专题08 解析几何（9大考点）（山东专用）2026年高考数学二模分类汇编

专题08 解析几何 9大考点概览 考点01直线方程 考点02直线和圆，圆与圆 考点03抛物线的方程和性质 考点04双曲线的方程和性质 考点05椭圆的方程和性质 考点06弦长问题 考点07定值定点问题 考点08最值范围问题 考点09融合创新问题 ( 直线 方程 考点1 ) 1.（2026·山东日照·二模）将直线绕点逆时针旋转（为锐角，其中）后所得直线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山东聊城·二模）已知直线，，且，则与的距离为（    ） A． B． C． D． ( 直线和圆、 圆与圆 考点2 ) 1.（2026·山东枣庄·二模）在平面直角坐标系中，已知圆，圆，若圆与圆相交，则的值可以为（    ） A．7 B．5 C．3 D．1 2.（2026·山东淄博·二模）若点是圆上的任一点，直线与轴、轴分别相交于、两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3.（2026·山东菏泽·二模）已知圆：，直线：，则直线被圆截得的弦长的最小值为（   ） A． B． C． D．10 4.（2026·山东泰安·二模）已知为圆上的两个动点，且，点为直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5.（多选）（2026·山东东营·二模）已知点，圆，点在圆上运动，点满足，其中为坐标原点．则下列说法正确的是（   ） A． B．点的轨迹方程为 C．的取值范围是 D．点到直线距离的最小值为 6.（2026·山东聊城·二模）已知、，动点满足：以为直径的圆与圆相切，若的外接圆的面积是其内切圆面积的倍，则的面积为______． ( 抛物线的方程 和性质 考点3 ) 1.（2026·山东济南·二模）已知抛物线的焦点为F，过点作C的准线的垂线，垂足为，则点到直线的距离为（    ） A． B．4 C． D． 2.（2026·山东聊城·二模）已知直线过抛物线的焦点，与交于、两点，线段的中点为，的垂直平分线交轴于，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 3.（多选）（2026·山东淄博·二模）已知抛物线C：的焦点在直线l：上，直线l与抛物线交于两点，点在第一象限，过分别作准线的垂线，垂足分别是，则下列说法中正确的是（    ） A．以线段为直径的圆与y轴相切 B．的最小值为 C． D．若向量，则 ( 双曲线的方程和性质 考点4 ) 1.（2026·山东济南·二模）若的中线，且，，，在平面直角坐标系中，点在双曲线上，则的离心率为（   ） A． B． C． D．2 2.（2026·山东东营·二模）已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，点是椭圆和双曲线的一个公共交点，，椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 3.（2026·山东日照·二模）已知双曲线：（，）的左右焦点分别为、、A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于、两点，且，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（2026·山东济南·二模）若是两个不相等的正实数，则双曲线与双曲线的（    ） A．实轴长相等 B．焦距相等 C．离心率相同 D．渐近线相同 ( 椭圆的方程和性质 考点 5 ) 1.（2026·山东济宁·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为第一象限内一点且在椭圆上，交轴于点，若，，则的离心率为（    ） A． B．或 C． D．或 2.（2026·山东淄博·二模）椭圆C：的左右焦点分别为，，点，P为C上一动点，则的最小值为______． 3.（2026·山东菏泽·二模）已知椭圆：，曲线，若曲线与椭圆在第一象限内有两个交点，，且直线的斜率为，则椭圆的离心率为________. 4.（2026·山东青岛·二模）已知平面内两点，与交于点．若，则的面积为___________． 5.（2026·山东枣庄·二模）已知椭圆的右焦点为，左，右顶点分别为，并且上的点到的最大距离是最小距离的3倍． (1)求的方程； (2)若点是上异于的任意一点，直线与分别交直线于两点． （ⅰ）求； （ⅱ）若直线交于另一点，设点的纵坐标分别为，求证：． 6.（2026·山东泰安·二模）已知椭圆过点，中心在原点，对称轴为坐标轴. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线的斜率为与椭圆交于两点，其中两点分别位于轴左，右两侧，直线分别与直线交于三点. （i）设直线的斜率为，直线的斜率为，求； （ii）当直线平分的内角（或其外角）时，求的值. ( 弦长问题 考点 6 ) 1.（2026·山东枣庄·二模）过抛物线的焦点，且斜率为1的直线交于两点，则______． 2．（2026·山东济南·二模）双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为______． 3．（2026·山东德州·二模）已知抛物线的焦点，过抛物线上一点作其准线的垂线，垂足为，若，则的长度为__________. 4．（2026·山东济宁·二模）已知抛物线的焦点为，直线过点且与交于，两点，为坐标原点，若是，的等比中项，则________ 5.（2026·山东菏泽·二模）已知是抛物线的焦点，点在上，且. (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线交于、两点，且，求的值. 6．（2026·山东青岛·二模）设抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，在第一象限，点为的重心，与轴的交点分别为.当的斜率为时，到的距离为. (1)求的方程； (2)若的面积与的面积之比为，求的方程. ( 定值定点问题 考点 7 ) 1.（2026·山东淄博实验中学·二模）如图，椭圆，，已知右顶点为，且它们的交点分别为，，，．      (1)求与的标准方程； (2)过点作直线MN，交于点M，交于点N，设直线的斜率为，直线的斜率为，求；（上述各点均不重合） (3)点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点N，求点G坐标，使直线NG与直线NH的斜率之积为定值．（上述各点均不重合） 2.（2026·山东济南·二模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，焦距为2，过的直线与交于两点，为线段的中点，过的直线与交于两点． (1)求C的方程； (2)设分别为直线的斜率，已知． （ⅰ）证明：为线段的中点； （ⅱ）判断四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 3.（2026·山东德州·二模）在平面直角坐标系中，点到点的距离是它到直线距离的倍，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)设点为的下顶点，直线过点且垂直于轴（位于原点与上顶点之间），过的直线交于两点，直线分别交于两点. （i）证明：为定值； （ii）是否存在实数使得四点共圆？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 4.（2026·山东东营·二模）已知曲线上任意一点到点的距离比它到轴的距离大． (1)求曲线的方程； (2)为曲线上一点，直线与曲线交于两点（不与点重合），直线与轴交于点，直线与轴交于点，且． （i）求直线的斜率； （ii）证明：的外接圆的圆心在定直线上． ( 最值范围问题 考点 8 ) 1.（2026·山东历城二中·二模）设为坐标原点，抛物线与的焦点分别为为线段的中点．点在上在第一象限），点在上，． （1）求曲线的方程； （2）设直线的方程为，求直线的斜率； （3）若直线与的斜率之积为，求四边形面积的最小值． 2.（2026·山东济宁·二模）已知双曲线过点，其渐近线方程为. （1）求双曲线的标准方程； （2）圆与轴交于、两点.记直线与双曲线的另一个交点为，直线与双曲线的另一个交点为.过坐标原点作，垂足为. （i）求直线和直线的斜率之积； （ii）若恒成立，求的取值范围. ( 融合创新问题 考点 9 ) 1.（多选）（2026·山东菏泽·二模）闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义.设两组数据分别为和，这两组数据间的闵氏距离定义为，其中表示阶数，则下列说法正确的有（） A．若，，则 B．若，，其中，则的最小值为 C．若，，其中，则的最小值为1 D．若，，则对任意实数，都有 2．（2026·山东济南·二模）半径为1的圆沿圆外侧无滑动滚动一周，设圆上的点的运动轨迹为曲线.已知点的初始位置为，则（    ） A．点在曲线上 B．曲线围成的区域面积等于16 C．曲线与直线有三个交点 D．曲线上点的横坐标的最大值为 3.（2026·山东淄博·二模）如图，在正四棱柱中，，，将直线绕直线AD旋转一周，旋转后所得的图形与平面ABCD的交线为. （1）E为上靠近的三等分点，求E绕直线AD旋转一周后所得图形的周长； （2）在平面ABCD内以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. （ⅰ）求的轨迹方程； （ⅱ）为平面ABCD内且不在上的定点，过P的直线l与有2个交点M、N，若M、N在直线AD的两侧，求的最小值（用m，n表示）. 4.（2026·山东日照·二模）已知抛物线，点在抛物线上． （1）证明：以点为切点的的切线的斜率为； （2）过外一点（不在轴上）作的切线AB，AC，切点分别为点B，C，作平行于BC的切线，切点为点，点分别是切线与AB，AC的交点，设BC的中点为（如图所示）． （i）证明：A，D，E三点共线； （ii）过外一点的两条切线及第三条切线（第三条切线平行于两切线切点的连线）围成的三角形叫做“切线三角形”，如．设面积为，第1次由点作切线三角形，第2次分别由点作切线三角形，并依此方法重复次，记所得所有“切线三角形”的面积之和为．判断与的大小关系并证明． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 解析几何 9大考点概览 考点01直线方程 考点02直线和圆，圆与圆 考点03抛物线的方程和性质 考点04双曲线的方程和性质 考点05椭圆的方程和性质 考点06弦长问题 考点07定值定点问题 考点08最值范围问题 考点09融合创新问题 ( 直线 方程 考点1 ) 1.（2026·山东日照·二模）将直线绕点逆时针旋转（为锐角，其中）后所得直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设直线的倾斜角为，所求直线倾斜角为α， 又为锐角，其中，所以，则， 即，故直线方程为．故选：A 2．（2026·山东聊城·二模）已知直线，，且，则与的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，则，解得，即直线的方程为，可化为， 故与的距离为. ( 直线和圆、 圆与圆 考点2 ) 1.（2026·山东枣庄·二模）在平面直角坐标系中，已知圆，圆，若圆与圆相交，则的值可以为（    ） A．7 B．5 C．3 D．1 【答案】B 【解析】由题知，两圆圆心分别为， 由圆与圆相交，则， 即，解得， 故选项中B正确，ACD错误. 2.（2026·山东淄博·二模）若点是圆上的任一点，直线与轴、轴分别相交于、两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如下图所示： 直线的斜率为，倾斜角为，故， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 易知直线交轴于点，所以，， 由图可知，当直线与圆相切，且切点位于轴下方时，取最小值， 由圆的几何性质可知，且，则， 故，故选A. 3.（2026·山东菏泽·二模）已知圆：，直线：，则直线被圆截得的弦长的最小值为（   ） A． B． C． D．10 【答案】B 【解析】由 整理为： ， 所以联立方程组得， 解得 ，即直线 恒过定点 ， 因为，所以圆心 ，半径 ， 所以圆心到定点的距离为：， 所以点 在圆内，直线 与圆始终相交， 当 最大时，弦长 最小；当直线 时，， 所以弦长最小值为：. 4.（2026·山东泰安·二模）已知为圆上的两个动点，且，点为直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取的中点，则， ， 要求的最小值，就是求的最小值， 圆的圆心为，半径为， ， 点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 点为直线上的动点， 的最小值为圆心到直线的距离减去半径， ， ，故选项C正确. 5.（多选）（2026·山东东营·二模）已知点，圆，点在圆上运动，点满足，其中为坐标原点．则下列说法正确的是（   ） A． B．点的轨迹方程为 C．的取值范围是 D．点到直线距离的最小值为 【答案】ABD 【解析】因为，所以，即，故A正确； 设，由已知且， 所以. 又点在圆上，得， 所以，故点轨迹为以为圆心，半径的圆，故B正确； 设，所以，     又，所以，故C错误； 因为圆心到直线距离为， 所以点到直线距离的最小值为，故D正确. 6.（2026·山东聊城·二模）已知、，动点满足：以为直径的圆与圆相切，若的外接圆的面积是其内切圆面积的倍，则的面积为______． 【答案】/ 【解析】设为线段的中点，又因为（坐标原点）为的中点，所以， 易知点在圆内，所以以线段为直径的圆内切于圆， 所以，所以，即， 可得， 所以点的轨迹是以点、为焦点，且长轴长为，焦距为的椭圆（除去长轴端点）， 设该椭圆的短半轴长为，则，，所以， 故点的轨迹方程为. 设，设，，则， 由余弦定理可得 ， 所以，所以， 设的内切圆、外接圆半径分别为、，由题意可知，则， 因为， 所以， 由正弦定理可得，故， 因为，即，即， 整理可得， 又因为，可得， 又因为，则，故， 所以， 所以，解得，则， 此时. ( 抛物线的方程 和性质 考点3 ) 1.（2026·山东济南·二模）已知抛物线的焦点为F，过点作C的准线的垂线，垂足为，则点到直线的距离为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，则，即， 准线方程为，则 则点到直线的距离为. 2.（2026·山东聊城·二模）已知直线过抛物线的焦点，与交于、两点，线段的中点为，的垂直平分线交轴于，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】设点、，易知直线的斜率存在，且，， 若直线轴，则线段的垂直平分线为轴，不符合题意， 所以直线的斜率存在且不为零， 则，作差得， 故直线的斜率为， 因为，且，所以，解得. 3.（多选）（2026·山东淄博·二模）已知抛物线C：的焦点在直线l：上，直线l与抛物线交于两点，点在第一象限，过分别作准线的垂线，垂足分别是，则下列说法中正确的是（    ） A．以线段为直径的圆与y轴相切 B．的最小值为 C． D．若向量，则 【答案】BCD 【解析】抛物线C：的焦点坐标为， 又因为焦点在直线l：上，代入得，即， 所以抛物线方程为，焦点，准线为. 设根据抛物线的定义可知，故半径为， 以线段为直径的圆的圆心坐标为，圆心到y轴的距离为，故A错误； 联立消元得：，故， 由抛物线的定义可知， 由抛物线的方程可知，即，因为点在第一象限所以， 所以由基本不等式可知， 当且仅当即时取等号，故B正确； ,则，， 所以 ，故C正确； 若向量，则，故， 又因为解得易知点在第四象限， 所以，，所以，故D正确. ( 双曲线的方程和性质 考点4 ) 1.（2026·山东济南·二模）若的中线，且，，，在平面直角坐标系中，点在双曲线上，则的离心率为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】在中，，， 由余弦定理得，则， 整理得，由点在双曲线上，得双曲线的方程为， 所以双曲线的离心率. 2.（2026·山东东营·二模）已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，点是椭圆和双曲线的一个公共交点，，椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设椭圆的长轴为，双曲线的实轴为，焦距为， 不妨设点是椭圆和双曲线在第一象限的交点， 则由椭圆的离心率为有， 由椭圆的定义有：①， 又由双曲线的定义有②， 由①②解得， 又，所以， 即，解得， 即，故选B. 3.（2026·山东日照·二模）已知双曲线：（，）的左右焦点分别为、、A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于、两点，且，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，以为直径的圆的方程为，不妨设双曲线的渐近线为． 设，则， 由，解得或， ∴，． 又为双曲线的左顶点，则， ∴，，， 在中，，由余弦定理得， 即， 即， 则，所以，则， 即，所以 ∴，故选：C. 4．（多选）（2026·山东济南·二模）若是两个不相等的正实数，则双曲线与双曲线的（    ） A．实轴长相等 B．焦距相等 C．离心率相同 D．渐近线相同 【答案】BD 【解析】，， 不妨设， 的实轴长分别为，不相等，故A错误； 的焦距分别为，相等，故B正确； 的离心率分别为，不相同，故C错误； 的渐近线分别为，相同，故D正确． ( 椭圆的方程和性质 考点 5 ) 1.（2026·山东济宁·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为第一象限内一点且在椭圆上，交轴于点，若，，则的离心率为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【解析】由题意可知：，则，， 因为，，则为的角平分线， 则，可得， 设，，，则，， 因为，则，解得，即， 则，解得，即， 则，则，即， 所以椭圆C的离心率. 2.（2026·山东淄博·二模）椭圆C：的左右焦点分别为，，点，P为C上一动点，则的最小值为______． 【答案】/ 【解析】依题意可得，， 将点代入椭圆C，有，则点在椭圆C内， 由椭圆的定义可知，即， 所以， 所以的最小值为． 3.（2026·山东菏泽·二模）已知椭圆：，曲线，若曲线与椭圆在第一象限内有两个交点，，且直线的斜率为，则椭圆的离心率为________. 【答案】 【解析】设，，，由在上. 得，， 两式作差得：. 即， 直线斜率，解得. 又在椭圆上，故，， 两式作差得：， 因式分解得：， 化简得，代入，得. 由 代入，得 将代入上式： 因，约去得，即. 又，代入得，化简得. 即，故椭圆离心率. 4.（2026·山东青岛·二模）已知平面内两点，与交于点．若，则的面积为___________． 【答案】 【解析】已知，由椭圆定义可知，在以为焦点的椭圆上， 则，故， ，椭圆方程为， 则， 由得，， 设，离心率， 由焦半径公式得， 则①， 由得②，， 联立①②可得， 由得，相似比为， 则在上，分的比为， ， ， ， ， ， ， 由相似比得， 由焦半径公式得， ， ， ， ，化简得， 则，变形可得， ， ． 5.（2026·山东枣庄·二模）已知椭圆的右焦点为，左，右顶点分别为，并且上的点到的最大距离是最小距离的3倍． (1)求的方程； (2)若点是上异于的任意一点，直线与分别交直线于两点． （ⅰ）求； （ⅱ）若直线交于另一点，设点的纵坐标分别为，求证：． 【解】（1）上的点到的最大距离为，最短距离为，又，则， 则，解得，故， 故的方程为； （2）（ⅰ）设，则，又、， 则，， 分别令，可得，， 又，则，， 故； （ⅱ）设，， 联立，消去得， 则，，则， 由（ⅰ）知，， 则， 故. 6.（2026·山东泰安·二模）已知椭圆过点，中心在原点，对称轴为坐标轴. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线的斜率为与椭圆交于两点，其中两点分别位于轴左，右两侧，直线分别与直线交于三点. （i）设直线的斜率为，直线的斜率为，求； （ii）当直线平分的内角（或其外角）时，求的值. 【解】（1）设椭圆的方程为 过点 ，解得 ∴椭圆的标准方程为 （2）（i）直线， 设 由得 ∵直线的方程为 令，得， ， ，； （ii）因为直线的方程为, 令，则有， 为的中点 如图，∥， 又 ( 弦长问题 考点 6 ) 1.（2026·山东枣庄·二模）过抛物线的焦点，且斜率为1的直线交于两点，则______． 【答案】 【解析】抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 所以直线的方程为，与抛物线方程联立， 得， ，设，， . 2．（2026·山东济南·二模）双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为______． 【答案】 【解析】令可得：， 所以双曲线的一条渐近线可为：，即， 圆的圆心， 所以圆心到直线的距离为：， 所以被圆所截得的弦长为：. 3．（2026·山东德州·二模）已知抛物线的焦点，过抛物线上一点作其准线的垂线，垂足为，若，则的长度为__________. 【答案】 【解析】由抛物线的对称性，不妨设在第一象限. 因为，故即，故抛物线的方程为. 因为，故直线的倾斜角为，故， 由可得，故或, 因为，故，故，所以. 4．（2026·山东济宁·二模）已知抛物线的焦点为，直线过点且与交于，两点，为坐标原点，若是，的等比中项，则________ 【答案】8 【解析】由题意可知：， 设直线，，， 则，，， 联立方程，消去x可得， 则，， 因为是，的等比中项，则， 可得，即， 所以. 5.（2026·山东菏泽·二模）已知是抛物线的焦点，点在上，且. (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线交于、两点，且，求的值. 【解】（1）因为点在上，所以①，②， 由①②得，所以抛物线的方程为. （2）若直线的斜率不存在，此时直线与抛物线只有一个交点，不符合题意， 所以直线的斜率存在，设直线的方程，设点、， 由得，， 由韦达定理可得，， ，解得， 所以，即， 解得或，所以或，所以的值为或. 6．（2026·山东青岛·二模）设抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，在第一象限，点为的重心，与轴的交点分别为.当的斜率为时，到的距离为. (1)求的方程； (2)若的面积与的面积之比为，求的方程. 【解】（1）抛物线的焦点， 直线斜率为，时，方程为， 到的距离：，结合， 解得，故的方程为； （2）设直线，联立， 得:， 设，韦达定理:，， 已知为的重心，由重心坐标公式： 代入， 解得：， 即， 与面积比，化简得:， 解得,故直线的方程为. ( 定值定点问题 考点 7 ) 1.（2026·山东淄博实验中学·二模）如图，椭圆，，已知右顶点为，且它们的交点分别为，，，．      (1)求与的标准方程； (2)过点作直线MN，交于点M，交于点N，设直线的斜率为，直线的斜率为，求；（上述各点均不重合） (3)点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点N，求点G坐标，使直线NG与直线NH的斜率之积为定值．（上述各点均不重合） 【解】（1）由题意得，，又因为在上， 代入得，所以，则. （2）设，则， 又因为，所以， 则，同理可得，所以. （3）设直线分别为，其斜率依次为， 设直线，联立得， 即有，所以，代入直线方程得， 则，设， 则经过的两直线之间斜率满足关系：， 将直线绕原点顺时针旋转后也会经过， 所以两者斜率满足，所以， 同理将直线绕原点顺时针旋转后也会经过， 所以两直线斜率满足， ， 设，则有，代入上式得：， 得到， 所以，因此存在定点， 使直线和直线的斜率之积为定值5. 2.（2026·山东济南·二模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，焦距为2，过的直线与交于两点，为线段的中点，过的直线与交于两点． (1)求C的方程； (2)设分别为直线的斜率，已知． （ⅰ）证明：为线段的中点； （ⅱ）判断四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【解】（1）解：由题意得, 解得， 所以椭圆的方程为； （2）解：（ⅰ）证明：由，则直线的斜率存在， 设直线的方程为，，，设中点， 联立，得， 则，， ，则， 即中点在直线上， 又是直线上，则，重合， 所以为线段的中点； （ⅱ）由（ⅰ）知为中点，为线段的中点，又关于原点对称， ， 又，则， ，解得， ， 点到直线的距离， 故四边形的面积为定值． 3.（2026·山东德州·二模）在平面直角坐标系中，点到点的距离是它到直线距离的倍，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)设点为的下顶点，直线过点且垂直于轴（位于原点与上顶点之间），过的直线交于两点，直线分别交于两点. （i）证明：为定值； （ii）是否存在实数使得四点共圆？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解】（1）设，由题意可知， 化简整理得：， 故的方程为. （2）（i）由题意可知，设， 则直线，直线， 因为在直线上，所以，代入直线方程，可知， 故点的坐标为，同理可得点的坐标为. 当直线斜率不存在时，显然不符合题意， 故设直线，代入双曲线方程中， 可得， 所以， 又 ， 所以. （ii）由四点共圆可知，， 又，即， 故， 即，所以. 所以，又，由， 则，整理可得， 所以， 故，即，所以点坐标为. 4.（2026·山东东营·二模）已知曲线上任意一点到点的距离比它到轴的距离大． (1)求曲线的方程； (2)为曲线上一点，直线与曲线交于两点（不与点重合），直线与轴交于点，直线与轴交于点，且． （i）求直线的斜率； （ii）证明：的外接圆的圆心在定直线上． 【解】（1）解：设点，由题知， 所以， 当时，； 当时，，无解，舍去； 综上，曲线的方程为； （2）因为为曲线上一点，所以，即， （方法一）（i）由题知，直线斜率均存在且不为0，设， 因为在曲线上，则， 同理可得， 所以， 令，得， 因为，所以，即， 所以，即直线的斜率为． （ii）由（i）知的中点， 所以直线的垂直平分线， 即，同理可得直线的垂直平分线 由（i）知，所以， 设圆心，联立，得，， 因为，所以， 所以 而， 消去得，即的外接圆的圆心在定直线上． （方法二）由题知，直线斜率均存在且不为0， 设，， 令，得， 因为，所以， 设， 联立，得有解， 所以①， 因为，所以， 即②， 把①代入②式可得，即， 因为直线不过点，所以，即， 所以，即直线的斜率为． （ii）由（i）知，联立， 得③，设的外接圆方程为， 因为在圆上，所以， 所以， 联立， 得④， 因为③式与④式有相同的解，所以， 消去得，所以或， 当时，，所以 过点，不成立，所以⑤， 设圆心，即，代入⑤式得， ，即的外接圆的圆心在定直线上． ( 最值范围问题 考点 8 ) 1.（2026·山东历城二中·二模）设为坐标原点，抛物线与的焦点分别为为线段的中点．点在上在第一象限），点在上，． （1）求曲线的方程； （2）设直线的方程为，求直线的斜率； （3）若直线与的斜率之积为，求四边形面积的最小值． 【解】（1）抛物线的焦点为， 由为线段的中点，可得， 所以曲线的方程为； （2）设，，，， 联立，消去x整理得，解得，， 则，， 因为，则， 因为，，则，所以， 所以，，即，直线的斜率为； （3）因为，，，， 所以，， 因为，所以 因为，，，， 所以，① 由代入①得， 由得， 因为，，所以，所以，同理， 所以且， 所以，因为，所以， 所以，得，即， 设，联立消去x，得， 所以，所以，则，所以过定点， 则， 当且仅当，即时取等号，所以， 所以四边形面积的最小值为 2.（2026·山东济宁·二模）已知双曲线过点，其渐近线方程为. （1）求双曲线的标准方程； （2）圆与轴交于、两点.记直线与双曲线的另一个交点为，直线与双曲线的另一个交点为.过坐标原点作，垂足为. （i）求直线和直线的斜率之积； （ii）若恒成立，求的取值范围. 【解】（1）因双曲线渐近线方程为，所以设双曲线方程为 ​， 因为已知双曲线过点，代入方程得，得. 所以双曲线方程为，即. （2）（i）因为圆与轴交于、两点，令， 得，设，由韦达定理得，且， 所以，，所以. 因此直线和直线的斜率之积为. （ii）设直线斜率为，则由（i）得直线的斜率​， 将直线方程代入双曲线方程， 得，因为直线与双曲线一个交点为， 所以由韦达定理可得，， 再代入直线方程得，所以. 同理得，又因为，所以. 所以 ， 直线的方程为， 令得，， 所以直线PQ恒过定点. 设直线的斜率为，则，且过点，所以直线的方程为， 又因为，所以的直线方程为，代入， 解得，， 又因为直线的方程为，令得，同理可得， 由圆的圆心，得， 所以，，， 所以 令，则， 令，， 令，得，解得或（舍去，因为） 所以当时，；当时，. 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以函数有极小值也是最小值. 因为若恒成立，所以，故的取值范围为. ( 融合创新问题 考点 9 ) 1.（多选）（2026·山东菏泽·二模）闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义.设两组数据分别为和，这两组数据间的闵氏距离定义为，其中表示阶数，则下列说法正确的有（） A．若，，则 B．若，，其中，则的最小值为 C．若，，其中，则的最小值为1 D．若，，则对任意实数，都有 【答案】ACD 【解析】对于A：，故正确. 对于B：， ，，， . 取点在曲线上，点在直线上，，B选项错误. 对于C，点在曲线上运动，点在直线上运动，要使最小， 则两点距离最小.如图，平移直线与曲线相切， 根据切线不等式，当且仅当时等号成立， 则切线为，切点为， 过切点作直线的垂线，则垂线所在直线方程为， ；联立可易得垂足坐标为，故当最小，为，故正确；    对于D：，，，，. 由，得，令. 则， 所以. 因为，所以. 所以， 所以，D正确. 2．（2026·山东济南·二模）半径为1的圆沿圆外侧无滑动滚动一周，设圆上的点的运动轨迹为曲线.已知点的初始位置为，则（    ） A．点在曲线上 B．曲线围成的区域面积等于16 C．曲线与直线有三个交点 D．曲线上点的横坐标的最大值为 【答案】ACD 【解析】圆沿圆外侧无滑动滚动， 所以圆心的轨迹是以原点为圆心、半径为的圆， 点到原点的距离满足， 点到原点的距离为， 当圆滚动到圆正上方时，点恰好位于， 故选项A正确； 曲线围成的区域面积介于半径为的圆面积和半径为的圆面积之间， 即，不可能等于， 选项B错误； 由参数方程设圆的圆心为， 外摆线参数方程标准形式， 代入可得曲线的参数方程为（为参数）， 解方程，， 整理得 ， 作出与在的图象，有2个交点， 令，所以曲线与直线有三个交点，C正确； ， 令， ，， ，，在上递增， ，或， 在，上递减， 所以在处取得极大值，即最大值. 点坐标为， 当时，横坐标为最大值， 选项D正确. 3.（2026·山东淄博·二模）如图，在正四棱柱中，，，将直线绕直线AD旋转一周，旋转后所得的图形与平面ABCD的交线为. （1）E为上靠近的三等分点，求E绕直线AD旋转一周后所得图形的周长； （2）在平面ABCD内以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. （ⅰ）求的轨迹方程； （ⅱ）为平面ABCD内且不在上的定点，过P的直线l与有2个交点M、N，若M、N在直线AD的两侧，求的最小值（用m，n表示）. 【解】（1）（ⅰ）点绕直线旋转一周所得图形为圆，过作，垂足为； 过作，垂足为，连接， 因为平面，平面，所以， 平面， 所以平面.因为平面，所以， 即到的距离为. 而，所以. 所以绕直线AD旋转一周后所得图形周长为. （2）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系. 而为上任意一点，旋转后与平面的交点为， 设旋转过程中到的距离与到的距离相等且垂足相同. 到的距离为，到的距离为， 所以，整理得. （ii）由题意知的斜率存在，设为，则 . 如图，作出符合题意的图形，设，. 联立 ，整理得. 根据韦达定理，. 在轴的两侧 ，即 . ，此时恒成立. 可得 ， 代入韦达定理整理得 ， 而， 当最小时，， 即的最小值为. 4.（2026·山东日照·二模）已知抛物线，点在抛物线上． （1）证明：以点为切点的的切线的斜率为； （2）过外一点（不在轴上）作的切线AB，AC，切点分别为点B，C，作平行于BC的切线，切点为点，点分别是切线与AB，AC的交点，设BC的中点为（如图所示）． （i）证明：A，D，E三点共线； （ii）过外一点的两条切线及第三条切线（第三条切线平行于两切线切点的连线）围成的三角形叫做“切线三角形”，如．设面积为，第1次由点作切线三角形，第2次分别由点作切线三角形，并依此方法重复次，记所得所有“切线三角形”的面积之和为．判断与的大小关系并证明． 【解】（1），则以为切点的的切线斜率存在且不为， 设为. 由于该直线和有唯一公共点， 故联立后的方程组只有唯一解. 从而将第一个方程代入第二个，得到的方程只有唯一解. 此方程展开即为，从而，所以， 即以点为切点的的切线的斜率为. （2）（i）设，则， 由（1）可知在处的切线分别是和， 联立两直线方程解得， 所以，由于不在轴上，所以， 故， 所以的纵坐标为，从而， 而，在外，在上， 所以直线的方程是. 因为的中点为，所以， 所以直线的方程为，故三点共线. （ii）.设，由（i）可知， 由点确定的切线三角形的面积为， 即后一个切线三角形的面积是前一个切线三角形面积的， 由此继续下去，可得 . 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $