专题04 导数及其应用（7大考点）（山东专用）2026年高考数学二模分类汇编

专题04 导数及其应用 7大考点概览 考点01导数的运算与几何意义 考点02利用导数研究函数的单调性及极值 考点03利用导数研究函数的最值 考点04利用导数研究函数的零点 考点05利用导数研究恒成立问题 考点06利用导数证明不等式 考点07导数中的创新融合问题 ( 导数的运算与几何意义 考点1 ) 1．（2026·山东淄博·二模）曲线在处的切线如图所示，则＝（   ）    A．0 B．2 C．－2 D．－1 【答案】C 【解析】设曲线在处的切线方程为， 则解得 所以曲线在处的切线方程为，则切线斜率为1， 所以，因此，．故选：C. 2．（2026·山东青岛·二模）已知直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【解析】设切点坐标为， 因为，所以， 所以切线的斜率，解得， 又，即，所以. 3．（2026·山东菏泽·二模）已知函数满足，则________. 【答案】 【解析】先对求导：. 令，得. 移项得，即. 所以，代入，. 4．（2026·山东淄博·二模）将曲线绕坐标原点顺时针旋转后第一次与轴相切，则________. 【答案】 【解析】设直线与曲线相切，且切点为， 由题意得，由，则， 故，解得， 切点为，则. 5．（2026·山东济宁·二模）曲线在点（0，1）处的切线方程为_________. 【答案】 【解析】：，，切线斜率为， 切线方程为，即.故答案为. ( 利用导数研究函数的 单调性及 极值 考点2 ) 1．（2026·山东聊城·二模）函数的单调递减区间为______． 【答案】/ 【解析】函数的定义域为， ， 当时，，由可得， 故函数的单调递减区间为. 2.（2026·山东泰安·二模）实数满足，则（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】C 【解析】设，因为，所以当时，，即， 又函数和函数在上都单调递增， 故在上也单调递增， 又，，， . 3.（2026·山东济南·二模）已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于，所以， 设，则，所以在上单调递增， 那么，所以，， ，设，， 所以，在上单调递减，， 即, 由于，那么, ， 综上，. 4．（多选）（2026·山东淄博实验中学·二模）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．当且仅当 C．当时， D．若，则 【答案】ABC 【解析】已知，求导得， 令，得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增，极大值，极小值， 因式分解得：， 对于A选项：有两个极值点有两个实数根和， 且在这两点左右两侧导数异号，因此这两个点都是极值点，故A正确； 对于B选项，因为，其中， 要使，必须有且， 解，得，此时自然满足， 因此不等式解集为，故B正确； 对于C选项：当时，，当时，， 且，故两者均处于的单调递增区间， ，因为，所以，即， 又函数在上单调递增，故，故C正确； 对于D选项：取，计算得，为了使和为4， 需要，令，即， 分解得，解得或， 若取，满足，但此时， 因此原命题不一定成立，故D错误. 5．（2026·山东历城二中·二模）已知函数在处取得极小值，则__________． 【答案】 【解析】由，又函数在处取得极小值， 则，解得，或， 当时，， 令，则，或， 当时，，当时，，则处取得极小值， 故时符合题意； 当时，， 令，则，或， 当时，，当时，，则处取得极大值， 故时不符合题意. 6.（2026·山东日照·二模）已知正实数a，b满足，则______________． 【答案】 【解析】设 ，求导得 ， 因此：在单调递减，在 单调递增，最小值为 ， 原等式右边整理为 ，求导得 ， 因此：在 单调递增，在 单调递减，最大值为 ， 原等式即为，而 ，，等号成立当且仅当： ， 故 . 7.（2026·山东历城二中·二模）设函数． (1)求的单调区间； (2)若存在极值点，且存在，使得，证明：．附 【解】（1）解：， 当时，（不恒为零），的增区间为，无减区间； 若，则当时，， 当时，， 故的增区间为，减区间为， 综上：时，的增区间为，无减区间； 时，的增区间为，减区间为. （2）证明：因为是的极值点，故，故， 所以， 因为存在，使得， 所以，即， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为 所以，即， 所以，即， 因为， 所以，即. 8．（2026·山东济南·二模）已知函数． (1)若曲线在处的切线斜率为，求； (2)若是的极大值点，求的取值范围． 【解】（1）因为，由题意可得， 由导数的几何意义可得，解得. （2）因为是的极大值点，，则， 令，其中，则，， ①当时，对任意的恒成立，则在上为减函数， 当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减， 此时为函数的极大值点； ②当时，函数在为增函数，由可得， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， （i）当时，即当时， 若时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减， 此时为函数的极大值点； （ii）当时，即当时， 若时，；若时，. 此时函数在上单调递增，无极值点； （iii）当时，即当时， 若时，，即函数在上单调递减， 若时，，即函数在上单调递增， 此时为函数的极小值点 综上所述，，即实数的取值范围是. ( 利用导数研究函数的最值 考点3 ) 1.（2026·山东德州·二模）若存在，对任意的，都有，则当取到最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】任意的，都有， 则在上恒成立， 令，， 则，令，得， 当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因此存在，使， 令，则，令，得， 当时，当时， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以时，的最大值为. 2.（2026·山东淄博实验中学·二模）已知函数的定义域为，，函数.对任意，曲线在点处的切线方程为 (1)求的最小值； (2)讨论的单调性； (3)已知，求过点且与曲线相切的直线的条数. 【解】（1）由题意可知曲线在点处的切线斜率为， 所以， 令，得， 单调递减 极小值 单调递增 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数在有最小值，即； （2）， 令，，则， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数在处有最小值，即函数在处有最小值， 所以，故函数在区间上单调递增； （3）由题意可得点在切线上， 所以①， 令， ， 由（2）可知，当时，， 所以当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 因为，所以1是方程①的一个解； 又，， 所以函数在处有一个零点且在区间内存在唯一零点， 所以有两个解， 即过点且与曲线相切的直线的条数有2条. ( 利用导数研究函数的零点 考点4 ) 1．（2026·山东枣庄·二模）已知函数，则（    ） A．是的极小值点 B．有三个不同零点 C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【解】因为， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以是的极小值点，故A正确； 因为，所以函数只有两个零点，故B错误； 因为当时，，单调递减，且，所以，故C正确； 当时，令，由A选项知在上递减，在上递增， 所以，又， 所以，所以，故D正确. 2.（2026·山东东营·二模）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若过点可作曲线的两条切线，求的取值范围； (3)若曲线的切线过点，其中，求证：曲线上除切点外的点都在直线的上方． 【解】（1）函数的定义域为，求导得：． 令，解得，令，解得． 所以的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）设切点坐标为，其中，由（1）知切线斜率， 则切线方程为， 因为切线过点，代入整理得：， 过点可作两条切线，等价于关于的方程在其定义域内有两个不同的实根， 当时无意义，故， 令且，则， 当时，，则在和上单调递减； 当时，，则在单调递增． 又当且时，；当且时，， 当，且时，，． 由图知，要使有两根，需，故的取值范围是； （3）证明：设切点为，由（2）知． 切线的方程为，要证曲线上除切点外的点都在直线上方， 即证：对恒成立． 将代入上式，即证：， 令， 当时，单调递减； 当时，单调递增．所以． 因此，当时，，即曲线上除切点外的点都在直线的上方． ( 利用导数研究恒成立问题 考点 5 ) 1．（2026·山东东营·二模）已知函数，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知函数对恒成立， 则， 令，求导得， 单调递增， ，由单调性得，即， 令，求导得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 在处取得极大值：， 要使恒成立，只需满足， 的取值范围是． 2.（2026·山东泰安·二模）已知. (1)当时，求关于的函数在处的切线方程； (2)当时，在上的解集非空，求的取值范围； (3)若对于任意的，都有成立，求的最小值. 【解】（1）当时，， ，， ， 在处的切线方程为； （2）当时，. 在上的解集非空， 等价于，使得成立， 设， 则， 单调递减，， . （3）恒成立，恒成立， 令，则，恒成立， 设， 则，显然，单调递减， ，∴在上，单调递增， 在上，单调递减， ， ，即的最小值为. 3.（2026·山东菏泽·二模）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)设数列的前项和为，当时，均存在两个极值点，，且满足，证明：； (3)，，都有，求实数的最小值. 【解】（1）的定义域为，. 当时，. 所以的单调递增区间为，无单调递减区间. （2）当时， 令 则① 且， 所以 即 由①得，化简得 （3）方法一：由题意得 ①当时，，在上单调递增，所以 所以，所以 ②当时，令得，且， 不妨设，则 所以当时，令得；令得 所以在上单调递增，在上单调递减. 因为，所以 所以 所以 化简得 令，所以. 令得；令得. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以，. 因为，所以，的最小值为. 方法二：由得，化简为. ①当时，. ②当时，. 此时无论为何值，一定存在使得， ③当时，，则， 所以为保证存在满足，必须有， 所以. 令，则在上单调递增. 所以，所以. 综上所述，的最小值为. ( 利用导数证明不等式 考点 6 ) 1.（2026·山东德州·二模）已知函数. (1)求在上的最大值； (2)证明：. 【解】（1）由已知，， 因为，， 所以恒成立， 所以在单调递增，所以， 所以在最大值为0. （2）由（1）知，即. 令，其中，则， 所以 . 2.（2026·山东枣庄·二模）已知． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若有两个实数根，证明：； (3)若方程有实根，设的最大值为，证明：． 【解】（1）因为， 所以， 切线方程为：， 即. （2），即， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，要证，即证， 因，在上单调递增， 故只需证，又，即证， 令，， 则， 当时，，所以， 所以在上单调递减，又，故，即， 得证. （3）有实根，即有实根，的最大值为， 令， 当时，， 在上单调递减，当时，，， 所以，使得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以的极大值为； 当时，，， 令，则， 所以在上单调递减，， 即，在上单调递减； 综上，在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 因为在上单调递减，，， 所以，所以， 故. 3.（2026·山东聊城·二模）设函数， (1)若有极值点、无零点，求的取值范围； (2)若的图象在区间内存在两条互相垂直的切线，求的取值范围； (3)设，若方程有两个实数根、，且，求证：，且． 【解】（1）因为，则， 当时，，此时函数在上单调递增，函数无极值点，不符合题意； 当时，由可得，由可得， 此时函数在上单调递减，在上单调递增， 则函数有极小值点，故的极小值为， 因为函数无零点，所以，即，即，解得， 综上，的取值范围为． （2）由的图象在区间内存在两条互相垂直的切线， 可知存在、使得． 当，则，不符合题意． 当时，在上单调递增． 所以在内的值域为． 所以，由题意可得， 整理可得，解得， 因此，的取值范围为． （3）设，则， 因为，所以． 当时，，在上单调递增，不符合题意，所以． 由，得． 设，则，所以在上单调递增． 又因，所以， 所以，所以， 所以，所以， 设，则， 因为当时，，所以在上单调递减， 又因为，所以当时，，即． 因为，所以，即， 又因，所以，所以， 又因为，，所以． ( 导数中的创新融合问题 考点 7 ) 1.（2026·山东济宁·二模）已知实数，设函数. (1)若，讨论函数的单调性； (2)若，证明：函数有唯一极大值点，且； (3)记函数在内的从小到大的第个极值点为，判断数列是否为等比数列，若为等比数列，求出该数列的公比；若不为等比数列，请说明理由. 【解】（1）已知，定义域. 求导： ， 因为 恒成立，符号由决定 所以，当,时，，单调递增； 当,时，，单调递减. （2）， 因为，恒成立，所以的符号完全由决定. , 当时，，，所以，因此在上单调递减. 因为， 由零点存在定理：存在唯一，使，即， 当 时，，故，单调递增； 当 时，，故，单调递减 故为唯一极大值点. 由，可得：，利用三角恒等式：​ 因此： 现在只需证明：， 对不等式两边取自然对数（两边均为正），即证： 令，只需证对所有成立. 化简：， ​对求导： ​ 通分整理： 可见，，且仅当时. 因此， 在上单调递减. , 当时， ，故恒成立 因此：恒成立， 即： 综上，函数 在内有唯一极大值点​，且. （3）， ，时，即， 方程在 (0,+∞) 内的所有解为：, 按从小到大排列，第个极值点为：, . ， 设，则，由三角恒等式：， 因此：， 代入：， ，, 故数列是等比数列，公比. 2．（2026·山东青岛·二模）已知函数的定义域为.对于正实数，定义集合. (1)若，求集合； (2)若，且集合中有3个元素，求实数的取值范围； (3)是否存在非常数函数，使得？若存在，写出一个符合要求的函数，并给出证明；若不存在，说明理由. 【解】（1）由题意，若， 则， 即， 所以或， 所以或， 所以或. （2）设， ①当时，，所以， ， 所以在上无解； ②当时，， 整理得，因为， 所以在实数范围内有两个不相等的实数解为， 又因为， 所以在上最多有两个解. ③当时，，所以， 由得， 令，所以， 令即，解得， 易知在单调递增， 所以当时，单调递减， 所以当时，单调递增， 所以， 而， 此时在上最多有两个解， 为了满足集合中有3个元素， 所以在上有两解且在上有一个解， 或者在上有一个解且在上有两个解， 所以或或， 分别解得或或无解， 综上，的取值范围是或. （3）存在． 证明：. 3．（2026·山东淄博·二模）已知函数，，a，. (1)当时，若函数有一个零点，求b的取值范围； (2)当，且时，令，设是从小到大的第n个极值点，证明：数列是等比数列； (3)当且时，令，且，有唯一的正零点，证明：. 【解】（1）当时，，则， 当时，，所以函数在单调递增，此时； 所以在上无零点； 当时，令，则，当时，， 则函数在单调递减；时，， 则函数在单调递增， 由于，所以， 且当趋于时，趋于，所以在有一个零点，符合题意， 综上所述，； （2）因为，所以 .其中. 因为，所以，根据周期性，可取， 令得， 由得，解得， ，当时，时，； 当时，时，. 因此，在正数范围内的区间与上 的符号总相反，所以是的极值点. 所以， . 假设，则. 而，所以无实数解，这说明. 所以，为非零常数， 所以数列是等比数列. （3），所以单调递增. 由题意可知. 易知，所以，所以. 即，也即，可得. 所以有. 故， 又易知， 根据题意可知，即， 从而有， 即，可得，进一步得， 所以， 易知，令得， 所以， 当时， ，所以，所以， 故 . 综上得. 4.（2026·山东日照·二模）已知函数定义域为．若存在，对任意，当时，都有，则称为在上的“凸点”． (1)求函数在上的最大“凸点”； (2)若函数在上不存在“凸点”，求的取值范围； (3)设，且．证明：在上的“凸点”个数不小于． 【解】（1）设 ，则 ， 当或时，，单调递增； 当时， ，单调递减， 又 ，所以在 上最大值为， 所以都满足，所以函数在上最大的“凸点”为5. （2）因为函数 在上不存在“凸点”，所以在上恒成立，，令， 则 , 当时，恒成立，故在上单调递减，则 ， 故在上单调递减，此时，符合要求. 当时，令，则， （i），即时，，即在上单调递增， 则，即在上单调递增，有，不符合要求，故舍去； （ii）当，即时，恒成立，故在上单调递减， 则，故在上单调递减，此时，符合要求； （iii）当，即时，若，，若，， 即在上单调递减，在上单调递增， 则若需恒成立，有 ，解得，因为， 且，即时，符合要求， 综上所述. （3）若在上的“凸点”个数为0，则，符合要求； 若在上的“凸点”个数为，令在上的“凸点”分别为 其中，，, 若，则若，由，则，即， 若，由题意，，，故， 即，又，故，符合要求； 若，则， ， 由，则， 若，即，则 ， 若，由题意，，且， 又，故 ， 即，，，， 即有 ，即， 由 ，故，又，故， 即在上的“凸点”个数不小于. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 导数及其应用 7大考点概览 考点01导数的运算与几何意义 考点02利用导数研究函数的单调性及极值 考点03利用导数研究函数的最值 考点04利用导数研究函数的零点 考点05利用导数研究恒成立问题 考点06利用导数证明不等式 考点07导数中的创新融合问题 ( 导数的运算与几何意义 考点1 ) 1．（2026·山东淄博·二模）曲线在处的切线如图所示，则＝（   ）    A．0 B．2 C．－2 D．－1 2．（2026·山东青岛·二模）已知直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 3．（2026·山东菏泽·二模）已知函数满足，则________. 4．（2026·山东淄博·二模）将曲线绕坐标原点顺时针旋转后第一次与轴相切，则________. 5．（2026·山东济宁·二模）曲线在点（0，1）处的切线方程为_________. ( 利用导数研究函数的 单调性及 极值 考点2 ) 1．（2026·山东聊城·二模）函数的单调递减区间为______． 2.（2026·山东泰安·二模）实数满足，则（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 3.（2026·山东济南·二模）已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（2026·山东淄博实验中学·二模）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．当且仅当 C．当时， D．若，则 5．（2026·山东历城二中·二模）已知函数在处取得极小值，则__________． 6.（2026·山东日照·二模）已知正实数a，b满足，则______________． 7.（2026·山东历城二中·二模）设函数． (1)求的单调区间； (2)若存在极值点，且存在，使得，证明：．附 8．（2026·山东济南·二模）已知函数． (1)若曲线在处的切线斜率为，求； (2)若是的极大值点，求的取值范围． ( 利用导数研究函数的最值 考点3 ) 1.（2026·山东德州·二模）若存在，对任意的，都有，则当取到最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 2.（2026·山东淄博实验中学·二模）已知函数的定义域为，，函数.对任意，曲线在点处的切线方程为 (1)求的最小值； (2)讨论的单调性； (3)已知，求过点且与曲线相切的直线的条数. ( 利用导数研究函数的零点 考点4 ) 1．（2026·山东枣庄·二模）已知函数，则（    ） A．是的极小值点 B．有三个不同零点 C．当时， D．当时， 2.（2026·山东东营·二模）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若过点可作曲线的两条切线，求的取值范围； (3)若曲线的切线过点，其中，求证：曲线上除切点外的点都在直线的上方． ( 利用导数研究恒成立问题 考点 5 ) 1．（2026·山东东营·二模）已知函数，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2.（2026·山东泰安·二模）已知. (1)当时，求关于的函数在处的切线方程； (2)当时，在上的解集非空，求的取值范围； (3)若对于任意的，都有成立，求的最小值. 3.（2026·山东菏泽·二模）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)设数列的前项和为，当时，均存在两个极值点，，且满足，证明：； (3)，，都有，求实数的最小值. ( 利用导数证明不等式 考点 6 ) 1.（2026·山东德州·二模）已知函数. (1)求在上的最大值； (2)证明：. 2.（2026·山东枣庄·二模）已知． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若有两个实数根，证明：； (3)若方程有实根，设的最大值为，证明：． 3.（2026·山东聊城·二模）设函数， (1)若有极值点、无零点，求的取值范围； (2)若的图象在区间内存在两条互相垂直的切线，求的取值范围； (3)设，若方程有两个实数根、，且，求证：，且． ( 导数中的创新融合问题 考点 7 ) 1.（2026·山东济宁·二模）已知实数，设函数. (1)若，讨论函数的单调性； (2)若，证明：函数有唯一极大值点，且； (3)记函数在内的从小到大的第个极值点为，判断数列是否为等比数列，若为等比数列，求出该数列的公比；若不为等比数列，请说明理由. 2．（2026·山东青岛·二模）已知函数的定义域为.对于正实数，定义集合. (1)若，求集合； (2)若，且集合中有3个元素，求实数的取值范围； (3)是否存在非常数函数，使得？若存在，写出一个符合要求的函数，并给出证明；若不存在，说明理由. 3．（2026·山东淄博·二模）已知函数，，a，. (1)当时，若函数有一个零点，求b的取值范围； (2)当，且时，令，设是从小到大的第n个极值点，证明：数列是等比数列； (3)当且时，令，且，有唯一的正零点，证明：. 4.（2026·山东日照·二模）已知函数定义域为．若存在，对任意，当时，都有，则称为在上的“凸点”． (1)求函数在上的最大“凸点”； (2)若函数在上不存在“凸点”，求的取值范围； (3)设，且．证明：在上的“凸点”个数不小于． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $