专题12正方形寒假预习讲义(知识点梳理+常考题型精讲精练+强化巩固)2025-2026学年浙教版八年级数学下册

专题12正方形寒假预习讲义 · 一眼看懂正方形和矩形、菱形的亲戚关系，理清特殊平行四边形的层级逻辑 · 掌握正方形边、角、对角线三大核心性质，会用性质做基础推理 · 学会判断正方形的 2 种核心判定方法，能区分判定与性质 · 能动手画出标准正方形，初步解决正方形相关简单几何问题 · 发现正方形的对称性，感知特殊四边形的几何美感 预习必备 知识点梳理 1.正方形的定义 2,正方形的性质 3.正方形的判定定理 4.正方形与特殊四边形的关系 5.正方形的周长与面积公式 6.常见易错点与解题关键 常考题型 精讲精炼 1.证明四边形是正方形 2.正方形判定定理理解 3.添条件使四边形为正方形 4.正方形性质理解 5.由正方形性质求角度 6.由正方形性质求线段长 7.由正方形性质求面积 8.正方形折叠问题 9.由正方形性质证明 10.由正方形性质判定求线段 11.由正方形性质判定证明 12.平行四边形动点问题 13.四边形最值问题 强化巩固 (解答题6题) 【知识点01.正方形的定义】 定义 1（平行四边形视角）：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 定义 2（矩形视角）：有一组邻边相等的矩形是正方形。 定义 3（菱形视角）：有一个角是直角的菱形是正方形。 .核心结论：正方形是特殊的平行四边形、特殊的矩形、特殊的菱形，集合了三者所有性质。 【知识点02.正方形的性质】 正方形的性质从边、角、对角线、对称性四个维度梳理，兼具平行四边形、矩形、菱形的全部优良性质： 1. 边的性质 四条边都相等； 对边分别平行； 邻边互相垂直。 2. 角的性质 四个角都是直角（90°）； 内角和为 360°，外角和为 360°。 3. 对角线的性质 对角线相等； 对角线互相垂直平分； 对角线平分一组对角，每条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形； 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； 设正方形边长为a，则对角线长d=a。. 4. 对称性 中心对称图形：对称中心为对角线的交点； 轴对称图形：共有4 条对称轴，分别是两条对角线所在直线、两组对边中点连线所在直线。 【知识点03.正方形的判定定理】 判定思路：先判定为矩形 / 菱形，再补充条件证正方形，共三类判定路径： 1. 平行四边形→正方形 平行四边形 + 一组邻边相等 + 一个角是直角 = 正方形 2. 矩形→正方形 满足任一条件即可： 矩形 + 一组邻边相等； 矩形 + 对角线互相垂直。 3. 菱形→正方形 满足任一条件即可： 菱形 + 一个角是直角； 菱形 + 对角线相等。 判定口诀：菱方看直角，矩方看邻边，平四两条件，对角垂等验。 【知识点04.正方形与特殊四边形的关系】 图形 与正方形的区别 共性 平行四边形 无邻边相等、无直角 对边平行且相等、对角线互相平分、中心对称 矩形 邻边不一定相等 四个直角、对角线相等、轴对称 菱形 角不一定是直角 四边相等、对角线垂直、对角线平分对角 【知识点05.正方形周长与面积公式】 设正方形边长为a，对角线为d： 周长：C=4a 面积： 1.边长法：S=a2 2.对角线法：S=d2 【知识点06.常见易错点与解题关键】 1.判定误区：仅四边相等≠正方形（可能是菱形）；仅四个直角≠正方形（可能是矩形），必须同时满足四边相等 + 四角直角。 2.对角线性质应用：涉及正方形线段相等、垂直、角度计算时，优先用对角线性质转化。 3.等腰直角三角形：正方形分割出的等腰直角三角形，边长比为1:1:，角度为 45°、45°、90°，是解几何题的重要突破口。 4.对称轴数量：易记成 2 条，实际正方形有4 条对称轴，区别于矩形（2 条）、菱形（2 条）。 【题型1.证明四边形使正方形】 【典例】下列说法不正确的是（    ）． A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．一组邻边相等的菱形是正方形 C．有三个角是直角的四边形是矩形 D．对角线相等的菱形是正方形 【答案】B 【分析】根据矩形、正方形的判定定理判断即可得出答案． 【详解】解：A. 有一个角是直角的平行四边形是矩形，不符合题意； B. 一组邻边相等的菱形不一定是正方形，符合题意； C. 有三个角是直角的四边形是矩形，不符合题意； D. 对角线相等的菱形是正方形，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形、矩形的判定方法，理解记住判定定理是关键． 【跟踪专练1】如图，矩形纸片ABCD中，AB=4cm，CE=2cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点处，折痕与边BC交于点E，则BC的长为 cm． 【答案】6 【分析】根据翻折变换的性质可以证明四边形ABE为正方形，得到BE=AB，根据BC=BE+CE即可求答案． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠B=90°，∠BA=90°， 根据则折叠的性质可知：AB=A，∠B=∠AE=90°， ∵∠B=90°，∠BA=90°，∠AE=90°， ∴四边形ABE为矩形， ∵AB=A， ∴四边形ABE为正方形， ∴BE=AB=4cm， ∴BC=BE+CE=6cm， 故答案为：6． 【点睛】题目考查的是翻折变换、矩形和正方形的判定和性质，掌握翻折变换的性质和矩形和正方形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【跟踪专练2】数学课上，老师在黑板上画出了菱形，并以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点，连接，关于四边形的形状，让同学们进行讨论，小明认为：只有当时，四边形是菱形；小红认为：当时，四边形是正方形，小刚认为：四边形是菱形，且，与的度数无关，下列判断正确的是（　　） A．小明和小红正确，小刚错误 B．小红和小刚正确，小明错误 C．小明和小刚错误，小红正确 D．小明和小红错误，小刚正确 【答案】D 【分析】本题考查的是菱形的判定与性质，正方形的判定，等边三角形的判定与性质，由菱形的性质证明，，由作图可得：，可得，再进一步的分析即可. 【详解】解：∵菱形， ∴，，， ∴，， 由作图可得：， ∴， ∴四边形为菱形；为等边三角形， ∴， ∴， ∴小明认为：只有当时，四边形是菱形；说法错误； 小刚认为：四边形是菱形，且，与的度数无关，说法正确； 当时，而， ∴四边形不是正方形， 小红认为：当时，四边形是正方形，说法错误； 故选D 【题型2.正方形判定定理理解】 【典例】我们知道，在图形从一般向特殊变化的过程中，它的组成元索及相关元素之间的关系也越来越特殊.下面是小颖从“对角线”的角度对平行四边形矩形、菱形、正方形之间关系的梳理，图中“▲”处应填写的内容是    【答案】对角线互相垂直且相等 【分析】本题考查了正方形的判断方法，根据图形即可得到答案，熟记正方形的判断方法是解题的关键． 【详解】解：由图可得，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形， 故答案为：对角线互相垂直且相等． 【跟踪专练1】下列命题中，真命题是（   ） A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．对角线相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理的知识，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法是解题的关键． 利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A．对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题是真命题； B．对角线相等的四边形不一定是平行四边形，故原命题是假命题； C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形， 故原命题是假命题； D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故原命题是假命题； 故选：A． 【跟踪专练2】如图1，一张矩形纸片，将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上点处，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使点与点重合，折痕为，如图2，已知的面积与的面积之和为，，则的长为 ． 【答案】3.2 【分析】本题考查矩形的折叠问题，正方形的判定，利用完全平方公式变形求值，根据题意可知四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是矩形，设，，结合题意可得，，根据，得，再结合，求得（负值舍去），即可求解．利用完全平方公式变形等式是解决问题的关键． 【详解】解：在矩形中，，，， 由折叠可知，，，，， ∴四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是矩形， ∴设，， ∴，，则， ∴，则， 则， ∴（负值舍去）， 则， 故答案为：3.2． 【题型3.添条件使四边形为正方形】 【典例】如图，已知的对角线，交于点O，添加条件后， 不一定是正方形的选项为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的判定，根据题意逐一对选项分析即可得出答案． 【详解】解：A、因为，所以为菱形，又因为所以为正方形，故A错误； B、因为，所以为菱形，但不能证明为正方形，故B正确； C、因为，所以为矩形，又因为所以为正方形，故C错误； D、因为，所以为菱形，又因为所以为正方形，故D错误； 故选：B． 【跟踪专练1】在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如上所示的关系图，则（4）处可以填写的条件是 ． 【答案】或 【分析】本题考查正方形的判定，由四边形是菱形，且，可证明四边形是正方形；由四边形是菱形，且，可证明四边形是正方形，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，且， ∴四边形是正方形； ∵四边形是菱形，且， ∴四边形是正方形， ∴（4）处可以填写的条件是或， 故答案为：或． 【跟踪专练2.】如图，已知平行四边形，从下列四个条件中选两个作为补充条件，使平行四边形成为正方形．①；②；③；④．则下列四种选法中错误的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形、菱形、正方形的判定，根据平行四边形的性质，矩形、菱形、正方形的判定逐项分析即可得出答案，熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定是解题的关键． 【详解】解：、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形，故添加能使平行四边形成为正方形，不符合题意； 、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形，故添加能使平行四边形成为正方形，不符合题意； 、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， 但当，四边形不一定是正方形，故添加不使平行四边形成为正方形，符合题意； 、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形，故添加能使平行四边形成为正方形，不符合题意； 故选：． 【题型4.正方形性质理解】 【典例】正方形的边长为1，则这个正方形的对角线长为 ． 【答案】 【分析】根据正方形的性质求解即可． 【详解】正方形边长为1，则对角线长为 故答案为 【点睛】本题考查正方形的性质与勾股定理，属于简单题． 【跟踪专练1】从一般到特殊是一种重要的数学思想，如图通过类比的方法展现了认识三角形与平行四边形图形特征的过程，你认为“?”处的图形名称是（　　） A．平行四边形 B．菱形 C．正方形 D．矩形 【答案】C 【分析】根据四边形之间的关系，解答即可． 本题考查了平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系，熟练掌握关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 故选：C． 【跟踪专练2】如图，正方形的边长为，是的中点，点是边上的一个动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形中的最小值问题．解题的关键是利用图形的轴对称性把所求的两条线段和转化为一条线段的长度，通常是以动点所在的直线作为对称轴作所求线段中一条线段的对称图形来转化关系．也考查了垂直平分线的性质，三角形三边关系定理，勾股定理． 连接，，，根据正方形的性质得，推出，当、、共线时，取“”，此时取得最小值，最小值为线段的长，进一步得到，，，然后根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，连接，，， ∵正方形的对角线互相垂直平分， ∴， ∴，当、、共线时，取“”， 此时取得最小值，最小值为线段的长， ∵正方形的边长为， ∴，， ∵是的中点， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 故答案为：． 【题型5.由正方形性质求角度】 【典例】如图，在正方形的外侧，作等边，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题题主要考查了正方形和等边三角形的性质，由四边形是正方形，是正三角形可得，即可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵是正三角形， ∴， ∴． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，是正方形边延长线上的一点，且，则的度数为 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，等边对等角的性质，三角形外角的性质，关键是掌握正方形的对角线平分一组对角． 根据等边对等角的性质可得，然后根据正方形的对角线平分一组对角，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，进行列式求出． 【详解】解：， ， 是正方形的对角线， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在正方形中，，，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理及正方形性质，解题关键是通过作辅助线构造全等三角形，实现角的等量代换与角度推导． 过点作且，连接、，，证，得出；证，得到、，进而推出；结合、长度，利用勾股定理得，由知，再证，得．通过角的等量代换，得出，从而求解． 【详解】解：过点作，使，连接、，． ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中： ∴， ∴，． 在和中： ∴， ∴，． ∴， 在中，，， ， ∴ ∴． 在和中： ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 【题型6.由正方形性质求线段长】 【典例】正方形对角线长为8，则正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】根据正方形性质，边长相等，四个角都是直角，可以用勾股定理求出边长． 【详解】解：根据题意画出图形，四边形是正方形，对角线， 四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， 根据勾股定理， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形性质及勾股定理的应用，正确计算是解答本题的关键． 【跟踪专练1】如图，正方形由四个全等的直角三角形（），和中间一个小正方形组成，连接．若，则的长为（   ） A．5 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查全等图形，勾股定理，关键是由全等三角形的性质推出，由勾股定理求出的长． 由正方形的面积公式求出，由全等三角形的性质推出，求出，由勾股定理得到． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，按如图方式作正方形，，，…，点，，，…在直线上，点，，，…在轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次标记为，，，…，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，正方形的性质，找到图象上点的坐标特征及点的坐标变化规律，能通过计算得出是解题的关键． 本题根据题意，通过求出前几个点坐标，推导正方形边长规律，进而得出阴影三角形面积的规律，重点考查对一次函数性质、正方形性质及规律推导的掌握，解题时要善于从特殊情况归纳一般规律，利用规律依次求出、、、…，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 将代入得，， 点的坐标为． 四边形是正方形， ． 将代入得，， 点的坐标为， ； 同理可得， ， ， ， …， 所以（为正整数）． 当时，． 故答案为：． 【题型7.由正方形性质求面积】 【典例】已知正方形的对角线长为4，则正方形的面积为（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的对角线相等，且互相垂直的性质，正方形的面积的求解．根据正方形的对角线相等且互相垂直，正方形是特殊的菱形，菱形的面积等于对角线乘积的一半进行求解即可． 【详解】解：∵正方形的一条对角线长为4， ∴面积是， 故选：C． 【跟踪专练1】数学探究课上，小浩把两个全等的正方形按如图所示的方式放置，其中点O是正方形的中心．他告诉同桌小宇正方形的边长为6，小宇快速的说出了阴影部分的面积，小宇的答案是 ． 【答案】 【分析】如图，连接，证明，则，得到，即可求出答案． 本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，关键是构造全等三角形得到阴影部分的面积等于的面积． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∵ ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，摆放着正方形（点在上）和正方形（点在上），延长交于点．若，则阴影部分矩形的面积等于（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【分析】此题主要考查了正方形和矩形的性质，熟练掌握正方形和矩形的性质是解决问题的关键． 设正方形边长为，正方形边长为，则，根据正方形和矩形的性质得，则阴影部分矩形的面积为：，由此即可得出答案． 【详解】设正方形的边长为，正方形的边长为， ∴阴影部分矩形的面积为：， ， ， ， ∴阴影部分矩形的面积为16． 故选：B． 【题型8.正方形折叠问题】 【典例】如图，将一张正方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D'落在∠BAC的内部，若∠CAD'=33°，则∠CAE的度数为 【答案】6°/6度 【分析】设∠CAE=α，根据折叠的性质列式α+33°+α=45°，解之可得答案． 【详解】解：设∠CAE=α， 根据折叠的性质知∠DAE=∠D'AE=∠CAE+∠D'AC=α+33°， ∵四边形ABCD是正方形，AC是正方形ABCD的对角线， ∴∠CAD=45°，即∠DAE+∠CAE=α+33°+α=45°， 解得：α=6°， ∴∠CAE的度数为6°， 故答案为：6°． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 【跟踪专练1】小花同学将手里的正方形纸片沿着下图方式进行两次对折后，在第二次折痕处剪掉一个等腰直角三角形如图所示，则展开正方形纸片得到的图形是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了剪纸问题，正方形的性质，轴对称的性质，解题的关键是利用轴对称的性质展开空间想象． 利用正方形的性质和轴对称的性质可得结论． 【详解】 解：展开正方形纸片得到： 故选：A． 【跟踪专练2】如图，正方形的边长为8，点E、F分别在边上．将该纸片沿折叠，使点A的对应点G落在边上，折痕与交于点Q，点K为的中点，则随着折痕位置的变化，周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、最值问题．取的中点M，连接，，证明，，求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：取的中点M，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ∵点K为的中点， ， 由折叠得关于对称， ， ，， ， 的周长 又， ， 的周长的最小值为， 故答案为： 【题型9.由正方形性质证明】 【典例.】如图，正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴，y轴上，A（﹣4，0），G（0，4），BC的中点E恰好落在x轴上，CD交y轴于点F，连接DG，DO．给出判断：①BF＝AE；②CD平分∠ODG；③∠AEB+∠CDG＝90°； ④△ADO是等腰三角形．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据正方形的性质，可得，从而得到①③正确，延长GD，过A作GD延长线的垂线并与GD的延长线交于点H，再由A，G的坐标，可推出，得出D是HG的中点，最后得出△ADO是等腰三角形进而判断④，先假设CD平分∠ODG，根据已知条件得到，根据点的坐标求得进而可以判断②． 【详解】是正方形， 又 , 在和中， 故①正确； 又 故③正确； 延长，过作延长线的垂线并与的长线交于点，则 是的中点 ， 由①可知 四边形 是正方形 是等腰三角形， 故④正确： 若CD平分∠ODG 则 故②不正确 综上所述，①③④正确． 故选D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的性质与判定，勾股定理，熟悉图形的性质是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，正方形的边长是6，对角线、相交于点O，点E、F分别在边、上，且，则四边形的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．利用正方形的性质，证明，那么四边形的面积等于的面积，然后利用的面积等于正方形面积的四分之一，即可求得答案． 【详解】解：四边形为正方形， ，，， ， ， ， ， ， 四边形的面积等于， 正方形的边长是6， ， 四边形的面积为9． 故答案为：9． 【跟踪专练2】.如图，点是正方形内一点，连接、、，将绕点顺时针旋转到的位置．若，，，则求的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线的夹角等于旋转角．也考查了勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定与性质． 连接，如图，根据旋转的性质得，，，则可判断为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得，，在中，由于，根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，即，然后利用求解． 【详解】解：连接，如图， 绕点顺时针旋转得到， ，，， 为等腰直角三角形， ，， 在中，，，， ， ， 为直角三角形， ， ． 故选：A． 【题型10.由正方形性质判定求线段】 【典例】如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为(    ) A．4 B．3 C．3或4 D．3或6 【答案】D 【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况： ①当点B′落在矩形内部时，如图所示，连接AC，先利用勾股定理计算出AC=10，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=6，可计算出CB′=4，设BE=x，则EB′=x，CE=8-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x； ②当点B′落在AD边上时，如图所示，此时四边形ABEB′为正方形． 【详解】解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况： ①当点B′落在矩形内部时，如图所示，连接AC， 在Rt△ABC中，AB=6，BC=8， ∴AC==10， ∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处， ∴∠AB′E=∠B=90°， 当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°， ∴点A、B′、C共线， 即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处， ∴EB=EB′，AB=AB′=6， ∴CB′=10-6=4， 设BE=x，则EB′=x，CE=8-x， 在Rt△CEB′中， ∵EB′2+CB′2=CE2， ∴x2+42=（8-x）2， 解得x=3， ∴BE=3； ②当点B′落在AD边上时，如图所示， 此时四边形ABEB′为正方形， ∴BE=AB=6， 综上所述，BE的长为3或6， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理，注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，E为边上一个动点，连接．将沿折叠，使点B落在边上的点P处． 结论Ⅰ：当点P与点D重合时，此时四边形为正方形； 结论Ⅱ：当P为的中点时，． 关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（　　） A．结论Ⅰ对，结论Ⅱ错 B．结论Ⅰ错，结论Ⅱ对 C．结论Ⅰ，Ⅱ都对 D．结论Ⅰ，Ⅱ都错 【答案】C 【分析】本题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、正方形的判定、勾股定理等知识，当点P为的中点时，求得是解题的关键． 当点P与点D重合时，证四边形为正方形，可判断结论Ⅰ正确；当点P为的中点时，由矩形的性质，折叠的性质，利用勾股定理求的长度，可判断结论Ⅱ正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，点P与点D重合，则， ∵将沿折叠，点B落在边上的点P处， ∴， ∴， ∵四边形为矩形，， ∴四边形为正方形， 故结论Ⅰ正确； 如图2，点P为的中点， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， 由折叠得 ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故结论Ⅱ正确， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B是x轴负半轴上的动点，点C是y轴负半轴上的动点，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平面直角坐标系中坐标与线段长度的关系、正方形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 作轴于点，轴于点，连接，证明，得到，拆分线段即可求解． 【详解】解：作轴于点，轴于点，连接，如图， ∵， ∴，， ∴四边形为正方形， ∴， 又∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：6． 【题型11.由正方形性质判定证明】 【典例】我们在学习四边形时．先学习了平行四边形．再通过平行四边形的边角特殊化获得矩形、菱形、正方形，得到了这些特殊四边形的性质定理和判定定理，这种研究方法主要体现的数学思想是（   ） A．转化 B．归纳 C．由一般到特殊 D．数形结合 【答案】C 【分析】本题主要考查的是正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，读懂题意是解题的关键．依据探究过程并结合选项可作出判断． 【详解】解：这种研究方法主要体现的数学思想是由一般到特殊． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，则下列命题中：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中是真命题的序号是 ． 【答案】④ 【分析】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识， 先证明一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线时，中点四边形是菱形，当对角线时，中点四边形是矩形，当对角线，且时，中点四边形是正方形，再逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵点 E、F、G、H分别是四边形边边、、、的中点， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ①当时，则， 则四边形为菱形，①说法错误； ②当时，则， 则四边形为矩形，②说法错误； ③四边形一定是平行四边形，与不一定互相平分，③说法错误； ④当四边形是正方形时，与互相垂直且相等，④说法正确； 故答案为：④． 【跟踪专练2】如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一点，连接，过点作，交延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．在下列结论中：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中正确的结论有（　　） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键． 过作，过作于，如图所示，根据正方形性质得，，推出四边形是正方形，由矩形性质得，，根据全等三角形的性质得，推出矩形是正方形；根据正方形性质得，推出，得到，，由此推出平分；进而求得；当时，点与点重合，得到不一定等于，即可作答． 【详解】解：过作，过作于，如图所示， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，   ∴矩形是正方形，故①符合题意； ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴平分，故③符合题意；   ∵， ∴，故②不符合题意； 当时，点与点重合， ∴不一定等于，故④不符合题意． 故选：A 【题型12.平行四边形动点问题】 【典例】如图，在四边形中，，且，动点P，Q分别从点D，B同时出发，点P以的速度向终点A运动，点Q以的速度向终点C运动． 秒时四边形是平行四边形？    【答案】3 【分析】由运动时间为秒，则，，而四边形是平行四边形，所以，则得方程求解． 【详解】解：设秒后，四边形是平行四边形， ，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， ， 秒时四边形是平行四边形． 故答案为：3． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，关键是由，得到． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（　　）    A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用．由四边形为平行四边形可得出，结合平行四边形的判定定理可得出当时以四点组成的四边形为平行四边形，分三种情况考虑，在每种情况中由即可列出关于/的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， 若要以四点组成的四边形为平行四边形， 则， 设运动时间为， 当时，，， ∴， ， ∴(舍去)； 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：(舍去)； 综上所述，的值为时, 以为顶点的四边形是平行四边形． 故选:B． 【跟踪专练2】如图，等边三角形的边长为，动点M从点B出发，沿的方向以的速度运动，动点N从点C出发，沿的方向以的速度运动，且动点M，N同时出发，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．那么运动到第 秒时，点A，M，N以及的边上一点D恰能构成一个平行四边形．    【答案】2或6/6或2 【分析】分三种情况讨论，由平行四边形的性质和等边三角形的性质可列方程，即可求解． 【详解】解：①当，点M、N、D的位置如图所示：   四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ， ，即：， 解得：， ②当时，点M、N、D在同一直线上，不能构成四边形， ③当时，点M、N、D的位置如图所示：   四边形是平行四边形， ，， ， 为等腰三角形， ， ， ， ，即：， 解得：， ④当时，点M、N、D的位置如图所示：    则，， 由题意可知，为等边三角形， ，即：， 解得：， 此时M、N重合，不能构成四边形， 综上所述，t的值为2或6， 故答案为：2或6． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，等边三角形的性质，利用平行四边形的判定和等边三角形的性质求得相关线段的长度，然后列出方程求解是解题的关键． 【题型13.四边形最值问题】 【典例】如图，四边形为菱形，以为斜边的的面积为3，，点E，C在BD的同侧，点P是BD上的一动点，则的最小值是 ． 【答案】3 【分析】根据菱形的轴对称性可得A、C关于BD对称，当A、P、E三点共线时，的值最小为AE，再根据三角形的面积即可得出答案． 【详解】解：∵四边形菱形， ∴A、C关于BD对称， ∵点E，C在BD的同侧， ∴当A、P、E三点共线时，的值最小，且最小值为AE； ∵以为斜边的的面积为3， ， ∴， ∴AE=3， ∴的最小值是3 故答案为：3． 【点睛】本题考查了菱形的性质、最短问题、面积法等知识，解题的关键是利用轴对称解决最值问题，是中考常考题型． 【跟踪专练1】如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】D 【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BM交AC于N′，N′即为所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的长即可． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴点B与D关于直线AC对称， ∴DN=BN， 连接BD，BM交AC于N′，连接DN′， ∴当B、N、M共线时，DN+MN有最小值，则BM的长即为DN+MN的最小值， ∴AC是线段BD的垂直平分线， 又∵CD=4，DM=1 ∴CM=CD-DM=4-1=3， 在Rt△BCM中，BM= 故DN+MN的最小值是5． 故选：D． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出D关于直线AC的对称点，由轴对称及正方形的性质判断出D的对称点是点B是解答此题的关键． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，是边上一动点，F是对角线上一动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等，依据题意，延长到G，使，连接，由四边形是矩形，从而，，,，先证，进而，故，所以当点G、F、C共线时，最小，最小值为，最后利用勾股定理进行计算可以得解． 【详解】解：延长到G，使，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，,， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴， ∴当点G、F、C共线时，最小，最小值为． ∴最小值为． ∵， ∴． 在中，， ∴． ∴最小值为， 故答案为：． 1．如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)当______时，四边形是正方形，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查菱形的性质，矩形的判定和性质，掌握菱形的性质，矩形的判定和性质是解题的关键. ()根据两组对边平行可得四边形是平行四边形，根据菱形的性质可得，结合矩形的判定和性质即可求解； ()根据矩形的性质可得，结合正方形的判定和性质即可求解； 【详解】（1）证明：，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ， ， ∴四边形是矩形． （2）解：，理由如下： ， ∴四边形是正方形， ， 又∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 2．如图所示，在正方形中，为上的一点，，，为上的一点，连接，．求的最小值． 【答案】5 【分析】利用正方形的对称性，将其中一个点关于对角线对称，转化线段长度，再根据“两点之间线段最短”求最小值． 【详解】解：如图，连接交于点，连接交于点，连接． 易知，且， ，则，此时有最小值． ，， ． 由勾股定理，得，即的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的对称性与勾股定理的应用，解题关键是利用对称将折线线段和转化为直线段，结合“两点之间线段最短”求解． 3．如图，正方形的边长为2，点是边的中点，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得到，延长交于点． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，图形的折叠问题，全等三角形的判定和性质： （1）连接，证明，即可解答； （2）设，则，，在中，根据勾股定理可得，再由，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 连接， 四边形是正方形， ，， 点是边的中点， ， 将沿直线翻折得， ，，， ， ， ∴， ； （2）解：设，则，， 根据勾股定理得， 即， 解得， ，， ∴ ． 4．如图，四边形中，，，，，．点，分别在，上． (1)求证：四边形是正方形． (2)已知，且，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行四边形、菱形、正方形的判定，勾股定理等，构建全等三角形，利用方程思想是解题的关键． （）根据平行四边形、菱形、正方形的判定方法即可求证； （）在延长线上截取，连接，，由四边形是正方形，则，，证明，，设，则，，则，即，求出，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：如图，在延长线上截取，连接，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴． 5．如图，在四边形中，，，，，点从点出发，以/的速度向点运动；点从点同时出发，以/的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为． (1)____________，____________（用含的代数式示）； (2)在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是矩形？若存在，请求出值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)存在， 【分析】本题考查列代数式，平行四边形、矩形的性质，关键是熟练掌握矩形的判定． （1）由运动的速度即可表示长，的长； （2）根据矩形的判定列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∵， ∴ 故答案为：，； （2）解：存在， 在四边形中：， ∴当时，四边形是矩形， ∴， 解得：， ∴当时，四边形是矩形． 6．△ABC是一块含有角的直角三角板，四边形DEFG是正方形，点D、G分别在AB、AC上，点E、F在BC上，BC＝12，DG＝4．现在将正方形DEFG向右沿BC方向平移，设水平移动的距离为d，正方形与直角三角板的重叠面积为S． (1)当平移的距离d＝ 时，正方形DEFG恰好完全移出三角板； (2)当平移的距离d＝2时，正方形与直角三角板的重叠面积为S＝ ； 当平移的距离d＝5时，正方形与直角三角板的重叠面积为S＝ ； (3)在移动过程中，请你用含有d的代数式表示重叠面积S，并写出相应d的取值范围． 【答案】(1)8 (2)14； (3) 【分析】（1）利用正方形与等腰直角三角形的对称性求出与的长，从而可得平移距离； （2）当时，重叠面积为正方形面积减去平移出去的三角形部分的面积；当时，重叠面积为三角形形状，直接计算即可； （3）当时，重叠面积为正方形面积减去平移出去的三角形部分的面积；当时，重叠面积为三角形形状，直接计算即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， 由正方形与等腰直角三角形的对称性可知， ， 当平移的距离时，正方形恰好完全移出三角板． （2）解：当时，； 当时，． （3）解：当时，； 当时，； 当时，． 【点睛】本题考查了求正方形重叠部分面积，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12正方形寒假预习讲义 · 一眼看懂正方形和矩形、菱形的亲戚关系，理清特殊平行四边形的层级逻辑 · 掌握正方形边、角、对角线三大核心性质，会用性质做基础推理 · 学会判断正方形的 2 种核心判定方法，能区分判定与性质 · 能动手画出标准正方形，初步解决正方形相关简单几何问题 · 发现正方形的对称性，感知特殊四边形的几何美感 预习必备 知识点梳理 1.正方形的定义 2,正方形的性质 3.正方形的判定定理 4.正方形与特殊四边形的关系 5.正方形的周长与面积公式 6.常见易错点与解题关键 常考题型 精讲精炼 1.证明四边形是正方形 2.正方形判定定理理解 3.添条件使四边形为正方形 4.正方形性质理解 5.由正方形性质求角度 6.由正方形性质求线段长 7.由正方形性质求面积 8.正方形折叠问题 9.由正方形性质证明 10.由正方形性质判定求线段 11.由正方形性质判定证明 12.平行四边形动点问题 13.四边形最值问题 强化巩固 (解答题6题) 【知识点01.正方形的定义】 定义 1（平行四边形视角）：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 定义 2（矩形视角）：有一组邻边相等的矩形是正方形。 定义 3（菱形视角）：有一个角是直角的菱形是正方形。 .核心结论：正方形是特殊的平行四边形、特殊的矩形、特殊的菱形，集合了三者所有性质。 【知识点02.正方形的性质】 正方形的性质从边、角、对角线、对称性四个维度梳理，兼具平行四边形、矩形、菱形的全部优良性质： 1. 边的性质 四条边都相等； 对边分别平行； 邻边互相垂直。 2. 角的性质 四个角都是直角（90°）； 内角和为 360°，外角和为 360°。 3. 对角线的性质 对角线相等； 对角线互相垂直平分； 对角线平分一组对角，每条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形； 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； 设正方形边长为a，则对角线长d=a。. 4. 对称性 中心对称图形：对称中心为对角线的交点； 轴对称图形：共有4 条对称轴，分别是两条对角线所在直线、两组对边中点连线所在直线。 【知识点03.正方形的判定定理】 判定思路：先判定为矩形 / 菱形，再补充条件证正方形，共三类判定路径： 1. 平行四边形→正方形 平行四边形 + 一组邻边相等 + 一个角是直角 = 正方形 2. 矩形→正方形 满足任一条件即可： 矩形 + 一组邻边相等； 矩形 + 对角线互相垂直。 3. 菱形→正方形 满足任一条件即可： 菱形 + 一个角是直角； 菱形 + 对角线相等。 判定口诀：菱方看直角，矩方看邻边，平四两条件，对角垂等验。 【知识点04.正方形与特殊四边形的关系】 图形 与正方形的区别 共性 平行四边形 无邻边相等、无直角 对边平行且相等、对角线互相平分、中心对称 矩形 邻边不一定相等 四个直角、对角线相等、轴对称 菱形 角不一定是直角 四边相等、对角线垂直、对角线平分对角 【知识点05.正方形周长与面积公式】 设正方形边长为a，对角线为d： 周长：C=4a 面积： 1.边长法：S=a2 2.对角线法：S=d2 【知识点06.常见易错点与解题关键】 1.判定误区：仅四边相等≠正方形（可能是菱形）；仅四个直角≠正方形（可能是矩形），必须同时满足四边相等 + 四角直角。 2.对角线性质应用：涉及正方形线段相等、垂直、角度计算时，优先用对角线性质转化。 3.等腰直角三角形：正方形分割出的等腰直角三角形，边长比为1:1:，角度为 45°、45°、90°，是解几何题的重要突破口。 4.对称轴数量：易记成 2 条，实际正方形有4 条对称轴，区别于矩形（2 条）、菱形（2 条）。 【题型1.证明四边形使正方形】 【典例】下列说法不正确的是（    ）． A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．一组邻边相等的菱形是正方形 C．有三个角是直角的四边形是矩形 D．对角线相等的菱形是正方形 【跟踪专练1】如图，矩形纸片ABCD中，AB=4cm，CE=2cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点处，折痕与边BC交于点E，则BC的长为 cm． 【跟踪专练2】数学课上，老师在黑板上画出了菱形，并以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点，连接，关于四边形的形状，让同学们进行讨论，小明认为：只有当时，四边形是菱形；小红认为：当时，四边形是正方形，小刚认为：四边形是菱形，且，与的度数无关，下列判断正确的是（　　） A．小明和小红正确，小刚错误 B．小红和小刚正确，小明错误 C．小明和小刚错误，小红正确 D．小明和小红错误，小刚正确 【题型2.正方形判定定理理解】 【典例】我们知道，在图形从一般向特殊变化的过程中，它的组成元索及相关元素之间的关系也越来越特殊.下面是小颖从“对角线”的角度对平行四边形矩形、菱形、正方形之间关系的梳理，图中“▲”处应填写的内容是    【跟踪专练1】下列命题中，真命题是（   ） A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．对角线相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【跟踪专练2】如图1，一张矩形纸片，将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上点处，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使点与点重合，折痕为，如图2，已知的面积与的面积之和为，，则的长为 ． 【题型3.添条件使四边形为正方形】 【典例】如图，已知的对角线，交于点O，添加条件后， 不一定是正方形的选项为（　　） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练1】在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如上所示的关系图，则（4）处可以填写的条件是 ． 【跟踪专练2.】如图，已知平行四边形，从下列四个条件中选两个作为补充条件，使平行四边形成为正方形．①；②；③；④．则下列四种选法中错误的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【题型4.正方形性质理解】 【典例】正方形的边长为1，则这个正方形的对角线长为 ． 【跟踪专练1】从一般到特殊是一种重要的数学思想，如图通过类比的方法展现了认识三角形与平行四边形图形特征的过程，你认为“?”处的图形名称是（　　） A．平行四边形 B．菱形 C．正方形 D．矩形 【跟踪专练2】如图，正方形的边长为，是的中点，点是边上的一个动点，连接，，则的最小值为 ． 【题型5.由正方形性质求角度】 【典例】如图，在正方形的外侧，作等边，则为（    ）    A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，是正方形边延长线上的一点，且，则的度数为 【跟踪专练2】如图，在正方形中，，，，则为（   ） A． B． C． D． 【题型6.由正方形性质求线段长】 【典例】正方形对角线长为8，则正方形的边长为 ． 【跟踪专练1】如图，正方形由四个全等的直角三角形（），和中间一个小正方形组成，连接．若，则的长为（   ） A．5 B． C． D．4 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，按如图方式作正方形，，，…，点，，，…在直线上，点，，，…在轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次标记为，，，…，则的值为 ． 【题型7.由正方形性质求面积】 【典例】已知正方形的对角线长为4，则正方形的面积为（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 【跟踪专练1】数学探究课上，小浩把两个全等的正方形按如图所示的方式放置，其中点O是正方形的中心．他告诉同桌小宇正方形的边长为6，小宇快速的说出了阴影部分的面积，小宇的答案是 ． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，摆放着正方形（点在上）和正方形（点在上），延长交于点．若，则阴影部分矩形的面积等于（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【题型8.正方形折叠问题】 【典例】如图，将一张正方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D'落在∠BAC的内部，若∠CAD'=33°，则∠CAE的度数为 【跟踪专练1】小花同学将手里的正方形纸片沿着下图方式进行两次对折后，在第二次折痕处剪掉一个等腰直角三角形如图所示，则展开正方形纸片得到的图形是（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，正方形的边长为8，点E、F分别在边上．将该纸片沿折叠，使点A的对应点G落在边上，折痕与交于点Q，点K为的中点，则随着折痕位置的变化，周长的最小值为 ． 【题型9.由正方形性质证明】 【典例.】如图，正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴，y轴上，A（﹣4，0），G（0，4），BC的中点E恰好落在x轴上，CD交y轴于点F，连接DG，DO．给出判断：①BF＝AE；②CD平分∠ODG；③∠AEB+∠CDG＝90°； ④△ADO是等腰三角形．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【跟踪专练1】如图，正方形的边长是6，对角线、相交于点O，点E、F分别在边、上，且，则四边形的面积为 ． 【跟踪专练2】.如图，点是正方形内一点，连接、、，将绕点顺时针旋转到的位置．若，，，则求的度数为（　　） A． B． C． D． 【题型10.由正方形性质判定求线段】 【典例】如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为(    ) A．4 B．3 C．3或4 D．3或6 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，E为边上一个动点，连接．将沿折叠，使点B落在边上的点P处． 结论Ⅰ：当点P与点D重合时，此时四边形为正方形； 结论Ⅱ：当P为的中点时，． 关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（　　） A．结论Ⅰ对，结论Ⅱ错 B．结论Ⅰ错，结论Ⅱ对 C．结论Ⅰ，Ⅱ都对 D．结论Ⅰ，Ⅱ都错 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B是x轴负半轴上的动点，点C是y轴负半轴上的动点，，则 ． 【题型11.由正方形性质判定证明】 【典例】我们在学习四边形时．先学习了平行四边形．再通过平行四边形的边角特殊化获得矩形、菱形、正方形，得到了这些特殊四边形的性质定理和判定定理，这种研究方法主要体现的数学思想是（   ） A．转化 B．归纳 C．由一般到特殊 D．数形结合 【跟踪专练1】如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，则下列命题中：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中是真命题的序号是 ． 【跟踪专练2】如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一点，连接，过点作，交延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．在下列结论中：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中正确的结论有（　　） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【题型12.平行四边形动点问题】 【典例】如图，在四边形中，，且，动点P，Q分别从点D，B同时出发，点P以的速度向终点A运动，点Q以的速度向终点C运动． 秒时四边形是平行四边形？    【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（　　）    A． B． C．或 D．或 【跟踪专练2】如图，等边三角形的边长为，动点M从点B出发，沿的方向以的速度运动，动点N从点C出发，沿的方向以的速度运动，且动点M，N同时出发，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．那么运动到第 秒时，点A，M，N以及的边上一点D恰能构成一个平行四边形．    【题型13.四边形最值问题】 【典例】如图，四边形为菱形，以为斜边的的面积为3，，点E，C在BD的同侧，点P是BD上的一动点，则的最小值是 ． 【跟踪专练1】如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（    ） A．4 B． C． D．5 【跟踪专练2】如图，在矩形中，是边上一动点，F是对角线上一动点，且，则的最小值为 ． 1．如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)当______时，四边形是正方形，并证明你的结论． 2．如图所示，在正方形中，为上的一点，，，为上的一点，连接，．求的最小值． 3．如图，正方形的边长为2，点是边的中点，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得到，延长交于点． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)求四边形的面积． 4．如图，四边形中，，，，，．点，分别在，上． (1)求证：四边形是正方形． (2)已知，且，求的长． 5．如图，在四边形中，，，，，点从点出发，以/的速度向点运动；点从点同时出发，以/的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为． (1)____________，____________（用含的代数式示）； (2)在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是矩形？若存在，请求出值；若不存在，说明理由． 6．△ABC是一块含有角的直角三角板，四边形DEFG是正方形，点D、G分别在AB、AC上，点E、F在BC上，BC＝12，DG＝4．现在将正方形DEFG向右沿BC方向平移，设水平移动的距离为d，正方形与直角三角板的重叠面积为S． (1)当平移的距离d＝ 时，正方形DEFG恰好完全移出三角板； (2)当平移的距离d＝2时，正方形与直角三角板的重叠面积为S＝ ； 当平移的距离d＝5时，正方形与直角三角板的重叠面积为S＝ ； (3)在移动过程中，请你用含有d的代数式表示重叠面积S，并写出相应d的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $