专题08正方形专项训练 (12大题型+题型突破+压轴专练+复习讲义)2025-2026学年浙教版八年级数学下册

专题08正方形专项训练 题型01.正方形的判定与证明(常) 题型02.添条件使四边形是正方形 题型03.正方形的性质(常) 题型04.正方形的折叠问题(常+重) 题型05.由正方形性质与判定求角度 题型06.由正方形性质与判定求线段长(常) 题型07.利用正方形性质与判定求面积 题型08.由正方形性质与判定证明(常) 题型09.正方形动点问题(重+难) 题型10.正方形最值问题(难) 题型11.正方形多结论判断(难) 题型12.正方形存在性问题(难) 解答题6题 题型01.正方形的判定与证明(常) 1．如图，正方形的对角线，相交于点，，．若，则点到边的距离为____________． 2．下列命题错误的是（   ） A．矩形的对角线相等 B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的菱形是正方形 D．一组邻边相等的平行四边形是菱形 3．如图1，由块图形拼成矩形（其中①，②是正方形），截去①号正方形后，其余块图形可拼成如图2的正方形，则下列说法错误的是（    ） A．四边形是正方形 B．矩形的周长是②号正方形周长的倍 C．③号图形的较长直角边是较短直角边的倍 D．矩形的周长是正方形周长的倍 题型02.添条件使四边形是正方形 4．如图，在不添加辅助线的条件下，请给矩形添加一个条件，使它成为正方形，则此条件可以为____． 5．在平行四边形中，．添加一个条件，使得四边形为正方形，添加的条件可以为（   ） A． B． C．平分 D．平分 6．如图，在四边形中，，，，交于点.添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的是（    ） A．添加“”，则四边形是菱形 B．添加“”，则四边形是矩形 C．添加“”，则四边形是菱形 D．添加“”，则四边形是正方形 题型03.正方形的性质(常) 7．如图，延长正方形边至点，使，则为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在正方形和正方形中，点在上，是的中点，那么的长为（   ） A． B． C． D． 9．三个边长分别是3，4，5的正方形按如图所示摆放（后两个正方形的一个顶点与相邻的一个正方形对角线交点重合），则图中阴影部分的面积和为（   ） A． B． C． D． 10．如图，经过正方形对称中心的直线分别交的延长线、、于点、、，已知，，则的长为（　　） A．2 B． C．3 D．4 11．如图，在中，，，以为边向外作正方形，连接，交于点．若，则的面积为___________． 12．我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理．如图，已知正方形和正方形，A，B，E三点在一条直线上，现将其裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形，若正方形和正方形的面积之和为220，阴影部分的面积为130，则的长为________． 13．如图，已知中，，分别以直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，则的长为________． 14．如图，在正方形外侧，作等边三角形，，相交于点，则的度数为____． 题型04.正方形的折叠问题(常+重) 15．如图，将一张正方形纸片折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为点、，若，则的度数为______ ． 16．如图，正方形中，，E 在上， ，将沿折叠至，延长 交于 G，连，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．1 个 B．2个 C．3 个 D．4 个 17．如图，、分别是正方形纸片边、上的两点，连接，并将纸片沿着折叠，点、恰好重合于点．点是线段上一点，连接，且．若，则线段的长为_________． 题型05.由正方形性质与判定求角度 18．直角梯形中，是边上的一点，恰好使，并且，则的长是__________． 19．如图，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，的延长线交于点H，则的大小为（    ） A． B． C． D． 20．已知四边形是正方形，点在边上，点是点关于直线的对称点，点在直线上，且．    (1)根据题意，在图中补全图形； (2)求的度数； (3)用等式表示线段与的数量关系，并证明． 题型06.由正方形性质与判定求线段长(常) 21．如图，在正方形中，点是上一点，连接，过点作交于点，连接，若，则的度数是（） A． B． C． D． 22．如图，在矩形中，，是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，当时，则的长是___________． 23．如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：若为的中点，则四边形是正方形；若为上任意一点，则；点在运动过程中，的值为定值；点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（    ） A． B． C． D． 题型07.利用正方形性质与判定求面积 24．已知四边形中，，，，则这个四边形的面积是___________ 25．如图，在Rt△ABC中，∠CBA＝60°，斜边AB＝10，分别以△ABC的三边长为边在AB上方作正方形，S1，S2，S3，S4，S5分别表示对应阴影部分的面积，则S1+S2+S3+S4+S5＝（　　） A．50 B．50 C．100 D．100 26．如图，，，，是正方形边上的点，且，和将正方形剪切成四片进行重新拼接成四边形，若正方形和四边形的面积之比为，则（    ） A．2 B．3 C． D． 题型08.由正方形性质与判定证明(常) 27．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PEBC，PFCD，垂足分别为点E，F，连接AP，EF，给出下列四个结论： ①AP＝EF； ②PFE＝BAP； ③PD＝EF； ④APD可能是等腰三角形． 其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 28．如图，在中，，以为边向上作正方形，以为边作正方形，点D落在上，连结．若，则的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 题型09.正方形动点问题(重+难) 29．如图，点是正方形边上一动点，连接，，交边于点，点在正方形外，，且，连接，已知，则（    ） A． B． C． D． 30．如图，E，F是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为2，则线段长度的最小值是（   ） A． B． C． D． 31．如图，正方形中，点E，F分别是上的动点（不与点B，C，D重合），且，与对角线分别相交于点G，H，连接，则下列结论： ①； ②； ③若正方形的面积为16，则的周长为8； ④若，则． 其中正确的序号为______． 32．如图，点，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是_____． 题型10.正方形最值问题(难) 33．如图，在边长为6的正方形中，E是的中点，P、Q分别是边、上的动点，且交于F，则___，连接和，则的最小值为____． 34．如图，四边形和四边形都是正方形，E是延长线上一个动点，点G在射线上（不与点C重合），H是的中点，连接．若，则的最小值为_______． 35．如图，正方形的边长是6，的平分线交于点E，若点P、Q分别是和上的动点，则的最小值（    ） A．3 B．6 C． D． 36．问题情境：如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为M．那么与相等吗？ (1)直接判断∶______（填“”或“”）； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 问题探究： (2)如图2，在正方形中，点E、F、G分别在边、和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论； 问题拓展： (3)如图3，点E在边上，且，垂足为H，当H在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点H落在点处． ①四边形是正方形吗？请说明理由； ②若，点在上，，直接写出的最小值为 ． 题型11.正方形多结论判断(难) 37．如图，在正方形中，是一条对角线，是的平分线，交于点．在边上有一点，，连接交于点，连接交于点，已知．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 38．如图，在正方形中，，对角线上有一动点P，以为边作正方形．下列结论：①在P点运动过程中，F点始终在射线上；②若E是的中点，连接，则的最小值为；③为等腰三角形时，的值为或．其中结论正确的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 39．如图，在正方形中，点分别在边上，，连接，作于点，延长至点，使，连接，则下列结论正确的有______． ①； ②； ③； ④； ⑤若，则 题型12.正方形存在性问题(难) 40．如图，已知四边形是菱形，、交于点，请你添加一个条件，使菱形成为正方形.你添加的条件是______. 41．如图，在中，．再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（　　） A． B． C． D． 42．如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作，与的延长线相交于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)填空：①当满足条件时，四边形是 形； ②当满足条件 时，四边形是正方形． 解答题 43．已知：点是正方形外部的一个点，且满足，，（），连接．过点作交的延长线于点，连接． (1)在图中补全图形； (2)求的度数； (3)探索线段的数量关系． 44．（1）如图，在中，用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线与的垂直平分线，它们相交于点D．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）中，若，，且，则的长为 ．（如需画草图，请使用备用图） 45．“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的角的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形．根据对材料的理解解决以下问题： (1)如图1，为等边三角形，，，求证：； (2)如图2，正方形的顶点B在直线l上，分别过点A，C作于点E，于点F．则线段，，的数量关系为________； (3)如图3所示，在中，，，于点E，于点D，，，求的长． 46．如图，已知正方形中，边长为，点E在边上，．如果点P在线段上以的速度由B点向点C运动，同时点Q在线段上以的速度由点C向点D运动，设运动的时间为t秒． (1)________，________；（用含t的代数式表示） (2)若以E，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a的值． 47．如图，已知在正方形中，，，点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿射线方向运动，同时点以每秒4个单位长度的速度从点出发，沿正方形的边向终点运动．设点的运动时间为（秒），连结． (1)当点停止运动时，_______； (2)用含的代数式表示线段的长； (3)当的面积为40时，求的值； (4)直接写出当为何值时，以点及正方形的某两个顶点组成的三角形和全等． 48．如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以，为邻边作矩形，连接，且． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，，求的长度； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08正方形专项训练 题型01.正方形的判定与证明(常) 题型02.添条件使四边形是正方形 题型03.正方形的性质(常) 题型04.正方形的折叠问题(常+重) 题型05.由正方形性质与判定求角度 题型06.由正方形性质与判定求线段长(常) 题型07.利用正方形性质与判定求面积 题型08.由正方形性质与判定证明(常) 题型09.正方形动点问题(重+难) 题型10.正方形最值问题(难) 题型11.正方形多结论判断(难) 题型12.正方形存在性问题(难) 解答题6题 题型01.正方形的判定与证明(常) 1．如图，正方形的对角线，相交于点，，．若，则点到边的距离为____________． 【答案】0.5 【分析】连接，交于点，由，可知四边形是平行四边形，进而推断出四边形是正方形，然后利用正方形的性质进行求解即可． 【详解】解：如图，连接，交于点． ，， 四边形是平行四边形． 在正方形中，，， ， 四边形是正方形， ，． ， ， ， 即点到边的距离为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，掌握正方形的性质与判定是解决本题的关键． 2．下列命题错误的是（   ） A．矩形的对角线相等 B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的菱形是正方形 D．一组邻边相等的平行四边形是菱形 【答案】C 【详解】解：、矩形的对角线相等，该选项命题正确，不符合题意； 、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，该选项命题正确，不符合题意； 、因为菱形的对角线本身就互相垂直，所以“对角线互相垂直”这一条件不能保证菱形是正方形，该选项命题错误，符合题意； 、一组邻边相等的平行四边形是菱形，该选项命题正确，不符合题意． 3．如图1，由块图形拼成矩形（其中①，②是正方形），截去①号正方形后，其余块图形可拼成如图2的正方形，则下列说法错误的是（    ） A．四边形是正方形 B．矩形的周长是②号正方形周长的倍 C．③号图形的较长直角边是较短直角边的倍 D．矩形的周长是正方形周长的倍 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，根据题意求出正方形的面积是解题的关键．根据题意可得①与②是边长相等的两个正方形，结合两个图中②是同一个图形得出，根据正方形的判定的得出四边形是正方形；分别求出正方形与②号正方形的周长，即可得出矩形的周长是②号正方形周长的倍；设，分别表示出正方形与①号正方形的面积，即可求出正方形的面积，进而求出正方形的边长，即可求得③号图形的较长直角边是较短直角边的倍；分别表示出正方形与正方形的周长，即可求得矩形的周长是正方形周长的倍，即可得出答案． 【详解】解：如图： 根据题意可得，两个图中⑤是同一个图形， 即，，，，， ∵①，②是正方形， ∴，， ∴， 即①与②是边长相等的两个正方形； 又∵②是正方形，且两个图中②是同一个图形， 故， ∴， 即， ∴， 又∵多边形是矩形， 故四边形是正方形，故A选项说法正确． 则正方形的周长为， ②号正方形周长为， ∵， 故矩形的周长是②号正方形周长的倍，故B选项说法正确． 设，则正方形的面积为，①号正方形的面积为， 根据题意可得，正方形的面积为， 故正方形的边长为， 即， ∵是图形③中较短的直角边，且两个图中③是同一个图形， 故， 故在中，， 即③号图形的较长直角边是较短直角边的倍，C选项说法正确． 设，则正方形的周长为， 正方形的周长为， 则， 故矩形的周长是正方形周长的倍，故D选项说法错误； 故选：D． 题型02.添条件使四边形是正方形 4．如图，在不添加辅助线的条件下，请给矩形添加一个条件，使它成为正方形，则此条件可以为____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的性质和正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解本题的关键．根据正方形的判定添加条件即可． 【详解】解：四边形是矩形， 又， 矩形是正方形， 故答案为：（答案不唯一）． 5．在平行四边形中，．添加一个条件，使得四边形为正方形，添加的条件可以为（   ） A． B． C．平分 D．平分 【答案】A 【分析】根据已知条件先得出四边形是菱形，再结合正方形的判定定理，分析各选项即可． 【详解】解：在平行四边形中， ∴四边形是菱形， A、当时，则菱形是正方形，正确； B、菱形本身对角线，故添加，不能使得四边形为正方形； C、菱形本身对角线平分，故添加平分，不能使得四边形为正方形； D、菱形本身对角线平分，故添加平分，不能使得四边形为正方形． 6．如图，在四边形中，，，，交于点.添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的是（    ） A．添加“”，则四边形是菱形 B．添加“”，则四边形是矩形 C．添加“”，则四边形是菱形 D．添加“”，则四边形是正方形 【答案】B 【分析】依次分析各选项，对各选项进行推导证明即可求出说法错误的选项． 【详解】解：A选项添加AB∥CD，则可得出∠ABD=∠BDC， 由AB=AD，BC=DC，可得出∠ABD=∠ADB，∠BDC=∠CBD， ∴∠ABD=∠ADB=∠BDC=∠CBD， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形； B选项添加∠BAD=90°，无法证明其余的角也是90°，因此无法得到四边形ABCD是矩形； C选项添加OA=OC， 由AB=AD，BC=DC，可得出AC垂直平分BD， ∵OA=OC， ∴BD也垂直平分AC， ∴AB=BC， ∴AB=AD=BC=DC， 所以四边形ABCD是菱形； D选项添加“ ∠ABC=∠BCD=90° ， 由等腰三角形的性质，∠ABD=∠ADB，∠BDC=∠CBD， ∴∠ABC=∠ADC=90°， ∴∠ABC=∠ADC=∠BAC=∠BCD=90°， ∴四边形ABCD是矩形， 由AB=AD， ∴四边形ABCD是正方形． 故选B． 【点睛】本题考查了等腰三角形、菱形、矩形、正方形、线段的垂直平分线、平行线等内容，解决本题的关键是逐项分析和推导论证，本题一图多用，能较好的检测学生的基础知识与技能，加深学生对相关知识点的融会贯通． 题型03.正方形的性质(常) 7．如图，延长正方形边至点，使，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，连接，根据题意可得，则，由外角的性质可得：，即可求解． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，且， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 8．如图，在正方形和正方形中，点在上，是的中点，那么的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质解答即可； 【详解】解：连接， 正方形和正方形中， ，， ， ， ， ， 是的中点， 9．三个边长分别是3，4，5的正方形按如图所示摆放（后两个正方形的一个顶点与相邻的一个正方形对角线交点重合），则图中阴影部分的面积和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 根据正方形的性质，得，，，从而，利用“”，得，则，进而阴影部分，同理可求另一阴影部分的面积，相加即可求解． 【详解】解：如图所示： 三个边长分别是3，4，5的正方形， ，，， ，， ， ()， ， 则， 正方形的边长为4， ， 即第2个和第3个正方形重叠部分的面积为4， 同理可得第1个和第2个正方形重叠部分的面积为， 则图中阴影部分的面积和为． 故选：B． 10．如图，经过正方形对称中心的直线分别交的延长线、、于点、、，已知，，则的长为（　　） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】过点O作于点H，连接，求出，再证明可得结论． 【详解】解：过点O作于点H，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点O是正方形的中心， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．如图，在中，，，以为边向外作正方形，连接，交于点．若，则的面积为___________． 【答案】 【分析】作于点L，交的延长线于点H，则，由正方形的性质得，，推导出，进而证明，得，，由，根据角平分线的性质得，由，得，而，所以，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点L，交的延长线于点H，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴平分，且于点L，于点H， ∴， ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理．如图，已知正方形和正方形，A，B，E三点在一条直线上，现将其裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形，若正方形和正方形的面积之和为220，阴影部分的面积为130，则的长为________． 【答案】20 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、乘法公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 设，，根据正方形的性质得到，证明≌，推出，根据解题即可． 【详解】解：如图： 设，， ∴， ∵四边形、四边形和都是正方形， ∴，，，，， ∴，， ∴， 在和中， ∴≌， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为：20． 13．如图，已知中，，分别以直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，则的长为________． 【答案】 【分析】过作交的延长线于，可证得，在中，利用勾股定理即可求得答案． 【详解】如图所示，过作交的延长线于， ∵正方形和正方形， ∴，，， ， 又∵，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ， ∴． 14．如图，在正方形外侧，作等边三角形，，相交于点，则的度数为____． 【答案】 【分析】先利用正方形和等边三角形的性质，求出相关角的度数，再通过三角形内角和、外角性质，逐步推导出的度数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ，，． 是等边三角形， ，， ，， ， ． 在中，． 在和中， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理．解题关键是利用正方形和等边三角形的边与角的关系，推导出等腰三角形，再结合三角形内角和与外角性质计算角度． 题型04.正方形的折叠问题(常+重) 15．如图，将一张正方形纸片折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为点、，若，则的度数为______ ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的折叠变换及其性质、正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 设，，，由折叠性质得，，根据和求解即可． 【详解】解：由题意知， 设，，， ，， 由折叠性质得：，， ∵， ， ， 又， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 16．如图，正方形中，，E 在上， ，将沿折叠至，延长 交于 G，连，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．1 个 B．2个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【分析】①根据正方形的性质和翻折的性质即可证明； ②设，则，根据翻折可得，再根据勾股定理可得x的值，进而证明； ③根据可得，由，可得，进而得，可得；④过点作于点H，求出的长，由求出的面积，即可判断． 【详解】解：∵在正方形中，， ∴，， ∵， ∴， ①由翻折可知： ， ∴， ∵， ∴， 所以①正确； ②∵， ∴， 设，则， 由翻折可知：，， ∴ ∴在中，根据勾股定理，得 ∴， 解得， ∴， 所以②正确； ③由可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 所以③正确； ④过点作于点H， ∵， ∴利用勾股定理得： ∴，即，则： ∴ ． 所以④错误． 综上所述，正确的有①②③． 故选：C． 【点睛】本题考查了翻折变换、全等三角形的判定、勾股定理、正方形的性质，解决本题的关键是通过图形的性质找到边与边、角与角的关系． 17．如图，、分别是正方形纸片边、上的两点，连接，并将纸片沿着折叠，点、恰好重合于点．点是线段上一点，连接，且．若，则线段的长为_________． 【答案】 【分析】利用折叠的性质得到线段与角的等量关系，先通过勾股定理列方程求出的长度，再依次求出、的长度，结合的条件判定为等腰直角三角形，进而求出的长度，接着用面积法求出边上的高，再通过勾股定理求出、的长度，最后在直角三角形中利用勾股定理求出的长度． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，． ∵纸片沿、折叠，点、重合于点， ∴，， ∴，，，，， ∴，且、、三点共线． 设，则，，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得，即． 在中，由勾股定理得． ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， 解得． 在中，由勾股定理得． 过点作于点， ∵， ∴，解得． 在中，由勾股定理得． ∴． 在中，由勾股定理得． 题型05.由正方形性质与判定求角度 18．直角梯形中，是边上的一点，恰好使，并且，则的长是__________． 【答案】4或6 【分析】本题考查正方形的判定与性质，旋转，全等三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程，正确作出辅助线是解题的关键． 过点B作交的延长线于F，证明四边形是正方形，则把绕点B顺时针旋转得到，再，得到，设，则，，根据勾股定理，得到，求解即可． 【详解】解：如图，过点B作交的延长线于F， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 把绕点B顺时针旋转得到， 则． ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴． 设，则， ∴． 在中， ， 即， 整理得 ， 解得， ∴的长是4或6． 故答案为：4或6． 19．如图，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，的延长线交于点H，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质，求得∠BAE=38°，根据正方形的性质，求得∠DBA=45°，∠ABH=135°，利用四边形的内角和定理计算即可． 【详解】根据旋转的性质，得∠BAE=38°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DBA=45°，∠ABH=135°， ∵四边形AEFG是正方形， ∴∠E=90°， ∴∠DHE=360°-90°-38°-135°=97°， 故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，四边形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质，旋转的性质是解题的关键． 20．已知四边形是正方形，点在边上，点是点关于直线的对称点，点在直线上，且．    (1)根据题意，在图中补全图形； (2)求的度数； (3)用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析； (2)的度数为； (3)，证明见解析． 【分析】（1）根据题意即可补全图形； （2）根据正方形的性质和对称的性质证明是等腰直角三角形，然后利用平角定义即可解决问题； （3）过点作于点，证明是等腰直角三角形，得，，然后证明，可得，进而可以得到结论． 【详解】（1）解：如图，即为补全的图形；    （2）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵点是点关于直线的对称点， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴的度数为； （3）解：， 证明：如图，过点作于点，    由（2）知， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 题型06.由正方形性质与判定求线段长(常) 21．如图，在正方形中，点是上一点，连接，过点作交于点，连接，若，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于，于，利用正方形对角线的性质证，结合证，得，再利用等腰直角三角形性质与角度和差关系，推导的度数． 【详解】解：过点作于，于． 则， 四边形是正方形，是对角线， ，， ∴四边形是矩形， ∵，，， ， ∴四边形是正方形， ． ， ， ． 在和中， ， ， ，． ，， 是等腰直角三角形， ． ， ， ． ． 22．如图，在矩形中，，是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，当时，则的长是___________． 【答案】 【分析】取的中点，连接，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，进而可得四边形是菱形，根据矩形的性质可得，则四边形是正方形，进而证明四边形是正方形，即可求解． 【详解】解：取的中点，连接， ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴四边形是菱形， 又∵四边形是矩形，则 ∴四边形是正方形， ∴在上，且 如图所示， ∴ ∴四边形是矩形， ∵ ∴四边形是正方形，，，则重合， ∴ 23．如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：若为的中点，则四边形是正方形；若为上任意一点，则；点在运动过程中，的值为定值；点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明四边形是矩形，再证明，则四边形是正方形，即可判定正确；连接，由四边形是矩形，得，再证明，得，则，即可判定正确；证明，，从而得，即可判定正确；根据，所以当最小时，最小，所以当时，最小， ，求得，即得线段的最小值为，即可判定正确． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形，， ， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是正方形，故正确； 连接， ∵四边形是矩形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，即的值为定值，故正确； ∵， ∴当最小时，最小， ∴当时，最小,在中，， ∵， ∴， ∴， ∴线段的最小值为，故正确； ∴正确的有， 故选：． 【点睛】此题考查了正方形的判定与性质，垂线段最短，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握正方形的判定与性质、矩形的判定与性质是解题的关键． 题型07.利用正方形性质与判定求面积 24．已知四边形中，，，，则这个四边形的面积是___________ 【答案】40或88 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理，四边形面积的求法，分两种情况进行讨论，分别求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作的垂线交于点，则，    ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵ ∴ 又∵，， ∴， ∴， ∴， 如图，如图，过点作的垂线交于点，则，    ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形是正方形， ∵ ∴ 又∵，， ∴， ∴， 故答案为：40或88． 25．如图，在Rt△ABC中，∠CBA＝60°，斜边AB＝10，分别以△ABC的三边长为边在AB上方作正方形，S1，S2，S3，S4，S5分别表示对应阴影部分的面积，则S1+S2+S3+S4+S5＝（　　） A．50 B．50 C．100 D．100 【答案】B 【分析】根据题意过D作DN⊥BF于N，连接DI，进而结合全等三角形的判定与性质得出S1+S2+S3+S4+S5＝Rt△ABC的面积×4进行分析计算即可. 【详解】解：在Rt△ABC中，∠CBA＝60°，斜边AB＝10， ∴BC＝AB＝5，AC＝＝5， 过D作DN⊥BF于N，连接DI， .在△ACB和△BND中， ， ∴△ACB≌△BND（AAS）， 同理，Rt△MND≌Rt△OCB， ∴MD＝OB，∠DMN＝∠BOC， ∴EM＝DO， ∴DN＝BC＝CI， ∵DN∥CI， ∴四边形DNCI是平行四边形， ∵∠NCI＝90°， ∴四边形DNCI是矩形， ∴∠DIC＝90°， ∴D、I、H三点共线， ∵∠F＝∠DIO＝90°，∠EMF＝∠DMN＝∠BOC＝∠DOI， ∴△FME≌△DOI（AAS）， ∵图中S2＝SRt△DOI，S△BOC＝S△MND， ∴S2+S4＝SRt△ABC．S3＝S△ABC， 在Rt△AGE和Rt△ABC中， ， ∴Rt△AGE≌Rt△ACB（HL）， 同理，Rt△DNB≌Rt△BHD， ∴S1+S2+S3+S4+S5 ＝S1+S3+（S2+S4）+S5 ＝Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积 ＝Rt△ABC的面积×4 ＝5×5÷2×4 ＝50． 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理的应用和全等三角形的判定，解题的关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用． 26．如图，，，，是正方形边上的点，且，和将正方形剪切成四片进行重新拼接成四边形，若正方形和四边形的面积之比为，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】连接，先证明，可得出四边形是菱形，再根据全等三角形角之间的关系，得出菱形的一个角是直角，可得出四边形是正方形，从而可得四边形和四边形都是正方形，然后根据正方形和四边形的面积之比为即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 由拼接可知四边形和四边形都是正方形，，， ∴． ∵正方形和四边形的面积之比为， ∴正方形和四边形的面积之比为， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，证明四边形和四边形都是正方形是解答本题的关键． 题型08.由正方形性质与判定证明(常) 27．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PEBC，PFCD，垂足分别为点E，F，连接AP，EF，给出下列四个结论： ①AP＝EF； ②PFE＝BAP； ③PD＝EF； ④APD可能是等腰三角形． 其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由正方形的性质证明，得出，由，证明四边形PECF是矩形，得出，进而得出，可知①符合题意；由矩形的性质证明，得出，进而得出，可知②符合题意；由正方形的性质结合矩形的性质得出是等腰直角三角形，进而得出，由直角三角形的斜边大于直角边，可知，故，可知③不符合题意；只有或或时，才是等腰三角形，可知④符合题意；即可得出答案． 【详解】解：如图，连接PC， 四边形ABCD是正方形， ，， 在和中， （SAS） ，， ，， ， 四边形PECF是矩形， ， ， 故①符合题意； 四边形PECF是矩形， ，， 在和中， （SAS） ， ， ， 故②符合题意； 四边形PECF是矩形， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故③不符合题意； 点P在BD上， 只有或或时，才是等腰三角形， 故④符合题意； 综上，①②④符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、直角三角形的斜边大于直角边、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定． 28．如图，在中，，以为边向上作正方形，以为边作正方形，点D落在上，连结．若，则的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题关键． 过点E作于点H，过点E作，垂足为，交的延长线于点，先证明四边形是矩形，再证明，继而解得，证明三点同在一条直线上，再证明，中，由勾股定理解得 的长，证明得到，最后由三角形面积公式解答． 【详解】解：过点E作于点H，过点E作，垂足为，交的延长线于点 在正方形中， ， 正方形中， ， 四边形是矩形 在和中， ∴，， 三点同在一条直线上， 四边形是矩形 在与中 ∴ 四边形是正方形 设正方形的边长为 则 ， （舍去） 在与中 ∴ 故选：C． 题型09.正方形动点问题(重+难) 29．如图，点是正方形边上一动点，连接，，交边于点，点在正方形外，，且，连接，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．设交于点，作交的延长线于点，由正方形的性质得，，则，由于点，交边于点，得，推导出，进而证明，得，而，则，由，得，可证明，再证明，得，，则，求得即可解答． 【详解】解：设交于点，作交的延长线于点，则， 四边形是正方形， ，， ， 于点，交边于点， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 故选：． 30．如图，E，F是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为2，则线段长度的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交于，如图1，可证可得，再证可得，可证，可得是以为直径的圆上一点，取中点，连接，，根据三角形的三边关系可得不等式，可解得长度的最小值．本题考查圆周角定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是证点是以为直径的圆上一点． 【详解】解：延长交于，如图1 ∵四边形是正方形， ，，， ，，， ， 且，， ， 且， 且，， ， ， ， ，即， 点是以为直径的圆上一点． 如图2，取中点，连接，， ，是中点， ， 在中，， ， ， 的最小值为． 故选：C． 31．如图，正方形中，点E，F分别是上的动点（不与点B，C，D重合），且，与对角线分别相交于点G，H，连接，则下列结论： ①； ②； ③若正方形的面积为16，则的周长为8； ④若，则． 其中正确的序号为______． 【答案】③④ 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，旋转的性质等知识点，难度较大，解题的关键在于构造全等三角形． 延长至点，使得，连接，先证明，再证明，则，故②错误，不符合题意；由正方形的面积为16，则边长，那么，故③正确，符合题意；将绕点逆时针旋转至，连接，则，可证明，可得，则由勾股定理求得，那么，再由勾股定理得，过点作于点，则，再由勾股定理即可求解，故④正确，符合题意，对于①，条件不足以证明，故不符合题意． 【详解】解：延长至点，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②错误，不符合题意； ∵正方形的面积为16， ∴边长， ∴，故③正确，符合题意； 将绕点逆时针旋转至，连接， 则， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 过点作于点， ∴， ∴， ∴，故④正确，符合题意， 对于①，条件不足以证明，故不符合题意， ∴正确的有③④， 故答案为：③④． 32．如图，点，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是_____． 【答案】 【分析】根据正方形的性质，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，再利用“”证明和全等，则，从而得到；再求出，取的中点，连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，利用勾股定理列式求出，然后根据三角形的三边关系可知当、、三点共线时，的长度最小，据此解答． 【详解】解：如图， 在正方形中，，，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． ， ， ． 取的中点，连接、，如图：   则， 在中，， 根据三角形的三边关系，得， 当、、三点共线时，的长度最小，最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、三角形的三边关系，确定出最小时点的位置是解题关键，也是本题的难点． 题型10.正方形最值问题(难) 33．如图，在边长为6的正方形中，E是的中点，P、Q分别是边、上的动点，且交于F，则___，连接和，则的最小值为____． 【答案】 【分析】过点作于点，在正方形中，得出四边形是矩形，即可得，，根据，得出，证明，得出，根据勾股定理即可求出；将正方形沿翻折，得到正方形，在上取点，使，连接，则，过点作交于点，则四边形为平行四边形，则，得到，进而推出当，三点共线时，的值最小，在中利用勾股定理求出的长，即可得出结果． 【详解】解：如图，过点作于点， 在正方形中，， ∴四边形是矩形， ， ， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴； 故答案为：； 将正方形沿翻折，得到正方形，在上取点，使，连接，则，过点作交于点， 则四边形为平行四边形， 则， ， ∴当三点共线时，的值最小， ∵， ∴， ， ， ， ， ， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的性质和判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，翻折的性质，本题的综合性强，难度大，属于压轴题．熟练掌握相关性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 34．如图，四边形和四边形都是正方形，E是延长线上一个动点，点G在射线上（不与点C重合），H是的中点，连接．若，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．延长交于点M，证明，则，得到，设，则，，在中，由勾股定理得到，进一步得到，即可得到的最小值． 【详解】解：延长交于点M， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∵四边形都是正方形，E是延长线上一个动点， ∴，， ∴， ∵H是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 35．如图，正方形的边长是6，的平分线交于点E，若点P、Q分别是和上的动点，则的最小值（    ） A．3 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】在上取点F，使，连接，根据角平分计算，可得，得，得取得最小值为，当时，取得最小值，求出,即得，即得的最小值． 【详解】解：在上取点F，使，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点Q在上时， ，取得最小值， 当时，取得最小值， ∵正方形的边长是6， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理——最短路线问题．熟练掌握正方形性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，垂线段性质，根据题意作出辅助线，是解答此题的关键． 36．问题情境：如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为M．那么与相等吗？ (1)直接判断∶______（填“”或“”）； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 问题探究： (2)如图2，在正方形中，点E、F、G分别在边、和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论； 问题拓展： (3)如图3，点E在边上，且，垂足为H，当H在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点H落在点处． ①四边形是正方形吗？请说明理由； ②若，点在上，，直接写出的最小值为 ． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)①四边形是正方形，理由见解析；② 【分析】（）证明即可得出结论； （）过点作，证明，由此可得； （）如图， 连接，证明，所以，，由折叠可知，，，由四边形内角和和平角的定义可得，所以，则，所以四边形是菱形，再由“有一个角是直角的菱形是正方形”可得结论； 作交的延长线于点，作于点，可证明，由此可得，易证是等腰直角三角形，所以，则，可得，则，作关于的对称点，则 ，可得， 求出的值即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，过点作交于点，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：四边形是正方形，理由如下： 如图，连接， 由（）的结论可知，， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由折叠可知，，， ∴， ∴四边形是菱形, ∵， ∴菱形是正方形； 如图，作交的延长线于点，作于点， ∴， 由上知四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，作关于的对称点，则，过点作交延长线于点，则是等腰直角三角形， ∴， ∴当，，三点共线时，最小，最小值为的长， ∵， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 题型11.正方形多结论判断(难) 37．如图，在正方形中，是一条对角线，是的平分线，交于点．在边上有一点，，连接交于点，连接交于点，已知．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了正方形和三角形，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线定义，是解题的关键． 证明，得，判断①；证明，判断②；由证明，故②正确；根据，，可得，得 ，判断③；根据是的平分线，，证明，得，由，得判断④． 【详解】解：∵在正方形中，，且， ∴， ∴， 故①正确； ∵在正方形中，， 又， ∴， 故②正确； ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③正确； ∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故④正确， 故正确的结论有①②③④， 故选：D． 38．如图，在正方形中，，对角线上有一动点P，以为边作正方形．下列结论：①在P点运动过程中，F点始终在射线上；②若E是的中点，连接，则的最小值为；③为等腰三角形时，的值为或．其中结论正确的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】由“”可证，可得，可证点B，点C，点F三点共线，故①正确；由，可得，当时，有最小值为，即有最小值为，故②正确；由等腰三角形的性质可得的值为或，故③正确，即可求解． 【详解】解：连接，过点P作交于H，如图所示： ∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点B，点C，点F三点共线， ∴在P点运动过程中，F点始终在射线上，故①正确； 取的中点N，连接，如图所示： ∵点N是的中点，点E是中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点P是线段上一点， ∴当时，有最小值， ∵， ∴此时， ∴有最小值为，故②正确； ∵， ∴， 当点P是中点时，，则是等腰三角形， 当时，是等腰三角形， 此时， ∴为等腰三角形时，的值为或；故③正确； 综上分析可知，①②③正确， 故选：D． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 39．如图，在正方形中，点分别在边上，，连接，作于点，延长至点，使，连接，则下列结论正确的有______． ①； ②； ③； ④； ⑤若，则 【答案】①③⑤ 【分析】根据正方形的性质证明，得，，然后证明，得，进而可以判断①正确；根据与不一定相等，且与无必然联系，得与不一定全等，判断②错误；证明，得，可以判断③正确；设，则，，得，解得，判断⑤正确，结合⑤得，判断④错误． 【详解】解：在正方形中，，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ．故①正确； 在与中，， 但与不一定相等，且与无必然联系， 与不一定全等，故②错误； ， ， ，， ， ， ∴， ，故③正确； ，， ， 由结论①，， 设，则，， ， ， 解得，故⑤正确， 若，， ， ， ，故④错误， 结论正确的有①③⑤， 故答案为：①③⑤． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是证明． 题型12.正方形存在性问题(难) 40．如图，已知四边形是菱形，、交于点，请你添加一个条件，使菱形成为正方形.你添加的条件是______. 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．依据正方形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：四边形是菱形， 当有一个内角是直角或对角线相等时，菱形为正方形， 当或时，菱形为正方形， 故答案为：或． 41．如图，在中，．再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的判定，根据矩形的判定定理及正方形的判定定理即可解答． 【详解】解：在中，， ∴四边形是矩形， A、当时，四边形是正方形，正确，故A不符合题意； B、当时，无法确定矩形就是正方形，故B符合题意； C、当时，矩形是正方形，正确，故C不符合题意； D、当时，则，，所以是正方形，正确，故D不符合题意； 故选：B． 42．如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作，与的延长线相交于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)填空：①当满足条件时，四边形是 形； ②当满足条件 时，四边形是正方形． 【答案】(1)证明见解析 (2)①菱；②， 【分析】（1）由，得到两对内错角相等，再由为中点，得到，利用得到与全等，利用全等三角形对应边相等得到，再由，等量代换得到，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证； （2）①由为中线，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到由邻边相等的平行四边形为菱形，即可得证； ②添加条件为，，由，根据①得到四边形为菱形，再由，利用等腰三角形的三线合一得到，根据有一个角是直角的菱形为正方形即可得证． 【详解】（1）证明：∵是的中点，是的中点， ∴，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：①当满足条件时，四边形是菱形， 理由如下： 由（1）可知四边形为平行四边形； ∵是的中点， ∴ ∴平行四边形为菱形； ②当满足条件，时，四边形是正方形， 理由如下： 由①知当满足条件时，四边形是菱形， ∵，为中点， ∴为边上的中线， ∴，即， ∵四边形是菱形，， ∴四边形为正方形． 解答题 43．已知：点是正方形外部的一个点，且满足，，（），连接．过点作交的延长线于点，连接． (1)在图中补全图形； (2)求的度数； (3)探索线段的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（）根据题意补全图形即可； （）延长到点，由，得，，则，，所以，，所以； （）作于点，交的延长线于点，可证明四边形是矩形，得，则，即可证明，得，则四边形是正方形，所以，则，作交于点，则，，所以，则，再证明，得，则． 【详解】（1）解：如图，补全图形． （2）如图，延长到点， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴； ∴的度数是． （3）． 证明：如图，作于点，交的延长线于点，则， ∵交延长线于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 作交于点，则， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题是四边形的综合题，重点考查正方形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、全等三角形的判定与性质、同角的余角相等、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 44．（1）如图，在中，用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线与的垂直平分线，它们相交于点D．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）中，若，，且，则的长为 ．（如需画草图，请使用备用图） 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据要求作出图形即可； （2）如图，连接，，过点D作于点E，交的延长线于点F．证明四边形是正方形，求出可得结论． 【详解】（1）解：如图，点D即为所求； （2）解：如图，连接，，过点D作于点E，交的延长线于点F． ∵平分， ∴， ∵点D在线段的垂直平分线上， ∴， ∴（）， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 45．“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的角的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形．根据对材料的理解解决以下问题： (1)如图1，为等边三角形，，，求证：； (2)如图2，正方形的顶点B在直线l上，分别过点A，C作于点E，于点F．则线段，，的数量关系为________； (3)如图3所示，在中，，，于点E，于点D，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）先利用等边三角形的性质得出，再利用三角形内角和定理得出，再根据，得出，从而可得，利用证明； （2）先根据正方形的性质，得出，，再根据平角的意义得出，根据垂直的意义得出，再根据直角三角形两个锐角互余得出，从而可得，然后利用证明，根据全等三角形的性质可得出，，从而可得； （3）先证明，再根据证明，然后根据全等三角形的性质可得出，，从而可求出． 【详解】（1）解：是等边三角形， ． ． ， ， ． 在和中， ， ． （2）； 理由：四边形是正方形， ，． ，， ． ． 在和中， ， ． ，． ． 故答案为：； （3）， ． ，， ． ． ． 在和中， ， ． ，． ． 【点睛】本题考查了全等的性质和（）综合（或者），等边三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，根据正方形的性质求线段长，三角形内角和定理等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 46．如图，已知正方形中，边长为，点E在边上，．如果点P在线段上以的速度由B点向点C运动，同时点Q在线段上以的速度由点C向点D运动，设运动的时间为t秒． (1)________，________；（用含t的代数式表示） (2)若以E，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a的值． 【答案】(1)， (2)a的值为2或 【分析】（1）先根据点P运动的速度与时间，用t表示出，再根据，用t表示出； （2）分、两种情况讨论，分别求出a的值． 【详解】（1）解：点P在线段上以的速度由B点向点C运动，运动的时间为t秒， ， ， ， 故答案为：2t，； （2）当时， 此时，， 则有，， 此时，． 当时， 此时，， 则有，， 此时，． 综上所述，a的值为2或． 【点睛】本题考查了列代数式，全等三角形的性质，根据正方形的性质求线段长，（特殊）平行四边形的动点问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 47．如图，已知在正方形中，，，点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿射线方向运动，同时点以每秒4个单位长度的速度从点出发，沿正方形的边向终点运动．设点的运动时间为（秒），连结． (1)当点停止运动时，_______； (2)用含的代数式表示线段的长； (3)当的面积为40时，求的值； (4)直接写出当为何值时，以点及正方形的某两个顶点组成的三角形和全等． 【答案】(1)8 (2) (3) (4)秒或秒或秒 【分析】（1）根据点停止运动时走过的路程即可求解； （2）根据以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿射线方向运动，，即可求解； （3）由，，再根据面积公式即可求解； （4）分三种情况即可：①当时，；②当时，；③当时，，求解即可. 【详解】（1）解：当点停止运动时，所走的路程为：， ∴（秒）， 故答案为：8. （2）∵以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿射线方向运动， ， ∴； （3）由题可知：，， ∴ ， 解得：； （4）如图所示， ∵，，， ①当时，，此时，解得， ②当时，，此时，解得， ③当时，，此时，解得， 综上所述，的值为秒或秒或秒时，以点及正方形的某两个顶点组成的三角形和全等. 【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识点，解题关键是学会分类讨论，注意不能漏解，题目难度较大. 48．如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以，为邻边作矩形，连接，且． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，，求的长度； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，四边形内角和定理，勾股定理． （1）证明，可得，则矩形是正方形； （2）由已知得，则，再根据得； （3）分两种情况讨论：当与的夹角为时，点F在边上，，由四边形内角和定理得：；②当与的夹角为时，点F在的延长线上，，可得． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形； （2）解：在中，， ∵， ∴， ∵， ∴； . （3）解：分以下两种情况讨论： ①当与的夹角为时，点F在边上，， ∴， 在四边形中，由四边形内角和定理得： ； ②当与的夹角为时，点F在的延长线上，，如图3所示： ∵，， ∴． 综上所述，的度数为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $