21.3.1 矩形 同步分层试卷 2025—2026学年人教版数学八年级下册

人教版八年级下册 21.3.1 矩形 同步分层试卷 一、夯实基础 1．下列选项中，矩形一定具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．邻边相等 D．一条对角线平分一组对角 2．如图，在下列条件中，能够判定平行四边形是矩形的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（　　） A．0.6km B．1.2km C．1.5km D．2.4km 4．如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是（　　） A．四边形由矩形变为平行四边形 B．对角线的长度增大 C．四边形的面积不变 D．四边形的周长不变 5．我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量对角线是否互相垂直 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量是否有三个角是直角 6． 如图，在矩形中，，相交于点.若的面积为2，则矩形的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 7．矩形的面积为，一条边长为，则矩形的对角线的长为　 　． 8．如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长是　 　． 9．如图，在直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为(0，8)和(6，0)，将一根橡皮筋两端固定在A、B两点处，然后用手勾住橡皮筋向右上方拉升，使橡皮筋与坐标轴围成一个矩形AOBC，则橡皮筋被拉长了　 　个单位长度． 10．如图，点E为□ABCD边BC上的一点，连接AE并延长与DC的延长线交于F，若点 C是DF边的中点，AF=AD. （1）求证：四边形ABFC是矩形； （2）若AB=3，AE=4，求AC 的长. 二、能力提升 11．如图，在四边形中，，为中点，连接交于点，若为中点，，，则　 　． 12．如图，过矩形的对角线上一点K分别作矩形两边的平行线与，那么图中矩形的面积与矩形的面积的大小关系是　 　；（填“＞”或“＜”或“=”） 13．如图，矩形的边，若将矩形变形为，并使得点A在水平方向移动的距离为1.5，则与的距离是　 　． 14．八年级（3）班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，计划用红花摆成两条对角线， （1）如果一条对角线用了18盆红花，还需要从花房运来________盆红花． （2）如果矩形较短的边为，两条对角线所夹的锐角为；求该矩形花坛的面积． 15． 如图，在中，点是边的中点，连接并延长，交的延长线于点．连接、． （1）求证：； （2）当时，请判断四边形的形状，并说明理由． 三、拓展创新 16．图1是升降式篮球架，图2是其侧面示意图，立柱，．伸缩杆的长度变化，带动旋转杆，分别绕点O，A转动、篮板升降．已知，，，，，． （1）求证：； （2）当篮筐离地高度时． ①判断四边形的形状，并说明理由； ②此时伸缩杆的长度为 ▲ cm； （3）受制造工艺限制，要求，求篮筐离地高度的取值范围． 答案解析部分 1．【答案】A 【知识点】矩形的性质 【解析】【解答】解：矩形一定具有的性质是对角线相等，在A符合题意； B、C、D均为菱形所具有的性质， 故答案为：A. 【分析】根据矩形对角线相等的性质，逐项分析即可. 2．【答案】D 【知识点】矩形的判定 【解析】【解答】解：A． ∵，∴，即，平行四边形不是矩形 B．，无法判定平行四边形是矩形 C．，无法判定平行四边形是矩形 D． ∵，∴，平行四边形是矩形 故选：D． 【分析】根据矩形的判定定理逐项进行判断即可求出答案． 3．【答案】B 【知识点】直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：， ， 为的中点， ， ， ， 故选：． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出答案. 4．【答案】C 【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质 【解析】【解答】解：向左扭动框架，由矩形变成了平行四边形，故A选项说法正确，A不符合题意； 此时对角线减小，对角线增大，故B选项说法正确，B不符合题意； 边上的高减小，面积就变小，故C选项说法错误，C符合题意； 四边形四条边都不变，周长就不变，故D选项说法正确，D不符合题意． 故选：C． 【分析】根据矩形，平行四边形性质逐项进行判断即可求出答案. 5．【答案】D 【知识点】矩形的判定 【解析】【解答】解：A、 对角线互相垂直是菱形的判定条件，而非矩形的必要条件，矩形的对角线相等且平分，但不一定垂直，故此不正确； B、矩形的对角线相等，但仅凭对角线相等无法确定四边形一定是矩形（如等腰梯形的对角线也相等），故此选项不正确； C、两组对边相等的四边形是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形，故此选项不正确； D、四边形中有三个角为直角，则第四个角必为直角，从而该四边形一定为矩形，故此选项正确. 故答案为：D. 【分析】根据矩形的判定方法：①三个角是直角的四边形是矩形，②有一个内角为直角的平行四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形，据此逐一判断得出答案. 6．【答案】C 【知识点】矩形的性质；利用三角形的中线求面积 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形 ∴AB=CD，AD=BC，OA=OC=OB=OD ∴， 在与中，根据等底同高的三角形面积相等可知 ∴ ∴ 故答案为：C. 【分析】易证，，再根据等底同高三角形的面积相等关系可知这四个三角形的面积都相等且为2，故可求矩形ABCD 面积为8. 7．【答案】10 【知识点】勾股定理；矩形的性质 【解析】【解答】解：如图，根据题意画出示意图，假设， 矩形的面积为， 矩形的另一条边长为， ， 矩形的对角线， 故答案为：． 【分析】先根据题意画出示意图，假设，从而根据矩形的面积得到BC，再根据勾股定理即可求解。 8．【答案】4 【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；补角 【解析】【解答】解：∵∠BOC＝120°， ∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD， ∴OA＝OB， ∵∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∵AB＝2， ∴OA＝OB＝AB＝2， ∴AC＝2AO＝4 故答案为：4． 【分析】根据补角可得∠AOB，再根据矩形性质可得∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，则OA＝OB，根据等边三角形判定定理可得△AOB是等边三角形，则OA＝OB＝AB＝2，即AC＝2AO＝4即可求出答案. 9．【答案】4 【知识点】坐标与图形性质；矩形的判定与性质 【解析】【解答】解：∵A、B两点的坐标分别为(0，8)和(6，0)， ∴OA＝8，OB＝6， ∴， ∵四边形AOBC是矩形， ∴AC=OB=6，CB=OA8， ∵AC+BC-AB=6+8-10=4， ∴橡皮筋被拉长了4个单位长度， 故答案为：4． 【分析】由A、B两点的坐标得出OA、OB的长，然后根据勾股定理算出AB，进而根据矩形对边相等可得AC+BC=OB+OA，然后用AC+BC-AB即可得出答案. 10．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD，AD=BC， ∵C是DF中点， ∴CD=CF， ∴AB=CF， ∵AB∥CD，即AB∥CF， ∴四边形ABFC是平行四边形， ∵AF=AD，AD=BC， ∴AF=BC， ∴四边形ABFC是矩形； （2）解：由（1）得四边形ABFC为矩形， ∴∠BAC=90°，AE=BE=CE， ∵AE=4， ∴BC=8， ∵AB=3， ∴. 【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质 【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质、中点的定义得AB∥CD，AB=CD，AD=BC，CD=CF，从而得AB=CF，进而证明四边形ABFC是平行四边形，然后进行等量代换求出AF=BC，根据矩形的判定即可得证结论； （2）根据矩形的性质得∠BAC=90°，AE=BE=CE，从而得BC=8，然后利用勾股定理求出AC的值. 11．【答案】6 【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：∵分别为、的中点，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：6． 【分析】根据三角形中位线定理可得，根据边之间的关系可得CF=3，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案. 12．【答案】 【知识点】矩形的性质 【解析】【解答】解：∵四边形是矩形， 又∵对角线上一点K分别作矩形两边的平行线与， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积， ∴的面积的面积的面积的面积的面积的面积， ∴． 故答案为：． 【分析】根据矩形性质即可求出答案. 13．【答案】 【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；矩形的性质 【解析】【解答】如图，延长交于，则 将矩形变形为， ， ， ， 与的距离为 故答案为： 【分析】本题考查矩形和平行四边形的性质、勾股定理，先根据图形变形的性质得到，且，构造，其中直角边，斜边，再利用勾股定理求出另一条直角边的长度，该长度即为与的距离。 14．【答案】（1）18 （2）解：∵四边形是矩形，∴，，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，则， 在中，， ∴． 【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质 【解析】【解答】（1）解：∵矩形的对角线互相平分且相等， ∴一条对角线用了18盆红花， ∴还需要从花房运来红花18盆； 故答案为：18； 【分析】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理的应用。 (1)根据矩形的对角线互相平分且相等的性质，两条对角线的长度相等，因此所需红花数量相同，据此得出答案； (2)由矩形对角线的性质得出，结合对角线夹角判定为等边三角形，求出对角线的长度，再在中利用勾股定理求出的长度，最后根据矩形面积公式计算面积。 （1）解：∵矩形的对角线互相平分且相等， ∴一条对角线用了18盆红花， ∴还需要从花房运来红花18盆； 故答案为：18； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，则， 在中，， ∴． 15．【答案】（1）证明：∵是平行四边形， ∴. ∵延长至点， ∴. ∴. ∵ 点是边的中点， ∴. 又∵. ∴ . 证毕. （2）解：四边形是矩形，理由如下： 由（1）可知，，且， ∴四边形是平行四边形. ∵，且， ∴. ∵， ∴. ∴. ∴四边形是矩形. 【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；三角形全等的判定-ASA；两直线平行，内错角相等 【解析】【分析】（1）利用平行四边形性质，先证明得到，然后结合已知条件、，即由ASA可证； （2）利用（1）的过程与结论，易知四边形是平行四边形. 在此基础上，通过证明其对角线，从而可知四边形是矩形（对角线相等的平行四边形为矩形）. 16．【答案】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵，∴． （2）解：①∵，，， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． ②； （3）解：当时，过点M作ME⊥OP于点E，则OE=EM=50， ∴， 当时，过点M作ME⊥OP于点E，则∠EMO=30°， ∴CE=50cm， ． ∴ 【知识点】矩形的判定与性质；勾股定理的实际应用-其他问题 【解析】【解答】（2）②过点Q作QD⊥OC于点D， 则ODQP是矩形， ∴DQ=OP=120cm，OD=PQ=40cm， ∴CD=OC-OD=50-40=10cm， ∴CQ=cm， 故答案为：； 【分析】（1）先得到是平行四边形，即可得到对边平行，即可得到垂直； （2）①先得到是矩形， 即可根据有一个角是直角得到是平行四边形； ②过点Q作QD⊥OC于点D，则ODQP是矩形，根据勾股定理求出CQ长即可； （3）分别计算当和是的MH的值，即可得到取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $