23.2 一次函数的图象和性质（第1课时） 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十三章 一次函数 23.2 一次函数的图象和性质 （第1课时） 1．会用描点法画正比例函数y=kx(k≠0)的图象，知道图象是过原点的直线． 2．掌握k>0、k<0时正比例函数图象的象限分布与增减性． 3．能用“两点法”即原点与(1,k)快速画正比例函数图象． 1．什么是一次函数？什么是正比例函数？ 形如y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫作一次函数，其中x是自变量． 形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数，叫作正比例函数，其中k叫作比例系数． 2．什么是函数图象？ 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 3．如何画函数图象？ 第一步，列表———表中给出一些自变量的值及其对应的函数值； 第二步，描点———在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点； 第三步，连线———按照横坐标从小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来． 4 为了更好地借助函数认识运动变化现象，需要研究函数的性质，函数的性质能更好地刻画运动变化现象的变化规律．在函数性质的研究中，函数图象由于其直观性，经常扮演着重要的角色． 我们从特殊的一次函数———正比例函数开始，利用图象研究其性质． 例1：分别画出下列正比例函数的图象： （1）y＝2x，y＝x；（2）y＝－1.5x，y＝－4x． 解：（1）函数y＝2x中的自变量x可为任意实数．下表是y与x的几组对应值． x … －2 －1 0 1 2 … y … －4 －2 0 2 4 … y＝2x 如图所示，在平面直角坐标系中描出以上表中的值为坐标的点．将这些点连接起来，得到一条经过原点和第三、第一象限的直线．它就是函数y＝2x的图象． y＝x 用同样的方法，可以得到函数y＝x的图象． 它也是一条经过原点和第三、第一象限的直线． 例1：分别画出下列正比例函数的图象： （1）y＝2x，y＝x；（2）y＝－1.5x，y＝－4x． （2）函数y＝－1.5x中的自变量x可为任意实数．下表是y与x的几组对应值． x … －2 －1 0 1 2 … y … 3 1.5 0 －1.5 －3 … 如图所示，在平面直角坐标系中描出以上表中的值为坐标的点．将这些点连接起来，得到一条经过原点和第二、第四象限的直线．它就是函数y＝－1.5x的图象． 用同样的方法，可以得到函数y＝－4x的图象． 它也是一条经过原点和第二、第四象限的直线． y =-4x y=-1.5x 以上4个函数的图象都是经过原点的直线，其中函数y＝2x和y＝x的图象经过第三、第一象限，从左向右上升；函数y＝－1.5x和y＝－4x的图象经过第二、第四象限，从左向右下降． 一般地，正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y＝kx．当k＞0时，直线y＝kx经过第三、第一象限，从左向右上升，即y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx经过第二、第四象限，从左向右下降，即y随x的增大而减小． 想一想：由正比例函数的解析式，你能说明它的函数值y随自变量x的增大而增大（或减小）的道理吗？ 思考：由正比例函数的图象是一条直线，你能想到画正比例函数图象的简单方法吗？ 因为两点确定一条直线，而正比例函数y＝kx（k≠0）的图象又是经过原点的直线，所以只要再确定正比例函数图象上一点，就可以画出正比例函数的图象．一般地，这一点可以取点（1，k）这个特殊点． 【知识技能类练习】必做题： 【知识技能类练习】必做题： 【知识技能类练习】必做题： 【知识技能类练习】选做题： 【综合拓展类练习】 正比例函数的图象和性质 正比例函数的性质 正比例函数的图象 所经过的象限 增减性 【知识技能类作业】必做题： 【知识技能类作业】必做题： 【知识技能类作业】必做题： 【知识技能类作业】选做题： 【综合拓展类作业】 解：（1）是关于的正比例函数， ，由得，解得 又，即，, 代入得； （2）由题意得，为坐标原点，，，设点的坐标为，，，代入得，解得，即或，当时，代入得，解得，此时；当时，代入得，解得，此时．综上，点的坐标为或． 1．下列关于正比例函数的说法中，正确的是（   ） A．自变量的取值范围是 B．它的图象是一条经过原点的射线 C．它的图象不经过第三象限 D．随的增大而增大 D 2．如果函数是正比例函数，且其图像经过第二、四象限，那么的值是______． 3．已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的解析式，并写出y的值随x值的变化情况；(2)用你认为最简单的方法，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；(3)判断点，是否在这个函数的图象上． 解：（1）∵正比例函数的图象经过点，∴，解得，∴这个函数的解析式，∵，∴y的值随x值的增大而减小；（2）当时，，当时，，∴经过点，，描点画出图象如下：（3）∵正比例函数的解析式为，∴当时，，当时，，∴点不在这个函数的图象上，点在这个函数的图象上. 4．如图为正比例函数，，在同一平面直角坐标系中的图象，则比例系数k，m，n的大小关系是（   ） A． B． C． D． D 5．已知关于的正比例函数． (1)若函数图象经过第一、三象限，求的取值范围； (2)若随的增大而减小，求的取值范围； (3)若点在该函数的图象上，求的值． 解：（1）函数图象经过第一、三象限，，解得：； （2）正比例函数中随的增大而减小， ，解得：； （3）点在该函数的图象上， ，解得：． 1．已知正比例函数的图象上有两点，，当时，，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． A 2．已知点，均在正比例函数的图象上，则a________b．（填“>”“<”或“=”） > 解：（1） ，且是关于的正比例函数， ，， ， ， 函数的图像如图所示： （2） 中，随的增大而减小，且， 当时，函数有最小值，最小值为． 答：函数的最小值． 3．已知，且是关于的正比例函数． (1)求与的函数关系式，并在如图所示的平面直角坐标系中，画出该正比例函数的图像； (2)若，求函数的最小值． 4．如图，在平面直角坐标系中，正三角形的顶点的坐标是，点在第一象限内，将沿直线的方向平移至的位置，此时点的横坐标是，则点的坐标是__________． 5．已知，且y是关于x的正比例函数． (1)求y关于x的函数关系式；(2)已知点，点B在该函数图象上，若的面积为4，求点B的坐标． $