， （i）求甲答对某道题的概率； （ii）甲答了4道题，记甲答对题目的个数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望； (2)已知乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率的最小值． 【解】（1）（i）记事件A为“甲答对了某道题”，则. （ii）由题意得，， 随机变量的分布列为： 0 1 2 3 4 故 （2）由（1）知，设， 由题意得，，解得， 即，解得，故的最小值为 2．（2026·山东东营·二模）某商场组织抽奖活动，规则如下：在一个不透明的盒子中装有10个形状、大小、质地完全相同的小球，其中白球4个，红球6个．每位顾客从盒子中随机抽取1个球，记录颜色后放回盒子中．若抽得白球，则获得九折优惠券；若抽得红球，则获得七折优惠券．每位顾客只有一次抽奖机会． (1)求前四位顾客中，至少有两位顾客获得七折优惠券的概率； (2)若一个不透明的盒子中共有个形状、大小、质地相同的小球，其中红球的个数是一个离散型随机变量．证明：从该盒子中随机抽取1个球，抽到红球的概率为； (3)为增加趣味性，商场第二天调整了规则：在每位顾客抽奖完成并放回小球后，店员往盒子中增加3个与刚才取出球颜色不同的小球（若取出红球，则增加3个白球；若取出白球，则增加3个红球），然后下一位顾客再进行抽奖．已知第一位顾客抽奖前，盒子中仍为4个白球和6个红球．求第位顾客获得七折优惠券的概率． 参考公式：若是离散型随机变量，有． 【解】（1）解：设“前四位顾客中，至少有两位顾客获得七折优惠券”为事件， 则． （2）解：， 设“从盒中随机抽取1个球，抽到红球”为事件， 由全概率公式可得， 所以从盒中随机抽取1个球，抽到红球的概率为； （3）设第位顾客抽完后，第位顾客抽奖前，盒中的红球数为离散型随机 变量，则此时盒中的白球数为，一共有个球， 设离散型随机变量，由题意得， 由（2）知：， 所以， 根据参考公式可得     所以， 令则， 累加可得，因为， 所以，又因为符合上式， 所以，所以， 所以当时，由（2）知， 又因为符合上式，所以． 3.（2026·山东济南·二模）有一个不断分裂的细胞，每秒钟分裂次，每次分裂生成个细胞的概率为，生成个细胞的概率为，生成个细胞的概率为，原来的细胞分裂后消失，分裂出的新细胞下一秒继续分裂且各个细胞间相互独立.假设多个细胞每次个数的变化只进行整体考虑，不分开考虑每个细胞.记个细胞分裂次后共有个细胞的概率为. (1)求、； (2)求； (3)已知：若和均为离散型随机变量，则.证明：. 【解】（1）由题意可得， 若第二次分裂出现个细胞，有两种情况： 第一种情况：第一次个细胞分裂成个，第二次个细胞分裂成个； 第二种情况：第一次个细胞分裂成个，第二次个细胞各分裂成个. 所以； 若第三次分裂出现个细胞，有两种情况： 第一种情况：第二次个细胞分裂成个细胞； 第二种情况：第二次个细胞每个细胞各分裂为个. 所以. （2）第次分裂后只有个细胞，则这次分裂中，有次由个细胞分裂成个细胞，有次由个细胞分裂成个细胞； 设第次由个细胞分裂成个细胞，后面的次都是由个细胞分裂成个细胞；则 ； 则. （3）记分裂次后细胞个数为，令， 设表示第次分裂后生成的第个新细胞，经过第次分裂后增加的细胞个数， 即分裂产生个细胞时，分裂产生个细胞时， 分裂产生个细胞时，可得； 可知， 得； 可知，； 得， 求得， 得， 所以是以为首项，以为公比的等比数列，即， 易知， 当时，， 即， 所以， 累加可得 ， 即. ( 决策问题 考点 7 ) 1．（2026·山东淄博·二模）甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛的结果是独立的． (1)当时，求甲最终获胜的概率； (2)为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大． 【解】（1）记“甲最终以获胜”为事件，记“甲最终以获胜”为事件，“甲最终获胜”为事件， 于是，与为互斥事件， 由于，， 则， 即甲最终获胜的概率为． （2）由（1）可知，， 若选用方案一，记甲最终获得积分为分，则可取， ， 则的分布列为： 3 则， 若选用方案二，记甲最终获得积分为分，则可取1，0， ， 则的分布列为： 1 0 则， 所以， 由于，则， 于是时，两种方案都可以选， 当时，，应该选第二种方案， 当时，，应该选第一种方案． ( 融合创新 考点 8 ) 1．（2026·山东青岛·二模）设随机变量的分布列为，且，则（    ） A．数列是等比数列 B． C．数列前7项之和为 D． 【答案】D 【解析】因为，， 则当时，， 代入得，化简得; 由递推式：，即; 由分布列概率总和为1可得：，即. 选项A，因为，所以，，所以数列不是等比数列，A错误； 选项B，，B错误； 选项C，因为，所以前7项和为：，C错误； 选项D，期望，D正确. 2.（多选）（2026·山东青岛·二模）如图，正八面体中，记侧面为，侧面为，侧面为，若质点从出发，每次等可能地移动到共享一条棱的相邻表面，则（    ） A．质点移动2次后返回到的概率为 B．质点移动3次后到达的路径有9种 C．质点移动次后到达的概率为 D．已知质点移动4次后经过的次数为2，则第4次到达的概率为 【答案】AD 【解析】对于该正八面体，每个面都有三个相邻的面， 设质点从出发按移动，作为的邻面有三种选择即有三种路径， 而移动两次总共有种路径，故移动2次后返回到的概率为，A正确； 质点从出发按移动，其中是的邻面，是的公共邻面， 若，则有三种选择，若，则有两种选择即， 若，则有两种选择即，因此总共有种路径，B错误； 质点从出发移动两次只可能到达当中的一个面， 从出发移动两次也只可能到达当中的一个面， 所以质点移动偶数次只可能到达当中的一个面， 设质点移动次后到达的概率为，则到达的概率为， 若此时在，由A选项的分析可知再移动两次到达的概率为，若此时在， 因为与都只有两个公共邻面，所以再移动两次到达的概率为， 于是可得， 变形得，即是首项为， 公比为的等比数列，其通项公式为， 所以，， 因为到达三个面的可能性是一样的， 所以到达的概率为，C错误； 若质点移动4次后经过的次数为2，因为是邻面所以不存在路径， 同时因为的两个邻面之间不相邻，所以不存在路径， 也不可能存在路径，因此只有形如的路径， 有种，在此基础上若第4次到达，则路径为，有种， 故所求概率为，D正确. 3.（2026·山东东营·二模）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定满二进一，就是二进制；满十进一就是十进制；满十六进一，就是十六进制等等．一般地，若是一个大于1的整数，那么以为基数的进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式进制的数也可以表示成不同位上数字符号与基数的幂的乘积之和的形式，如．例如：十进制数，，所以在三进制下可写为，则下列说法正确的是（   ） A．三进制数转化成五进制数为 B．现用八进制表示十进制的，则这个八进制数的最后一位为1 C．正整数在三进制下的各位数字之和记为，在集合中任选一个正整数，则为3的倍数的概率为 D．一副两种颜色的卡片共22张，每种颜色11张，上面分别标有数字，从这22张卡片中任取张，则取出的卡片上数字之和为的取法共有种 【答案】ABD 【解析】A选项，三进制数转化为十进制数为，而， 所以三进制数转化成五进制数，A选项正确； B选项，由二项式定理知 ， 故最后一位数为1，B选项正确； C选项，设）． 若为3的倍数，则为3的倍数，又，则， 所以， 则， 所以当为3的倍数时，中恰有一个是3的倍数． ，由，得， 所以都不是3的倍数，是3的倍数， 而这2022个数中，有个是3的倍数， 在1至2026中任选一个正整数，共有2026个正整数， 所以由古典概型概率公式得，为3的倍数的概率为．C选项错误； D选项，因为， 所以， 即用一种颜色的牌也能表示， 记第一种颜色卡片上数字之和为，记第二种颜色卡片上数字之和为， 则， 因为每一个小于或等于的正整数都可以用二进制的数来唯一表示， 所以取值的所有可能是， 即共有种取法，D选项正确． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $