精品解析：山东省青岛第五十八中学2025届高三第二次适应性检测数学试题

2025年青岛五十八中高三第二次适应性检测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，则（ ） A. B. 2 C. D. 2. 设 ，则（ ） A. B. C. 1 D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则 A. B. C. D. 5. 的展开式中，的系数为 A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6. 与抛物线 和圆都相切的直线的条数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌）.若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知平行四边形的两个顶点为，另两个顶点在圆上.对于给定的t，若这样的平行四边形有且只有一个，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一组数据：x1，x2，…，x10是公差为－2的等差数列，去掉首末两项x1，x10后得到一组新数据，则（ ） A. 两组数据的极差相同 B. 两组数据的中位数相同 C. 两组数据的平均数相同 D. 两组数据的标准差相同 10. 已知狄利克雷函数设函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 是周期函数 C. 的值域是 D. 在区间 上的有理数零点恰有3个 11. 已知正四面体，过点的平面将四面体的体积平分，则下列命题正确的是（ ） A. 截面一定是锐角三角形 B. 截面可以是等边三角形 C. 截面可能为直角三角形 D. 截面为等腰三角形的有6个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记等差数列的前 项和为，则______. 13. 已知，曲线与相邻的三个交点构成一个直角三角形，则 ______． 14. 如表为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻的开关改变状态．例如，按将导致改变状态．如果要求只改变的状态，则需按开关的最少次数为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知三棱柱的棱长均为2，，平面平面 （1）求该棱柱的体积； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 16. 设的内角A，B，C所对的边分别为，，，且有． （1）求角A； （2）若BC边上的高，求． 17. 设函数 ． （1）求的单调区间； （2）若存在极值点，且存在，使得，证明： ．附 18. 箱中装有大小相同的黄､白两种颜色的乒乓球，黄､白乒乓球的数量比为. （1）求取球一次分别取到黄球､白球的概率 （2）现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过 次，以表示取球结束时已取到白球的次数. （i）求的分布列； （ii）求的数学期望. 19. 由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，．如图，，，是相应椭圆的焦点，，和，分别是“果圆”与，轴的交点． （1）若是边长为2的等边三角形，求“果圆”的方程； （2）若，求的取值范围； （3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦，是否存在斜率为定值的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年青岛五十八中高三第二次适应性检测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据平面向量线性运算的坐标表示求出，再根据向量的模的坐标公式即可得解. 【详解】由已知，所以. 故选：A. 2. 设 ，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为 ， 所以. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求集合，根据集合的交集运算即可求解. 【详解】由或，所以， 所以， 故选：B. 4. 已知，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用中间量比较，运用中间量比较 【详解】则．故选B． 【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题． 5. 的展开式中，的系数为 A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 【答案】C 【解析】 【详解】在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选 C. 考点：本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数. 【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解. 6. 与抛物线 和圆都相切的直线的条数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求出抛物线的切线方程，再由圆的切线性质列式计算即得. 【详解】设直线与抛物线 相切的切点坐标为，由，求导得 ， 因此抛物线 在点处的切线方程为，即， 依题意，此切线与圆相切，于是，解得 或，所以所求切线条数为3. 故选：D 7. 假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌）.若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】经过小时，有个正常细菌，个非正常细菌，由题意可得，，进一步求出，的通项公式，即可得出答案. 【详解】设经过小时，有个正常细菌，个非正常细菌， 则，. 又 ， ，所以，， 则，则， 所以是首项为和公差均为的等差数列， 所以， 所以，所以. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是找到的相关推递式，从而得解. 8. 已知平行四边形的两个顶点为，另两个顶点在圆上.对于给定的t，若这样的平行四边形有且只有一个，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合圆的性质，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【详解】由圆，可知圆心为，半径为，可得直径， 又由点，，可得， ①当， 若以为平行四边形的一边时， 如图所示，作与直线平行的直线，使得截得的弦长为， 此时存在两条直线与圆相交，可构成两个平行四边形，不符合题意； 若以为平行四边形的一条对角线时，可得的中点， 过点作直线的垂线，此直线与圆有两个公共点，如图所示， 此时点分别是和 的中点，所以四边形为平行四边形， 综上可得，此时构成的平行四边形的个数为3个，不符合题意； ②当，此时为平行四边形的对角线， 要使得这样的平行四边形有且只有一个，则满足且点在圆内， 由，可得，解得或 ， 又由在圆内，可得，整理得，解得， 所以 ，所以实数的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一组数据：x1，x2，…，x10是公差为－2的等差数列，去掉首末两项x1，x10后得到一组新数据，则（ ） A. 两组数据的极差相同 B. 两组数据的中位数相同 C. 两组数据的平均数相同 D. 两组数据的标准差相同 【答案】BC 【解析】 【分析】根据平均数的概念结合等差数列的性质判断C，由中位数的概念可判断B，由方差及等差数列的通项公式计算即可判断D，根据极差及等差数列的通项公式可判断A． 【详解】对于C，原数据的平均数为 ， 去掉，后的平均数为，则C正确； 对于B，原数据的中位数为， 去掉，后的中位数仍为，即中位数没变，则B正确； 对于A，原数据的极差为， 去掉，后的极差为，即极差变小，则A错误； 对于D，设公差为d，则原数据的方差为 ， 去掉，后的方差为 ， 即方差变小．标准差也变小，则D错误. 故选：BC 10. 已知狄利克雷函数设函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 是周期函数 C. 的值域是 D. 在区间 上的有理数零点恰有3个 【答案】ABD 【解析】 【分析】由函数的奇偶性的定义可判断A；根据函数的周期性和定义和函数的定义可判断B；函数及三角函数的值域可判断C；应用特殊三角函数值可判断D． 【详解】的定义域为，当为有理数时， 是有理数，则， 当为无理数时， 是无理数，则，即为偶函数， 故，是奇函数，故A正确； 对于任意的整数，当为有理数时，也是有理数，则， 当为无理数时，也是无理数，则， ，即函数是周期函数，故B正确； 函数的值域为，当为无理数时，， 当为有理数时， ，不能取到一个周期所有实数，所以 取不到 全部，故C错误； ，当为有理数时， ，得出在区间 上有，3个有理数零点，故D正确； 故选：ABD． 11. 已知正四面体，过点的平面将四面体的体积平分，则下列命题正确的是（ ） A. 截面一定是锐角三角形 B. 截面可以是等边三角形 C. 截面可能为直角三角形 D. 截面为等腰三角形的有6个 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，结合正四面体的几何特征，以及余弦定理和三角形的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】如图所示，设过点的截面交底面于点，且， 因为过点的平面将正四面体的体积平分，即 平分的面积， 可设正四面体的棱长为， 可得，解得，且， 对于A中，在 中，可得， 在 中，可得， 在 中，可得， 则，即， 同理可得，， 即在中，任意的两边的平方和大于第三边，所以为锐角三角形，所以A正确； 对于B中，若截面为等边三角形，则满足， 若，即，可得， 此时，可得， 所以截面不是等边三角形，所以B错误； 对于C中，当点 与点重合时，要使得平面平分三棱锥的体积， 即 平分的面积，此时为的中点，此时， 则中，边取得最小值，且，且 ， 可得，此时的最大角为锐角， 所以不能为直角三角形，所以C错误； 对于D中，当过点截面过底面的一个顶点和对边的中点时， 如图（1）所示，得到截面，, ，此时， 此时三个三角形都为等腰三角形，且满足把正四面体的体积平分； 如图（2）所示，在的边长上分别取， 使得，连接， 使得恰好平分的面积，此时截面恰好平分正四面体的体积，且为等腰三角形， 综上可得，截面为等腰三角形的有6个，所以D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记等差数列的前项和为，则______. 【答案】160 【解析】 【分析】根据等差数列下标和的性质与等差数列前n项求和公式计算即可求解. 【详解】由题意知，，得， 所以， 所以. 故答案为：160 13. 已知，曲线与相邻的三个交点构成一个直角三角形，则 ______． 【答案】## 【解析】 【分析】联立方程，利用和差公式化简，表示出相邻三点的坐标，然后根据三角形的特征列方程求解即可. 【详解】设三个相邻的交点分别为，，， 不妨设，由， 得，整理得， 所以，所以， ， 不妨令 ，0，1，得，，， 则，，， 所以，，， 所以， ，， 所以，因为是一个直角三角形， 所以为等腰直角三角形，底边为， 即， 整理得，因为，所以. 14. 如表为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻的开关改变状态．例如，按将导致改变状态．如果要求只改变的状态，则需按开关的最少次数为________． 【答案】5 【解析】 【分析】先阅读题意，然后结合题意进行简单的合情推理求解即可． 【详解】由题意可得，只有在以及周边按动开关才可以使得按开关的次数最少，具体操作如下： 假设开始按动开关前所有开关都是“开“的状态， 要求只改变的状态，在按动后，的状态也发生了改变， 下一步可以同时恢复或逐一恢复，同时恢复需按动，但会导致周边状态也会改变， 因此导致按动开关的次数更多， 所以接下来逐一恢复，则至少按开关3次， 依次类推，沿着周边的开关再按动，可以使得按动开关的次数最少， 即按动5次可以满足题意， 按动开关的情况如下表所示： 按 关 关 开 关 开 开 开 开 开 按 关 开 关 关 开 关 开 开 开 按 关 开 开 关 关 开 开 开 关 按 关 开 开 关 开 开 关 关 开 按 关 开 开 开 开 开 开 开 开 故答案为：5． 【点睛】方法点睛：1．在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论； 2．在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质； 3．归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知三棱柱的棱长均为2，，平面平面 （1）求该棱柱的体积； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设 的中点为，利用面面垂直的性质可得 平面，得到，利用勾股定理得到，进而得到 ， 平面，接着用体积公式求解即可； （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法求面面夹角即可． 【小问1详解】 解：设 的中点为，连接， 为等边三角形，边长为， ，， ， 平面平面，平面平面 ， 平面，又 平面， ，， ，则 ， 又 平面平面，平面平面 ， 平面， ； 【小问2详解】 解：由（1）知 平面，， 如图，以为原点建立空间直角坐标系， ， 设平面的一个法向量， ，不妨取，则， 易知平面的一个法向量， ， 则平面与平面夹角的余弦值为． 16. 设的内角A，B，C所对的边分别为，，，且有． （1）求角A； （2）若BC边上的高，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和、正弦定理和三角恒等变换化简可得. （2）利用三角形面积公式和正弦定理可得. 【小问1详解】 （1）由题意得：， 则， 有，即，因为所以． 【小问2详解】 （2）由，则，所以， 有，则， 又，则． 17. 设函数 ． （1）求的单调区间； （2）若存在极值点，且存在，使得，证明： ．附 【答案】（1） 时，的增区间为，无减区间； 时，增区间为 ，减区间为 . （2）证明：因为是的极值点，故 ，故 ， 所以， 因为存在 ，使得 ， 所以，即 ， 因为 ， 所以 ， 因为， 所以 ， 因为 所以，即 ， 所以 ，即 ， 因为， 所以 ，即 . 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，就 、 分类讨论导数的符号后可得函数的单调性； （2）根据极值点可得，再根据 结合代数变形可证 . 【小问1详解】 解： ， 当 时， （不恒为零），的增区间为，无减区间； 若 ，则当 时， ， 当 时， ， 故的增区间为 ，减区间为 ， 综上： 时，的增区间为，无减区间； 时，的增区间为 ，减区间为 . 【小问2详解】 略 18. 箱中装有大小相同的黄､白两种颜色的乒乓球，黄､白乒乓球的数量比为. （1）求取球一次分别取到黄球､白球的概率 （2）现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过次，以表示取球结束时已取到白球的次数. （i）求的分布列； （ii）求的数学期望. 【答案】（1），； （2）（i） 0 1 2 （ii）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率求解即得. （2）（i）求出的可能取值，由（1）的结论，结合相互独立事件的概率公式求出所对应的概率并列出分布列；（ii）由（i）中分布列结合期望公式表示出，再利用错位相减法求和即得. 【小问1详解】 依题意，取球一次取到黄球的概率，取到白球的概率. 【小问2详解】 （i）的可能取值为：， 由（1）得，，，， 所以的分布列为 0 1 2 （ii）的数学期望， 因此， 两式相减得， 所以 . 19. 由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，．如图，，，是相应椭圆的焦点，，和，分别是“果圆”与，轴的交点． （1）若是边长为2的等边三角形，求“果圆”的方程； （2）若，求的取值范围； （3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦，是否存在斜率为定值的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，结合椭圆的性质进行进行求解即可； （2）利用椭圆的性质结合，得到不等式，再根据已知所给的不等式进行求解即可； （3）先证明斜率相同的椭圆的弦的中点在定直线上，据此可判断“果圆”平行弦的中点轨迹是否落在某个椭圆上. 【小问1详解】 由，，， 解得 ，， 因此“果圆”的方程为，. 【小问2详解】 因为，故，得， 而，即， 于是，，. 又，则，∴的取值范围是. 【小问3详解】 我们证明一个结论： 若斜率为的直线与椭圆交于两点，则中点的轨迹在直线上, 证明：设，它们的中点为， 则且， 从而，故， 故，故中点在直线上. 对于“果园”的弦的中点， 若斜率，则设直线 ， 它与“果圆”的交点是，， 弦的中点 满足， 弦的中点轨迹方程是， 而， 即，所以，若“果圆”弦所在直线的斜率为0，则平行弦中点轨迹是椭圆. 若“果圆”弦的斜率，则可平移过程总存在无数条斜率为的直线与“果园”的左半椭圆相交，由前述证明的结论，此时中点在直线上， 故平行弦中点轨迹不能总落在某个椭圆上. 综上，斜率时，“果圆” 平行弦中点轨迹落在某个椭圆上. 斜率时，“果圆” 平行弦中点轨迹不能总落在某个椭圆上. 【点睛】关键点点睛：圆锥曲线中与弦的中点有关的计算问题，可利用点差法来处理，也可以直曲联立，结合韦达定理等来处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $