专题06 数列（6大考点）（山东专用）2026年高考数学二模分类汇编

专题06 数列 6大考点概览 考点01递推公式 考点02等差数列 考点03等比数列 考点04等差数列与等比数列综合 考点05数列求和 考点06创新融合 ( 递推公式 考点1 )1.（2026·山东聊城·二模）数列共有项，其中，，且，则满足这种条件的不同数列的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得， 所以或，记，， 因为，，设， 即，整理可得，所以，解得， 所以从变化到的过程中，需要乘个，个， 由组合计数原理可知，满足这种条件的不同数列的个数为. 2.（2026·山东济南·二模）已知数列的首项，，则______． 【答案】/ 【解析】由题设有， 由累加法可得，， 即，， 故，， ，， 而的周期为，故是周期为的数列， 且， 故. ( 等差数列 考点2 ) 1．（2026·山东菏泽·二模）已知等差数列的前项和为，，则（   ） A． B．45 C．50 D．90 【答案】B 【解析】等差数列中，，解得， 所以. 2.（2026·山东淄博·二模）已知等差数列和的前10项均为正整数，且公差均不为0.若，则的最小值为（   ） A．15 B．10 C．9 D．5 【答案】B 【解析】设数列的公差为，设数列的公差为. 因为等差数列和的前10项均为正整数，且公差均不为0， 所以首项和公差为整数，即， 若数列是递增数列，则，这样，又题中所述，此时，与题意不符， 故数列是递减数列，即 而，， 若要求的最小值，只需求的最小值， 若要求的最小值，只需求最小值减去最大值，而最大值为， 下面分析最小值： 当时，，此时的最小值必定大于等于，无答案； 当时，，此时的最小值必定大于等于， 接下来验证时是否满足题意， 因为，在的最小值为10的情况下，， 解得，若，满足题干所有条件，综上的最小值为10. ( 等比数列 考点3 ) 1.（2026·山东济南·二模）已知为等比数列，，，则（   ） A．8 B．12 C．16 D．17 【答案】A 【解析】由等比中项的性质知， 若该数列的公比为，则，显然，所以. 2.（2026·山东泰安·二模）已知等比数列的公比大于1，前项和为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】B 【解析】设等比数列的首项为，公比为，其中． 则，由，得． 令，则．由上式可得， ，，由题意得， 因为，所以． 化简得．解得或． 又，所以，故． 3．（2026·山东菏泽·二模）等比数列满足，公比为，其前项和为，数列满足，则下列说法正确的有（   ） A．时，为等差数列 B．时，中任意两项的差均不为0 C．不存在，使得为常数列 D．不存在，使得为等比数列 【答案】ABD 【解析】已知等比数列满足，公比为，其前项和为，数列满足， 对于A，当时，，，代入的表达式得， ，因此是等差数列，故A正确； 对于B，当时，，， 代入的表达式得， 由于是单调递减的， 因此数列不存在相同的项，即中任意两项的差均不为，故B正确； 对于C，当时，，， 代入的表达式得， 因此存在，使得为常数列，故错误； 对于D，由，且， 当时，，，代入的表达式得，，显然不是等比数列； 当时，，则，得， 当时，由C选项可知，此时，则数列为零数列，不是等比数列，不符合条件， 当时，要使为等比数列，则对任意恒成立，其中是一个常数， 而，解得，当且仅当时恒成立，不符合条件，因此不存在，使得为等比数列，故D正确. ( 等差数列与等比数列 考点4 )1.（2026·山东东营·二模）已知是等差数列，是等比数列，且，则（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【解析】由题可知，则， ， ，解得，． 2．（2026·山东枣庄·二模）已知等差数列中，，其前项和为．等比数列中，．则满足的的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】等差数列的公差， 则， 等比数列的公比，即， 令，当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，的增长远快于，故无解； 故符合题意的的个数为. ( 数列求和 考点 5 ) 1．（2026·山东枣庄·二模）设数列的前项和为，若． (1)证明：数列是等比数列； (2)设，数列的前项和记为，求． 【解】（1）因为， 所以当时，，解得， 当时，， 所以，即. 所以， 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）知，. 所以， 则，① ，② ①减去②，得： 所以. 2.（2026·山东泰安·二模）已知数列满足，等差数列满足. (1)求数列和通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【解】（1），， 又，且，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列， ，， ， 设等差数列的公差为，则， . （2） ， . 3．（2026·山东日照·二模）已知数列的前项和为，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列是公差为2的等差数列，且．若将数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值． 【解】（1）由等差数列性质得： ①， 当时，，解得， 当时，有： ②， ①-②得：， 整理得： ， 因此是首项为，公比为2的等比数列， 故. （2）设，代入得： ， 因此，是首项为，公差为的等差数列， 令，即，得，为正整数， 故所有的都在中（小于，不在中）， 要得到的前30项，即从前项中去掉个属于的项，满足， 去掉的项为，共个（，故不在的前35项中）， 故，即的前30项和等于前35项和减去5个的和， 前35项和：， 去掉的5个的和：， 因此. 4．（2026·山东聊城·二模）记数列的前项和为，若满足，，且． (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解】（1）由①，得②， ②−①得③，则④， ④−③得，即， 所以是等差数列，设其公差为， 由，得，所以． 因为，所以公差， 所以． （2） ， 所以． 由对恒成立，得，即． 设，由对恒成立， 得，解得或，故的范围为． 5．（2026·山东济宁·二模）记为数列的前项和，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)记为数列的前项和，求. 【解】（1）因为中，且， 当时，所以， 所以，化简得，即得， 所以， 所以，当时，所以， 综上，； （2）由（1）可得， 即得， ， ， ， 所以. ( 创新融合 考点 6 ) 1.（2026·山东青岛·二模）设随机变量的分布列为，且，则（    ） A．数列是等比数列 B． C．数列前7项之和为 D． 【答案】D 【解析】因为，， 则当时，， 代入得，化简得; 由递推式：，即; 由分布列概率总和为1可得：，即. 选项A，因为，所以，，所以数列不是等比数列，A错误； 选项B，，B错误； 选项C，因为，所以前7项和为：，C错误； 选项D，期望，D正确. 2．（2026·山东淄博·二模）记为数列的前n项和，若，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当为奇数时，，， 则可化为， 因为，所以， 当为偶数时，，， 则可化为， 因为，所以的偶数项是首项为，公比为的等比数列， 所以 ． 3．（多选）（2026·山东日照·二模）对于无穷数列，若存在常数，使得对任意的，都有不等式成立，则称数列具有性质．则下列结论正确的是（   ） A．存在公差不为0的等差数列具有性质 B．以1为首项，为公比的等比数列具有性质 C．若由数列的前项和构成的数列具有性质，则数列也具有性质 D．若数列和均具有性质，则数列也具有性质 【答案】BCD 【解析】设，，​ 对于A：若是公差的等差数列，则 ，因此 ， 当时， ，不存在满足条件的，A错误； 对于B：等比数列的通项公式为， ，则： ， ，​ 右侧为常数，取即满足条件，B正确； 对于C：若 具有性质，则存在，对任意有，， 对由三角不等式放缩： ， 存在常数 满足条件，C正确； 对于D：若 都具有性质，则二者一定有界： ， （为常数）， 对 的差放缩 ， 求和得：，右侧为常数，满足性质，D正确. 4．（多选）（2026·山东淄博·二模）设为复数数列，，，记的实部为，虚部为． (1)求数列的通项公式； (2)证明：数列为等比数列； (3)求． 【解】（1）因为， 故 ， 而，均为实数，故， 而，，均为实数，故，故. （2）由（1）可得，故，， 所以，因为，故， 故，而， 故数列为等比数列，且首项为，公比为. （3）由（2）可得，故， 故. 5．（2026·山东德州·二模）某社区举行乒乓球比赛，现有甲､乙等名选手参加.规则如下，将所有选手随机编号为，第一轮1号与2号对战，3号与4号对战，以此类推，共决出名胜者进入第二轮；第二轮1号与2号的胜者和3号与4号的胜者对战，以此类推，决出名胜者进入第三轮；最终有2名胜者进入第轮对战，第轮对战的胜者即为整场比赛的冠军.已知甲选手与其他选手对战时，甲获胜的概率为；其余选手两两对战时，双方获胜的概率均为0.5；比赛没有平局，且每场比赛结果相互独立. (1)若，求乙获得冠军的概率； (2)记为甲和乙恰在第轮比赛中对战的概率，求； (3)记为甲和乙对战过且乙获得冠军的概率，求. 【解】（1）记：事件为“甲获得冠军”，事件为“乙获得冠军”，则 由对称性知：除甲以外的所有选手获得冠军的概率相同， 因此，解得， 所以乙获得冠军的概率为. （2）由对称性不妨设甲编号为1，若乙在第轮比赛中与甲对战， 则抽签时乙的编号，其概率为， 甲和乙在第轮之前不被淘汰的概率分别为，所以， 所以. 该结果表示甲与乙在整场比赛中对战过的概率. （3）设表示甲与乙在第轮比赛对战过且乙获得冠军的概率， 则. 所以. 6．（2026·山东青岛·二模）若数列满足：，则称为“数列”． (1)已知，判断数列是否为“数列”； (2)已知数列为“数列”，若任意不相等的正整数满足．证明：； (3)若数列为“数列”，，且满足．证明：． 【解】（1）已知，则 ， 当时，，即，满足定义， 数列是“数列”． （2）已知数列为“数列”，则， 变形可得，令，则单调递增， 已知任意不相等的正整数满足， 不妨设， 则， ， 单调递增，则， ，即， ，命题得证． （3）由定义得，数列递增， 若存在使得，则持续递增， ，时，与矛盾， ，即； 设，则单调递减， 对任意有，， ， ， 结合可得， ， ， ， 解得，故， 综上可得，． 7．（2026·山东济南·二模）给定正整数n，数集满足对于任意，都存在，使得． (1)若，，且，求； (2)证明：对于任意，都有； (3)若，，且，求数集中所有元素的和．（用含有的式子表示） 【解】（1）当 时，取 ，则 故命题成立. 当 或 时，命题也显然成立. 由题意，对 ，应有 故 分别解得 又因为 为三元数集，故 ，且 ，所以 （2）当 时，命题显然成立. 当 时，设 为 中的最大元素， 为 中的最小元素. 若 既不是最大元素，也不是最小元素，则 于是对任意 ，都有 另一方面，取 ，则 由题设，应存在 ，使得 即 这与 矛盾. 故 必为 中的最大元素或最小元素. 若 为最大元素，则对任意 ，都有 从而 若 为最小元素，同理可得 命题得证. （3）若 ，则 ，又已知 ，故 是 中的最小元素. 下证 成等差数列. 由且 ，由题设知存在 ，使得 又因为 是最小元素，所以 . 由 可知 ，故只能有 ，从而 所以 成等差数列. 设对 ，都有其中 . 则 即 由题设，存在 ，使得 由 可知 ，于是 . 又由归纳假设， 结合 ，可知只能有 所以 由数学归纳法可知，对任意 ，都有 故当 时， 中元素之和为 当 时， 为 中的最大元素. 用同样的方法可证 成等差数列. 又因为该等差数列的首项为 ，末项为 ，项数为 ，故当 时， 中元素之和为 综上，当 时， 中元素之和为 ；当 时， 中元素之和为 . 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 数列 6大考点概览 考点01递推公式 考点02等差数列 考点03等比数列 考点04等差数列与等比数列综合 考点05数列求和 考点06创新融合 ( 递推公式 考点1 )1.（2026·山东聊城·二模）数列共有项，其中，，且，则满足这种条件的不同数列的个数为（    ） A． B． C． D． 2.（2026·山东济南·二模）已知数列的首项，，则______． ( 等差数列 考点2 ) 1．（2026·山东菏泽·二模）已知等差数列的前项和为，，则（   ） A． B．45 C．50 D．90 2.（2026·山东淄博·二模）已知等差数列和的前10项均为正整数，且公差均不为0.若，则的最小值为（   ） A．15 B．10 C．9 D．5 ( 等比数列 考点3 ) 1.（2026·山东济南·二模）已知为等比数列，，，则（   ） A．8 B．12 C．16 D．17 2.（2026·山东泰安·二模）已知等比数列的公比大于1，前项和为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 3．（2026·山东菏泽·二模）等比数列满足，公比为，其前项和为，数列满足，则下列说法正确的有（   ） A．时，为等差数列 B．时，中任意两项的差均不为0 C．不存在，使得为常数列 D．不存在，使得为等比数列 ( 等差数列与等比数列 考点4 )1.（2026·山东东营·二模）已知是等差数列，是等比数列，且，则（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 2．（2026·山东枣庄·二模）已知等差数列中，，其前项和为．等比数列中，．则满足的的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 ( 数列求和 考点 5 ) 1．（2026·山东枣庄·二模）设数列的前项和为，若． (1)证明：数列是等比数列； (2)设，数列的前项和记为，求． 2.（2026·山东泰安·二模）已知数列满足，等差数列满足. (1)求数列和通项公式； (2)若，求数列的前项和. 3．（2026·山东日照·二模）已知数列的前项和为，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列是公差为2的等差数列，且．若将数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值． 4．（2026·山东聊城·二模）记数列的前项和为，若满足，，且． (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 5．（2026·山东济宁·二模）记为数列的前项和，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)记为数列的前项和，求. ( 创新融合 考点 6 ) 1.（2026·山东青岛·二模）设随机变量的分布列为，且，则（    ） A．数列是等比数列 B． C．数列前7项之和为 D． 2．（2026·山东淄博·二模）记为数列的前n项和，若，，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（2026·山东日照·二模）对于无穷数列，若存在常数，使得对任意的，都有不等式成立，则称数列具有性质．则下列结论正确的是（   ） A．存在公差不为0的等差数列具有性质 B．以1为首项，为公比的等比数列具有性质 C．若由数列的前项和构成的数列具有性质，则数列也具有性质 D．若数列和均具有性质，则数列也具有性质 4．（多选）（2026·山东淄博·二模）设为复数数列，，，记的实部为，虚部为． (1)求数列的通项公式； (2)证明：数列为等比数列； (3)求． 5．（2026·山东德州·二模）某社区举行乒乓球比赛，现有甲､乙等名选手参加.规则如下，将所有选手随机编号为，第一轮1号与2号对战，3号与4号对战，以此类推，共决出名胜者进入第二轮；第二轮1号与2号的胜者和3号与4号的胜者对战，以此类推，决出名胜者进入第三轮；最终有2名胜者进入第轮对战，第轮对战的胜者即为整场比赛的冠军.已知甲选手与其他选手对战时，甲获胜的概率为；其余选手两两对战时，双方获胜的概率均为0.5；比赛没有平局，且每场比赛结果相互独立. (1)若，求乙获得冠军的概率； (2)记为甲和乙恰在第轮比赛中对战的概率，求； (3)记为甲和乙对战过且乙获得冠军的概率，求. 6．（2026·山东青岛·二模）若数列满足：，则称为“数列”． (1)已知，判断数列是否为“数列”； (2)已知数列为“数列”，若任意不相等的正整数满足．证明：； (3)若数列为“数列”，，且满足．证明：． 7．（2026·山东济南·二模）给定正整数n，数集满足对于任意，都存在，使得． (1)若，，且，求； (2)证明：对于任意，都有； (3)若，，且，求数集中所有元素的和．（用含有的式子表示） 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $