专题04特殊的平行四边形易错必刷题型专项训练(38大题型共计114道题)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题04特殊的平行四边形易错必刷题型专项训练 本专题汇总特殊平行四边形章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.利用矩形的性质求角度 题型02.由矩形的性质求线段长 题型03.由矩形的性质求面积 题型04.利用矩形的性质证明 题型05.求矩形在坐标系中的坐标 题型06.矩形与折叠问题 题型07.斜边中线等于斜边的一半 题型08.添条件使四边形是矩形 题型09.证明四边形是矩形 题型10.由矩形的性质与判定求角度 题型11.由矩形的性质与判定求线段长 题型12.由矩形的性质与判定求面积 题型13.利用菱形的性质求角度 题型14.利用菱形的性质求线段长 题型15.利用菱形的性质求面积 题型16.利用菱形的性质证明 题型17.添条件使四边形是菱形 题型18.证明四边形是菱形 题型19.由菱形的性质与判定求角度 题型20.由菱形的性质与判定求线段长 题型21.由菱形的性质与判定求面积 题型22.由正方形的性质求角度 题型23.由正方形的性质求线段长 题型24.由正方形的性质求面积 题型25.正方形折叠问题 题型26.求正方形重叠部分面积 题型27.由正方形的性质证明 题型28.添条件使四边形是正方形 题型29.证明四边形是正方形 题型30.由正方形的性质与判定求角度 题型31.由正方形的性质与判定求线段长 题型32.由正方形的性质与判定求面积 题型33.由正方形的性质与判定证明 题型34.中点四边形 题型35.利用对称性求阴影面积 题型36.特殊平行四边形的动点问题 题型37.四边形中的线段最值问题 题型38.四边形其他综合问题 易错必刷题型01.利用矩形的性质求角度 题型特征：给出矩形已知边角条件，求解图形内各个未知角度 易错点：混淆矩形和普通平行四边形角的性质，不会利用直角、对角线平分角度推导，角度换算容易出错 1．如图，是矩形的对角线，平分交于点E．若，则___． 【答案】/55度 【分析】首先由矩形的性质得到，，由角平分线得到，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴， ∵平分 ∴ ∴ ∵ ∴． 2．如图，在矩形中，、交于点，于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质可得，在中利用两锐角互余求出的度数，进而得到的度数，最后利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在矩形中，对角线与相交于点，于点．求的度数． 【答案】 【分析】解题关键是利用矩形对角线互相平分且相等的性质，得出为等腰三角形，求出的度数，再结合构造的直角三角形，利用直角三角形两锐角互余求出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 易错必刷题型02.由矩形的性质求线段长 题型特征：依托矩形对角线、边长关系，求图形内各类线段、对角线长度 易错点：忘记矩形对角线相等且互相平分，不会结合勾股定理计算，线段关系梳理混乱 4．如图，在矩形中，，交于点，，，分别是线段，的中点，则的长为_____． 【答案】 9 【分析】根据矩形的性质和三角形的中位线定理即可得出结果. 【详解】解：∵在矩形中，， ∴， ∵，分别是线段，的中点， ∴. 5．如图，在矩形中，，，P是上不与点A和点D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足分别为E，F，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】连接，勾股定理求出的长，等积法求出的值即可． 【详解】解：连接， ∵矩形中，， ∴，， ∴， ∵过点P分别作和的垂线，垂足为E，F， ∴， ∴. 6．如图，在中，是的中点，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】（1）由等腰三角形三线合一的性质得出，由平行线的性质得出，结合已知条件可得出，即可证明四边形是矩形． （2）由（1）可知四边形是矩形．由矩形的性质得出，，，由已知条件和勾股定理求出，最后根据等面积法可得出，即可求出． 【详解】（1）解：在中， 是的中点， ，即， 又， ， 又， ， 在四边形中， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形，是的中点， ， 在中，由勾股定理得：， ， 即， 解得：． 易错必刷题型03.由矩形的性质求面积 题型特征：已知矩形边长、对角线、分割图形，求矩形整体或分割部分面积 易错点：图形分割后面积拆分计算失误，不会结合对角线求面积，公式运用不熟练 7．如图，长方形的面积是，为上一点，，为上一点，，则的面积是____________．     【答案】45 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形面积，将几何问题转化为代数问题是解题的关键． 设长方形的长为，宽为，则，，，利用代入数据计算即可． 【详解】解：设长方形的长为，宽为，则，，， ∴ ． 故答案为： ． 8．学校花圃设计成矩形．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，过点O的直线交，于点E，F．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B．6 C．4 D．3 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得到，证明，得到，结合题意得到阴影部分的面积为的面积，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积 9．如图，平行四边形中，，过点D作交的延长线于点E，点M为的中点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，且， ①求和的长． ②求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①，；②四边形的面积 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，理解直角三角形斜边中线等于斜边的一半，掌握平行四边形的性质及矩形的判定方法是解题关键． （1）根据平行四边形的性质证明，进而可以解决问题； （2）①根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和勾股定理即可解决问题； ②四边形的面积，代入值求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平行四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：①∵，点M为的中点，， ∴， ∴在中，， ∴平行四边形中，，； ②∵在矩形中，， ∴ ． 易错必刷题型04.利用矩形的性质证明 题型特征：运用矩形特有性质，证明线段相等、角度相等、直线平行或垂直 易错点：没先证明图形是矩形，就直接套用矩形专属性质，证明步骤跳步、逻辑不完整 10．如图，矩形的对角线，相交于点O，，，则矩形的对角线长为_____． 【答案】8 【分析】根据矩形的性质推出，，结合已知，证明为等边三角形，得出，根据得出答案即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 11．如图，在矩形中，对角线、交于点O．延长至点E，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质可知，结合，可证明四边形是平行四边形，所以，所以，再根据矩形的性质证明，可得，即可求得答案． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ． 12．如图，已知矩形，点E和点F是边上的点，和交于点G，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据矩形的性质，证明，结合等式的性质证明即可． 【详解】证明：因为矩形， ，， ， ， ， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ． 易错必刷题型05.求矩形在坐标系中的坐标 题型特征：平面直角坐标系内，已知矩形部分顶点坐标，求剩余顶点坐标 易错点：不会结合矩形对边平行相等的特点推坐标，坐标正负、平移方向容易搞反 13．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，已知点，则点的坐标是_______． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质和点的坐标，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 先由矩形的性质得出线段的长，再结合点的坐标即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ， ∴点的坐标为， 故答案为：． 14．如图，将矩形放在平面直角坐标系中，轴，，，若点，则B点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交y轴于点E，则轴．即有，则A点的横坐标为3；根据轴，可得A点的纵坐标与D点的纵坐标相同，进一步问题得解． 【详解】解：延长交y轴于点E，则轴．    ∵，， ∴， ∴A点的横坐标为3； ∵轴，， ∴A点的纵坐标与D点的纵坐标相同，为3， ∴B点的坐标为． 15．已知：如图，四边形为长方形，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，点的坐标为，点的坐标为 (1)直接写出点的坐标为__________； (2)有一动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向终点运动，当直线将长方形的周长分为两部分时，求点的运动时间； (3)在（2）的条件下，点为坐标轴上一点，若三角形的面积是24，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)秒 (3)点的坐标为或或或 【分析】（1）根据长方形的性质以及给出点的坐标求解； （2）求出长方形的周长，确定的长，即可求出时间； （3）根据三角形的面积，分四种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：∵四边形为长方形， ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴点的坐标为； （2）解：∵四边形为长方形，且点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴四边形的周长为， ∵直线将长方形的周长分为两部分， ∴， ∴， ∴点的运动时间为（秒）； （3）解：由得，，由得，， ①当点位于轴上时，假设， ∴， 即， 解得或， ∴或； ②当点位于轴上时，假设， ∴， 即， 解得或， ∴或； 综上，点的坐标为或或或； 易错必刷题型06.矩形与折叠问题 题型特征：矩形沿直线折叠，求折叠后的角度、线段长、面积相关计算 易错点：忽略折叠前后边角完全相等的关系，找不全全等条件，极易漏解、多解丢分 16．如图，将矩形纸片折叠，使与重合，得到折痕．把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕，同时得到线段，若，则的长为___________． 【答案】 【分析】由折叠的性质可知：，，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：由折叠的性质可知：，， ∴． 17．矩形柔性材料可任意折叠，如图，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在边的中点处，点B落在点处，其中，，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠，点C落在边的中点处， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，， ∴ ． 18．如图，四边形中，，，，．将四边形折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D落在F处． (1)求证：四边形是矩形． (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据两直线平行同旁内角互补和三个内角为直角的四边形是矩形即可证得结论； （2）根据矩形的性质和勾股定理先求得，然后根据折叠的性质：对应边相等和对应角相等，利用勾股定理在中建立方程即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ∴四边形是矩形． （2）解：在矩形中，，， ，， ， 根据折叠可得，，， ，， 设，则，， 在中，， ， 解得， ． 易错必刷题型07.斜边中线等于斜边的一半 题型特征：直角三角形中，利用这条定理求中线、斜边长度，相关角度计算 易错点：忽略定理只适用于直角三角形，容易和三角形中位线、普通中线概念混淆 19．如图，在中，、分别为、的中点，，，，，则的周长为____． 【答案】14 【分析】根据三角形中位线定理得出，根据直角三角形的性质可得，即可得出答案． 【详解】解：， ， ，分别是，的中点， ，， 的周长为． 20．如图，在中，点，分别是，的中点，点在线段的延长线上，且，若，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理求出的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，最后根据计算即可． 【详解】解：在中，点，分别是，的中点，， 是的中位线， ， ，，点是的中点， 在中，， 点在线段的延长线上， ． 21．我们在学习平行四边形时，利用倍长中线的方法研究了三角形的中位线，请据此思考下面的问题：如图1，在平行四边形中，点E是边的中点，点F是边上一点，且． (1)求证：； (2)如图2，若点F是边的中点，点G为边的中点，连接，求证：； (3)如图3，若点F是边的中点，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）延长，交的延长线于点P，由平行四边形的性质证明，可得，，再证明 ，即可证明结论； （2）连接并延长交的延长线于点Q．易证是的中位线．得到．证明，得到．再根据，即可证明； （3）连接并延长交的延长线于点Q．由（1）得，，根据等边对等角结合平行线的性质易证，即是直角三角形，同理（2）得 ，证明点C是的中点，利用直角三角形的性质即可证明． 【详解】（1）证明：延长，交的延长线于点P． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵点E是边的中点， ∴． 在和中，， ∴， ∴，． ∵， ∴． ∴ ． ∴， ∴． （2）证明：连接并延长交的延长线于点Q． ∵点F是边的中点，点G是边的中点， ∴是的中位线． ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵点F是边的中点， ∴． 在和中， ∴ ∴． ∵点E是边的中点， ∴． ∴ ． （3）证明：连接并延长交的延长线于点Q． 由（1）得，． ∵， ∴． ∴． ∴ ． ∵， ∴ ． ∴，即是直角三角形， 由（2）得 ， ∴，即点C是的中点， ∴． 易错必刷题型08.添条件使四边形是矩形 题型特征：题目给出现有基础条件，补充一个合适条件，让四边形成为矩形 易错点：忽略要先满足平行四边形前提，随便乱补条件，补充的条件不符合矩形判定定理 22．如图，在中，对角线，相交于点，要使得成为矩形，应添加的一个条件是________．（只需写一个条件） 【答案】 （答案不唯一） 【分析】依据矩形的判定定理进行解答即可． 【详解】解：添加，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判定； 或添加，根据有一个内角是直角的平行四边形是矩形即可判定． 23．如图，在平行四边形中，是对角线，添加下列选项中的一个条件，不能判定平行四边形为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的判定求解即可． 【详解】解：在平行四边形中，是对角线， ， ， ∵， ∴， ， ， ， 故平行四边形为矩形，故选项A能判定，不符合题意；     ， 故平行四边形为矩形，故选项B能判定，不符合题意； ， 故平行四边形为菱形，故C不能判定，符合题意； ， ， 故平行四边形为矩形，故选项D能判定，不符合题意． 24．在中，交于点O，点E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：点A为的中点； (2)若，连接，判断与满足什么数量关系时，四边形是矩形，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)；理由见解析 【分析】（1）证明，得出，从而证明，即可得出结论； （2）先证明四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵点E为的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即A为的中点; （2）解：； 理由如下：由（1）得，且， ∴四边形是平行四边形． ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 易错必刷题型09.证明四边形是矩形 题型特征：结合题干已知平行、边角、全等条件，完整推理证明四边形为矩形 易错点：矩形三种判定定理记混乱用，证明逻辑顺序颠倒，关键必要条件缺失 25．如图，在中，，，，则当______时，四边形是矩形． 【答案】 【分析】本题考查矩形的判定，根据有一个角为90度的平行四边形是矩形，进行判断即可． 【详解】解：当时，四边形是矩形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 故答案为：45． 26．如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的内角为直角是解题的关键． 根据平行四边形对角线相等的性质判定为矩形，利用矩形的角为直角，结合已知角度计算的度数． 【详解】解：∵在中，对角线， ∴四边形是矩形， ． ， ． 故选：A． 27．在平行四边形中，过点作于点，点在上且，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，平分，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，根据，即证四边形是矩形； （2）根据勾股定理求得，根据平分，以及得出得出，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， 四边形是平行四边形 四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形 ，    平分 ， 的面积． 易错必刷题型10.由矩形的性质与判定求角度 题型特征：先判定图形为矩形，再利用矩形性质推导计算未知角度 易错点：判定和性质混用颠倒，还没证出是矩形，就直接用矩形性质算角度 28．如图，在矩形中，，点在上，且，则________． 【答案】15° 【分析】根据矩形性质得出∠A＝∠BCD＝90°，AD＝BC=BE，根据，得出∠BEA＝30°＝∠EBC，求出∠ECB的度数，即可求出答案． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠BCD＝90°，AD＝BC=BE，AD∥BC， ∵， ∴∠BEA＝30°， ∵AD∥BC， ∴∠EBC＝∠BEA＝30°， ∵=BC， ∴∠ECB＝（180°−∠EBC）＝75°， ∵∠BCD＝90°， ∴90°−75°＝15°， 故答案为：15°． 【点睛】本题考查了矩形性质，三角形的内角和定理，平行线性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是求出∠ABC和∠EBA的度数，题目比较好，是一道综合性比较强的题目． 29．如图，在直角三角形中，，，，，动点D在线段上运动（不与端点重合），点D关于边，的对称点分别为E，F，连接，点C在上，则在点D的运动过程中，线段长度的最小值是（） A． B． C．10 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，矩形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，熟知轴对称的性质是解题的关键． 根据题意得出四边形为矩形，再由轴对称的性质得出点C为的中点，据此得出，最后由时，取得最小值即可解决问题． 【详解】解：连接， 点D关于边，的对称点分别为E，F， ，，， 又， ，， 四边形为矩形， ， ， ， 当时，取得最小值， 由面积法可知，， 的最小值为． 故选：A． 30．已知中，点E为上一点，且，的延长线交于点F，连． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，M是的中点，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据两直线平行内错角相等和对顶角相等可证，再根据等角对等边可证结论成立； （2）连接，根据等腰直角三角形的性质和平行线的性质可证是等腰直角三角形，根据等腰三角形三线合一定理可证，证，根据全等三角形对应边相等、对应角相等可证是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知． 【详解】（1）证明：∵中，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． （2）解：如图所示，连接． ∵， ∴． 又 ， ∴． ∴，． ∵点M是的中点， ∴． ∴． ∴，． 在和中，， ∴． ∴． ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． 【点睛】本题考查了四边形与三角形综合．熟练掌握平行四边形性质，矩形判定和性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形，是解题的关键． 易错必刷题型11.由矩形的性质与判定求线段长 题型特征：先判定四边形是矩形，再结合性质求边长、对角线、线段长度 易错点：判定步骤不完整就直接计算，勾股定理列式计算粗心，数值容易算错 31．等腰梯形的腰长为，两底差为，则高为______． 【答案】12 【分析】过点A和点D作的垂线，垂足为点E和点F，求出，利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，四边形是等腰梯形，，两底差为，过点A和点D作的垂线，垂足为点E和点F， ∵四边形是等腰梯形，， ∴四边形是矩形， ∴ ∵两底差为， ∴，则， 根据勾股定理可得：， ∴高为． 32．如图，直角三角形中，，，，点D是上的一个动点，过点D作于E点，于F点，连接，则线段的最小值为（   ） A．2.4 B．5 C．4.8 D．2.5 【答案】A 【分析】连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵，，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短，可得当时，最短，即线段的值最小， 此时，， 即， 解得， ∴线段的最小值为． 33．如图，已知，延长到，使，连接，，，若． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）由四边形是平行四边形，则，，又得四边形是平行四边形及，结合可得，由此可得平行四边形是矩形； （）连接，由（）得，，，所以，则，又四边形是矩形，故有，，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：如图，连接， 由（）得，，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 易错必刷题型12.由矩形的性质与判定求面积 题型特征：先判定矩形，再根据边长、对角线条件，求解图形面积 易错点：判定过程不严谨，面积公式套用混乱，分割图形面积加减容易算错 34．如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于E，F，连接．若，则图中阴影部分的面积是__________． 【答案】3 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，利用矩形的对角线平分矩形的面积是解题的关键；作于M，交于N；则得四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，由矩形的对角线平分矩形的面积，得，由此即可求解． 【详解】解：如图，作于M，交于N； 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 35．如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交，于E、F，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为（    ）    A．10 B．12 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查矩形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 作于M，交于N．则有四边形，四边形，四边形都是矩形，根据矩形的性质得到，，，，，从而得出，即可求解． 【详解】解：作于M，交于N．    则有四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 36．如图，在中，，是的角平分线，是的外角的平分线，，垂足为． (1)求证：四边形是矩形． (2)连接，若，，求的长． (3)仅用无刻度的直尺画出将面积平分的射线． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一得到，，然后根据角平分线的定义得到， ，进而得到，根据三个角都是直角的四边形是矩形即可证明结论； （2）根据勾股定理求出长，然后根据矩形的性质得到，然后根据勾股定理求出长解答即可； （3）取的中点即可，连接与交于点，根据矩形的对角线互相平分即可得解． 【详解】（1）证明：，是的角平分线， ，，， 是的外角的平分线， ， ， ， ， 四边形是矩形； （2）解：， ， ， 四边形是矩形， ，， ． （3）解：如图所示，连接与交于点，连接，则即为所求． 四边形是矩形， ，即是的中点， 是的中线， 平分面积． 易错必刷题型13.利用菱形的性质求角度 题型特征：根据菱形边、对角线、邻角关系，求解图形内未知角度 易错点：忘记菱形对角线平分一组对角、邻角互补的性质，角度推导极易混乱出错 37．如图，已知菱形花坛，沿着菱形花坛的对角线修建两条小路和，、相交于点O，若，则的度数为________°． 【答案】60 【分析】本题主要考查菱形的性质，由菱形性质得，再根据直角三角形两锐角互余可得结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，即， ∴， ∵， ∴, 故答案为：60． 38．如图，是菱形的对角线，作的垂直平分线分别交、于点E、F，连接、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由菱形的性质可得，，，证明并结合线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角得出，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 39．如图，在菱形中，，E是边上的动点，作交于点F，在上取点G，使，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先证明是等边三角形，即可求解； （2）根据菱形的性质以及等边三角形的性质证明即可． 【详解】（1）解：，， 是等边三角形， ， ； （2）证明：由（1）知，， 四边形为菱形， ，， ． ， ， ，． 是等边三角形， ，， ． ， ， ， ， ． 易错必刷题型14.利用菱形的性质求线段长 题型特征：借助菱形四边相等、对角线互相垂直平分，求线段、对角线长度 易错点：不会用对角线垂直构造直角三角形，搭配勾股定理计算，边长对角线关系混淆 40．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，．若，则的长是_________． 【答案】5 【分析】先结合菱形的性质得，根据，得出，然后证明是等边三角形，即可作答． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴是等边三角形， ∴． 41．如图，菱形的边长是5，对角线的长是8，，垂足为E，则的长为（   ） A．3 B．4 C．4.8 D．9.6 【答案】C 【分析】先根据菱形的性质和勾股定理求出另一条对角线的长，再利用菱形面积的两种计算方法（底乘高和对角线乘积的一半）建立等式求解． 【详解】解：连接与交于点， 四边形是菱形， ，，， ∴在中， ， ， ，， ， ． 42．如图，在菱形中，，对角线，相交于点O，E，F，G，H分别是边，，，的中点，连接，，，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求对角线的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用三角形的中位线的性质证明，，，进一步可得结论. （2）证明，结合菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求解即可. 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴． ∵E，F，G，H分别是边、、、的中点， ∴，，，分别为，，，的中位线， ∴，，，，， ∴，，， ∴四边形是矩形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，又， ∴是等边三角形， ∴． 又∵菱形的对角线互相垂直平分， ∴， ∴， ∴． 易错必刷题型15.利用菱形的性质求面积 题型特征：用底乘高、对角线乘积一半两种方法，求菱形面积 易错点：两个面积公式记混，用对角线求面积时，容易忘记乘二分之一，计算扣分 43．菱形的两条对角线长分别为6和9，则该菱形的面积为________． 【答案】27 【分析】菱形的面积为两条对角线乘积的一半，代入数值计算即可得到结果． 【详解】解：该菱形的面积为． 44．如图，菱形的对角线相交于点，若，，则菱形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用菱形的性质、直角三角形的性质及勾股定理求出，再根据菱形的面积公式计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 45．如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点，连接．若，． (1)求菱形的面积； (2)求的长． 【答案】(1)菱形的面积为； (2)． 【分析】（）由菱形的性质可得，，，然后通过直角三角形的性质可得，所以，最后由菱形的面积为即可求解； （）由（）得，，，则，所以，然后通过即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为； （2）解：由（）得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 易错必刷题型16.利用菱形的性质证明 题型特征：利用菱形特有性质，完成线段、角度、垂直平行相关几何证明 易错点：混淆菱形和平行四边形性质，证明过程跳步，缺少必要推理条件 46．如图，在菱形中，，，则的长为______． 【答案】12 【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分，结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴， ∴． 47．如图，在菱形中，对角线与交于点O，点E为中点．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质求出的度数，利用菱形对角线平分对角的性质求出的度数，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，利用等边对等角即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵菱形的对角线平分， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵点E为中点， ∴是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴． 48．如图，在平行四边形中，点在边上，且． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点，连接，．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：． 证明：四边形ABCD是平行四边形， ． ①________． 平分， ． ②________． ． 又， ③________． 又， 四边形是平行四边形． 又， 平行四边形是④________． ． 【答案】(1)见解析； (2)，，，菱形． 【分析】本题考查了尺规作图，菱形的判定与性质，平行四边形的性质，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图方法，菱形的判定方法与性质． （1）根据角平分线的尺规作图方法，求解即可； （2）根据角平分线的定义和平行四边形的性质得到四边形是菱形，再根据菱形的性质即可求证． 【详解】（1）解：根据题意，作图如下： （2）证明：四边形ABCD是平行四边形， ． ． 平分， ． ． ． 又， ． 又， 四边形是平行四边形． 又， 平行四边形是菱形． ． 故答案为：，，，菱形． 易错必刷题型17.添条件使四边形是菱形 题型特征：已有基础图形条件，补充一个条件，使四边形符合菱形要求 易错点：分不清菱形不同判定的前提要求，补充条件不成立，和题干原有条件矛盾 49．如图，在中，对角线，相交于点O，已知，，当____ 时，四边形是菱形． 【答案】5 【分析】菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形． 【详解】解：当时，四边形是菱形，理由如下： 四边形是平行四边形，，， ， ， 又， ， 是直角三角形，且． ， 平行四边形是菱形． 50．在中，添加下列条件：①；②；③平分；④．能够判定是菱形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】结合平行四边形的性质与菱形的判定定理，逐一分析每个条件能否判定平行四边形为菱形即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， 添加条件①可得是矩形，不是菱形； 条件②是平行四边形的固有性质，故添加条件②无法判定其为菱形； 添加条件③平分， 如图， ∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴是菱形； 添加条件④能判定是菱形； 综上，能够判定是菱形的是③④，共2个． 51．如图，在平行四边形中，点是边上的一个动点，点是边的中点，的延长线与的延长线交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形 (2)若，   ①当的值是 时，四边形是矩形（直接写出答案）；   ②当的值是 时，四边形是菱形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①，②，见解析 【分析】（1）证明即可得证； （2）①根据矩形的判定求解即可；   ②根据菱形的判定解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴     ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，，， ∴， ∵点是边的中点， ∴， 设， ∴； ①∵四边形是矩形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故当的值是3时，四边形是矩形；   ②解：∵四边形是菱形， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故当的值是1时，四边形是菱形． 易错必刷题型18.证明四边形是菱形 题型特征：结合题干已知条件，完整严谨证明一个四边形为菱形 易错点：判定定理乱用，跳过平行四边形基础直接证菱形，推理逻辑不严密 52．如图，的两条对角线，相交于点．若，，，则四边形是____________．判定的依据是____________________________． 【答案】 菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【分析】本题考查了勾股逆定理和平行四边形的性质以及菱形的判定，掌握上述知识点是解题的关键． 根据中三边的长度，利用勾股逆定理证明，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得答案． 【详解】解：∵在中，，，， ， 又∵， ∴, ，即， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 故答案为：菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 53．如图，将两条等宽的纸条重叠在一起，重叠部分为四边形，若，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与性质，平行四边形的面积公式，理解纸条等宽的条件是解题关键． 先由纸条对边平行判定四边形为平行四边形，再结合纸条等宽，利用面积公式推导出邻边相等，确定其为菱形，最后根据菱形四边相等的性质计算出周长． 【详解】解：如图，过点作于点E，于点F，则， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形， ， 四边形的周长为． 故选：． 54．如图，在平行四边形中，对角线交于点O，平分，过点作，交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的对边平行和角平分线的定义可证明，则，据此可证明结论； （2）根据菱形的性质和勾股定理求出的长，进而求出的长，再求出菱形的面积即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：由（1）得四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴. 易错必刷题型19.由菱形的性质与判定求角度 题型特征：先判定图形为菱形，再套用菱形性质计算各类角度 易错点：判定和性质先后顺序搞反，对角线分角45°、平分内角的性质不会灵活运用 55．按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；③分别以点和点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的度数是____________． 【答案】70 【分析】本题考查了作线段，菱形的性质与判定，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴四边形是菱形，则， 又∵， ， 故答案为70． 56．如图，在平行四边形中，，是对角线上两点，，若，则下列角中与相等的角是（   ） ①；②；③ A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 先根据平行四边形及邻边相等的条件判定图形为菱形，再利用菱形性质、等腰三角形性质等，逐一分析与相等的角． 【详解】解：四边形是平行四边形，且 四边形是菱形 ，，，， ， ， ，故①符合题意， ， ，故②符合题意， ， ， 又，， ， ， ∴， ，故③符合题意， 故选：D． 57．如图，在中，，是中点，，是的角平分线，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）由平行线的性质可得，又是的角平分线，则，故有，所以，然后通过直角三角形的性质得，再证明四边形是平行四边形，又从而求证； （）先证明是等边三角形，则，由平行四边形的性质得，所以，然后得出是等边三角形，则有，，再通过角度和差求出，最后由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，是中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 易错必刷题型20.由菱形的性质与判定求线段长 题型特征：先判定菱形，再利用性质求边长、对角线、内部线段长度 易错点：判定不完整就直接计算，对角线互相垂直的特点不会利用，计算粗心出错 58．如图，线段，分别以点，点为圆心，以为半径作弧，两弧交于点，点，连接则的长为______ ．    【答案】 【分析】由题意知，则四边形是菱形，得出，设与相交于点，由菱形的性质得出，，由勾股定理求出，进而可得出结论． 【详解】解：分别以点，点为圆心，以为半径作弧，两弧交于点，点， ， 四边形是菱形， ， 设与相交于点， 则，， 在中，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 59．如图，一个木制的活动衣帽架由3个全等的菱形构成．已知菱形的边长为，当挂钩B、D之间的距离是时，则挂钩A、C之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，交于O，由题意，点E在上， 由已知，cm，则cm， ∴cm， ∵四边形为菱形，边长为13cm， ∴cm ∴cm 60．如图，的对角线和交于点O，，分别过点C，D作，，和交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，菱形的性质与判定，勾股定理等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明是菱形，以及证明四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直，得到，即可判定四边形是矩形； （2）先结合菱形的性质以及矩形的性质得的长，再由勾股定理可求的长，最后把数值代入计算，即可作答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）得四边形是菱形，四边形是矩形； ∴，， ∴ ∵， ∴， 即， ∵ ∴． 易错必刷题型21.由菱形的性质与判定求面积 题型特征：先判定菱形，再根据对角线、边长条件计算图形面积 易错点：菱形两种面积公式乱用，对角线数值代入错误，计算步骤出错丢分 61．如图，，分别以A，B为圆心，5cm长为半径画弧，两弧相交于M，N两点．连接，则四边形的面积为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，由题意可证明四边形是菱形，则，，由勾股定理可得，据此根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可． 【详解】解：由作图方法可知， ∴四边形是菱形， 如图所示，连接交于O，则，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 62．如图，在平行四边形中，平分，，若，，平行四边形的面积为144，则线段的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】过点A作于点G，证明四边形为菱形，得出，，，，根据勾股定理求出，根据，求出，根据，求出结果即可． 【详解】解：过点A作于点G，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 63．如图，在平行四边形中，点E，F分别在上，且，． (1)证明：四边形为菱形； (2)在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，再证明，则可证明四边形为平行四边形；由直角三角形的性质得到，据此可证明平行四边形为菱形； （2）由平行四边形的性质得到，求出，证明，，可得到，，则；可证明，，则． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴平行四边形为菱形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 易错必刷题型22.由正方形的性质求角度 题型特征：利用正方形四角为直角、对角线平分内角，求解各类角度 易错点：不会用正方形对角线分出45°角做推导，和矩形菱形角度性质混淆 64．已知正方形，连接、，平分交于点E，则______． 【答案】 【分析】根据正方形的性质可知，然后由角平分线的定义即可解答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴． 65．如图，正方形的对角线为菱形的一边，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的性质可知，由菱形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形 ，为对角线， ∴ 平分， ∴， ∵四边形为菱形， ∴． 66．正方形中，点是边上的任意一点，连接，作，连接，． (1)当时，求的度数； (2)当时，，请直接写出正方形的边长为______． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用正方形的性质和的度数，根据直角三角形的两锐角互余和三角形内角和定理依次求出，的度数，再通过证明， 得到，即可得解； （2）通过已知条件可以证明为等腰直角三角形，在中，利用勾股定理可求得的长， 在中，利用含角直角三角形的性质结合勾股定理可求得的长，根据线段和差关系可得的长， 在中，利用勾股定理即可求得的长． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：四边形是正方形， ， ，， ， ，， ， ，为等腰直角三角形， ， 在中，，即， ， 在中，， ，， ， 在中，，即， ， 即正方形的边长为． 易错必刷题型23.由正方形的性质求线段长 题型特征：根据正方形边长、对角线等量关系，求线段、对角线长度 易错点：不清楚边长和对角线根号2的倍数关系，勾股定理计算容易出错 67．对角线长为的正方形的周长是_____． 【答案】 【分析】根据正方形的性质，结合勾股定理求出正方形的边长，再利用正方形周长公式计算结果． 【详解】解：设正方形的边长为， 正方形的对角线长为， ， 整理得，解得（负值已舍去）， 正方形周长为． 68．我们将宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．如图，矩形为黄金矩形（），在其内部作正方形，若矩形的边，那么的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据黄金矩形的定义求出的长，由矩形的性质和正方形的性质求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形为黄金矩形（）， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 69．如图1，正方形的边长为，在中，，连接，且． (1)若，求的长； (2)如图2，连接交于点O，若O是的中点，求证：； (3)在（2）问的条件下，连接，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）先利用勾股定理求出，再根据勾股定理求解即可； （2）证明，从而证明四边形是平行四边形，即可得出结论； （3）连接，根据平行四边形的性质得到， 由勾股定理得，则；由正方形的性质得到，由勾股定理得，证明，则． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为， ， ， ， ， ； （2）证明：， ， ， ， ∵O是的中点， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ； （3）解：连接，如下图， 在中，， ， ∵四边形是平行四边形， ， 由（2）得，， 在中，由勾股定理得， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵ ∴． 易错必刷题型24.由正方形的性质求面积 题型特征：已知正方形边长或对角线，求正方形整体、分割部分面积 易错点：边长、对角线求面积的两个公式记混，代入数值计算容易算错 70．如图，正方形的面积为，点，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为______． 【答案】 【分析】根据正方形性质和线段中点的性质得到，进而得到，同理可得，最后利用四边形的面积正方形的面积个小三角形面积求解，即可解题． 【详解】解：正方形的面积为4， ，， 点，，，分别为边，，，的中点， ， ， 同理可得， 四边形的面积为． 71．如图，在正方形中，点是上任意一点，，垂足分别为点，若该正方形的面积为50，则的值为（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【分析】证明四边形是矩形，是等腰直角三角形，得到，利用正方形的面积公式求得正方形的边长，据此求解即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，，即， ∵， ∴四边形是矩形，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵正方形的面积为50， ∴边长为， ∴， ∴的值为5． 72． 已知正方形中，，点E在上，且，将沿对折至，延长交于H，连接，． (1)求证：； (2)求的长； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3) 【分析】（1）由折叠的性质可得，，由“”可证，可得； （2）由勾股定理可求的长即可； （3）求解，结合三角形的面积关系可求解； 【详解】（1）证明：∵将沿对折至， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，且， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，且，， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，证明是本题的关键． 易错必刷题型25.正方形折叠问题 题型特征：正方形沿直线折叠，求折叠后角度、线段、面积相关计算 易错点：抓不住折叠前后边角对应相等，找不全等量关系，分类讨论不完整容易漏解 73．在课本上的“数学活动  折纸与证明”中，我们曾经两次折叠正方形纸片（如图）．若正方形纸片的边长为，则的长为_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，先由折叠的性质得出的长度，再利用勾股定理求出的长度，最后根据求解即可,熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】由折叠的性质得，， ∴， ∴， 故答案为：． 74．如图，已知在正方形中，是上一点，将正方形的边沿折叠到，延长交于点，连接．现有如下4个结论：①；②与一定不相等；③；④的周长是一个定值．其中正确的个数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由翻折的性质及全等三角形的性质可判断①；根据正方形的性质及角的和差关系可判断③；根据三角形的周长公式可判断④；当是的中点时，可得，再判断②的正确性． 【详解】解：∵正方形， ∴，， ∵折叠， ∴， ∴，，，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，，故①正确； ∴， 故③正确； ∵的周长，， ∴的周长， 是定值，故④正确， ∵当是的中点时，可得，故②错误， ∴正确的结论有①③④． 75．某数学兴趣小组在课外活动中，对正方形内两条互相垂直的线段做了如下探究： (1)如图1，在正方形中，点，分别在边，上，且，易得．请证明； (2)如图2，在正方形中，点，，分别在边，，上，且．试判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，将边长为6的正方形沿折叠，使得点落在的中点处，点落在点处，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)，． 【分析】（1）可证明，从而得出； （2）过点G作于H，根据正方形的性质得到，，得到，根据全等三角形的性质得到； （3）连接，过点作交于，可得，再证明即可得，进而勾股定理求得，再在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即 在和中， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点G作于H， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴同理可得：， 在和中， ∴， ∴； （3）解：如图，连接，过点作交于， 四边形是正方形， ，，， ， 将边长为的正方形沿折叠，使得点落在的中点处， ，， ， ， ， ， ， 为的中点， ， ， ； 设，则， 在中，， ∴，即， 解得， ∴． 易错必刷题型26.求正方形重叠部分面积 题型特征：两个正方形交叉重叠，求中间重叠不规则区域的面积 易错点：不会用割补、全等转化面积，重叠图形形状判断错误，面积计算偏差大 76．如图，两个边长为a的正方形重叠，其中一个的顶点在另一个的对角线的交点上，则重叠部分的面积为___________________平方单位． 【答案】 【分析】根据题意，证明△COF≌△DOE进而可得四边形OECF的面积＝S△OCD＝S正方形ABCD． 【详解】解：如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BO＝CO＝DO，∠BDC＝∠BCO＝45°，AC⊥BD， ∴∠DOC＝∠EOF＝90°， ∴∠DOE＝∠COF， 在△COF和△DOE中， ， ∴△COF≌△DOE（ASA）， ∴S△COF＝S△DOE， ∴四边形OECF的面积＝S△OCD＝S正方形ABCD＝a2， ∴重叠部分的面积为a2， 故答案为a2． 【点睛】本题考查了根据正方形的性质求正方形重叠面积，三角形全等的性质与判定，证明△COF≌△DOE是解题的关键． 77．如图，正方形的对角线相交于点，点是正方形的一个顶点，已知两个正方形的边长都为，那么绕点转动正方形，两个正方形重叠部分的面积为（  ）． A．12 B．9 C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定及性质．求两个正方形重叠部分的面积，首先应证明：，从而将重叠部分的面积转化为的面积． 【详解】解：∵和是边长相等的正方形， ∴，，， ∴， 即， ∵，，， ∴， ∴重叠部分面积为：， 故选B． 78．有一边长为的正方形和等腰直角，，．点，，，在同一条直线上，当，两点重合时，等腰直角以秒的速度沿直线按箭头所示方向开始匀速运动，秒后正方形与等腰直角重合部分的面积为，解答下列问题： (1)当在线段上时，_________；当在线段延长线上时，_________（用含的代数式表示）． (2)当秒时，求的值． (3)当重合部分为四边形时，请用含的代数式表示，并注明的取值范围． (4)当点到正方形的两条竖直的边的距离之比是时，直接写出的值． 【答案】(1)或 (2) (3) (4)或或或13 【分析】（1）当点在上时，，当在的延长线时，； （2）当时，点在的右侧，此时的边长是3； （3）先根据临界确定两种情形：和，进而确定的边长，从而求得； （4）分为点在的右侧，在和之间及在左侧，设到距离是，距离是，列出二元一次方程组求得． 【详解】（1）解：当点在上时，， 当在的延长线时，， 故答案是或； （2）如图1， 作于， ∵，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）当点和点重合时，点在上，此时， 当点和重合时，此时， 当点和和点重合时，此时， 当点在上时，此时， ∴当时，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，如图3， ∵， ∴，∴， 当时，如图4， 此时是五边形或三角形， ∴； （4）设点到的距离是，到的距离是， 当点在的右侧时， ∵， ∴， ∴， 此时， 当点在和之间时， 当时， ∵， ∴， 此时， 当时， ∵， ∴， 此时， 当点在的左侧时， ∵，， ∴， 此时， 综上所述：或或或13． 【点睛】本题考查了正方形性质，等腰直角三角形性质，分类讨论等知识，解决问题的关键是正确分类，找出数量关系． 易错必刷题型27.由正方形的性质证明 题型特征：依托正方形兼具矩形菱形所有性质，做几何相关证明题 易错点：性质堆砌乱用，证明步骤杂乱无章，缺少关键推理条件，格式不规范 79．如图，已知点P是正方形外一点，且，，则的最大值是______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，作，使，连接，根据勾股定理，得，即可知当点A，P，E三点共线时，，此时取最大值，然后证明，可得，则答案可得． 【详解】解：过点B作，使，连接， 根据勾股定理，得， 由三角形的三边关系得，当点A，P，E三点共线时，，此时取最大值， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值是． 故答案为：． 80．如图，在正方形中，E、F分别是的中点，交于点G，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③ 【答案】C 【分析】证明，得到，故①正确；延长，二线交于点H， 证明，正方形的性质，直角三角形的性质可判定②正确；无法判定③，等量代换继续求解即可； 【详解】解：∵四边形是正方形，E、F分别是的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长，二线交于点H， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故②正确； 无法得出； 故③错误； ， ， ∴， ∵， ∴； 故④正确． 81．如图，在四边形纸片中，，点E，F分别在边，上，将，分别沿，折叠，点B，D恰好都和点G重合，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若正方形边长为3，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查折叠的性质、正方形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据折叠的性质得到、，进而得到，则求出，证明四边形是矩形，利用，证明四边形是正方形； （2）设，则，由折叠的性质得到、，进而得到，在中，利用勾股定理列出方程，解方程，从而求出的值． 【详解】（1）证明：由折叠可知，、、、， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形； （2）解：由（1）知，四边形是正方形， 、， ， 设，则， 由折叠的性质知，、， ， 在中，， ， 解得：， ． 易错必刷题型28.添条件使四边形是正方形 题型特征：现有矩形、菱形、平行四边形基础上，补一个条件变成正方形 易错点：不知道要同时满足矩形+菱形特征，补的条件单一，达不到正方形判定要求 82．如图，在菱形中，对角线，相交于点，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是正方形，则应选择______(限填序号)． 【答案】② 【分析】本题主要考查了正方形的判定定理，根据正方形的判定定理，由菱形添加对角线相等或四边形的一个角是直角，即可求解． 【详解】解：条件①③是菱形的性质，则添加条件①③时，不能使四边形是正方形， 添加条件②时，根据对角线相等的菱形是正方形，能使四边形是正方形， 故答案为：②． 83．在四边形中，，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由已知三个内角为，可判定该四边形为矩形，再根据正方形的判定，添加一组邻边相等即可推出该四边形为正方形，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵四边形内角和为，， ∴， ∴四边形四个内角均为， ∴四边形是矩形． A、添加时，矩形中一组邻边相等，可推出矩形是正方形，符合要求； B、矩形对边本来就相等，是矩形固有性质，不能推出正方形，不符合要求； C、可由已知条件推出，仍只能得到矩形，不符合要求； D、矩形对边本来就相等，是矩形固有性质，不能推出正方形，不符合要求． 84．如图，中，平分，，． (1)求证：四边形是菱形 (2)当满足什么条件时，四边形是正方形 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）根据有一个角是直角的菱形是正方形可得时，四边形是正方形． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形，， 平分， ， ， ， 平行四边形为菱形； （2）解：在中，当时，四边形是正方形， ， 菱形是正方形． ∴当满足时，四边形是正方形． 易错必刷题型29.证明四边形是正方形 题型特征：完整推理证明一个四边形是正方形 易错点：证明顺序完全混乱，不会先证矩形再证菱形，直接一步乱证，逻辑漏洞多 85．四边形 的对角线 和 相交于点 ，则下列几组条件中能判定它是正方形的是____．（只需要填上序号） ① ，； ② ，，，； ③四边形 是矩形，并且 ； ④四边形 是菱形，并且 ． 【答案】①②④ 【分析】根据正方形的判定：对角线相等且互相垂直平分是正方形，对各个选项进行分析而从得到答案． 【详解】解：①能，根据对角线相等的菱形为正方形即可判定，故选项正确； ②能，因为对角线垂直且互相平分能得到是菱形，再根据邻边垂直的菱形为正方形即可判定，故选项正确； ③不能，只能判定为菱形，故选项错误； ④能，根据对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故此选项正确， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途径有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组领边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角． 86．四边形是平行四边形，下列说法不正确的是（    ） A．当时，四边形是矩形 B．当时，四边形是菱形 C．当平分时，四边形是菱形 D．当时，四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题根据矩形、菱形、正方形的判定定理，对各选项逐一判断，找出说法错误的选项即可． 【详解】解：A、， 根据对角线相等的平行四边形是矩形可得，四边形是矩形，故说法正确，不符合题意； B、， 根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得，四边形是菱形，故说法正确，不符合题意； C、平分，∴， 在平行四边形中，， ， ， ， 根据邻边相等的平行四边形是菱形可得，四边形是菱形，故说法正确，不符合题意； D、， 根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得，四边形是矩形，不一定是正方形，故说法错误，符合题意． 87．如图，菱形的对角线与相交于点O，． (1)求证：四边形是正方形． (2)E，F分别是上一点，，连接并延长与相交于点H，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据菱形的性质，得出，，即可得出结论； （2）证明，得出，然后得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即， ∴四边形是正方形； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，      在和中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 易错必刷题型30.由正方形的性质与判定求角度 题型特征：先判定正方形，再用性质推导计算角度 易错点：判定和性质混用颠倒，没证出正方形就直接用专属性质算角度 88．如图，正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且，若，则____________． 【答案】64° 【分析】由正方形的性质得出BC=DC，∠BCE=∠DCF=90°，由SAS证明△BCE≌△DCF，得出对应角相等即可求出∠BEC的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=DC，∠BCE=90°， ∴∠DCF=90°， 在△BCE和△DCF中， ， ∴△BCE≌△DCF（SAS）， ∴∠BEC＝∠DFC， ∵CE=CF，∠ECF=90°， ∴△ECF为等腰直角三角形， ∴∠EFC=45°， 则∠DFC=∠EFD+∠EFC=19°+45°=64°， ∴∠BEC＝64°， 故答案为：64°. 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 89．如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 【答案】(1)，，理由见解析 (2) 【分析】（）证明，得，，进而可得，即得到，即可求证； （）过点作于，交的延长线于，可得四边形是矩形，再证明，得，利用三角形面积得，即得，即可得四边形是正方形，即可求解； 本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：，，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：如图，过点作于，交的延长线于， ∵， 则， ∴四边形是矩形， ∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 由（）知， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． 90．如图，已知中，，点D为边BC上一动点，四边形是正方形，连接GC，正方形对角线AE交BC于点F， (1)判断BD与CG的数量关系，并证明； (2)求证：； (3)若，求AE的值． 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）证明即可求解； （2）连接DG，证明，结合（1）的结论即可求解； （3）连接DG，勾股定理求得的长，继而求得的长，由（1）知，由（2）知，在中，勾股定理可得的长，由四边形是正方形，即可求解． 【详解】（1）解： 证明：∵四边形是正方形，∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴． ∴ （2）证明：如图，连接GF，∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴在中，， ∴ （3）连接DG， ∵， ∴在中， ， ∵，∴， 由（1）知， 由（2）知，在中，， ∵四边形是正方形， ∴， 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，旋转模型全等三角形的性质与判定，掌握正方形的性质以及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 易错必刷题型31.由正方形的性质与判定求线段长 题型特征：先判定正方形，再计算边长、对角线、内部线段长度 易错点：判定步骤敷衍不完整，边长对角线关系记不牢，计算数值容易出错 91．如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为__________．    【答案】 【分析】过点作于，证明四边形四边形是正方形，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于，    ∵点是正方形的对角线上的一点，于点 ∴四边形是矩形， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴四边形是正方形， ∴， 即点到直线的距离为 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，点到直线的距离，熟练掌握正方形的性质与判定是解题的关键． 92．如图，两个全等的等腰和等腰有公共斜边，且四边形的面积为36，为等边三角形，点在四边形内，在上有一点，使的和最小，则这个最小值为（   ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查正方形的判定与性质和等边三角形的性质，根据题意推出四边形为正方形，先求得正方形的边长，依据等边三角形的定义可知，连接，依据正方形的对称性可知， 则，由两点之间线段最短可知：当点、、在一条直线上时，有最小值，最小值为的长. 【详解】： 连接，      ∵两个全等的等腰和等腰有公共斜边， ∴， ， ∴四边形为正方形， ∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵为等边三角形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴与关于对称， ∴， ∴， ∴有最小值为， 故选： B． 93．如图，中，外角的平分线交于点A，过点A分别作直线的垂线，B，D为垂足． (1)求的度数； (2)①求证：四边形是正方形； ②若，求的值． 【答案】(1) (2)①见解析；②128 【分析】（1）先推导出，然后根据角平分线的定义得到，结合三角形内角和定理，即可解答； （2）①过点A作于G，推导出，得到四边形为矩形，然后根据角平分线性质定理推导出，即可证得结论； ②由①得四边形为正方形，推导出，得到，同理可得，再根据勾股定理，得到，化简得，然后展开式子，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵平分平分， ∴， ， ∴， ∴； （2）①证明：过点A作于G， 则， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∵外角平分线交于点A， ∴， ∴， ∴四边形为正方形 ②解：如图 由①得四边形为正方形 ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理可得， ∴，， ∵， ∴， 化简，得， ∴． 易错必刷题型32.由正方形的性质与判定求面积 题型特征：先判定正方形，再根据条件计算图形面积 易错点：判定条件不充足就计算，面积公式套用混乱，粗心计算丢分 94．如图，正方形的周长为，顺次连接正方形各边中点、、、，得到四边形的面积等于__________．    【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形的中位线的判定及性质的运用，勾股定理的运用，解答时利用三角形的中位线的性质求解是关键．连接，，根据三角形的中位线的性质，可以得出四边形为正方形，勾股定理求得，进而即可求解． 【详解】解：连接，，    ∵点、、、是正方形各边的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵，，， ∴， ∴四边形是正方形 ∵正方形的周长为，， ∴， 在中，由勾股定理，得，， ∴ ∴四边形的面积． 故答案为：． 95．如图，点为正方形的对角线的中点，在中，两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点于点，证明，得到计算即可． 【详解】解：过点作于点于点， ∵四边形是正方形， ∴平分， ∴， ∴四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ． 96．如图，在中，，过点A作于点D．线段关于直线的对称线段为，线段关于直线的对称线段为，分别连接，，并延长交于点G． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)边形是正方形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握对称性，正方形的判定和性质，勾股定理，是解题的关键． （1）对称性得到，，，，，进而推出，得到四边形是矩形，再根据，即可得证； （2）设，推出，在中，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形．理由如下： ∵于点D， ∴． ∵与关于直线对称， ∴，，． ∵与关于直线对称， ∴，，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴四边形是矩形． 又∵， ∴矩形是正方形． （2）解：∵四边形是正方形，， ∴，． 设，则． ∴． ∵， ∴，． ∴． 在中，，即． 解得． ∴． ∵， ∴． 易错必刷题型33.由正方形的性质与判定证明 题型特征：综合正方形判定+性质，完成复杂几何大题证明 易错点：判定、性质来回乱用颠倒，证明步骤跳步缺步，书写不规范扣步骤分 97．如图，在正方形中，E，F分别是的中点．若，则的长是____．    【答案】1 【分析】连接，则，根据三角形中位线定理，得． 【详解】连接，因为正方形，， 所以， 因为E，F分别是的中点， 所以． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握正方形的性质和三角形中位线定理是解题的关键． 98．如图，已知四边形ABCD为正方形，，点E为对角线AC上一点，连接DE．过点E作，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①矩形DEFG是正方形；②；③CG平分；④．其中正确的结论有（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，过作于点, 过作于点，根据正方形的性质得到，，推出四边形为正方形，由矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，推出矩形为正方形；故正确；根据正方形的性质得到，，推出，得到，求得，故错误；当时，点与点重合，所以不一定等于，故错误；掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点, 过作于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形，故正确； ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴平分，故正确； ∴，故错误； 当时，点与点重合， ∴不一定等于，故错误； 综上可得：正确； 故选：A． 99．如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，，求的长度； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，求出的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）作于于，证明，可得，则矩形是正方形； （2）根据，，可得重合，根据正方形的性质即可求解； （3）①当与的夹角为时，点在边上，，再求出，最后由三角形内角和定理得：；②当与的夹角为时，点在的延长线上，，根据三角形内角和定理可得． 【详解】（1）证明：如图1，作于P，于Q， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴矩形是正方形； （2）解：如图2，在正方形中，， 在中，， ∵， ∴， ∴点F与C重合，此时是等腰直角三角形， ∴四边形是正方形， ∴； （3）解：①当与的夹角为时，如图3，则，， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； ②当与的夹角为时，如图4，则， ∵，， ∴， 综上所述，的度数为或． 易错必刷题型34.中点四边形 题型特征：连接任意四边形各边中点，判断围成中点四边形的形状、求边长面积 易错点：不会结合三角形中位线定理判断形状，原四边形对角线和中点四边形关系搞不清 100．顺次连接菱形四边中点得到的四边形是_____． 【答案】矩形 【分析】根据三角形中位线定理可推出所得四边形对边平行且相等，判定为平行四边形，再结合菱形对角线互相垂直的性质，可推出平行四边形有一个内角为直角，利用矩形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：设菱形为，，，，分别为，，，的中点，连接对角线、， ，，，分别是菱形四边的中点， 是的中位线，是的中位线， 根据三角形中位线定理可得：，，，， ，， 四边形是平行四边形， 又四边形是菱形， ， ，， ，即， 平行四边形是矩形． 101．如图，四边形为等腰梯形，且对角线，取梯形各边的中点E、F、G、H，则四边形是（    ） A．梯形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理可得结论． 【详解】解：连接， ∵分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理可知：， ∴， ∴四边形为平行四边形， ， ∴， ∴四边形为菱形． 102．已知：四边形是菱形，依次连接各边中点得到四边形．求证：四边形是矩形． 【答案】证明见解析 【分析】连接，，交于点，与交于点，中位线的性质可以推导出四边形是平行四边形，再根据菱形的性质可得，再结合中位线的性质可以推导出即可证明结论． 【详解】解：连接，，交于点，与交于点， ∵，分别是，的中点， ∴，， 同理可得，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 易错必刷题型35.利用对称性求阴影面积 题型特征：借助矩形菱形正方形中心对称、轴对称特点，求阴影部分面积 易错点：找不到对称对应关系，不会用割补平移转化面积，白白丢分 103．如图，中，，，将沿方向平移，得到，连接．若，则阴影部分的面积为________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平移的性质，求阴影部分的面积，平行四边形的性质和判定， 根据平移的性质得，可知四边形时平行四边形，再根据面积公式得出答案． 【详解】解：根据平移的性质得， ∴四边形时平行四边形． ∵， ∴． ∵， ∴阴影部分的面积等于． 故答案为：4． 104．如图，点，分别是矩形的边，的中点，两条平行线，分别经过菱形的顶点，和边，的中点，，已知菱形的面积为，则图中阴影部分的面积和为___________．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】连接、交于点，设交于点，交于点，连接，由、分别是、的中点，得，，得出四边形是平行四边形，再利用四边形是菱形，可得，，，利用证明，再利用证明，从而得出，根据菱形的面积为，进而得出，运用平行四边形面积可得，，最后根据即可求得答案． 【详解】解：如图，连接、交于点，设交于点，交于点，连接， 四边形是矩形， ，，， 、分别是、的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ，，， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 点是的中点， ， 在和中，， ， ， ， ，，， 点是矩形的中心，即、、三点在同一条直线上， ， ， ， 在和中，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 同理，四边形是平行四边形， ， ， 同理可得，， ， 菱形的面积为， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定与性质，菱形性质，全等三角形判定和性质，平行四边形面积等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质及全等三角形判定和性质等相关知识是解题关键． 105．如图所示，四边形是正方形的内接四边形，与都是锐角，已知，，四边形的面积是．求正方形的面积．    【答案】 【分析】过点，，，，分别作，，，的垂线，分别交于,于，于,于,得矩形，利用勾股定理表示出，，然后由，，，，推出，即可得出，得到最后结果． 【详解】解：过点，，，，分别作，，，的垂线，分别交于,于，于,于,得矩形，      设正方形的边长为，，， ，，，， ，，四边形的面积为， ，， 由，，，， 得到， ， 即， 又四边形的面积是， ， 解得：，即正方形的面积为． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积、正方形的性质以及勾股定理，此题难度较大，在解题时需灵活运用图中的直角三角形和矩形的性质． 易错必刷题型36.特殊平行四边形的动点问题 题型特征：图形边上有动点，运动过程中求满足条件的线段、角度、时间 易错点：不会分类讨论动点不同位置，漏解情况多，列方程计算极易出错 106．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝15cm，BC＝10cm，P、Q分别从A、C同时出发，P以2cm/s的速度由A向D运动，Q以0.5cm/s的速度由C出发向B运动，运动________秒时，四边形ABQP恰好是平行四边形． 【答案】4 【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，因此设x秒后四边形ABQP是平行四边形，进而表示出AP=2xcm，CQ=0.5xcm，QB=（10-2x）cm再列方程解出x的值即可． 【详解】解：设x秒后，四边形ABQP是平行四边形， ∵P以2cm/s的速度由A向D运动，Q以0.5cm/s的速度由C出发向B运动， ∴AP=2xcm，CQ=0.5xcm， ∵BC=10cm， ∴QB=（10-0.5x）cm， 当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形， ∴2x=10-0.5x， 解得：x=4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握平行四边形的性质． 107．如图，在四边形中，，，，动点从点出发，以的速度向点运动，同时动点从点出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点同时停止运动．设点的运动时间为（单位：），对于结论：①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④点，在运动中会存在一个时刻，使得．不正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据题意，用含的代数式表示出的长，利用矩形及平行四边形、梯形的性质逐一判断即可. 【详解】解：由题意得：， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 当四边形为矩形时， ∴， 即：， 解得：， ∴不正确； 当四边形是平行四边形时， ∴， 即：， 解得：， ∴②不正确； 当时，若四边形是平行四边形，； 若四边形是梯形，分别过点作于，于， ∴， ∴， ∵， ∴四边形、四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 综上：当时，或， ∴③正确； 由题意得：， 若， 则， ∵， ∴点，在运动中不存在一个时刻，使得， ∴④不正确． 综上：①②④不正确. 108．已知：如图，在四边形中，，，，，，点从出发，以的速度向点运动，点从出发，以的速度向运动，其中一动点到达端点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为． (1)经过多少时间，四边形是平行四边形？ (2)在运动过程中，需经过多长时间才能使？ 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由四边形是平行四边形可得，设运动时间为，可得，再解方程即可； （2）证明四边形是矩形，再结合运动速度表示出，根据勾股定理列式，，同理表达，结合进行列方程，再解方程，即可作答． 【详解】（1）解：由四边形是平行四边形可得，设运动时间为， ∴， 解得：； 即经过，四边形是平行四边形； （2）解： 过点作，过点作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵点从出发，以的速度向点运动，点从出发，以的速度向运动，且，， ∴， ∴， ∴， 同理证明四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 依题意，，运动停止时间为， ∵， ∴在运动过程中，需经过或才能使． 易错必刷题型37.四边形中的线段最值问题 题型特征：在特殊平行四边形背景里，求线段最大值、最小值 易错点：找不到最值对应的几何模型，不会用垂线段最短、两点之间线段最短解题 109．如图，已知正方形的对角线交于O，G是的中点，线段（点在点的左边）在直线上运动，连结，若，则的最小值是______． 【答案】 【分析】取的中点，则与关于对称，过点作，，交于点，连接，则四边形是平行四边形，，根据轴对称的性质可以得出，利用三角形三边关系可以得出，根据两点间的距离最短进一步得出，在中，根据勾股定理即可解此题． 本题主要考查了正方形的性质、勾股定理以及利用平移和对称求最值问题，关键在于通过平移和对称将所求线段和转化为两点之间的距离． 【详解】，解：四边形是正方形，， ， ， 是的中点， ， 取的中点，则与关于对称， ， 过点作，，交于点，连接， 四边形是平行四边形， ，， 在中，， 又点是上的动线段， ， 当点在一条直线上时，取最小值， ， , 在中，，，根据勾股定理， 最小值为， 故答案为：． 110．如图，周长为16的菱形中，点分别在边上，为上一动点，则线段的长最短为（    ） A．3 B．4 C． D．6 【答案】B 【分析】作点关于的对称点，则，，连接交于点，得到，可知当在一条直线上时，的值最小，此时，再证明四边形是平行四边形即可求解． 【详解】解：作点关于的对称点， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∴点落在上， 则，，连接交于点， ∴， 由两点之间线段最短可知，当在一条直线上时，的值最小， 此时， ∵四边形为菱形，周长为， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的最小值为． 111．如图，在矩形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动．若，求的最小值． 【答案】 【分析】作关于的对称点，在上截取，连接交于，在上截取，此时的值最小，可得四边形是平行四边形，从而可得，由勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】解：作关于的对称点，在上截取，连接交于，在上截取，此时的值最小，且，． ∵四边形是矩形， ∴，． 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵，，为的中点， ∴， ∴，， ∴由勾股定理可得， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质． 易错必刷题型38.四边形其他综合问题 题型特征：综合矩形、菱形、正方形所有知识点，做大题综合压轴考查 易错点：知识点太多混淆堆砌，做题思路混乱，大题步骤写不完整，丢分最多 112．如图，在菱形中，于E．若，且，则菱形的周长为（    ）    A．12 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【分析】根据菱形的面积公式和题意可求出菱形的边长，进而可求出菱形的周长． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， ， 菱形的周长为， 故选A． 【点睛】本题考查了菱形的性质及其面积和周长，熟练掌握这些知识是解题的关键． 113．如图，有八个全等的直角三角形拼成一个大四边形和中间一个小四边形，连接、得到四边形，设，，，若，则___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了代数式求值，四边形面积计算，将四边形的面积设为x，其余八个全等的三角形相等，每个三角形的面积设为y，由，，，可得出，，，根据，得出，从而求出，即可得出答案． 【详解】解：设四边形的面积为x，其余八个全等的三角形面积相等，每个三角形的面积设为y， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 114．如图，在正方形中，E是延长线上一点，连接，O为的中点，过点E作于点F，连接．设． (1)依题意补全图形； (2)求的度数（用含α的式子表示）； (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）根据正方形的性质得到，得到，根据直角三角形的性质得到，求得，根据三角形外角的性质得到； （3）求得，连接，由O为的中点，得到，求得，得到是等腰直角三角形，得到，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示 （2）∵四边形是正方形， ∵O为的中点， ∴， ， ． （3）．理由如下 证明：， ∴， 连接， ∵O为的中点， ∴ ， ， ， ∴是等腰直角三角形，且, ∴, 即, ∴或(不符合题意，舍去)， ∵， ， ∴． 【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04特殊的平行四边形易错必刷题型专项训练 本专题汇总特殊平行四边形章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.利用矩形的性质求角度 题型02.由矩形的性质求线段长 题型03.由矩形的性质求面积 题型04.利用矩形的性质证明 题型05.求矩形在坐标系中的坐标 题型06.矩形与折叠问题 题型07.斜边中线等于斜边的一半 题型08.添条件使四边形是矩形 题型09.证明四边形是矩形 题型10.由矩形的性质与判定求角度 题型11.由矩形的性质与判定求线段长 题型12.由矩形的性质与判定求面积 题型13.利用菱形的性质求角度 题型14.利用菱形的性质求线段长 题型15.利用菱形的性质求面积 题型16.利用菱形的性质证明 题型17.添条件使四边形是菱形 题型18.证明四边形是菱形 题型19.由菱形的性质与判定求角度 题型20.由菱形的性质与判定求线段长 题型21.由菱形的性质与判定求面积 题型22.由正方形的性质求角度 题型23.由正方形的性质求线段长 题型24.由正方形的性质求面积 题型25.正方形折叠问题 题型26.求正方形重叠部分面积 题型27.由正方形的性质证明 题型28.添条件使四边形是正方形 题型29.证明四边形是正方形 题型30.由正方形的性质与判定求角度 题型31.由正方形的性质与判定求线段长 题型32.由正方形的性质与判定求面积 题型33.由正方形的性质与判定证明 题型34.中点四边形 题型35.利用对称性求阴影面积 题型36.特殊平行四边形的动点问题 题型37.四边形中的线段最值问题 题型38.四边形其他综合问题 易错必刷题型01.利用矩形的性质求角度 题型特征：给出矩形已知边角条件，求解图形内各个未知角度 易错点：混淆矩形和普通平行四边形角的性质，不会利用直角、对角线平分角度推导，角度换算容易出错 1．如图，是矩形的对角线，平分交于点E．若，则___． 2．如图，在矩形中，、交于点，于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，对角线与相交于点，于点．求的度数． 易错必刷题型02.由矩形的性质求线段长 题型特征：依托矩形对角线、边长关系，求图形内各类线段、对角线长度 易错点：忘记矩形对角线相等且互相平分，不会结合勾股定理计算，线段关系梳理混乱 4．如图，在矩形中，，交于点，，，分别是线段，的中点，则的长为_____． 5．如图，在矩形中，，，P是上不与点A和点D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足分别为E，F，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 6．如图，在中，是的中点，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 易错必刷题型03.由矩形的性质求面积 题型特征：已知矩形边长、对角线、分割图形，求矩形整体或分割部分面积 易错点：图形分割后面积拆分计算失误，不会结合对角线求面积，公式运用不熟练 7．如图，长方形的面积是，为上一点，，为上一点，，则的面积是____________．     8．学校花圃设计成矩形．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，过点O的直线交，于点E，F．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B．6 C．4 D．3 9．如图，平行四边形中，，过点D作交的延长线于点E，点M为的中点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，且， ①求和的长． ②求四边形的面积． 易错必刷题型04.利用矩形的性质证明 题型特征：运用矩形特有性质，证明线段相等、角度相等、直线平行或垂直 易错点：没先证明图形是矩形，就直接套用矩形专属性质，证明步骤跳步、逻辑不完整 10．如图，矩形的对角线，相交于点O，，，则矩形的对角线长为_____． 11．如图，在矩形中，对角线、交于点O．延长至点E，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 12．如图，已知矩形，点E和点F是边上的点，和交于点G，．求证：． 易错必刷题型05.求矩形在坐标系中的坐标 题型特征：平面直角坐标系内，已知矩形部分顶点坐标，求剩余顶点坐标 易错点：不会结合矩形对边平行相等的特点推坐标，坐标正负、平移方向容易搞反 13．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，已知点，则点的坐标是_______． 14．如图，将矩形放在平面直角坐标系中，轴，，，若点，则B点的坐标为（   ） A． B． C． D． 15．已知：如图，四边形为长方形，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，点的坐标为，点的坐标为 (1)直接写出点的坐标为__________； (2)有一动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向终点运动，当直线将长方形的周长分为两部分时，求点的运动时间； (3)在（2）的条件下，点为坐标轴上一点，若三角形的面积是24，请直接写出点的坐标． 易错必刷题型06.矩形与折叠问题 题型特征：矩形沿直线折叠，求折叠后的角度、线段长、面积相关计算 易错点：忽略折叠前后边角完全相等的关系，找不全全等条件，极易漏解、多解丢分 16．如图，将矩形纸片折叠，使与重合，得到折痕．把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕，同时得到线段，若，则的长为___________． 17．矩形柔性材料可任意折叠，如图，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在边的中点处，点B落在点处，其中，，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 18．如图，四边形中，，，，．将四边形折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D落在F处． (1)求证：四边形是矩形． (2)求的长． 易错必刷题型07.斜边中线等于斜边的一半 题型特征：直角三角形中，利用这条定理求中线、斜边长度，相关角度计算 易错点：忽略定理只适用于直角三角形，容易和三角形中位线、普通中线概念混淆 19．如图，在中，、分别为、的中点，，，，，则的周长为____． 20．如图，在中，点，分别是，的中点，点在线段的延长线上，且，若，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 21．我们在学习平行四边形时，利用倍长中线的方法研究了三角形的中位线，请据此思考下面的问题：如图1，在平行四边形中，点E是边的中点，点F是边上一点，且． (1)求证：； (2)如图2，若点F是边的中点，点G为边的中点，连接，求证：； (3)如图3，若点F是边的中点，连接，求证：． 易错必刷题型08.添条件使四边形是矩形 题型特征：题目给出现有基础条件，补充一个合适条件，让四边形成为矩形 易错点：忽略要先满足平行四边形前提，随便乱补条件，补充的条件不符合矩形判定定理 22．如图，在中，对角线，相交于点，要使得成为矩形，应添加的一个条件是________．（只需写一个条件） 23．如图，在平行四边形中，是对角线，添加下列选项中的一个条件，不能判定平行四边形为矩形的是（   ） A． B． C． D． 24．在中，交于点O，点E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：点A为的中点； (2)若，连接，判断与满足什么数量关系时，四边形是矩形，说明理由． 易错必刷题型09.证明四边形是矩形 题型特征：结合题干已知平行、边角、全等条件，完整推理证明四边形为矩形 易错点：矩形三种判定定理记混乱用，证明逻辑顺序颠倒，关键必要条件缺失 25．如图，在中，，，，则当______时，四边形是矩形． 26．如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 27．在平行四边形中，过点作于点，点在上且，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，平分，求的面积． 易错必刷题型10.由矩形的性质与判定求角度 题型特征：先判定图形为矩形，再利用矩形性质推导计算未知角度 易错点：判定和性质混用颠倒，还没证出是矩形，就直接用矩形性质算角度 28．如图，在矩形中，，点在上，且，则________． 29．如图，在直角三角形中，，，，，动点D在线段上运动（不与端点重合），点D关于边，的对称点分别为E，F，连接，点C在上，则在点D的运动过程中，线段长度的最小值是（） A． B． C．10 D． 30．已知中，点E为上一点，且，的延长线交于点F，连． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，M是的中点，求的度数． 易错必刷题型11.由矩形的性质与判定求线段长 题型特征：先判定四边形是矩形，再结合性质求边长、对角线、线段长度 易错点：判定步骤不完整就直接计算，勾股定理列式计算粗心，数值容易算错 31．等腰梯形的腰长为，两底差为，则高为______． 32．如图，直角三角形中，，，，点D是上的一个动点，过点D作于E点，于F点，连接，则线段的最小值为（   ） A．2.4 B．5 C．4.8 D．2.5 33．如图，已知，延长到，使，连接，，，若． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 易错必刷题型12.由矩形的性质与判定求面积 题型特征：先判定矩形，再根据边长、对角线条件，求解图形面积 易错点：判定过程不严谨，面积公式套用混乱，分割图形面积加减容易算错 34．如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于E，F，连接．若，则图中阴影部分的面积是__________． 35．如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交，于E、F，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为（    ）    A．10 B．12 C．16 D．18 36．如图，在中，，是的角平分线，是的外角的平分线，，垂足为． (1)求证：四边形是矩形． (2)连接，若，，求的长． (3)仅用无刻度的直尺画出将面积平分的射线． 易错必刷题型13.利用菱形的性质求角度 题型特征：根据菱形边、对角线、邻角关系，求解图形内未知角度 易错点：忘记菱形对角线平分一组对角、邻角互补的性质，角度推导极易混乱出错 37．如图，已知菱形花坛，沿着菱形花坛的对角线修建两条小路和，、相交于点O，若，则的度数为________°． 38．如图，是菱形的对角线，作的垂直平分线分别交、于点E、F，连接、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 39．如图，在菱形中，，E是边上的动点，作交于点F，在上取点G，使，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 易错必刷题型14.利用菱形的性质求线段长 题型特征：借助菱形四边相等、对角线互相垂直平分，求线段、对角线长度 易错点：不会用对角线垂直构造直角三角形，搭配勾股定理计算，边长对角线关系混淆 40．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，．若，则的长是_________． 41．如图，菱形的边长是5，对角线的长是8，，垂足为E，则的长为（   ） A．3 B．4 C．4.8 D．9.6 42．如图，在菱形中，，对角线，相交于点O，E，F，G，H分别是边，，，的中点，连接，，，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求对角线的长． 易错必刷题型15.利用菱形的性质求面积 题型特征：用底乘高、对角线乘积一半两种方法，求菱形面积 易错点：两个面积公式记混，用对角线求面积时，容易忘记乘二分之一，计算扣分 43．菱形的两条对角线长分别为6和9，则该菱形的面积为________． 44．如图，菱形的对角线相交于点，若，，则菱形的面积是（   ） A． B． C． D． 45．如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点，连接．若，． (1)求菱形的面积； (2)求的长． 易错必刷题型16.利用菱形的性质证明 题型特征：利用菱形特有性质，完成线段、角度、垂直平行相关几何证明 易错点：混淆菱形和平行四边形性质，证明过程跳步，缺少必要推理条件 46．如图，在菱形中，，，则的长为______． 47．如图，在菱形中，对角线与交于点O，点E为中点．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 48．如图，在平行四边形中，点在边上，且． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点，连接，．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：． 证明：四边形ABCD是平行四边形， ． ①________． 平分， ． ②________． ． 又， ③________． 又， 四边形是平行四边形． 又， 平行四边形是④________． ． 易错必刷题型17.添条件使四边形是菱形 题型特征：已有基础图形条件，补充一个条件，使四边形符合菱形要求 易错点：分不清菱形不同判定的前提要求，补充条件不成立，和题干原有条件矛盾 49．如图，在中，对角线，相交于点O，已知，，当____ 时，四边形是菱形． 50．在中，添加下列条件：①；②；③平分；④．能够判定是菱形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 51．如图，在平行四边形中，点是边上的一个动点，点是边的中点，的延长线与的延长线交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形 (2)若，   ①当的值是 时，四边形是矩形（直接写出答案）；   ②当的值是 时，四边形是菱形，并说明理由． 易错必刷题型18.证明四边形是菱形 题型特征：结合题干已知条件，完整严谨证明一个四边形为菱形 易错点：判定定理乱用，跳过平行四边形基础直接证菱形，推理逻辑不严密 52．如图，的两条对角线，相交于点．若，，，则四边形是____________．判定的依据是____________________________． 53．如图，将两条等宽的纸条重叠在一起，重叠部分为四边形，若，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 54．如图，在平行四边形中，对角线交于点O，平分，过点作，交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 易错必刷题型19.由菱形的性质与判定求角度 题型特征：先判定图形为菱形，再套用菱形性质计算各类角度 易错点：判定和性质先后顺序搞反，对角线分角45°、平分内角的性质不会灵活运用 55．按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；③分别以点和点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的度数是____________． 56．如图，在平行四边形中，，是对角线上两点，，若，则下列角中与相等的角是（   ） ①；②；③ A．① B．①② C．①③ D．①②③ 57．如图，在中，，是中点，，是的角平分线，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 易错必刷题型20.由菱形的性质与判定求线段长 题型特征：先判定菱形，再利用性质求边长、对角线、内部线段长度 易错点：判定不完整就直接计算，对角线互相垂直的特点不会利用，计算粗心出错 58．如图，线段，分别以点，点为圆心，以为半径作弧，两弧交于点，点，连接则的长为______ ．    59．如图，一个木制的活动衣帽架由3个全等的菱形构成．已知菱形的边长为，当挂钩B、D之间的距离是时，则挂钩A、C之间的距离是（   ） A． B． C． D． 60．如图，的对角线和交于点O，，分别过点C，D作，，和交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)当，时，求的长． 易错必刷题型21.由菱形的性质与判定求面积 题型特征：先判定菱形，再根据对角线、边长条件计算图形面积 易错点：菱形两种面积公式乱用，对角线数值代入错误，计算步骤出错丢分 61．如图，，分别以A，B为圆心，5cm长为半径画弧，两弧相交于M，N两点．连接，则四边形的面积为________． 62．如图，在平行四边形中，平分，，若，，平行四边形的面积为144，则线段的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 63．如图，在平行四边形中，点E，F分别在上，且，． (1)证明：四边形为菱形； (2)在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 易错必刷题型22.由正方形的性质求角度 题型特征：利用正方形四角为直角、对角线平分内角，求解各类角度 易错点：不会用正方形对角线分出45°角做推导，和矩形菱形角度性质混淆 64．已知正方形，连接、，平分交于点E，则______． 65．如图，正方形的对角线为菱形的一边，则的度数为（   ） A． B． C． D． 66．正方形中，点是边上的任意一点，连接，作，连接，． (1)当时，求的度数； (2)当时，，请直接写出正方形的边长为______． 易错必刷题型23.由正方形的性质求线段长 题型特征：根据正方形边长、对角线等量关系，求线段、对角线长度 易错点：不清楚边长和对角线根号2的倍数关系，勾股定理计算容易出错 67．对角线长为的正方形的周长是_____． 68．我们将宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．如图，矩形为黄金矩形（），在其内部作正方形，若矩形的边，那么的长为（   ） A． B． C． D． 69．如图1，正方形的边长为，在中，，连接，且． (1)若，求的长； (2)如图2，连接交于点O，若O是的中点，求证：； (3)在（2）问的条件下，连接，求的长． 易错必刷题型24.由正方形的性质求面积 题型特征：已知正方形边长或对角线，求正方形整体、分割部分面积 易错点：边长、对角线求面积的两个公式记混，代入数值计算容易算错 70．如图，正方形的面积为，点，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为______． 71．如图，在正方形中，点是上任意一点，，垂足分别为点，若该正方形的面积为50，则的值为（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 72． 已知正方形中，，点E在上，且，将沿对折至，延长交于H，连接，． (1)求证：； (2)求的长； (3)求的面积． 易错必刷题型25.正方形折叠问题 题型特征：正方形沿直线折叠，求折叠后角度、线段、面积相关计算 易错点：抓不住折叠前后边角对应相等，找不全等量关系，分类讨论不完整容易漏解 73．在课本上的“数学活动  折纸与证明”中，我们曾经两次折叠正方形纸片（如图）．若正方形纸片的边长为，则的长为_______． 74．如图，已知在正方形中，是上一点，将正方形的边沿折叠到，延长交于点，连接．现有如下4个结论：①；②与一定不相等；③；④的周长是一个定值．其中正确的个数为（    ）． A． B． C． D． 75．某数学兴趣小组在课外活动中，对正方形内两条互相垂直的线段做了如下探究： (1)如图1，在正方形中，点，分别在边，上，且，易得．请证明； (2)如图2，在正方形中，点，，分别在边，，上，且．试判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，将边长为6的正方形沿折叠，使得点落在的中点处，点落在点处，直接写出的长． 易错必刷题型26.求正方形重叠部分面积 题型特征：两个正方形交叉重叠，求中间重叠不规则区域的面积 易错点：不会用割补、全等转化面积，重叠图形形状判断错误，面积计算偏差大 76．如图，两个边长为a的正方形重叠，其中一个的顶点在另一个的对角线的交点上，则重叠部分的面积为___________________平方单位． 77．如图，正方形的对角线相交于点，点是正方形的一个顶点，已知两个正方形的边长都为，那么绕点转动正方形，两个正方形重叠部分的面积为（  ）． A．12 B．9 C． D．不确定 78．有一边长为的正方形和等腰直角，，．点，，，在同一条直线上，当，两点重合时，等腰直角以秒的速度沿直线按箭头所示方向开始匀速运动，秒后正方形与等腰直角重合部分的面积为，解答下列问题： (1)当在线段上时，_________；当在线段延长线上时，_________（用含的代数式表示）． (2)当秒时，求的值． (3)当重合部分为四边形时，请用含的代数式表示，并注明的取值范围． (4)当点到正方形的两条竖直的边的距离之比是时，直接写出的值． 易错必刷题型27.由正方形的性质证明 题型特征：依托正方形兼具矩形菱形所有性质，做几何相关证明题 易错点：性质堆砌乱用，证明步骤杂乱无章，缺少关键推理条件，格式不规范 79．如图，已知点P是正方形外一点，且，，则的最大值是______． 80．如图，在正方形中，E、F分别是的中点，交于点G，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③ 81．如图，在四边形纸片中，，点E，F分别在边，上，将，分别沿，折叠，点B，D恰好都和点G重合，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若正方形边长为3，，求的长度． 易错必刷题型28.添条件使四边形是正方形 题型特征：现有矩形、菱形、平行四边形基础上，补一个条件变成正方形 易错点：不知道要同时满足矩形+菱形特征，补的条件单一，达不到正方形判定要求 82．如图，在菱形中，对角线，相交于点，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是正方形，则应选择______(限填序号)． 83．在四边形中，，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 84．如图，中，平分，，． (1)求证：四边形是菱形 (2)当满足什么条件时，四边形是正方形 易错必刷题型29.证明四边形是正方形 题型特征：完整推理证明一个四边形是正方形 易错点：证明顺序完全混乱，不会先证矩形再证菱形，直接一步乱证，逻辑漏洞多 85．四边形 的对角线 和 相交于点 ，则下列几组条件中能判定它是正方形的是____．（只需要填上序号） ① ，； ② ，，，； ③四边形 是矩形，并且 ； ④四边形 是菱形，并且 ． 86．四边形是平行四边形，下列说法不正确的是（    ） A．当时，四边形是矩形 B．当时，四边形是菱形 C．当平分时，四边形是菱形 D．当时，四边形是正方形 87．如图，菱形的对角线与相交于点O，． (1)求证：四边形是正方形． (2)E，F分别是上一点，，连接并延长与相交于点H，求证：． 易错必刷题型30.由正方形的性质与判定求角度 题型特征：先判定正方形，再用性质推导计算角度 易错点：判定和性质混用颠倒，没证出正方形就直接用专属性质算角度 88．如图，正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且，若，则____________． 89．如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 90．如图，已知中，，点D为边BC上一动点，四边形是正方形，连接GC，正方形对角线AE交BC于点F， (1)判断BD与CG的数量关系，并证明； (2)求证：； (3)若，求AE的值． 易错必刷题型31.由正方形的性质与判定求线段长 题型特征：先判定正方形，再计算边长、对角线、内部线段长度 易错点：判定步骤敷衍不完整，边长对角线关系记不牢，计算数值容易出错 91．如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为__________．    92．如图，两个全等的等腰和等腰有公共斜边，且四边形的面积为36，为等边三角形，点在四边形内，在上有一点，使的和最小，则这个最小值为（   ）    A．5 B．6 C．7 D．8 93．如图，中，外角的平分线交于点A，过点A分别作直线的垂线，B，D为垂足． (1)求的度数； (2)①求证：四边形是正方形； ②若，求的值． 易错必刷题型32.由正方形的性质与判定求面积 题型特征：先判定正方形，再根据条件计算图形面积 易错点：判定条件不充足就计算，面积公式套用混乱，粗心计算丢分 94．如图，正方形的周长为，顺次连接正方形各边中点、、、，得到四边形的面积等于__________．    95．如图，点为正方形的对角线的中点，在中，两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 96．如图，在中，，过点A作于点D．线段关于直线的对称线段为，线段关于直线的对称线段为，分别连接，，并延长交于点G． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，，求的面积． 易错必刷题型33.由正方形的性质与判定证明 题型特征：综合正方形判定+性质，完成复杂几何大题证明 易错点：判定、性质来回乱用颠倒，证明步骤跳步缺步，书写不规范扣步骤分 97．如图，在正方形中，E，F分别是的中点．若，则的长是____．    98．如图，已知四边形ABCD为正方形，，点E为对角线AC上一点，连接DE．过点E作，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①矩形DEFG是正方形；②；③CG平分；④．其中正确的结论有（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 99．如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，，求的长度； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，求出的度数． 易错必刷题型34.中点四边形 题型特征：连接任意四边形各边中点，判断围成中点四边形的形状、求边长面积 易错点：不会结合三角形中位线定理判断形状，原四边形对角线和中点四边形关系搞不清 100．顺次连接菱形四边中点得到的四边形是_____． 101．如图，四边形为等腰梯形，且对角线，取梯形各边的中点E、F、G、H，则四边形是（    ） A．梯形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 102．已知：四边形是菱形，依次连接各边中点得到四边形．求证：四边形是矩形． 易错必刷题型35.利用对称性求阴影面积 题型特征：借助矩形菱形正方形中心对称、轴对称特点，求阴影部分面积 易错点：找不到对称对应关系，不会用割补平移转化面积，白白丢分 103．如图，中，，，将沿方向平移，得到，连接．若，则阴影部分的面积为________． 104．如图，点，分别是矩形的边，的中点，两条平行线，分别经过菱形的顶点，和边，的中点，，已知菱形的面积为，则图中阴影部分的面积和为___________．（用含的代数式表示） 105．如图所示，四边形是正方形的内接四边形，与都是锐角，已知，，四边形的面积是．求正方形的面积．    易错必刷题型36.特殊平行四边形的动点问题 题型特征：图形边上有动点，运动过程中求满足条件的线段、角度、时间 易错点：不会分类讨论动点不同位置，漏解情况多，列方程计算极易出错 106．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝15cm，BC＝10cm，P、Q分别从A、C同时出发，P以2cm/s的速度由A向D运动，Q以0.5cm/s的速度由C出发向B运动，运动________秒时，四边形ABQP恰好是平行四边形． 107．如图，在四边形中，，，，动点从点出发，以的速度向点运动，同时动点从点出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点同时停止运动．设点的运动时间为（单位：），对于结论：①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④点，在运动中会存在一个时刻，使得．不正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 108．已知：如图，在四边形中，，，，，，点从出发，以的速度向点运动，点从出发，以的速度向运动，其中一动点到达端点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为． (1)经过多少时间，四边形是平行四边形？ (2)在运动过程中，需经过多长时间才能使？ 易错必刷题型37.四边形中的线段最值问题 题型特征：在特殊平行四边形背景里，求线段最大值、最小值 易错点：找不到最值对应的几何模型，不会用垂线段最短、两点之间线段最短解题 109．如图，已知正方形的对角线交于O，G是的中点，线段（点在点的左边）在直线上运动，连结，若，则的最小值是______． 110．如图，周长为16的菱形中，点分别在边上，为上一动点，则线段的长最短为（    ） A．3 B．4 C． D．6 111．如图，在矩形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动．若，求的最小值． 易错必刷题型38.四边形其他综合问题 题型特征：综合矩形、菱形、正方形所有知识点，做大题综合压轴考查 易错点：知识点太多混淆堆砌，做题思路混乱，大题步骤写不完整，丢分最多 112．如图，在菱形中，于E．若，且，则菱形的周长为（    ）    A．12 B．8 C．4 D．2 113．如图，有八个全等的直角三角形拼成一个大四边形和中间一个小四边形，连接、得到四边形，设，，，若，则___________． 114．如图，在正方形中，E是延长线上一点，连接，O为的中点，过点E作于点F，连接．设． (1)依题意补全图形； (2)求的度数（用含α的式子表示）； (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $