专题 5.3 正方形（知识梳理+ 题型精析+同步检测）- 2025-2026学年浙教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 5.3 正方形（知识梳理+ 题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】正方形的定义 1 【知识点二】正方形的性质 2 【知识点三】正方形的判定 2 二.题型精析——基础夯实篇 2 【题型 1】正方形性质的理解 2 【题型 2】利用正方形性质求值 3 【题型 3】利用正方形性质求值证明 4 【题型 4】正方形判定定理的理解 6 【题型 5】根据正方形性质与判定定理求值 7 【题型 6】根据正方形性质与判定定理求值证明 8 三.题型精析——综合压轴篇 9 【题型 7】正方形与折叠问题 9 【题型 8】正方形与动点问题 11 【题型 9】正方形与存在性问题 12 四.同步检测 23 （一）选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,) 23 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 25 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 27 一.知识梳理 【知识点一】正方形的定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形。 【要点提示】（1）条件：必须是平行四边形；（2）必须满足两个条件：有一组邻边相等，有一个角是直角；（3）本质：正方形是特殊的平行四边形，同时具备矩形和菱形的所有性质；（4）判定作用：满足定义即可直接判定图形为正方形。 【知识点二】正方形的性质 正方形是特殊的平行四边形，特殊的矩形，特殊的菱形。正方形同时具有矩形和菱形的所有性质，于是就有以下定理: 定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。 定理2：正方形的对角线相等，并且互相垂直平分。 【要点提示】（1）定理1：四个角：都是直角（90°）；四条边：全部相等；作用：用于证明边相等、角相等、垂直。定理2：（1）相等：两条对角线长度相等；（2）垂直：两条对角线互相垂直；（3）平分：两条对角线互相平分；（4）作用：用于求长度、证等腰直角三角形、算面积 【知识点三】正方形的判定 要判定一个四边形是菱形，除了利用定义之外，还有以下的定理： 定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形。 定理2：有一个角是直角的菱形是正方形，对角线相等的菱形是正方形。 【要点提示】（1）矩形+邻边相等（或对角线垂直）= 正方形；（2）菱形+一个直角（或对角线相等 = 正方形。 二.题型精析——基础夯实篇 【题型 1】正方形性质的理解 【例题1】（25-26八年级下·北京·期中）如图，已知为正方形对角线，为线段上一点，连接，过点作，，连接， （1）求 （2）连接，已知为中点，请写出与的数量关系，并证明． 【变式1】（25-26八年级下·北京大兴·期中）如图，点是正方形内一点，连接．若是等边三角形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）对角线长为的正方形的周长是_____． 【变式3】（2026·河北沧州·二模）如图．正方形的顶点坐标分别为，，直线经过，两点． （1）求直线的解析式； （2）直线经过点，并与直线交于点，求点的坐标． 【题型 2】利用正方形性质求值 【例题2】（25-26八年级下·上海·期中）如图，正方形的对角线、交于点，是上一点，，垂足为．与相交于点． （1）求证：； （2）求证：． 【变式1】（2026·江苏南京·一模）如图，在正方形中，点、在对角线上，连接、、、，若要判定四边形是菱形，则添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，已知四边形为正方形，，则__．    【变式3】（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，在正方形中，点分别在上，且，与相交于点，是的中点，连接． （1）与之间有怎样的关系？请说明理由． （2）若，，求的长． 【题型 3】利用正方形性质求值证明 【例题3】（24-25八年级下·河南开封·期末）实践探究： （1）如图①，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形．剪口与折痕应成___________度的角． 知识应用： （2）小明按照以上方法剪出两个边长为1的全等正方形，把正方形绕正方形的中心点转动的过程中，如图②所示摆放，求证． 拓展延伸 （3）小明把2024个边长为1的全等正方形重叠在一起，如图③……分别是正方形的中心，请直接写出正方形重叠阴影部分的面积． 【变式1】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为2，则两个正方形重叠部分的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式2】（24-25八年级下·山东泰安·期中）如图，将5个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点是正方形的中心，则正方形重叠的部分（阴影部分）面积和为_____． 【变式3】（24-25八年级下·河北廊坊·期末）正方形的对角线相交于点，正方形的顶点与点重合，而且这两个正方形的边长都是1．已知，与正方形的边分别交于，两点． （1）如图1，若，则重叠部分四边形的面积是___________． （2）当正方形绕点O旋转到如图2所示的位置时，四边形的面积是否发生变化？证明你的结论． 【题型 4】正方形判定定理的理解 【例题4】（24-25九年级下·福建福州·期中）如图，先将绕点C顺时针旋转得到，再将线段绕点D顺时针旋转得到，连接，且． （1）若，B、E、D三点在同一条直线上，求的长； （2）若，，点P在边上，求线段的最小值． 【变式1】（25-26八年级下·山东潍坊·期中）将四根长度相等的木条钉成一个四边形的木框架，拉动这个木框架，使它形状改变．如图①，当时，测得．如图②，当时，则的长为（    ） A． B．3 C．6 D． 【变式2】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）直角梯形中，是边上的一点，恰好使，并且，则的长是__________． 【变式3】（24-25八年级上·江苏无锡·月考）如图，已知，点A是射线上一点，，动点P从点A出发，以的速度沿水平向左运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以的速度沿竖直向上运动，连接，以为斜边向上作等腰直角三角形，设运动时间为，其中． （1）当与全等时，求t的值； （2）四边形的面积为　　． 【题型 5】根据正方形性质与判定定理求值 【例题5】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在正方形中，点是边的中点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为．求证：四边形是正方形． 【变式1】（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，已知四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，过点E作，交的延长线于点F，连接，若，，则的长为（　　） A．5 B． C．6 D． 【变式2】（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如图，四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，过点E作 交边于点 F，以为邻边作矩形，连接．若，则_____． 【变式3】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在矩形中，，点是边上一点，将沿对折，点恰好落在边上的处，在上取点，使得，连接． （1）求证：四边形为正方形； （2）判断是什么三角形，并说明理由． 【题型 6】根据正方形性质与判定定理求值证明 【例题6】（2025·福建泉州·一模）在一次数学活动课中，小明对“折纸中的数学问题”进行探究． 【活动1】折叠矩形纸片： 第一步：如图1，把矩形纸片对折，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：点在上，再次沿折叠纸片，使点落在上的点处． 【活动2】折叠正方形纸片： 第一步：如图2，把正方形纸片对折，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：点在上（不与点，重合），再次沿折叠纸片，使点落在下方的点处，延长交于点． （1）在活动1中，求证：； （2）在活动2中，若正方形的边长为8，，求的长． 【变式1】（25-26八年级下·重庆·期中）如图，长方形的长与宽比值为，将点B沿折叠与点G重合，将点C沿折叠与点H重合，则长方形的长与宽的比值为（    ） A．2 B． C． D．3 【变式2】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）矩形第一次沿折叠得到四边形，展开后第二次沿折叠，使得点C与点F重合．若，，则______． 【变式3】（24-25八年级下·辽宁大连·期中）数学综合实践课上老师和同学们一起进行折纸，通过折叠探究其中的数学奥妙． （1）操作判断： 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平： 操作二：在上选一点M，沿折叠，使点A落在上点N处，把纸片展平，连接． 如图1，求的度数； （2）继续探究：小亮按照如图2所示的方式，先在上选一点M，沿折叠，使点A落在矩形内部点N处，把纸片展平，连接．然后再将折叠，使点N落在上点P处，展平后，延长交折痕于点H，连接．若，求的值． 三.题型精析——综合压轴篇 【题型 7】正方形与折叠问题 【例题7】（24-25八年级下·四川德阳·期中）如图所示，在直角梯形中，，，，，．动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时停止运动、另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t秒. （1）设的面积为S，S＝__（用含t的式子表示S）； （2）当t为何值时，四边形是平行四边形？ （3）分别求出当t为何值时， ①； ②． 【变式1】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，正方形的边长是2，点E是边上一动点，连接，过点A作于点F，点P是边上另一动点，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 【变式2】（2025·贵州黔南·一模）如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．则的最小值为_______． 【变式3】（2024·贵州·模拟预测）综合与探究：已知正方形中，是上一动点，过点作交正方形的外角的平分线于点． （1）【动手操作】 如图①，在上截取，连接，根据题意在图中画出图形，图中_____度； （2）【深入探究】 E是线段上的一个动点，如图②，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，求证：； （3）【拓展应用】 在（2）的条件下，若是射线上的一个动点，，，求线段的长． 【题型 8】正方形与动点问题 【例题8】（24-25八年级下·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，以为边在第二象限内作正方形． （1）求点C，D的坐标； （2）在x轴上是否存在点M，使的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，在矩形中，分别是边上的动点，点从出发到停止运动，点从出发到停止运动，若P，Q两点以相同的速度同时出发，匀速运动．下面四个结论中：①存在四边形是矩形；②存在四边形是菱形；③存在四边形是矩形；④存在四边形是正方形．所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【变式2】（2025·浙江宁波·一模）小明在研究函数特性时，给出了这样的定义：对于函数图象上的点，若且，则称点P为该函数的“轴近点”．已知一次函数（k为常数）的图象上存在“轴近点”，则k的取值范围_______． 【变式3】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，以为一边在第二象限内作正方形，为边上的一个动点，连接，以为直角边作等腰直角三角形，斜边交于，连接． （1）求点的坐标； （2）如图2，当为的中点时，连接， ①求的长； ②线段上是否存在点，使得，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【题型 9】正方形与存在性问题 【例题9】（23-24八年级下·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，以为边在第二象限内作正方形． (1)求点C，D的坐标； (2)在x轴上是否存在点M，使的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点，的坐标，利用正方形的性质可得出，，过点作轴于点，过点作轴于点，易证，，再利用全等三角形的性质结合点，所在的位置，即可得出点，的坐标； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时取得最小值，即的周长最小，由点的坐标可得出点的坐标，利用待定系数法可求出直线的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：当时，， 点的坐标为， ； 当时，， 解得：， 点的坐标为， ． 四边形为正方形， ，． 过点作轴于点，过点作轴于点， ，，， ． 在和中，， ， ，， 点的坐标为，即； 同理，可证出：， ，， 点的坐标为，即． （2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时取得最小值，即的周长最小， 点的坐标为， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 将，代入， 得：，解得：， 直线的解析式为． 当时，， 解得：， 点的坐标为． 在轴上存在点，使的周长最小，点的坐标为． 【变式1】（24-25八年级上·河南信阳·月考）如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，以每秒的速度沿匀速运动，点P运动的时间为，请解答以下问题∶ (1)求边的长．（辅助线提示：过D点作边的垂线） (2)是否存在某一时刻t，使线段把四边形分成面积相等的两部分？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由； (3)是否存在某一时刻t，使恰好是直角三角形？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)2.25或7 【分析】（1）过点D作于H，直接根据勾股定理即可求解； （2）根据比较发现：，从而确定当线段把四边形分成面积相等的两部分时，点P必在上，然后列方程求解即可； （3）分①当P在上；②当P在上，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：如图1，过点D作于H， ∵， ∴ ∴四边形是矩形 ∴，， ∴， 在中，根据勾股定理得， ； （2）解：存在某一时刻t，使线段把四边形分成面积相等的两部分， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴当线段把四边形分成面积相等的两部分时，点P必在上，如图2，连接， 根据题意， ∴ 根据题意，得 解得， 即当时，线段把四边形分成面积相等的两部分； （3）解：存在某一时刻t，使恰好是直角三角形 ∵ ∴ ∴为直角三角形有两种情况： 当P在上，且时，如图3，连接， 在中， 在中， 在中，， ∴ 即 解得： 当P在上，且时， ∴ 即 整理得 此方程无实数根； 当P在上，且时，如图4，点P与点H重合，， ∴， 解得， 综上所述，当t的值为2.25或7时，恰好是直角三角形． 【点睛】本题主要考查几何动点问题，涉及矩形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的定义以及分类讨论思想等，属于中考压轴题，难度比较大，解题的关键是考虑问题要全面． 【变式2】（25-26八年级上·四川达州·期末）在平面直角坐标系中，四边形为正方形，，，为线段上一点，且．      (1)求直线的函数解析式； (2)作点关于轴的对称点，点为直线上一动点，在射线上是否存在点，使以为斜边的等腰直角三角形，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由； (3)在正方形的边上有一点，若，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点坐标为 (3)点坐标为或 【分析】（1）首先确定点，点坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）设，当时，过点作于点，过点作于点，，，，，结合全等三角形的性质和建立方程即可求解； （3）分点在上、点在上、点在上和点在上四种情况，分别讨论，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵点在轴正半轴上，且， 即 ∴， 设直线的函数解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的函数解析式为； （2）解：设，如图， 当时，此时，过点作于点，过点作于点， 则，，，，， ∴， ∴， 又∵， 即 ∴， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴， ∴； （3）解：当点在上时，如图， 设，则，， ∵，， 若， 则有，解得， 即； 当点在上时，如图， 设，则，， ∴，， 若， 则有，解得，不合题意，舍去； 当点在上时，如下图， 设，则，， ∴，， 若，则有，解得， 即； 当点在上时，如下图， 此时，而，故不符合题意，舍去． 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、正方形的性质、坐标与图形、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、一次函数综合应用等知识，综合性强，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是解题关键． 【变式3】（23-24八年级下·吉林·期末）如图，直线经过点，并且与直线平行，与轴交于点． (1)求直线的解析式和点的坐标． (2)若点是直线上的一个动点，过点分别作轴于，轴于，在四边形上分别截取：，，，，求证：四边形是平行四边形． (3)在（2）的条件下，直线上是否存在点，能使四边形为正方形？若存在，直接写出所有符合条件的点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点坐标是 (2)见解析 (3)存在,点坐标或． 【分析】（1）由直线y与平行，且过点，列方程组解方程组即可得到直线的解析式，再求的坐标； （2）证明、，即可求解； （3）设点，根据，得出，，根据正方形的性质，证明，则，从而列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与平行，且过点， ， 一次函数解析式为， 当时，， 点坐标是； （2）证明：轴，轴， 四边形是矩形， ，， ，，，， ，，，， 在和中， ， ， 同理可证：， 四边形是平行四边形； （3）存在这样的点，理由如下： 设点 ∵， ∴， 当四边形为正方形时， 则，， 而，， ， 而， ， ， 即 解得：或， 所以：存在这样的点，点坐标是或． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质，正方形的性质、三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． 四.同步检测 （一）选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,) 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（    ） A．平行四边形 B．正方形 C．菱形 D．矩形 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示，在正方形中，是上的一点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，在五边形中，，，，，连结，．若，则的面积为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 5．（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）如图，已知长方形中，，那么阴影部分面积是长方形面积的（   ） A． B． C． 6．（25-26八年级下·北京·期中）有四座城市A，B，C，D，位于一个正方形的四个顶点，由于各城市之间的商业往来日益频繁，于是政府决定设计公路网连接它们，但为了节省建设经费，要求公路网总长度设计得越短越好，以下哪种方案最好（   ）． A． B． C． D． 7．（2026·河北邯郸·一模）如图，将等腰直角三角尺的角的顶点与正方形的顶点A重合，绕点A旋转三角尺，使分别与相交于点P，Q，设，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·陕西汉中·月考）正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点，点在边上，且，连接，过点作分别交、于点E、M，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，函数的图象与正方形的边和同时相交，且交点不与顶点A、B、D重合．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为，则k的可能取值为（  ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，边长为的正方形中，点分别是的中点，与交于点，记四边形的面积为，则的值是（用含的代数式表示）（    ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·湖南常德·期中）正方形的对角线，则它的边_______． 12．（25-26八年级下·陕西安康·月考）如图，在中，，，，则正方形的面积是______． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知正方形的边长为1，连接、，平分交于点E，则______． 14．（2023·湖南娄底·一模）如图，正方形的对角线、交于点，是边上一点，连接，过点作，交于点．若四边形的面积是5，则的长为______． 15．（25-26八年级下·云南昆明·期中）已知正方形，连接、，平分交于点E，则______． 16．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，在正方形中，，以A为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点E，过点E作交的延长线于点F，连接，以A为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点G，则的长为______． 17．（2026·江苏南京·一模）如图，点E在正方形的边的延长线上，，相交于点F，连接．设，则______（用含的代数式表示）． 18．（25-26八年级下·河南许昌·期中）如图，点E为正方形外一点，且，连接，交于点F，连接，．若，则的度数为_______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·甘肃定西·期中）如图，在正方形中，，是对角线上的两点，且，将绕点顺时针旋转得到，连接． （1）求证：． （2）求的度数． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，在与中，，，，相交于点．过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，，相交于点． （1）求证：； （2）满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由． 21．（本小题满分10分）（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求的长． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中），已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连接． （1）的长为______，______； （2）求证：矩形是正方形； 23．（本小题满分10分）（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知：是的角平分线，点在边上，，过点作，交于点，连接． （1）如图1，求证：四边形是菱形； （2）如图2，当时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为的度数2倍的角． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·全国·周测）推理能力【几何探究】综合与实践． 【问题情境】如图，E为正方形内一点，．将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为C）．延长交于点F，连接． 【猜想证明】 （1）试判断四边形的形状，并说明理由． （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系，并加以证明． 【解决问题】 （3）如图①，若，请直接写出的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.3 正方形（知识梳理+ 题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】正方形的定义 1 【知识点二】正方形的性质 2 【知识点三】正方形的判定 2 二.题型精析——基础夯实篇 2 【题型 1】正方形性质的理解 2 【题型 2】利用正方形性质求值 6 【题型 3】利用正方形性质求值证明 10 【题型 4】正方形判定定理的理解 15 【题型 5】根据正方形性质与判定定理求值 21 【题型 6】根据正方形性质与判定定理求值证明 26 三.题型精析——综合压轴篇 32 【题型 7】正方形与折叠问题 32 【题型 8】正方形与动点问题 39 【题型 9】正方形与存在性问题 46 四.同步检测 47 （一）选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,) 47 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 56 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 61 一.知识梳理 【知识点一】正方形的定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形。 【要点提示】（1）条件：必须是平行四边形；（2）必须满足两个条件：有一组邻边相等，有一个角是直角；（3）本质：正方形是特殊的平行四边形，同时具备矩形和菱形的所有性质；（4）判定作用：满足定义即可直接判定图形为正方形。 【知识点二】正方形的性质 正方形是特殊的平行四边形，特殊的矩形，特殊的菱形。正方形同时具有矩形和菱形的所有性质，于是就有以下定理: 定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。 定理2：正方形的对角线相等，并且互相垂直平分。 【要点提示】（1）定理1：四个角：都是直角（90°）；四条边：全部相等；作用：用于证明边相等、角相等、垂直。定理2：（1）相等：两条对角线长度相等；（2）垂直：两条对角线互相垂直；（3）平分：两条对角线互相平分；（4）作用：用于求长度、证等腰直角三角形、算面积 【知识点三】正方形的判定 要判定一个四边形是菱形，除了利用定义之外，还有以下的定理： 定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形。 定理2：有一个角是直角的菱形是正方形，对角线相等的菱形是正方形。 【要点提示】（1）矩形+邻边相等（或对角线垂直）= 正方形；（2）菱形+一个直角（或对角线相等 = 正方形。 二.题型精析——基础夯实篇 【题型 1】正方形性质的理解 【例题1】（25-26八年级下·北京·期中）如图，已知为正方形对角线，为线段上一点，连接，过点作，，连接， （1）求 （2）连接，已知为中点，请写出与的数量关系，并证明． 【答案】（1）；（2），证明见分析 【分析】（1）由正方形边性质得，，，结合，，可证明，从而得出； （2）延长至使，结合为中点证明，可得，，进而得，结合得，即可得，利用证，可得，由，得，即可得出． 解：（1）解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ​∴， ∴； （2）解：， 证明：如图，延长到点，使，连接， ∵为中点， ∴， 在和中， ， ​∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵且， ∴， ∴． 【点拨】第一问是共顶点双直角手拉手全等模型（，共顶点），这是正方形中最经典的全等构造，通过“同角的余角相等”快速得到夹角相等，结合边相等证全等；第二问是倍长中线法，这是处理“中点+线段倍数关系”问题的通用方法，通过延长中线一倍构造全等，将分散的线段集中到同一个三角形中，再结合第一问的角证第二次全等． 【变式1】（25-26八年级下·北京大兴·期中）如图，点是正方形内一点，连接．若是等边三角形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质得到，，，根据等边三角形的性质得到，，则，，最后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 解：∵正方形， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）对角线长为的正方形的周长是_____． 【答案】 【分析】根据正方形的性质，结合勾股定理求出正方形的边长，再利用正方形周长公式计算结果． 解：设正方形的边长为， 正方形的对角线长为， ， 整理得，解得（负值已舍去）， 正方形周长为． 【变式3】（2026·河北沧州·二模）如图．正方形的顶点坐标分别为，，直线经过，两点． （1）求直线的解析式； （2）直线经过点，并与直线交于点，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）点的坐标为 【分析】（1）得到点的坐标为，再利用待定系数法求解析式即可； （2）把点代入可得，再求交点即可． 解：（1）解：由题意知，轴， 点的坐标为， 设直线的解析式为，把及，代入， 得解得   直线的解析式为； （2）由题意知：， ∴点的坐标为， 把，代入，得， 直线的解析式为， 令，解得， 当时，， 点的坐标为． 【题型 2】利用正方形性质求值 【例题2】（25-26八年级下·上海·期中）如图，正方形的对角线、交于点，是上一点，，垂足为．与相交于点． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）利用等角的余角相等，即可证明； （2）利用证明，根据全等三角形的性质即可得． 解：（1）证明：∵正方形的对角线、交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵正方形的对角线、交于点， ∴， ∵，即， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（2026·江苏南京·一模）如图，在正方形中，点、在对角线上，连接、、、，若要判定四边形是菱形，则添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正方形的性质和判定，菱形的性质和判定，根据相关性质逐一判断即可，综合掌握相关知识点是解决问题的关键． 解：∵四边形是正方形， ∴， 在和中： ∴ （）， ∴； 同理可证： （）， ∴； 选项：∵，， ∴，依据四条边相等的四边形是菱形， 选项正确． 选项： ∵ ∴ 是成立的结论，无法推出四边形的边或对角线满足菱形的判定条件，选项不符合题意． 选项：仅知道，无法保证四边形的四条边相等或对角线互相垂直平分，不能判定其为菱形，选项错误． 选项： 仅能确定点的位置，无法保证点的位置使四边形满足菱形的判定条件，选项不符合题意． 【变式2】（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，已知四边形为正方形，，则__．    【答案】/90度 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理．由“”可证，可得，等量代换得出，利用三角形内角和得出．进一步即可得出答案． 解：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ∴， ， ， ， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，在正方形中，点分别在上，且，与相交于点，是的中点，连接． （1）与之间有怎样的关系？请说明理由． （2）若，，求的长． 【答案】（1）与垂直且相等，理由见分析；（2） 【分析】（1）利用正方形性质证明，继而利用全等三角形性质即可得到答案； （2）利用正方形性质计算出，再利用勾股定理即可得到答案． 解：（1）解：与垂直且相等，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴与垂直且相等； （2）解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∵点是的中点， ∴． 【题型 3】利用正方形性质求值证明 【例题3】（24-25八年级下·河南开封·期末）实践探究： （1）如图①，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形．剪口与折痕应成___________度的角． 知识应用： （2）小明按照以上方法剪出两个边长为1的全等正方形，把正方形绕正方形的中心点转动的过程中，如图②所示摆放，求证． 拓展延伸 （3）小明把2024个边长为1的全等正方形重叠在一起，如图③……分别是正方形的中心，请直接写出正方形重叠阴影部分的面积． 【答案】（1）45；（2）见分析；（3） 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的判定和性质． （1）根据翻折变换的性质及正方形的判定进行分析从而得到最后答案； （2）由正方形的性质得，，然后证明可证明结论成立； （3）由（2）可得，进而可求出2024个边长为1的全等正方形重叠在一起阴影部分的面积． 解：（1）一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线， 所以当剪口线与折痕成角，菱形就变成了正方形． 故答案为：45； （2）证明：在正方形和正方形中， ，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由（2）可知，， ∴， ∴， ∵2024个边长为1的全等正方形重叠在一起， ∴正方形重叠阴影部分的面积为： 【变式1】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为2，则两个正方形重叠部分的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据旋转的性质，可得，结合正方形的性质证明，则两个正方形重叠部分的面积等于，即正方形面积的四分之一，已知正方形的边长，可据此求出重叠部分的面积． 解：如图，设与交于点，与交于点， 根据旋转的性质，， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， 则两个正方形重叠部分的面积． 【变式2】（24-25八年级下·山东泰安·期中）如图，将5个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点是正方形的中心，则正方形重叠的部分（阴影部分）面积和为_____． 【答案】 【分析】如图，连接，，证明出，得到，推出每一个阴影部分的面积等于正方形的，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解． 解：如图，连接，， 由正方形的性质得，，， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴每一个阴影部分的面积等于正方形的， ∴正方形重叠的部分（阴影部分）面积和． 【变式3】（24-25八年级下·河北廊坊·期末）正方形的对角线相交于点，正方形的顶点与点重合，而且这两个正方形的边长都是1．已知，与正方形的边分别交于，两点． （1）如图1，若，则重叠部分四边形的面积是___________． （2）当正方形绕点O旋转到如图2所示的位置时，四边形的面积是否发生变化？证明你的结论． 【答案】（1）（2）面积不发生变化，理由见分析 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质； （1）先根据正方形的性质得到，，，再证明得到，所以重叠部分四边形的面积； （2）先根据正方形的性质得到，，，，再证明得到，所以重叠部分四边形的面积，于是判断四边形的面积不发生变化． 解：（1）解：如图1，四边形和四边形都为正方形， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 重叠部分四边形的面积； 故答案为：； （2）解：四边形的面积不发生变化． 理由如下： 四边形和四边形都为正方形， ，，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 重叠部分四边形的面积； 即四边形的面积不发生变化． 【题型 4】正方形判定定理的理解 【例题4】（24-25九年级下·福建福州·期中）如图，先将绕点C顺时针旋转得到，再将线段绕点D顺时针旋转得到，连接，且． （1）若，B、E、D三点在同一条直线上，求的长； （2）若，，点P在边上，求线段的最小值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，可证，通过证明四边形是矩形，可得，由等腰直角三角形的性质可求解； （2）由垂线段最短可得当时，的长度有最小值，先证点P，点E，点D三点共线，由勾股定理可求的长，由正方形的性质可得，即可求解． 解：（1）解：如图，连接， ∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∵B、E、D三点共线， ∴， ∴， ∵将线段绕点D顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵点P在边上， ∴当时，的长度有最小值， 由旋转的性质可得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P，点E，点D三点共线， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ， ， ∴线段的最小值为． 【点拨】本题考查了旋转的性质，矩形、正方形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，旋转的性质，矩形、正方形的判定与性质的应用是解题的关键． 【变式1】（25-26八年级下·山东潍坊·期中）将四根长度相等的木条钉成一个四边形的木框架，拉动这个木框架，使它形状改变．如图①，当时，测得．如图②，当时，则的长为（    ） A． B．3 C．6 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质结合勾股定理求出木条的长度，再根据菱形的性质结合等边三角形的判定与性质即可求解． 解：由题意可知，四边形的四条边长相等， ∴四边形是菱形， 如图①，连接， ∵在图①中，， ∴四边形是正方形， ∴，， 在中，， ∴，解得（负值舍去）， 如图②，连接， ∵在图②中，四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 【变式2】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）直角梯形中，是边上的一点，恰好使，并且，则的长是__________． 【答案】4或6 【分析】本题考查正方形的判定与性质，旋转，全等三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程，正确作出辅助线是解题的关键． 过点B作交的延长线于F，证明四边形是正方形，则把绕点B顺时针旋转得到，再，得到，设，则，，根据勾股定理，得到，求解即可． 解：如图，过点B作交的延长线于F， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 把绕点B顺时针旋转得到， 则． ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴． 设，则， ∴． 在中， ， 即， 整理得 ， 解得， ∴的长是4或6． 故答案为：4或6． 【变式3】（24-25八年级上·江苏无锡·月考）如图，已知，点A是射线上一点，，动点P从点A出发，以的速度沿水平向左运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以的速度沿竖直向上运动，连接，以为斜边向上作等腰直角三角形，设运动时间为，其中． （1）当与全等时，求t的值； （2）四边形的面积为　　． 【答案】（1）的值为；（2） 【分析】（1）根据题意得，，根据三角形全等的判定方法，只有当为等腰直角三角形时，与全等，所以，即，然后解方程即可； （2）利用得到，，则可判断四边形为正方形，所以，即，于是可求出，然后利用四边形的面积进行计算． 本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质与判定，正方形的性质与判定：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了等腰直角三角形． 解：（1）解：根据题意得，， 为等腰直角三角形， 而为公共边， 当为等腰直角三角形时，与全等， ， 即，解得， 即的值为； （2）解：过点作于，于，如图， 为等腰直角三角形， ，， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，过点作于，于， ∴四边形为矩形， ∵， 四边形为正方形， ， ， 即， ， 四边形的面积． 故答案为． 【题型 5】根据正方形性质与判定定理求值 【例题5】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在正方形中，点是边的中点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为．求证：四边形是正方形． 【答案】见分析 【分析】本题考查正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握正方形的判定方法是解题的关键． 根据垂线的定义，可得，根据矩形的判定，可得四边形是矩形，根据余角的性质，可得，根据全等三角形的判定与性质证明可得，根据正方形的判定可得答案． 解：证明：由题意，， ∴四边形是矩形， ∵四边形是正方形， ∴，， ，， ， 在和中， ， ， ∴四边形是正方形 ． 【变式1】（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，已知四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，过点E作，交的延长线于点F，连接，若，，则的长为（　　） A．5 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质等知识，正确作出辅助线是解本题的关键． 过E作于点M，作于N，证明四边形是正方形，根据勾股定理求出，再证明，得即可解答． 解：过E作于点M，作于N， ∴ ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵在正方形中，平分， 又， ∴， ∴四边形是正方形， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在正方形中，， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如图，四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，过点E作 交边于点 F，以为邻边作矩形，连接．若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，证明是解题的关键． 根据正方形，矩形，等腰直角三角形的性质得到，，如图所示，过点作于点，于点，可证矩形是正方形，矩形是正方形，从而得到，由此即可求解． 解：∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 故答案为： ． 【变式3】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在矩形中，，点是边上一点，将沿对折，点恰好落在边上的处，在上取点，使得，连接． （1）求证：四边形为正方形； （2）判断是什么三角形，并说明理由． 【答案】（1）证明见分析；（2）是等腰直角三角形，理由见分析 【分析】本题考查折叠的性质，矩形的性质，正方形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定，熟记矩形的性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质结合折叠的性质即可证明； （2）先证明，推出．再证明，即可得出结论． 解：（1）证明：四边形是矩形， ． 由对折可知， 四边形为矩形． 又由对折可知， 四边形为正方形； （2）解：是等腰直角三角形．理由如下： 由（1）知，四边形为正方形， ． 在与中， ， ， ． ， ， ， 是等腰直角三角形． 【题型 6】根据正方形性质与判定定理求值证明 【例题6】（2025·福建泉州·一模）在一次数学活动课中，小明对“折纸中的数学问题”进行探究． 【活动1】折叠矩形纸片： 第一步：如图1，把矩形纸片对折，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：点在上，再次沿折叠纸片，使点落在上的点处． 【活动2】折叠正方形纸片： 第一步：如图2，把正方形纸片对折，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：点在上（不与点，重合），再次沿折叠纸片，使点落在下方的点处，延长交于点． （1）在活动1中，求证：； （2）在活动2中，若正方形的边长为8，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）． 【分析】（1）连接．根据折叠的性质和垂直平分线的性质，证明是等边三角形，即可得到结论； （2）连接．设，证明，从而得出，，再利用勾股定理列方程求解即可． 解：（1）证明：如图，连接． 由图形折叠的特征可得：，，， ∴是线段的垂直平分线， ∴，即是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：如图，连接． 设，则． 由图形折叠的特征可得：，，，． ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得，即． 【点拨】本题考查了矩形与折叠，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，掌握相关知识点是解题关键． 【变式1】（25-26八年级下·重庆·期中）如图，长方形的长与宽比值为，将点B沿折叠与点G重合，将点C沿折叠与点H重合，则长方形的长与宽的比值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】设，则，根据折叠性质得出四边形为正方形，求出和的长，再根据第二次折叠求出，进而得出的长，最后计算长方形的长宽比． 解：设， 长方形的长与宽比值为， ， 由折叠可知， ，，， ， 四边形为正方形， ，， ∵长方形 ∴ ∴， ∴点共线， ∴， 同理可得，三点共线， 由折叠可得，， ∴ 长与宽的比值为． 【变式2】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）矩形第一次沿折叠得到四边形，展开后第二次沿折叠，使得点C与点F重合．若，，则______． 【答案】2 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，根据矩形和折叠的性质，得到四边形为正方形，求出，设，在中，利用勾股定理求出的值，进一步求出的长即可． 解：∵矩形第一次沿折叠得到四边形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∵第二次沿折叠，使得点C与点F重合， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·辽宁大连·期中）数学综合实践课上老师和同学们一起进行折纸，通过折叠探究其中的数学奥妙． （1）操作判断： 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平： 操作二：在上选一点M，沿折叠，使点A落在上点N处，把纸片展平，连接． 如图1，求的度数； （2）继续探究：小亮按照如图2所示的方式，先在上选一点M，沿折叠，使点A落在矩形内部点N处，把纸片展平，连接．然后再将折叠，使点N落在上点P处，展平后，延长交折痕于点H，连接．若，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，正方形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定，直角三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键。 （1）取中点，连接，由折叠知，，，则可证明为等边三角形，得到，据此可得； （2）如图所示，延长交于点．由矩形的性质可得，．由折叠知，，，， 则可得到．证明四边形为矩形．得到．则可证明矩形为正方形，设．则，．由勾股定理得，解方程即可得到答案． 解：（1）解：如图所示，取中点，连接． 由折叠知，， ， ， ， 为等边三角形 ， ； （2）解：如图所示，延长交于点． 四边形是矩形， ，． 由折叠知，，．，，． ，． 四边形为矩形． ． 又，， ， 矩形为正方形， 可设． ，． 在中，由勾股定理得，． 列式化简得． ，（舍）． ． 三.题型精析——综合压轴篇 【题型 7】正方形与折叠问题 【例题7】（24-25八年级下·四川德阳·期中）如图所示，在直角梯形中，，，，，．动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时停止运动、另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t秒. （1）设的面积为S，S＝__（用含t的式子表示S）； （2）当t为何值时，四边形是平行四边形？ （3）分别求出当t为何值时， ①； ②． 【答案】（1）（）；（2）当时，四边形是平行四边形；（3）①当时，；②当时，DQ＝PQ 【分析】（1）由题意知：，，将和的长代入，可求出S与t之间的函数关系式； （2）当四边形为平行四边形时，，即，可将t求出； （3）当时，可得：，从而可将t求出；当时，根据即：可将t求出． 解：（1）直角梯形中，，，，， 依题意，，则，， 过点P作于E， 则四边形是矩形，， ∴（）， 故答案为：（） （2）当四边形是平行四边形时，， ∴，解得：， ∴当时，四边形是平行四边形； （3）∵四边形是矩形 ∴，， ①当时，， ∵ ∴ 解得：， ∴当时，； ②当时，， ∵在中， 又 ∴ 解得：， ∴当时， 【点拨】本题主要考查四边形的综合应用，掌握梯形、平行四边形的特殊性质是解题的关键． 【变式1】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，正方形的边长是2，点E是边上一动点，连接，过点A作于点F，点P是边上另一动点，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，直角三角形的性质，作点C关于直线的对称点G，过点G作交延长线于H，取的中点O，连接，由直角三角形的性质可得，由轴对称的性质可得，根据，可得当O、F、P、G四点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的值，证明四边形是矩形，得到，则，据此可得答案． 解：如图所示，作点C关于直线的对称点G，过点G作交延长线于H，取的中点O，连接， ∵，O为的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∵， ∴当O、F、P、G四点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的值， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为，即的最小值为． 故选：B．    【变式2】（2025·贵州黔南·一模）如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．则的最小值为_______． 【答案】4 【分析】此题重点考查矩形的判定与性质、正方形的判定与性质．过点P作于点G，交于点F，作于点H，则四边形是矩形，所以，，由，，得，可知当与重合且与重合时，取得最小值4，于是得到问题的答案． 解：过点P作于点G，交于点F，作于点H， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当与重合且与重合时，取得最小值4， 故答案为：4． 【变式3】（2024·贵州·模拟预测）综合与探究：已知正方形中，是上一动点，过点作交正方形的外角的平分线于点． （1）【动手操作】 如图①，在上截取，连接，根据题意在图中画出图形，图中_____度； （2）【深入探究】 E是线段上的一个动点，如图②，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，求证：； （3）【拓展应用】 在（2）的条件下，若是射线上的一个动点，，，求线段的长． 【答案】（1）画图见分析；135；（2）证明见分析；（3）3或7 【分析】（1）根据题意作图即可，由正方形的性质可得，由，得到，根据平角的性质即可求解； （2）如解图②，在上截取，连接，则 ，可证，由此即可求解； （3）如解图①，四边形是正方形，可证，得到，如解图②，当点在线段上时，可得是等腰直角三角形，可得，，可得；如解图③，当点在延长线上时，延长至点，使，连接，则是等腰直角三角形，由题意可得． 解：（1）解：根据题意，画出图形如解图①， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：135； （2）证明：如解图②，在上截取，连接，则 ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，， ， ． （3）解：如解图①， 四边形是正方形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 如解图②，当点在线段上时， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． ，即， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； 如解图③，当点在延长线上时，延长至点，使，连接， 则是等腰直角三角形， ，，，， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ． 综上所述，线段的长为3或7． 【点拨】本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合运用，掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论思想是解题的关键． 【题型 8】正方形与动点问题 【例题8】（24-25八年级下·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，以为边在第二象限内作正方形． （1）求点C，D的坐标； （2）在x轴上是否存在点M，使的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点，的坐标，利用正方形的性质可得出，，过点作轴于点，过点作轴于点，易证，，再利用全等三角形的性质结合点，所在的位置，即可得出点，的坐标； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时取得最小值，即的周长最小，由点的坐标可得出点的坐标，利用待定系数法可求出直线的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点的坐标． 解：（1）解：当时，， 点的坐标为， ； 当时，， 解得：， 点的坐标为， ． 四边形为正方形， ，． 过点作轴于点，过点作轴于点， ，，， ． 在和中，， ， ，， 点的坐标为，即； 同理，可证出：， ，， 点的坐标为，即． （2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时取得最小值，即的周长最小， 点的坐标为， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 将，代入， 得：，解得：， 直线的解析式为． 当时，， 解得：， 点的坐标为． 在轴上存在点，使的周长最小，点的坐标为． 【变式1】（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，在矩形中，分别是边上的动点，点从出发到停止运动，点从出发到停止运动，若P，Q两点以相同的速度同时出发，匀速运动．下面四个结论中：①存在四边形是矩形；②存在四边形是菱形；③存在四边形是矩形；④存在四边形是正方形．所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】设两点速度为每秒1个单位长度，则，，由题意可得四边形是平行四边形，再利用矩形，菱形，正方形的性质分别进行求解即可． 解：设两点速度为每秒1个单位长度，则，， ∵四边形是矩形，， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， 当时，点与点重合，点与点重合，此时四边形是矩形，故①正确； 当四边形是菱形时，， 则，解得：，符合题意， 即：当时，四边形是菱形，故②正确； 当四边形是矩形时，，则，解得， 即：当时，四边形是矩形，故③正确； 当四边形是正方形时，， 则，解得，但此时，不符合题意，故④不正确， 综上，正确的有①②③， 故选：A． 【点拨】本题考查动点问题，特殊四边形的存在问题，特殊四边形的性质等知识点，理解并熟练掌握相关图象的性质是解决问题的关键． 【变式2】（2025·浙江宁波·一模）小明在研究函数特性时，给出了这样的定义：对于函数图象上的点，若且，则称点P为该函数的“轴近点”．已知一次函数（k为常数）的图象上存在“轴近点”，则k的取值范围_______． 【答案】且 【分析】本题考查的是一次函数的定义，一次函数的图象与性质，如图，由且，可得，，可得在正方形内，包括边界；当一次函数过时，如图，当一次函数过时，再结合一次函数的定义可得答案． 解：如图，∵且， ∴，， ∴在正方形内，包括边界； 当一次函数过时， ， 解得：， 如图，当一次函数过时， ∴， 解得：， ∵， ∴一次函数（k为常数）的图象上存在“轴近点”，则k的取值范围为 且； 故答案为：且 【变式3】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，以为一边在第二象限内作正方形，为边上的一个动点，连接，以为直角边作等腰直角三角形，斜边交于，连接． （1）求点的坐标； （2）如图2，当为的中点时，连接， ①求的长； ②线段上是否存在点，使得，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①5；②存在， 【分析】（1）由题得，所以； （2）①坐标系中有等腰直角斜放则构造三垂直全等，进而可求坐标，进而求出解析式，得到坐标，即可得解； ②过作轴于点，过作轴于点，过作于点，通过平行线得，所以，据此求解即可． 解：（1）解：， ， 四边形是正方形， ， ； （2）①过作轴于点，则， 是中点， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， 设直线解析式为，将代入得， ，解得， 直线．解析式为， ， ，解得， ， ， 在中，； ②如图，过作轴于点，过作轴于点，过作于点， 由可得直线解析式为， 设，则， 由辅助线可知四边形、四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 等腰直角三角形， ， ， 解得， ，即． 【点拨】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理一次函数和几何综合、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【题型 9】正方形与存在性问题 【例题9】 【变式1】 【变式2】 【变式3】 四.同步检测 （一）选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,) 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（    ） A．平行四边形 B．正方形 C．菱形 D．矩形 【答案】B 【分析】本题考查特殊四边形的对角线性质，根据平行四边形、正方形、菱形、矩形的对角线特征来逐一判断选项即可． 解：A.平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等且垂直，A选项不符合题意； B.正方形的对角线相等且互相垂直平分，B选项符合题意； C.菱形的对角线互相垂直平分，但不一定相等，C选项不符合题意． D.矩形的对角线相等且互相平分，但不一定垂直，D选项不符合题意． 故选：B． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示，在正方形中，是上的一点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 解：在正方形中，平分， ． ， ． 又， ． 3．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 根据正方形的判定逐个判定即可得到答案． 解：选项A、时不能判定矩形是正方形，故A不符合题意， 选项B、时，矩形是正方形，故B符合题意， 选项C、时不能判定矩形是正方形，故C不符合题意， 选项D、时不能判定矩形是正方形，故D不符合题意， 故选：B． 4．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，在五边形中，，，，，连结，．若，则的面积为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】A 【分析】此题考查了正方形的性质和判定，解题的关键是证明出四边形是正方形． 延长，交于点F，首先证明出四边形是正方形，得到，，求出，，然后利用的面积代数求解即可． 解：如图所示，延长，交于点F， ∵ ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴， ∵，， ∴， ∴的面积 ． 故选：A． 5．（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）如图，已知长方形中，，那么阴影部分面积是长方形面积的（   ） A． B． C． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形面积的计算，作出三角形的高，并表示出三角形与长方形的面积是解题的关键．过点作，垂足为，由图形可知，既是的高，也是的高，设，，根据三角形的面积公式可得，，接着可得，即可得出阴影部分占长方形面积的比例． 解：如图所示，过点作，垂足为， 设，， 则， ， ，， ， ， ， ，即阴影部分面积是长方形面积的． 故选：C． 6．（25-26八年级下·北京·期中）有四座城市A，B，C，D，位于一个正方形的四个顶点，由于各城市之间的商业往来日益频繁，于是政府决定设计公路网连接它们，但为了节省建设经费，要求公路网总长度设计得越短越好，以下哪种方案最好（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正方形边长为 ，分别计算四个选项中公路网的总长度，通过比较数值大小确定最短方案． 解：设正方形 的边长为 ． 对于方案 A：公路网为两条对角线 和 ． 总长度 ． 对于方案 B：公路网为 及中间一条连线（长度为 ）． 总长度 ． 对于方案 D：公路网为 及对角线 ． 总长度 ． ∴ 对于方案 C：如图， 在正方形 中，且， ∴ ∴ 即 故方案A最好． 7．（2026·河北邯郸·一模）如图，将等腰直角三角尺的角的顶点与正方形的顶点A重合，绕点A旋转三角尺，使分别与相交于点P，Q，设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将绕点A顺时针旋转，得，可证G，B，P三点共线，证明得，从而可求出，然后根据即可求解． 解：在正方形中，，， 将绕点A顺时针旋转，得，如图所示，则，，， ∴， ∴G，B，P三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 8．（25-26九年级上·陕西汉中·月考）正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点，点在边上，且，连接，过点作分别交、于点E、M，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，由勾股定理求出，根据证明，得出，，运用面积法可求出． 解：， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， ∴, 故选：C． 9．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，函数的图象与正方形的边和同时相交，且交点不与顶点A、B、D重合．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为，则k的可能取值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了两条直线相交问题、一次函数图象与系数的关系、正方形的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键，依据题意得，直线是过原点的一条直线，又点A的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为，且四边形为正方形，故，则直线过时，，即直线为，故此时也在该直线上，又当直线过时，则，可得直线，又函数的图象与正方形的边和同时相交，且交点不与顶点A、B、D重合，故结合图象即可判断得解． 解：由题意得，直线是过原点的一条直线． 点A的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为，且四边形为正方形， ∴， 直线过时，，即直线为，故此时也在该直线上． 又当直线过时，则，可得直线， 作出图象． 函数的图象与正方形的边和同时相交，且交点不与顶点A、B、D重合， 结合图象可得，， 故选：D． 10．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，边长为的正方形中，点分别是的中点，与交于点，记四边形的面积为，则的值是（用含的代数式表示）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质，灵活运用勾股定理和三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键，连接，依题意得，证明和全等得，，进而可证明，根据三角形的面积公式求出，则，再由勾股定理得，继而得，，然后根据即可得出答案． 解：连接，如图所示： 四边形是正方形，边长为， ，， 点分别是的中点， ， 在中，由勾股定理得：， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ，， ， 故选：C． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·湖南常德·期中）正方形的对角线，则它的边_______． 【答案】 【分析】利用正方形的性质得到邻边相等且内角为直角，结合勾股定理建立边长与对角线的等量关系，即可求解． 解：∵四边形是正方形， ∴，， 在中，由勾股定理得，， 代入，得，， ∴， ∴． 12．（25-26八年级下·陕西安康·月考）如图，在中，，，，则正方形的面积是______． 【答案】16 【分析】根据已知条件利用勾股定理求得的长，从而利用正方形面积公式即可求得结果． 解：∵，，， ∴在中，， ∴． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知正方形的边长为1，连接、，平分交于点E，则______． 【答案】/22.5度 【分析】利用正方形的性质得到，，从而证得是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形性质求得，最后利用角平分线的定义即可得出结果． 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵平分， ∴． 14．（2023·湖南娄底·一模）如图，正方形的对角线、交于点，是边上一点，连接，过点作，交于点．若四边形的面积是5，则的长为______． 【答案】 【分析】如图，过作于，于，则四边形是正方形，证明，则，，即，解得，根据，计算求解即可． 解：如图，过作于，于，则四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即，解得，（舍去）， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 15．（25-26八年级下·云南昆明·期中）已知正方形，连接、，平分交于点E，则______． 【答案】 【分析】根据正方形的性质可知，然后由角平分线的定义即可解答． 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴． 16．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，在正方形中，，以A为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点E，过点E作交的延长线于点F，连接，以A为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点G，则的长为______． 【答案】 【分析】由正方形的性质得到，，则可求出的长，进而得到的长，证明四边形是矩形， 得到，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 解：∵四边形是正方形， ∴，， 在中，由勾股定理得， 由作图方法可得； ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 17．（2026·江苏南京·一模）如图，点E在正方形的边的延长线上，，相交于点F，连接．设，则______（用含的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】利用正方形的性质证明，得出，再结合直角三角形两锐角互余及三角形内角和定理求解即可． 解：四边形是正方形， ，，． 在和中， ， ． ． 在中，，， ． ． 点在的延长线上， ． 在中，． 18．（25-26八年级下·河南许昌·期中）如图，点E为正方形外一点，且，连接，交于点F，连接，．若，则的度数为_______． 【答案】/70度 【分析】根据正方形性质和已知得，求出 ，由三角形外角的性质得，通过证明得到． 解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ，，， ∴ ∴． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·甘肃定西·期中）如图，在正方形中，，是对角线上的两点，且，将绕点顺时针旋转得到，连接． （1）求证：． （2）求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转前后的两个三角形的对应边相等，对应角相等这是解题的关键． （1）由旋转的性质得由可得然后根据证明，即可得出． （2）由正方形性质可得，结合即可得出． 解：（1）证明：∵正方形， ∴，， ∵将绕点A顺时针旋转后，得到， ，，， ， 在和中， ， ， ． （2）∵正方形， ∴， 由旋转得到：， ∴ 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，在与中，，，，相交于点．过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，，相交于点． （1）求证：； （2）满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由． 【答案】（1）证明见分析；（2），理由见分析 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定、正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定方法进行证明即可； （2）根据平行线的性质得到两组对边互相平行，证得四边形是平行四边形，根据的性质证得平行四边形是菱形，要使菱形是正方形，需要有一个角是，当时，时等腰直角三角形，进而证得，则四边形是正方形． 解：（1）证明：在和中， ； （2）解：，理由如下： 证明：， 四边形是平行四边形 平行四边形是菱形 ， 又 菱形是正方形． 21．（本小题满分10分）（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求的长． 【答案】（1）正方形；理由见分析；（2）1 【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据矩形性质及得，则四边形为矩形，再根据是的平分线得，由此即可得出结论； （2）根据四边形为正方形，得，证明和全等得，由此可得的长． 解：（1）解：四边形为正方形．理由如下： 四边形为矩形， ． ， ， ∴四边形为矩形， ∵是的平分线， ． 四边形为正方形． （2）解∶∵四边形为正方形，， ． ， ． ∵是的平分线， ． 在和中， ， ． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中），已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连接． （1）的长为______，______； （2）求证：矩形是正方形； 【答案】（1）；45；（2）见分析 【分析】（1）利用正方形的性质和勾股定理即可得到答案； （2）过点E作于点M，于点N，可证明四边形是矩形，且，则可证明，得到，据此可证明矩形是正方形． 解：（1）解：∵四边形为正方形，， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，过点E作于点M，于点N， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形，且， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形． 23．（本小题满分10分）（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知：是的角平分线，点在边上，，过点作，交于点，连接． （1）如图1，求证：四边形是菱形； （2）如图2，当时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为的度数2倍的角． 【答案】（1）见分析；（2）度数为的度数2倍的角有：,，， 【分析】（1）直接由得出，得出，．再由证明，得出．由得出，从而，根据等角对等边得出，从而，由菱形的判定可知四边形是菱形； （2）如图2，利用正方形的性质可得，求得，再求得，然后利用三角形的外角性质求得，即可求解． 解：（1）证明：在和中， ， ∴； ∴， 同理， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：由（1）知四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 由三角形的外角性质得：， ∴度数为的度数2倍的角有：,，，． 【点拨】本题主要考查了全等三角形、菱形的判定，正方形的性质，三角形的外角性质等知识．关键是由得出． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·全国·周测）推理能力【几何探究】综合与实践． 【问题情境】如图，E为正方形内一点，．将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为C）．延长交于点F，连接． 【猜想证明】 （1）试判断四边形的形状，并说明理由． （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系，并加以证明． 【解决问题】 （3）如图①，若，请直接写出的长． 【答案】（1）四边形是正方形．理由见分析；（2），证明见分析；（3）的长为 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，由正方形的判定可证四边形是正方形 （2）过点D作于H，由等腰三角形的性质可得，，由“”可得，可得，由旋转的性质可得，可得结论； （3）作于G，根据勾股定理求出，由（2）可得，，进而求出，根据勾股定理计算的长． 解：（1）四边形是正方形．理由如下： 由旋转的性质，得， ， ， ∴四边形是矩形． 又， ∴四边形是正方形． （2）．证明如下： 如图①，过点D作于点． ， ． 四边形是正方形， ， ， ． 又， ， ． 将绕点B按顺时针方向旋转得到． 四边形是正方形， ， ， ． （3）如图②，过点D作于点H． 四边形是正方形，． 四边形是正方形， ． 在中，由勾股定理，得， ． 同（2）可得，， ， ， ， ． 【点拨】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $