9.1因式分解的概念课件2025-2026学年苏科版八年级数学下册

八年级苏科版数学下册 第九章 因式分解 9.1因式分解的概念 学习目标 1.了解因式分解的概念. 2.体会因式分解与整式的乘法的区别与联系，并会运用整式的乘法运算检验因式分解的正确性，强化运算能力. 情景创设 我们曾经学习过数的整除问题，7+72能被8整除吗？99+992能被100整除吗？若a是正整数，a+a2能被a+1整除吗？ 7+72=7×(1+7)=7×8，所以7+72能被8整除. 99+992=99×(1+99)=99×100，所以99+992能被100整除. 根据a(a+1)=a+a2，可得a+a2=a(a+1)，所以a+a2能被a+1整除. 问题 我们曾经学习过数的整除问题，7+能被8整除吗？99+ 能被100整除吗？若a是正整数，a+能被a+1整除吗? 7+=7×(1+7)=7×8，所以7+ 能被8整除. 99+ =99(1+99)=99X100，所以99+ 能被100整除. a+能否写成几个整式乘积的形式? 根据a(a+1)= a+，可得a+=a(a+1)，所以a+能被a+1整除. 例如，对于多项式ma+mb，x2+3x+2， 根据m(a+b)=ma +mb，(x+1)(x+2)=x2+3x+2, 上述两组等式表达了不同的意义： 第一组等式表示两个整式的乘法运算； 第二组等式则是把一个多项式表示成 两个整式的乘积形式。 在解决问题时，我们常需要把一个多项式化成几个整式的乘积。 把上述等式左右换位，可以得到 ma+mb=m(a+b)， x2+3x+2=(x+1)(x+2)。 小结： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的变形叫作因式分解(factorization)。因式分解也可称为分解因式. 因式分解的概念： 5 例题讲解 判断下列从左到右的变形中 ，哪些是整式乘法，哪些是多项式的因式分解. (1)m(a+2b)=ma+2mb； (2)15xy+25xy2=5xy(3+5y)； (3)(y+3)(y-3)=y2-9： (4)a2+4b2+4ab=(a+2b)2; (5)a2+1=a(a+) 因式分解 整式乘法 整式乘法 因式分解 × ● 例1 解 教材P105 例题 例 判断下列从左到右的变形中，哪些是整式乘法，哪些是多项式的因式分解. (1)m(a +2b)=ma +2mb; (2)15xy+25x = 5xy (3+5y); (3) (y+3)(y-3)= -9; (4) +4 +4ab= 解：(1)(3)是整式乘法，(2)(4)是多项式的因式分解. 试一试： 1、对于①x-3xy=x(1-3y)；②(x+3)(x-1)=x2+2x-3.从左到右的变形， 表述正确的是 ( ) A.都是因式分解 B.都是乘法运算 C.①是因式分解,②是乘法运算 D.①是乘法运算,②是因式分解 2、利用因式分解简便计算57×99+44×99-99正确的是( ) A.99×(57+44)=99×101=9999 B.99×(57+44-1)=99×100=9900 C.99×(57+44+1)=99×102=10098 D.99×(57+44-99)=99×2=198 C B 8 探索活动 1、观察下面图形的剪拼过程，写出相应的等式. 谈谈因式分解与整式乘法有什么联系？请举例说明. (x+2)(x+3)=x2+3x+2x+6=x2+5x+6 x2+5x+6=(x+2)(x+3) 整式乘法与因式分解是互为逆过程的代数变形： 整式乘法：把几个整式相乘 → 得到一个多项式（展开）； 因式分解：把一个多项式 → 写成几个整式的乘积（拆解）. 这种关系类似于“加法与减法”“乘法与除法”，是代数恒等变形的基石. 探索研究 写出两个整式A与B，使得A=B(a+3) ( )=( )(a+3). a a2+3a 则A=a2+3a，B=a a+1 a2+4a+3 则A=a2+4a+3，B=a+1 二、例题讲解 例1.判断下列从左到右的变形中，哪些是整式乘法， 哪些是多项式的因式分解. (1) m(a+2b)=ma+2mb； (2) 15xy +25xy2= 5xy(3+5y)； (3)(y+3)(y-3)=y2-9； (4)a2+4b2+4ab=(a+2b)2. 解：(1)(3)是整式乘法，(2)(4)是多项式的因式分解. 例2、判断下列各式哪些是整式乘法? 哪些是因式分解? (1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y)； （ ） (2) 2x(x-3y)=2x2-6xy； （ ） (3)(5a -1)2=25a2-10a+1 ； （ ） (4)x2+4x+4=(x+2)2； （ ） (5)(a-3)a+3)=a2-9； （ ） (6) m2-4=(m+2)(m -2)； （ ） (7)2πR+ 2πr=2π(R+r). （ ） 因式分解 整式乘法 因式分解 因式分解 因式分解 整式乘法 整式乘法 12 观察下面图形的剪拼过程，写出相应的等式． x 3 2 x x x 2 x 3 2 x2＋5x＋6＝(x＋3) (x＋2) 3 x (x＋3) (x＋2)＝x2＋5x＋6 谈谈因式分解与整式乘法有什么联系？请举例说明． 活动 因式分解与整式乘法的区别与联系： 因式分解 整式乘法 区别 联系 （1）由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式（和差化积）. （2）一种恒等变形． （1）由整式的积的形式转化成和差形式（多项式）（积化和差）. （2）一种乘法运算． 互逆 . 方法技巧 四、拓展提高： 仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值. 解：设另一个因式为x+n，得x2-4x+m=(x+3)(x+n),则x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n, ∴ 解得， 仿照例题方法解答： (1)若二次三项式x2-9x-22的一个因式为x+2，求另一个因式； (2)若二次三项式2x2+bx-5有一个因式是2x-5，求另一个因式以及b的值. 解：(1)设另一个因式为x+n，得x2-9x-22=(x+2)(x+n), 则x2-9x-22=x2+(n+2)x+2n, ∴2n=-22，∴n=-11，即另一个因式x-11. ∴另一个因式为x-7，m的值为-21. (2)设另一个因式为x+n，得2x2+bx-5=(2x-5)(x+n), 则2x2+bx-5=2x2+(2n-5)x-5n, ∴b=2n-5，-5n=-5∴n=1，b=-3,另一个因式x+1. 15 尝试练习 1、(书本第105页练2)：在下面式子的左边和右边的括号中各 填入一个整式，使这个式子的左边与右边相等. ( )=( )(2a+1). a 2a2+a (3)(书本第106页习题2)已知多项式a2+6a+k可以分解为(a+2)(a+4)，求k的值． (2)（2024秋•临夏州期末）若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为 (x﹣1)(x﹣3)，则k+b的值为　     ． -1 a2+6a+k=(a+2)(a+4)=a2+4a+2a+8=a2+6a+8 ∴k＝8 例题讲解 3、补讲例题：仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是(x+3)，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为(x+n)，得x2﹣4x+m＝(x+3)(x+n)， 则x2﹣4x+m＝x2+(n+3)x+3n，∴n+3＝﹣4，m＝3n 解得：n＝﹣7，m＝﹣21 ∴另一个因式为(x﹣7)，m的值为﹣21． 问题： （1）若二次三项式x2﹣5x+6可分解为(x﹣2)(x+a)，则a＝　 　 ； x2﹣5x+6=(x-2)(x+a)=x2+(a-2)x+6 ∴a-2＝﹣5，a＝-3 -3 写出两个整式A与B，使得A=B(a+3) ( )=( )(a+3). a a2+3a 则A=a2+3a，B=a a+1 a2+4a+3 则A=a2+4a+3，B=a+1 探究 答案不唯一．可以先确定右边的式子B，再利用整式乘法展开得到左边的式子A． 五、总结反思： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的变形叫作因式分解(factorization)。因式分解也可称为分解因式. 1、因式分解的概念： 2、整式乘法与因式分解有什么关系? 整式乘法与因式分解是互逆的变形，如x2-1=(x+1)x -1) 因式分解等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积. 课堂小结 因式分解 1、把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的变形叫作因式分解； 2、体会因式分解与整式乘法的区别及联系，能利用整式乘法检验因式分解的正确性； 谢谢大家 $