专题05 三角函数与解三角形（5大考点）（山东专用）2026年高考数学二模分类汇编

专题05 三角函数与解三角形 5大考点概览 考点01三角函数的图象与解析式 考点02三角函数的性质 考点03三角恒等变换 考点04解三角形 考点05创新融合 ( 三角函数的图象与解析式 考点1 ) 1.（2026·山东德州·二模）如图，函数的图象上有两点，则（    ） A． B． C．在区间上单调递减 D．为偶函数 【答案】ABC 【解析】因为，故即，而在上升曲线段中， 故，而，故，故A正确； 而，由图形结合对称性可得为轴右侧的第一条对称轴， 故即即，故B正确； 故， 当时，，而在上为减函数， 故在上为减函数，故C正确； 又，设， 而，故为奇函数，故D错误. 2．（2026·山东菏泽·二模）已知，曲线与曲线相邻的四个交点构成一个菱形，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如下图所示，取两函数图象相邻的四个交点、、、，则四边形为菱形， 不妨设点、、，由题意可知， 由，整理可得， 由可得或， 由可得，可得， 不妨取、、，即取点、、， 所以， ， 由，即，解得. ( 三角函数的 性质 考点 2 ) 1．（2026·山东淄博·二模）若是函数的两个相邻的零点，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】由题意得，故，因为，所以， 故选：A． 2．（2026·山东枣庄·二模）函数的最小正周期为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知得 的最小正周期，故选C. 3．（2026·山东东营·二模）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，即． 因为，所以，即，即， 所以函数的值域为． 4．（2026·山东济南·二模）已知函数，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于，所以, 因为​，所以， 因为，且，则 ​由余弦函数的对称性，，且， 所以，则， 则， 因为，且， 所以 5.（2026·山东聊城·二模）已知，函数在区间内恰有三条对称轴和两个极大值点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，当时，的取值范围取决于的符号， 当时， ，当时， ， 1. 对称轴与极大值点的判定： 函数转化为， 的对称轴对应， 的极大值点对应 题意即为：区间内恰有个形如的点，且恰有个形如的点. 2. 先判断的符号：若则， 由于左端点大于，若区间内恰有三条对称轴， 则只能是这三个点落在区间内， 这时极大值点只可能有这一个，不可能有两个极大值点，与题意矛盾,故必有 于是，记左端点为， 3. 利用“三条对称轴”和“两个极大值点”列条件： 因为要使区间内恰有三条对称轴，只能对应， 这三个点在区间内，而不在区间内， 所以，这时区间内的极大值点对应恰好有两个，也满足题意. 因此只需求解， 两边同除以，得， 即，再乘以，得. 6．（多选）（2026·山东青岛·二模）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则（    ） A． B．直线是曲线的对称轴 C．在区间单调递增 D．函数是奇函数 【答案】BCD 【解析】由函数的图象向左平移个单位长度得到，故A不正确， 的对称轴满足，即，当时，，即直线是曲线的对称轴，故B正确； 令，解得：， 当时，，所以在区间单调递增，故C正确； ， 所以函数是奇函数，故D正确. 7．（多选）（2026·山东济宁·二模）已知函数的一条对称轴为直线，若在区间上单调，且，则（    ） A． B．在区间上单调递减 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BC 【解析】，其中， 因为一条对称轴为直线， 所以，解得，A错误； 则，所以可取， 此时， 由，得， 由于，所以在区间上单调递减，B正确； 因为在区间上单调，且， 所以的最大值为，C正确； 对称中心横坐标满足，得， 又，且在区间上单调， 所以与关于对称中心对称，所以， 所以当时，可得最小，D错误． 8．（多选）（2026·山东日照·二模）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若是的一个单调递增区间，则（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．函数的最大值为1 D．方程在上有5个实数根 【答案】ABD 【解析】函数的图象向右平移个单位长度后得到： ， 显然的最小正周期为，则长度是的半个最小正周期， 又是的一个单调递增区间，则， 即有，，解得，， 而，解得，于是， 对于A，函数的最小正周期，A正确； 对于B，由，得，函数在上单调递增， 因此函数在上单调递增，B正确； 对于C，， 则， 因此函数的最大值为，C错误； 对于D，对方程，即 ， 得或， 当时，， ，且有两个解， 所以方程在上有5个实数根，D正确. 9．（多选）（2026·山东泰安·二模）已知函数为常数，且，若函数的最大值等于，则下列选项正确的是（    ） A．若是函数的两个相邻零点，则 B． C．将函数的图象向右平移个单位长度后，图象关于原点对称 D．若函数在区间上恰有3个零点，则 【答案】BC 【解析】设，其中. 因为函数的最大值为，且已知其最大值等于，所以. 即，所以. 故，即，可取. 于是，从而 ，且. 所以. 对于 A．由，得. 所以零点为. 设两个相邻零点分别为， 则. 于是. 所以它不恒等于．故 A 错误； 对于 B．，而. 所以，故 B 正确； 对于 C．将函数的图象向右平移个单位长度后， 所得函数为. 因为函数为奇函数，所以其图象关于原点对称．故 C 正确； 对于 D．令，则， 即，所以. 要使在区间上恰有 3 个零点，就应满足： 第 1 个零点第 2 个零点第 3 个零点， 但第 4 个零点，于是条件化为， 即，因此，故 D 错误． ( 三角恒等变换 考点 3 ) 1．（2026·山东德州·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设有， 故， 若，则，与矛盾； 故 2.（2026·山东菏泽·二模）已知函数满足，则________. 【答案】 【解析】先对求导：. 令，得. 移项得，即. 所以，代入，. 3.（2026·山东青岛·二模）已知角的终边不重合，且，则___________. 【答案】 【解析】由，可得， 因为， 且，所以， 因为角的终边不重合，所以， 则，可得， 所以. 4.（2026·山东济南·二模）记内角，，的对边分别为，，，，则的最小值为______ 【答案】/ 【解析】因为，而， 由正弦定理得， 所以. 又因为， 设，，所以. 又，所以， 所以，即， 设，所以，即有解， 所以，解得. 若，则与中至少有一个为负数，这与三角形中最多只有一个钝角矛盾，故. 即有，所以，故的最小值为. ( 解三角形 考点 4 ) 1．（2026·山东济宁·二模）在中，内角，，所对的边分别为，，，，，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在中，，， 由正弦定理得，又因为， 所以得， 化简得，即得， 所以，且则. 2.（2026·山东青岛·二模）在中，角所对的边分别为，，，则边上的高为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】由正弦定理和可得， 又，， 所以， 因为，所以， 所以，得，即， 由余弦定理可得，即， 记边上的高为，则由面积公式得，得. 3．（多选）（2026·山东枣庄·二模）在锐角中，角的对边分别为，且．则（    ） A．的面积为 B． C．若，则 D．的取值范围为 【答案】ACD 【解析】对于A，由，所以，故A正确； 对于B，由，可得，所以，故B错误； 对于C，，又，， 所以，即， 所以，即，所以， 即，所以， 由为锐角知，故解得，故C正确； 对于D，因为，所以，作于，过作，且，如图， 所以A点的轨迹为线段（不包含端点及中点，否则三角形为直角三角形，不符合题意），由图形可知，且， 令，且，则在上单调递减，在上单调递增， 又当时，，当或时，，所以， 即的取值范围为，故D正确. 4.（2026·山东日照·二模）已知分别为的三个内角的对边，若，，则角__________________． 【答案】/ 【解析】在中，因为，， 所以由正弦定理得， 又，所以或， 在中，由，所以，所以. 5.（2026·山东聊城·二模）如图，线段，和为其三等分点，为半圆上一动点，为等边三角形，则和面积之和的最大值为______． 【答案】 【解析】设，其中， 因为，和为其三等分点，则，， 由余弦定理可得， 所以， ， 所以， 因为，所以，故当时，即当时， 和面积之和取最大值. 6．（2026·山东济南·二模）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若，，，边上的中线，相交于点． （i）求； （ii）求． 【解】（1）由正弦定理得， ∴， ∴， ∵，∴， ∴． ∵  ∴，即． （2）（i）∵， ∴． （ii）在中，由余弦定理得， 即 （法一）由题知是的重心， ∴，∴， 在中，由余弦定理得． （法二）又， ∴． ∴． 7．（2026·山东济南·二模）记的内角的对边分别是，已知，． (1)证明：为等腰三角形； (2)若边上的高为，且，求的周长． 【解】（1）因为， 由正弦定理可得， 即， 因为在中，， 所以，即， 因为在中，， 所以或（舍去）， 则， 则在中，， 即， 所以为等腰三角形； （2）由（1）知因此； 因为，代入 得：， 所以，得 因为为三角形内角，， 故：， 由于，所以 因为边上的高为​，， 所以，解得： 因为， 所以 因此， 所以的周长为： 8．（2026·山东东营·二模）已知的角的对边分别为，满足． (1)求角； (2)若，的面积为1，求的周长． 【解】（1）因为，所以， 因为，所以 所以， 即，因为，所以， 即，因为， 故； （2）因为的面积为1，所以，即， 由余弦定理得 所以， 所以的周长． 9．（2026·山东德州·二模）在凸四边形中，已知，. (1)求的值； (2)求的值. 【解】（1）过分别作直线的垂线，垂足分别为，易知， 因为，所以，所以， 在直角中，. （2）在直角中，由勾股定理知. 在直角中，因为， 所以. 于是有， 在中，由余弦定理可知. 所以的值为. 10．（2026·山东菏泽·二模）在中，它的内角，，的对边分别为，，，且，. (1)若，求； (2)若，求的面积. 【解】（1）因为，，， 所以由正弦定理得：， 因为，所以或. 所以当时，，符合题意； 所以当时，，符合题意. （2）在中，因为， 所以， 把，， 代入得， 又因为， 所以，，所以， 所以， 所以的面积为. 11．（2026·山东淄博·二模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，. (1)求C； (2)若，求△ABC的面积. 【解】（1）由， 得， 则， 因为，所以， 所以或或， 故，由，得； （2）由以及正弦定理得， 由，得， 由余弦定理得，得， 故△ABC的面积为 ( 创新融合 考点 5 ) 1．（2026·山东聊城·二模）设函数，则（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在区间上单调递增 D．当时，方程在区间上所有实根的和为 【答案】BCD 【解析】因为且 都是偶函数， 所以 故是函数的一个周期. 又 所以的最小正周期不是，而是.因此A错误. 对于B，任取， ， 由余弦函数的性质可得所以函数的图象关于直线对称，B正确. 对于C，因为， 所以 当时， 从而 于是故函数在区间上单调递增，C正确. 对于 D，令则方程化为即 因为且 所以在区间 上，方程只有唯一解 设则 于是 在区间内，方程的解为 方程的解为 故区间内全部实根为 这些根的和为 ， 所以D正确. 综上，正确选项为BCD. 2.（2026·山东枣庄·二模）已知，．则的取值范围是______． 【答案】 【解析】令 ， 则，， 故，则，， 对称轴为 ， 令，则， 故， 又，故使得最小的在区间内， 故对， 有， 即有，则， 即，又， 取交集可得. 3.（2026·山东泰安·二模）已知函数，则__________. 【答案】4 【解析】函数， 当，，因为，， 则函数在上单调递减， 所以； 当，，因为，， 则函数单调递增，所以； 则 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角函数与解三角形 5大考点概览 考点01三角函数的图象与解析式 考点02三角函数的性质 考点03三角恒等变换 考点04解三角形 考点05创新融合 ( 三角函数的图象与解析式 考点1 ) 1.（2026·山东德州·二模）如图，函数的图象上有两点，则（    ） A． B． C．在区间上单调递减 D．为偶函数 2．（2026·山东菏泽·二模）已知，曲线与曲线相邻的四个交点构成一个菱形，则（   ） A． B． C． D． ( 三角函数的 性质 考点 2 ) 1．（2026·山东淄博·二模）若是函数的两个相邻的零点，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2026·山东枣庄·二模）函数的最小正周期为 A． B． C． D． 3．（2026·山东东营·二模）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·山东济南·二模）已知函数，若，且，则（    ） A． B． C． D． 5.（2026·山东聊城·二模）已知，函数在区间内恰有三条对称轴和两个极大值点，则（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（2026·山东青岛·二模）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则（    ） A． B．直线是曲线的对称轴 C．在区间单调递增 D．函数是奇函数 7．（多选）（2026·山东济宁·二模）已知函数的一条对称轴为直线，若在区间上单调，且，则（    ） A． B．在区间上单调递减 C．的最大值为 D．的最小值为 8．（多选）（2026·山东日照·二模）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若是的一个单调递增区间，则（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．函数的最大值为1 D．方程在上有5个实数根 9．（多选）（2026·山东泰安·二模）已知函数为常数，且，若函数的最大值等于，则下列选项正确的是（    ） A．若是函数的两个相邻零点，则 B． C．将函数的图象向右平移个单位长度后，图象关于原点对称 D．若函数在区间上恰有3个零点，则 ( 三角恒等变换 考点 3 ) 1．（2026·山东德州·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 2.（2026·山东菏泽·二模）已知函数满足，则________. 3.（2026·山东青岛·二模）已知角的终边不重合，且，则___________. 4.（2026·山东济南·二模）记内角，，的对边分别为，，，，则的最小值为______ ( 解三角形 考点 4 ) 1．（2026·山东济宁·二模）在中，内角，，所对的边分别为，，，，，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 2.（2026·山东青岛·二模）在中，角所对的边分别为，，，则边上的高为（    ） A． B．1 C． D．2 3．（多选）（2026·山东枣庄·二模）在锐角中，角的对边分别为，且．则（    ） A．的面积为 B． C．若，则 D．的取值范围为 4.（2026·山东日照·二模）已知分别为的三个内角的对边，若，，则角__________________． 5.（2026·山东聊城·二模）如图，线段，和为其三等分点，为半圆上一动点，为等边三角形，则和面积之和的最大值为______． 6．（2026·山东济南·二模）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若，，，边上的中线，相交于点． （i）求； （ii）求． 7．（2026·山东济南·二模）记的内角的对边分别是，已知，． (1)证明：为等腰三角形； (2)若边上的高为，且，求的周长． 8．（2026·山东东营·二模）已知的角的对边分别为，满足． (1)求角； (2)若，的面积为1，求的周长． 9．（2026·山东德州·二模）在凸四边形中，已知，. (1)求的值； (2)求的值. 10．（2026·山东菏泽·二模）在中，它的内角，，的对边分别为，，，且，. (1)若，求； (2)若，求的面积. 11．（2026·山东淄博·二模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，. (1)求C； (2)若，求△ABC的面积. ( 创新融合 考点 5 ) 1．（2026·山东聊城·二模）设函数，则（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在区间上单调递增 D．当时，方程在区间上所有实根的和为 2.（2026·山东枣庄·二模）已知，．则的取值范围是______． 3.（2026·山东泰安·二模）已知函数，则__________. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $