9.1.1 平面直角坐标系的概念 导学案 2025--2026学年人教版七年级数学下册

姓名: 学科: 日期: 9.1.1 平面直角坐标系的概念 导学案（学生版） （ 制作：许 鸥 课时：2 课 时 日期：2026年5月12日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 1.经历问题探究，认识与理解平面直角坐标系与象限的相关概念；（数学抽象•重点） 2.经历问题探究，理解与掌握平面直角坐标系中点的坐标特征，并能运用其求解相关的实际问题.（直观想象、数学运算•重难点） 【学习过程】 1、 复习导入 （一）有序数对 在生活中，有 的两个数与组成的数对叫做有序数对，记作： . 例如，电影票“7排2座”与“2排7座”可分别用有序数对记作 与 ； 再如，火车票“1车9座”与“9车1座”可分别用有序数对记作 与 ； 注：有序数对的作用是用来确定平面上某点的 ，但要弄清楚“ ”. （2） 数轴 规定了 、 、 的直线叫做数轴． 2、 平面直角坐标系的概念 （1） 数轴上点的坐标 我们知道,数轴上的点与实数是一一对应的,数轴上每个点都对应一个 ,这个实数叫作这个点在数轴上的 . 例如,在图9.1-1的数轴上,点的坐标为 ,点的坐标为 . 反过来,知道数轴上一个点的坐标,这个点在数轴上的位置也就确定了.例如,在图9.1-1的数轴上,坐标为的点是点 注：这样,利用数轴上点的坐标,可以确定直线上点的 . （2） 思考 类似于利用数轴确定直线上点的位置,能不能找到一种办法来确定平面内的点的位置呢(例如图9.1-2中各点)? （3） 平面直角坐标系的概念 1.平面直角坐标系的定义 如图9.1-3,我们可以在平面内画两条互相 、原点 的数轴,组成平面直角坐标系(rectangular plane coordinates system). 水平的数轴称为 ,习惯上取向右为 方向; 竖直的数轴称为 ,习惯上取向上为 方向; 两坐标轴的交点称为平面直角坐标系的 . 2.平面内点的坐标的定义 有了平面直角坐标系,平面内的点就可以用一个有序数对来表示. 例如,如图9.1-3,由点分别向轴和轴作垂线,垂足在轴上的坐标是 ,垂足在轴上的坐标是 ,我们说点的横坐标是 ,纵坐标是 ,有序数对 就叫作点A的坐标,记作“ ”. 类似地,点的坐标分别为:. 注：在平面直角坐标系中，一个点的坐标是由横坐标与纵坐标组成的 ，且满足横坐标在 ，纵坐标在 ，简称为“ ”，中间用 隔开. （4） 实例运用 例1．在平面直角坐标系中描出下列各点：． 三、象限与点的坐标特征 （一）象限的定义 建立平面直角坐标系以后,坐标平面就被两条坐标轴分成四个部分(图9.1-4),每个部分称为 ,它们分别叫作第 象限、第 象限、第 象限和第 象限. 特别地，坐标轴上的点 任何象限. （二）问题探究1 分别写出图中的坐标，你从中能发现平面直角坐标系中各象限、轴、轴、第一象限与第三象限的角平分线以及第二象限与第四象限的角平分线上的点的坐标各有什么特征？ 探究： 1.图中第一象限内点的坐标为; 2.图中第二象限内点的坐标为; 3.图中第三象限内点的坐标为; 4.图中第四象限内点的坐标为; 5.图中轴上点的坐标为; 6.图中轴上点的坐标为; 7.图中第一象限与第三象限角平分线上点的坐标为; 8.图中第二象限与第四象限角平分线上点的坐标为. （三）点的坐标特征 由上探究可得 1.当点位于第一象限时，则 ，即“ ”； 2.当点位于第二象限时，则 ，即“ ”； 3.当点位于第三象限时，则 ，即“ ”； 4.当点位于第四象限时，则 ，即“ ”； 5.当点位于轴上时，则 ，即“ ”； 6.当点位于轴上时，则 ，即“ ”； 7. 当点位于第一象限与第三象限角平分线上时，则 ，即“ ”； 8. 当点位于第二象限与第四象限角平分线上时，则 ，即“ ”； （四）问题探究2 分别写出图中到轴与轴的距离，你能发现什么规律？ 探究： 1. 图中到轴的距离为 ，到轴的距离为 ; 2. 图中到轴的距离为 ，到轴的距离为 ; 3. 图中到轴的距离为 ，到轴的距离为 . （五）点到坐标轴的距离 点到轴的距离为 ，到轴的距离为 ,即“平面直角坐标系中一个点到轴的距离是它 的绝对值，到轴的距离是它 的绝对值”. （六）实例运用 例2．已知在平面直角坐标系中，点P的坐标为． (1)若点P在y轴上，求m的值； (2)若点Q的坐标为且轴，求点P的坐标； (3)若点P到x轴，y轴的距离相等，且点P在第一象限，求点P的坐标． 四、达标检测 1．在平面直角坐标系中，下列各点属于第四象限的点是（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点到轴的距离是（    ） A．2 B．－2 C．5 D．－5 3．如图，点A，C的坐标分别为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．如果点在轴上，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．如果第二象限的点C到x轴的距离为，到y轴的距离为，那么点C的坐标（   ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．五子棋起源于中国，是全国智力运动会竞技项目之一，其游戏规则如下：双方各执一色，黑棋先下（为先手），白棋后下，黑白双方轮流交替下子，下在棋盘横线与竖线的交叉点上，先形成五子连线者获胜．如图．若白棋的坐标为，黑棋的坐标为，为了阻止黑棋立即获胜，则白棋必须落子的位置的坐标是______． 8．如图，点P的坐标是______． 9．（1）如图，如果点的坐标分别为和，写出各点的坐标； （2）请你在图中再建立一个平面直角坐标系，并写出各点的坐标． 10．在平面直角坐标系中，长方形的顶点坐标分别为．画出长方形． 11．在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上，求点的坐标． (2)若是第一象限内的一点，且到轴、轴的距离相等，求的值． (3)若Q的坐标为，轴，则的值为 ，此时= ． 12．已知点，解答下列问题． (1)若点在轴上，求的值． (2)若点，且轴，求线段的长． 13．中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱． (1)如图，若在象棋棋盘上建平面直角坐标系，使“帅”位于点，“炮”位于点，请画出相应的平面直角坐标系； (2)写出上述平面直角坐标系中“兵”点的坐标． 14．已知点，请分别根据下列条件，求出点的坐标． (1)点P在轴上； (2)点P到坐标轴的距离相等． 15．如图，在平面直角坐标系中，为原点，点，，． (1)求的面积； (2)若点是轴上一动点，的面积为3，请求出点的坐标． 16．如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴负半轴上，点，其中满足．动点从点出发，沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度向原点匀速运动；同时动点从原点出发，沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动． 设运动时间为秒，连接． 【基础应用】 (1)点的坐标是_____，和的位置关系是_____； 【拓展探究】 (2)请你通过添加辅助线，探究在动点、运动过程中，与这三个角之间的数量关系，并说明理由． 【综合应用】 (3)在动点运动过程中，当时，求的值及此时点的坐标． 五、课堂小结：今天我们都学习了哪些知识？ 1.经历问题探究，认识与理解了平面直角坐标系与象限的相关概念；（数学抽象•重点） 2.经历问题探究，理解与掌握了平面直角坐标系中点的坐标特征，并能运用其求解相关的实际问题.（直观想象、数学运算•重难点） - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $ 姓名: 学科: 日期: 9.1.1 平面直角坐标系的概念 导学案（教用版） （ 制作：许 鸥 课时：2 课 时 日期：2026年5月12日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 1.经历问题探究，认识与理解平面直角坐标系与象限的相关概念；（数学抽象•重点） 2.经历问题探究，理解与掌握平面直角坐标系中点的坐标特征，并能运用其求解相关的实际问题.（直观想象、数学运算•重难点） 【学习过程】 1、 复习导入 （一）有序数对 在生活中，有顺序的两个数与组成的数对叫做有序数对，记作：. 例如，电影票“7排2座”与“2排7座”可分别用有序数对记作与； 再如，火车票“1车9座”与“9车1座”可分别用有序数对记作与. 注：有序数对的作用是用来确定平面上某点的位置，但要弄清楚“谁前谁后”. （2） 数轴 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 2、 平面直角坐标系的概念 （1） 数轴上点的坐标 我们知道,数轴上的点与实数是一一对应的,数轴上每个点都对应一个实数,这个实数叫作这个点在数轴上的坐标. 例如,在图9.1-1的数轴上,点的坐标为,点的坐标为. 反过来,知道数轴上一个点的坐标,这个点在数轴上的位置也就确定了.例如,在图9.1-1的数轴上,坐标为的点是点 注：这样,利用数轴上点的坐标,可以确定直线上点的位置. （2） 思考 类似于利用数轴确定直线上点的位置,能不能找到一种办法来确定平面内的点的位置呢(例如图9.1-2中各点)? （3） 平面直角坐标系的概念 1.平面直角坐标系的定义 如图9.1-3,我们可以在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴,组成平面直角坐标系(rectangular plane coordinates system). 水平的数轴称为轴或横轴,习惯上取向右为正方向; 竖直的数轴称为轴或纵轴,习惯上取向上为正方向; 两坐标轴的交点称为平面直角坐标系的原点. 2.平面内点的坐标的定义 有了平面直角坐标系,平面内的点就可以用一个有序数对来表示. 例如,如图9.1-3,由点分别向轴和轴作垂线,垂足在轴上的坐标是3,垂足在轴上的坐标是4,我们说点的横坐标是3,纵坐标是4,有序数对(3,4)就叫作点A的坐标,记作“”. 类似地,点的坐标分别为:. 注：在平面直角坐标系中，一个点的坐标是由横坐标与纵坐标组成的有序数对，且满足横坐标在前，纵坐标在后，简称为“横前纵后”，中间用逗号隔开. （4） 实例运用 例1．在平面直角坐标系中描出下列各点：． 【答案】见详解 【难度】0.85 【知识点】坐标系中描点 【分析】本题主要考查了在直角坐标系中描点，建立直角坐标系，然后根据各点的坐标在直角坐标系中描出即可． 【详解】解：如下图所示： 三、象限与点的坐标特征 （一）象限的定义 建立平面直角坐标系以后,坐标平面就被两条坐标轴分成四个部分(图9.1-4),每个部分称为象限,它们分别叫作第一象限、第二象限、第三象限和第四象限. 特别地，坐标轴上的点不属于任何象限. （二）问题探究1 分别写出图中的坐标，你从中能发现平面直角坐标系中各象限、轴、轴、第一象限与第三象限的角平分线以及第二象限与第四象限的角平分线上的点的坐标各有什么特征？ 探究： 1.图中第一象限内点的坐标为; 2.图中第二象限内点的坐标为; 3.图中第三象限内点的坐标为; 4.图中第四象限内点的坐标为; 5.图中轴上点的坐标为; 6.图中轴上点的坐标为; 7.图中第一象限与第三象限角平分线上点的坐标为; 8.图中第二象限与第四象限角平分线上点的坐标为; （三）点的坐标特征 由上探究可得 1.当点位于第一象限时，则，即“横正纵正”； 2.当点位于第二象限时，则，即“横负纵正”； 3.当点位于第三象限时，则，即“横负纵负”； 4.当点位于第四象限时，则，即“横正纵负”； 5.当点位于轴上时，则，即“轴坐标值为0”； 6.当点位于轴上时，则，即“轴坐标值为0”； 7.当点位于第一象限与第三象限角平分线上时，则，即“横、纵坐标相等”； 8.当点位于第二象限与第四象限角平分线上时，则，即“横、纵坐标互为相反数”； （四）问题探究2 分别写出图中到轴与轴的距离，你能发现什么规律？ 探究： 1. 图中到轴的距离为2，到轴的距离为3; 2. 图中到轴的距离为3，到轴的距离为2; 3. 图中到轴的距离为3，到轴的距离为4. （五）点到坐标轴的距离 点到轴的距离为，到轴的距离为,即“平面直角坐标系中一个点到轴的距离是它轴坐标的绝对值，到轴的距离是它轴坐标的绝对值”. （六）实例运用 例2．已知在平面直角坐标系中，点P的坐标为． (1)若点P在y轴上，求m的值； (2)若点Q的坐标为且轴，求点P的坐标； (3)若点P到x轴，y轴的距离相等，且点P在第一象限，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.7 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】（1）根据坐标轴上点的特征求解； （2）根据平行坐标轴的点的坐标特征求解； （3）根据到坐标轴距离相等的点的坐标特征求解． 【详解】（1）解：∵点P在y轴上， ∴， 解得； （2）解：∵轴， ∴两点的横坐标相等，纵坐标不相等， ∴，且， 解得， ∴， ∴点P的坐标； （3）解：∵点P到x轴，y轴的距离相等，且点P在第一象限， ， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标． 四、达标检测 1．在平面直角坐标系中，下列各点属于第四象限的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.9 【知识点】判断点所在的象限 【详解】解：A、横坐标为负，纵坐标为正，属于第二象限，不符合要求； B、横坐标为正，纵坐标为负，符合第四象限的特征，符合要求； C、横坐标为负，纵坐标为负，属于第三象限，不符合要求； D、横坐标为正，纵坐标为正，属于第一象限，不符合要求． 2．在平面直角坐标系中，点到轴的距离是（    ） A．2 B．－2 C．5 D．－5 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】求点到坐标轴的距离 【分析】根据点到x轴的距离是其纵坐标的绝对值解答即可． 【详解】解：点到x轴的距离是． 3．如图，点A，C的坐标分别为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.9 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】根据点A和点C的坐标确定坐标轴和原点的位置，然后建立平面直角坐标系即可得到答案． 【详解】解：如图所示，根据题意可建立如下平面直角坐标系，则点B的坐标为． 4．如果点在轴上，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.86 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】根据轴上点的坐标特征，轴上的点横坐标为0，先求出的值，再计算得到点的纵坐标，即可确定点的坐标． 【详解】解：∵点在轴上 ∴点的横坐标为，即 ， 解得 ， ∴， ∴点的坐标为． 5．如果第二象限的点C到x轴的距离为，到y轴的距离为，那么点C的坐标（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离 【分析】根据点的坐标的几何意义和第二象限点的坐标特征求解，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正． 【详解】解：∵点在第二象限 ∴点的横坐标小于，纵坐标大于 由题意可知，点到轴距离为，到轴距离为 ∵点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到轴的距离等于横坐标的绝对值 ∴点的横坐标绝对值为，纵坐标绝对值为 结合横纵坐标的符号可得，点的坐标为． 6．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【难度】0.95 【知识点】判断点所在的象限 【详解】解：∵点的横坐标为正数，纵坐标为负数， ∴该点在第四象限． 7．五子棋起源于中国，是全国智力运动会竞技项目之一，其游戏规则如下：双方各执一色，黑棋先下（为先手），白棋后下，黑白双方轮流交替下子，下在棋盘横线与竖线的交叉点上，先形成五子连线者获胜．如图．若白棋的坐标为，黑棋的坐标为，为了阻止黑棋立即获胜，则白棋必须落子的位置的坐标是______． 【答案】 【难度】0.8 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】先根据白棋的坐标为，黑棋的坐标为，建立平面直角坐标系，再结合图象即可得解． 【详解】解：∵白棋的坐标为，黑棋的坐标为， ∴建立平面直角坐标系如图所示： 为了阻止黑棋立即获胜，则白棋必须落子的位置是． 8．如图，点P的坐标是______． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【详解】解：由坐标系可得点P的坐标是． 9．（1）如图，如果点的坐标分别为和，写出各点的坐标； （2）请你在图中再建立一个平面直角坐标系，并写出各点的坐标． 【答案】（1）（2）图见详解， 【难度】0.85 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了点的坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合点的坐标分别为和，建立平面直角坐标系，再写出各点的坐标，即可作答． （2）依题意，建立平面直角坐标系，再写出各点的坐标，即可作答． 【详解】解：（1）∵点的坐标分别为和， ∴建立平面直角坐标系，如图所示： ∴， （2）依题意，建立平面直角坐标系，如图所示： 此时． 10．在平面直角坐标系中，长方形的顶点坐标分别为．画出长方形． 【答案】见解析 【难度】0.94 【知识点】坐标系中描点 【分析】本题考查了坐标与图形，在坐标系中依次描出各点，再连成四边形即可． 【详解】解：如图， 11．在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上，求点的坐标． (2)若是第一象限内的一点，且到轴、轴的距离相等，求的值． (3)若Q的坐标为，轴，则的值为 ，此时= ． 【答案】(1)点的坐标为 (2) (3)， 【难度】0.78 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知点所在的象限求参数 【分析】（1）根据在轴上的点的纵坐标为，由此求得的值，进而求得横坐标，即可解答； （2）根据到轴、轴的距离相等的点的横、纵坐标的绝对值相等得到方程，然后结合点是第一象限的点，可知其纵横坐标均大于，据此化简绝对值方程，即可解答； （3）根据平行于轴的直线上的点横坐标相等列方程即可求得的值，进而求点坐标，最后根据平行于轴的两点间距离为纵坐标差的绝对值即可计算出的长度． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：∵点到轴、轴的距离相等， ∴， 又∵是第一象限的一点，即，， ∴， 解得； （3）解：∵的坐标为，轴， ∴， 解得； ∴， ∴点的坐标为， ∴． 12．已知点，解答下列问题． (1)若点在轴上，求的值． (2)若点，且轴，求线段的长． 【答案】(1) (2)的长为9 【难度】0.86 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】（1）根据“轴上的点纵坐标为0”列式计算即可求解； （2）根据“轴时，纵坐标相等” 列式计算求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：点在轴上， ， 解得； （2）解：点，，且轴， ， 解得， ， 点的坐标为， ， 的长为9． 13．中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱． (1)如图，若在象棋棋盘上建平面直角坐标系，使“帅”位于点，“炮”位于点，请画出相应的平面直角坐标系； (2)写出上述平面直角坐标系中“兵”点的坐标． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【难度】0.99 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】（1）以“帅”所在的竖直方向为纵轴，“帅”向上2个格子为横轴，建立直角坐标系，可知“炮”位于； （2）根据“兵”在第二象限，其符号特征是，再根据其到坐标轴的距离解答即可． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：“兵”点的坐标为． 14．已知点，请分别根据下列条件，求出点的坐标． (1)点P在轴上； (2)点P到坐标轴的距离相等． 【答案】(1) (2) 【难度】0.69 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离、绝对值方程 【分析】 （1）根据x轴上点的纵坐标为0，列方程求出k的值，再计算得到点P的坐标； （2）根据点到坐标轴的距离相等可得点P横,纵坐标的绝对值相等，分两种情况列方程求出k的值，再计算得到点P的坐标． 【详解】（1） 解：∵点在轴上 ， ∴ ， 解得 ， 代入横坐标得 ， ∴点P的坐标为． （2）∵点P到坐标轴的距离相等 ， ∴ ， 分两种情况讨论： 第一种情况： ， 解得 ， 代入得 ， ， 此时 ； 第二种情况： ， 整理得 ， 解得 ， 代入得 ， ， 此时 ． 综上，点P的坐标为或． 15．如图，在平面直角坐标系中，为原点，点，，． (1)求的面积； (2)若点是轴上一动点，的面积为3，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.72 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、已知点所在的象限求参数、求点到坐标轴的距离 【分析】（1）过点D作轴于点E，根据列式求解即可； （2）根据三角形的面积公式可得，据此求出的长，进而确定点P的横坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点D作轴于点E， ∵点，，， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：∵点是轴上一动点，的面积为3， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∴点P的横坐标为或点P的横坐标为， ∴点P的坐标为或． 16．如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴负半轴上，点，其中满足．动点从点出发，沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度向原点匀速运动；同时动点从原点出发，沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动． 设运动时间为秒，连接． 【基础应用】 (1)点的坐标是_____，和的位置关系是_____； 【拓展探究】 (2)请你通过添加辅助线，探究在动点、运动过程中，与这三个角之间的数量关系，并说明理由． 【综合应用】 (3)在动点运动过程中，当时，求的值及此时点的坐标． 【答案】(1)，平行 (2)，理由见解析 (3)； 【难度】0.62 【知识点】求点到坐标轴的距离、根据平行线的性质探究角的关系、动点问题（一元一次方程的应用）、利用算术平方根的非负性解题 【分析】（1）利用非负数的性质求出，即可得到，再根据坐标的特点即可得到和的位置关系； （2）过点作，利用平行线的性质可得 ，结合 ，即可说明； （3）由题意得， ，求出，得到 ， ，根据，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，且 ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∵点，点的纵坐标相等，点，点的纵坐标相等， ∴和的位置关系是平行； （2）解：，理由如下： 过点作， ， ， ， ， ； （3）解：由题意得， ， ∵ ，， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， 解得； 此时点的横坐标：， 点的坐标为． 五、课堂小结：今天我们都学习了哪些知识？ 1.经历问题探究，认识与理解了平面直角坐标系与象限的相关概念；（数学抽象•重点） 2.经历问题探究，理解与掌握了平面直角坐标系中点的坐标特征，并能运用其求解相关的实际问题.（直观想象、数学运算•重难点） - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $