专题09 计数原理与统计及统计案例（6大考点）（山东专用）2026年高考数学二模分类汇编

专题09 计数原理与统计及统计案例 6大考点概览 考点01排列与组合 考点02二项式定理 考点03 回归方程 考点04 统计小题 考点05 统计案例 考点06 融合创新 ( 排列与组合 考点1 ) 1.（2026·山东历城二中·二模）如图，三边的中点分别为，将六个数字全部标注在六个点处，每个点处标注一个数字，使得每个中点处的数字都比其相邻两顶点处的数字小，则不同的标注方法有（    ） A．36种 B．48种 C．60种 D．72种 【答案】B 【解析】由题意可得顶点标注只能为或，其余情况不满足题意. 若顶点标注，则标注在中点处，此时有， 若顶点标注，则只能标注在之间的边的中点，此时有种， 所以不同的标注方法有种. 2.（2026·山东菏泽·二模）将两个1，两个2，两个3组成一个六位数，则两个1不相邻的六位数个数为________.（用数值表示） 【答案】60 【解析】先排4个数字（两个2、两个3），从 4 个位置中选2个放2，剩余位置放3，用组合数表示为：种，排好4个数字后，形成5个空隙（含两端），从5个空隙中选2个放 1（1无需排序），表示为：种，根据分步乘法计数原理，两个1不相邻的六位数个数为：种. 3.（2026·山东泰安·二模）将随机排成一行，前三个数构成三位数，后三个数构成三位数，已知的百位数字比的百位数字大3，则满足的不同排列的个数为__________.（用数字作答） 【答案】36 【解析】由题意，设的百位数字为，的百位数字为， 因为的百位数字比的百位数字大3， 所以在中，满足条件的只有组：，，， 因为，所以的十位数字比的十位数字小， 假设剩余的个数字为、、、，且， ①若的十位数字取，则的十位数字有种选择，的个位数字有种选择，的个位数字有种选择，共有种选择， ②若的十位数字取，则的十位数字有种选择，的个位数字有种选择，的个位数字有种选择，共有种选择， ③若的十位数字取，则的十位数字有种选择，的个位数字有种选择，的个位数字有种选择，共有种选择， 综上所述，满足条件的、共有种. ( 二项式定理 考点2 ) 1.（2026·山东淄博·二模）展开式中的系数为（    ） A．56 B．42 C．84 D．120 【答案】B 【解析】二项式展开式的通项公式为， 因此展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为42.故选：B 2．（多选）（2026·山东历城二中·二模）设，为常数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】由， 对于，展开式通项为，， 对于，展开式通项为，， 所以，A对， ，B对， 令，则， 令，则， 所以，则，C错， ，D对. 3.（多选）（2026·山东济宁·二模）的展开式中，第项与第项的二项式系数相等，则（    ） A．展开式共项 B．展开式中常数项为 C．展开式中所有项的二项式系数之和为 D．展开式中所有项的系数之和为 【答案】ACD 【解析】因为的展开式中，第项与第项的二项式系数相等， 所以，即，得. 所以二项式展开式的项数为，故A正确； 对于B，由通项公式. 令，得，所以常数项为 ，故B错误. 所以二项式展开式中所有项的二项式系数之和为，故C正确； 令，则展开式中所有项的系数之和为 ，故D正确； 4.（2026·山东淄博实验中学·二模）的二项展开式中的系数为__________． 【答案】21 【解析】 的系数为 5.（2026·山东青岛·二模）若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为___________.（用数字作答） 【答案】 【解析】因为二项式展开式的二项式系数之和为，可得，解得， 则二项式展开式的通项为， 令，可得，所以展开式的常数项为. 6.（2026·山东德州·二模）已知的展开式中各项的二项式系数之和为64，则其展开式中的常数项为__________. 【答案】240 【解析】由的展开式中，二项式系数之和为64得，， 则的展开式的通项为， 令，得，所以展开式中常数项为. ( 回归方程 考点3 ) 1.（2026·山东日照·二模）某校学生会体育部长依据本校高三男生的身高（单位：）与体重（单位：）的抽样数据，运用电子办公软件求出了“体重”（y）关于“身高”（x）的回归方程，则该回归方程（   ） A．表示x与y之间的函数关系 B．表示x与y之间的不确定关系 C．反映x与y之间的真实关系 D．反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合 【答案】D 【解析】根据线性回归方程的概念可知，回归方程反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合. 2.（2026·山东济宁·二模）用模型拟合一组数据，令，若根据样本数据计算可得，，且与的经验回归方程为，则（    ）（参考数据，） A．1.2 B．0.92 C．0.3 D．0.4 【答案】D 【解析】由，， 则，解得，因此， 由两边取对数，得，又， 所以，又因为，所以. 3.（2026·山东德州·二模）下表是我国2021年至2025年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）与年份代码（1-5分别对应2021-2025）的相关数据.根据表中数据求得关于的经验回归方程为，则（    ） 1 2 3 4 5 12 18 25 30 34 A．与正相关 B．回归直线过点 C． D．预测2030年生活垃圾无害化处理量为60亿吨 【答案】AC 【解析】,, 而回归直线为，故，故，故C正确， 因为，故与正相关，故A正确； 当时，，故B错误； 2030年对应，此时生活垃圾无害化处理量为（亿吨）， 故D错误. 4.（2026·山东菏泽·二模）某国产芯片企业测试了10款自研芯片的单线程运算性能得分（得分越高，性能越好），芯片发布编号记为，性能得分记为，对应情况如下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 21 26 34 40 49 56 61 68 77 83 (1)从这10个性能得分中随机抽取3个，求抽取的3个数据中，恰有两个数据不低于这组数据的第65百分位数的概率； (2)若性能得分关于芯片发布编号的线性回归方程为，求该回归方程； (3)为评估芯片性能的“实际表现水平”，企业定义了“性能偏离度”.对于第款芯片，其性能偏离度为（其中为实际性能得分，为第（2）问中回归方程的预测性能得分），并规定性能偏离度不超过2%的芯片为“表现稳定款”，假设第11款发布的芯片为“表现稳定款”，求其实际性能得分应保持的范围. 参考公式和数据：，，，， 【解】（1）第65百分位数的位置： 向上取整为第7个数，即第65百分位数为61 不低于61的数据为61，68，77，83共4个，低于61的数据有6个 从10个数据中抽3个，恰有两个不低于61的概率为 （2）由题意得 ， 所以回归方程为 （3）第11款芯片编号为，预测得分： 由已知性能偏离度 即，解得 所以，解得 所以第11款芯片的实际性能得分应保持在区间 5.（2026·山东青岛·二模）随着新能源产业的快速发展，某新能源车企凭借技术创新与市场扩张，实现近7年利润持续增长，其利润情况如下表所示（单位：亿元）. 第年 1 2 3 4 5 6 7 利润/亿元 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 (1)建立关于的一元线性回归模型，求出其经验回归方程，并预测该新能源车企第10年的利润； (2)若用另一个非线性回归模型拟合上表中的成对数据，得到的经验回归方程的残差平方和为0.62，根据残差平方和的值，分析该非线性经验回归方程与（1）所求的线性经验回归方程哪一个拟合效果更好，并说明理由. 参考公式和数据：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 【解】（1）由表格数据可得， 又， 所以， 所以，则回归方程为， 当时，， 即该新能源车企第10年的利润的估计值为亿元. （2）记（1）中线性回归方程的残差平方和为， 则， 因为，所以（1）中所求的线性经验回归方程拟合效果更好. ( 统计 小题 考点4 ) 1．（2026·山东青岛·二模）某高中一、二、三年级的学生人数分别为600，600，800，为了解学生视力情况，用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为200的样本，则抽取高三学生的人数为（    ） A．60 B．80 C．120 D．140 【答案】B 【解析】因为用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为200的样本， 所以抽取高三学生的人数为. 2．（2026·山东德州·二模）一组不全相等的数据的平均数为，方差为；设新数据的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得的平均数为，故，故AB错误； 又 ，而不全相等，故， 所以，故C正确，D错误. 3.（2026·山东淄博实验中学·二模）一组数据，，，，的平均值为5，方差为2，极差为7，中位数为6，记 ，，，，的平均值为，方差为，极差为，中位数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由题意可得，，，. 故选：ACD． 4．（多选）（2026·山东枣庄·二模）下列命题正确的是（    ） A．若同等容量且足够大的两组成对数据的样本相关系数分别为，则组数据比组数据的线性相关性更强 B．数据的第60百分位数为6 C．总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记总的样本平均数为，总的样本方差为，则有 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此时推断犯错误的概率不大于0.001 【答案】BC 【解析】对于A：由，故组数据比组数据的线性相关性更强，故A错误； 对于B：，则这组数据的第60百分位数为，故B正确； 对于C：分层抽样方差公式为， 故C正确； 对与D：由，故不能在的小概率值下判断与有关联， 故D错误. ( 统计案例 考点 5 ) 1.（2026·山东泰安·二模）为深入落实“健康第一”的教育理念，某高中为了解高三学生每天运动时间，从2000名学生中随机抽取了100名学生进行调查，得到的数据如表所示 日均运动时间（小时） 男生人数 5 20 20 10 女生人数 15 20 6 4 (1)该校高三2000名学生中，日均运动时间不足1小时的学生约为多少人？ (2)估计该校高三学生日均运动时间的平均数； (3)根据小概率值的独立性检验，能否认为“该校高三学生日均运动时间不小于1.5小时”与“性别”有关联？ 附，其中. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【解】（1）因为抽取的100人中日均运动时间不足1小时的人数占比为， 所以该校2000名学生中日均运动时间不足1小时人数约为人； （2）该校名学生日均运动时间的平均数约为 ， 所以该校高三学生日均运动时间的平均数为小时； （3）作出列联表如表所示 日均运动时间 合计 男 25 30 55 女 35 10 45 合计 60 40 100 零假设：“日均运动时间不小于1.5小时”与“性别”无关联， ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为“日均运动时间不小于1.5小时”与“性别”有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005. ( 融合创新 考点 5 ) 1.（2026·山东聊城·二模）某医学研究团队为探究新型降压药的疗效与患者年龄的关联，将120名高血压患者按年龄分为“中青年组（<60岁）”和“老年组（岁）”，记录用药后的疗效（“有效”“无效”），得到如下列联表： 患者 疗效 总计 有效 无效 中青年组 10 40 50 老年组 40 30 70 总计 50 70 120 附：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.01 2.706 3.841 5.024 6.635 则下列说法中正确的有（    ） A．若在“老年组”中按疗效分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，则至少抽到1名“无效”患者的概率为 B．从所有患者中随机抽取1人，设事件“该人在中青年组”，事件“该药对此人有效”，则事件A与B相互独立 C．根据小概率值的独立性检验，认为“降压药疗效与患者年龄有关”，且该推断犯错误的概率不超过 D．若将列联表中“中青年组有效”的人数改为15，“中青年组无效”的人数改为35，则所得值比原值大 【答案】AC 【解析】选项A，老年组中有效与无效的人数比为 按疗效分层抽样抽取7人，则应抽到：4人有效，3人无效， 再从这 7 人中随机抽取 2 人，至少抽到 1 名无效患者的概率为所以 A 正确； 选项B，设事件：表示“该人在中青年组”，事件：表示“该药对此人有效”， 则而 若相互独立，则应有 显然所以事件与不相互独立，B 错误； 选项C，由题中列联表， 所以 即 因为所以根据小概率值的独立性检验， 可以认为“降压药疗效与患者年龄有关”，且该推断犯错误的概率不超过，所以C正确； 选项D，若将“中青年组有效”改为 15，“中青年组无效”改为 35， 则新列联表中 此时 即，而原来的 所以修改后的值比原来的小，D 错误. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 计数原理与统计及统计案例 6大考点概览 考点01排列与组合 考点02二项式定理 考点03 回归方程 考点04 统计小题 考点05 统计案例 考点06 融合创新 ( 排列与组合 考点1 ) 1.（2026·山东历城二中·二模）如图，三边的中点分别为，将六个数字全部标注在六个点处，每个点处标注一个数字，使得每个中点处的数字都比其相邻两顶点处的数字小，则不同的标注方法有（    ） A．36种 B．48种 C．60种 D．72种 2.（2026·山东菏泽·二模）将两个1，两个2，两个3组成一个六位数，则两个1不相邻的六位数个数为________.（用数值表示） 3.（2026·山东泰安·二模）将随机排成一行，前三个数构成三位数，后三个数构成三位数，已知的百位数字比的百位数字大3，则满足的不同排列的个数为__________.（用数字作答） ( 二项式定理 考点2 ) 1.（2026·山东淄博·二模）展开式中的系数为（    ） A．56 B．42 C．84 D．120 2．（多选）（2026·山东历城二中·二模）设，为常数，则（   ） A． B． C． D． 3.（多选）（2026·山东济宁·二模）的展开式中，第项与第项的二项式系数相等，则（    ） A．展开式共项 B．展开式中常数项为 C．展开式中所有项的二项式系数之和为 D．展开式中所有项的系数之和为 4.（2026·山东淄博实验中学·二模）的二项展开式中的系数为__________． 5.（2026·山东青岛·二模）若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为___________.（用数字作答） 6.（2026·山东德州·二模）已知的展开式中各项的二项式系数之和为64，则其展开式中的常数项为__________. ( 回归方程 考点3 ) 1.（2026·山东日照·二模）某校学生会体育部长依据本校高三男生的身高（单位：）与体重（单位：）的抽样数据，运用电子办公软件求出了“体重”（y）关于“身高”（x）的回归方程，则该回归方程（   ） A．表示x与y之间的函数关系 B．表示x与y之间的不确定关系 C．反映x与y之间的真实关系 D．反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合 2.（2026·山东济宁·二模）用模型拟合一组数据，令，若根据样本数据计算可得，，且与的经验回归方程为，则（    ）（参考数据，） A．1.2 B．0.92 C．0.3 D．0.4 3.（2026·山东德州·二模）下表是我国2021年至2025年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）与年份代码（1-5分别对应2021-2025）的相关数据.根据表中数据求得关于的经验回归方程为，则（    ） 1 2 3 4 5 12 18 25 30 34 A．与正相关 B．回归直线过点 C． D．预测2030年生活垃圾无害化处理量为60亿吨 4.（2026·山东菏泽·二模）某国产芯片企业测试了10款自研芯片的单线程运算性能得分（得分越高，性能越好），芯片发布编号记为，性能得分记为，对应情况如下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 21 26 34 40 49 56 61 68 77 83 (1)从这10个性能得分中随机抽取3个，求抽取的3个数据中，恰有两个数据不低于这组数据的第65百分位数的概率； (2)若性能得分关于芯片发布编号的线性回归方程为，求该回归方程； (3)为评估芯片性能的“实际表现水平”，企业定义了“性能偏离度”.对于第款芯片，其性能偏离度为（其中为实际性能得分，为第（2）问中回归方程的预测性能得分），并规定性能偏离度不超过2%的芯片为“表现稳定款”，假设第11款发布的芯片为“表现稳定款”，求其实际性能得分应保持的范围. 参考公式和数据：，，，， 5.（2026·山东青岛·二模）随着新能源产业的快速发展，某新能源车企凭借技术创新与市场扩张，实现近7年利润持续增长，其利润情况如下表所示（单位：亿元）. 第年 1 2 3 4 5 6 7 利润/亿元 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 (1)建立关于的一元线性回归模型，求出其经验回归方程，并预测该新能源车企第10年的利润； (2)若用另一个非线性回归模型拟合上表中的成对数据，得到的经验回归方程的残差平方和为0.62，根据残差平方和的值，分析该非线性经验回归方程与（1）所求的线性经验回归方程哪一个拟合效果更好，并说明理由. 参考公式和数据：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 ( 统计 小题 考点4 ) 1．（2026·山东青岛·二模）某高中一、二、三年级的学生人数分别为600，600，800，为了解学生视力情况，用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为200的样本，则抽取高三学生的人数为（    ） A．60 B．80 C．120 D．140 2．（2026·山东德州·二模）一组不全相等的数据的平均数为，方差为；设新数据的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 3.（2026·山东淄博实验中学·二模）一组数据，，，，的平均值为5，方差为2，极差为7，中位数为6，记 ，，，，的平均值为，方差为，极差为，中位数为，则（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（2026·山东枣庄·二模）下列命题正确的是（    ） A．若同等容量且足够大的两组成对数据的样本相关系数分别为，则组数据比组数据的线性相关性更强 B．数据的第60百分位数为6 C．总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记总的样本平均数为，总的样本方差为，则有 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此时推断犯错误的概率不大于0.001 ( 统计案例 考点 5 ) 1.（2026·山东泰安·二模）为深入落实“健康第一”的教育理念，某高中为了解高三学生每天运动时间，从2000名学生中随机抽取了100名学生进行调查，得到的数据如表所示 日均运动时间（小时） 男生人数 5 20 20 10 女生人数 15 20 6 4 (1)该校高三2000名学生中，日均运动时间不足1小时的学生约为多少人？ (2)估计该校高三学生日均运动时间的平均数； (3)根据小概率值的独立性检验，能否认为“该校高三学生日均运动时间不小于1.5小时”与“性别”有关联？ 附，其中. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 ( 融合创新 考点 5 ) 1.（2026·山东聊城·二模）某医学研究团队为探究新型降压药的疗效与患者年龄的关联，将120名高血压患者按年龄分为“中青年组（<60岁）”和“老年组（岁）”，记录用药后的疗效（“有效”“无效”），得到如下列联表： 患者 疗效 总计 有效 无效 中青年组 10 40 50 老年组 40 30 70 总计 50 70 120 附：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.01 2.706 3.841 5.024 6.635 则下列说法中正确的有（    ） A．若在“老年组”中按疗效分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，则至少抽到1名“无效”患者的概率为 B．从所有患者中随机抽取1人，设事件“该人在中青年组”，事件“该药对此人有效”，则事件A与B相互独立 C．根据小概率值的独立性检验，认为“降压药疗效与患者年龄有关”，且该推断犯错误的概率不超过 D．若将列联表中“中青年组有效”的人数改为15，“中青年组无效”的人数改为35，则所得值比原值大 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $