专题 5.1 矩形（知识梳理+ 题型精析+同步检测）- 2025-2026学年浙教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 5.1 矩形（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】矩形的定义 1 【知识点二】矩形的性质 2 【知识点三】矩形的判定 2 二.题型精析——基础夯实篇 2 【题型 1】矩形性质的理解 2 【题型 2】利用矩形性质求值 3 【题型 3】利用矩形性质求值证明 4 【题型 4】矩形判定定理的理解 5 【题型 5】根据矩形性质与判定定理求值 6 【题型 6】根据矩形性质与判定定理求值证明 7 三.题型精析——综合压轴篇 8 【题型 7】矩形与折叠问题 8 【题型 8】矩形与动点问题 10 【题型 9】矩形与存在性问题 11 四.同步检测 13 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,） 13 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 16 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 17 一.知识梳理 【知识点一】矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形。 【要点提示】（1）矩形的前提必须是平行四边形，不满足平行四边形特征的图形不是矩形；（2）必须有一个角是直角，这是矩形的核心判定条件；（3）由定义可推出：矩形四个角都是直角，是特殊的平行四边形。 【知识点二】矩形的性质 定理1：矩形的四个角都是直角。 【要点提示】（1）条件：图形是矩形；（2）结论：四个内角均为 90°；（3）作用：可直接用于证明垂直、直角三角形、角度相等。 定理2：矩形的对角线相等。 【要点提示】（1）条件：图形是矩形；（2）结论：两条对角线长度相等；（3）作用：用于证明线段相等、计算对角线长度、判定矩形。 【知识点三】矩形的判定 要判定一个四边形是矩形，除了利用定义之外，还有以下的定理： 定理1：三个角是直角的四边形是矩形。 【要点提示】（1）条件：四边形中有三个角是直角；（2）结论：这个四边形是矩形；（3）关键点：不需要先证明是平行四边形，直接用三个直角判定矩形；（4）用途：用于几何题中判定矩形。 定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。 【要点提示】（1）条件：图形是平行四边形，且对角线相等；（2）结论：这个平行四边形是矩形；（3）关键：先确定是平行四边形，再用对角线相等判定矩形；（4）用途：几何题中判定矩形的常用依据。 二.题型精析——基础夯实篇 【题型 1】矩形性质的理解 【例题1】（25-26八年级下·新疆昌吉·期中） 日常生活中矩形建筑与物品十分普遍，矩形区别于平行四边形的核心特征是（    ） A．对边互相平行 B．四个内角均为直角 C．对边长度相等 D．对角线互相平分 【变式1】（2025·黑龙江牡丹江·二模）如图，在矩形中，点E在上，，请添加一个条件___________，使．（只填写一个即可） 【变式2】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对边相等 C．对角相等 D．对角线互相平分 【变式3】（24-25八年级上·全国·期末）如图，点A在x轴的正半轴上，坐标为，点B在y轴的正半轴上，点P在的平分线上，且，点P横坐标为5，则点B的坐标为_____． 【题型 2】利用矩形性质求值 【例题2】（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，中，，平分，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）过点E作于，若，，求的长． 【变式1】（25-26八年级下·北京·期中）如图，点在矩形的边的延长线上，连接，若则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在矩形中，对角线和相交于点，过点作于点，若，，则__________． 【变式3】（2025·广东湛江·模拟预测）如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，以点为圆心，长为半径画弧，恰好经过点，连接、． （1）由作法可知　　，　　；（2）求和的度数． 【题型 3】利用矩形性质求值证明 【例题3】（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在矩形中，是的中点，是上一点，若，求证：是的中点． 【变式1】（24-25八年级下·河南周口·期末）如图，在矩形中进行如下操作：①以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接；②再以为圆心，长为半径作弧交于点，连接．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，点E为矩形的边上的一点，作于点F，且满足．对于下面四个结论：①；②的面积与的面积相等：③；④，所有正确的结论是______（只写序号）． 【变式3】（24-25八年级下·重庆铜梁·期中）如图，四边形为矩形，延长至E，使，连接交于点G，交于点F，且． （1）求证：； （2）求证：． 【题型 4】矩形判定定理的理解 【例题4】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，中，． （1）尺规作图：作矩形；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，点为边上一点，若的中垂线分别交边、边于点、，则的长的取值范围为 ． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）一个木匠制作了一块四边形的踏板．为了检验这块踏板是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是（   ） A．测量踏板的对角线是否互相平分 B．测量踏板的对角是否相等 C．测量踏板的三个角是否都为 D．测量踏板的一组对边是否平行且相等 【变式2】（24-25八年级下·山东聊城·月考）下列对矩形的判定： （1）对角线相等的四边形是矩形； （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形 （3）有一个角是直角的四边形是矩形； （4）有四个角是直角的四边形是矩形； （5）四个角都相等的四边形是矩形； （6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形； （7）对角线相等且互垂直的四边形是矩形； （8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形，正确的有___________．（只填写序号） 【变式3】（2024·广西贵港·二模）请阅读下列材料，完成相应的任务： 工人师傅在做门窗或矩形零件时，他是这样做的：首先利用卷尺（有刻度）测量两组对边的长度是否分别相等，其次利用卷尺测量该门窗的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形． 我有如下思考：工人师傅的做法究竟是依据什么原理得到四边形是矩形？．已知在四边形中，，，．求证：四边形是矩形． 证明：…… 任务： （1）上述做法是依据了矩形的一个判定定理： （2）补全材料中的证明过程； （3）利用卷尺（有刻度）能否用另外一种方法判定四边形是矩形？（简要写出测量方法）． 【题型 5】根据矩形性质与判定定理求值 【例题5】（25-26九年级下·浙江金华·期中）如图，是等腰直角三角形，是斜边上的中线，过点作射线． （1）尺规作图：在射线上找一点，连接，使得（不写作法，保留作图痕迹）． （2）根据（1）的作法，若，直接写出的长． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，点O是的对角线的中点，点E是的中点，连接，．若，，，则的周长为_______． 【变式3】（25-26八年级下·辽宁营口·月考）如图，矩形的对角线交于点，为中点，在射线上，且，连接．若，，则的长为多少？ 【题型 6】根据矩形性质与判定定理求值证明 【例题6】（24-25九年级上·辽宁沈阳·月考）如图，四边形中，对角线，相交于点O，，，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）过点B作于点E，若，求的度数． 【变式1】（24-25九年级上·山西太原·期中）已知四边形中，，对角线相交于点O．下列结论一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图，O为跷跷板AB的中点，支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，且OC＝40cm，则A端离地面的最大高度为______cm． 【变式3】（2026·贵州遵义·一模）在中，是边上的一点，是边的中点，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 三.题型精析——综合压轴篇 【题型 7】矩形与折叠问题 【例题7】（24-25八年级下·云南昆明·期中）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作】如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点． 【猜想】（1）请猜想线段的数量关系，并证明． 【应用】（2）如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为．若，求的长． 【变式1】（25-26八年级下·山东菏泽·期中）已知四边形，其中，，将沿折叠，落于，交于，且为平行四边形（如图）；再将纸片展开，将沿折叠，使点落在上一点（如图）．在两次折叠过程中，两条折痕、的夹角的度数为（　　） A． B． C． D．不确定 【变式2】（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，第二次将沿着折叠，边佮好落在边上．若，则的长为______． 【变式3】（24-25八年级下·河北雄安·期中）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质来解决相关的问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作】如图1，在矩形中，点M在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N． 【猜想】． 【验证】（1）请将下列证明过程补充完整． ∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ． ∵四边形是矩形， ， ． ， ． 【应用】（2）如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为． ①猜想与的数量关系，并说明理由． ②若，，求的长． 【题型 8】矩形与动点问题 【例题8】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，，，，，点E从B出发，以的速度向点C运动，运动时间为t秒；同时点F从D出发，以的速度向点A运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． （1）__________，__________（用含t的式子表示）； （2）当四边形是矩形时，__________； （3）当时，求t的值． 【变式1】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在长方形中，，，动点从点出发，以的速度沿着向点运动，同时动点从点出发以的速度沿向点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也同时停止．运动时间为，将四边形以直线为轴进行翻折，得到四边形，射线经过点时，可以是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·江西赣州·期中）如图，在矩形中，，点E是边上一动点，点F是上一动点，且，点G是边上一动点，连接，当是等腰直角三角形时，的长是___________． 【变式3】（24-25八年级上·安徽六安·期末）在长方形中，动点P从点A开始按的方向运动到点D，如图，设动点P所经过的路程为x，的面积为y（当点P与点A或D重合时，）． （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）当的面积y等于4时，求此时P所经过的路程x． 【题型 9】矩形与存在性问题 【例题9】（24-25八年级上·广东佛山·月考）如图，为线段上一动点，分别过点作，，连接，已知． （1）请问：点在什么位置时，； （2）当点在线段上运动时，是否存在最小值？若存在，请直接写出结果；若不存在，请说明理由． 【变式1】（24-25八年级下·四川攀枝花·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，，过点C的直线与轴、轴分别交于点． （1）求点D的坐标； （2）求经过点D且与直线平行的直线的函数表达式； （3）直线上是否存在点P，使得为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】（24-25八年级下·河南驻马店·月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别落在轴的正半轴上，其中对角线所在直线的解析式为． （1）求点的坐标． （2）将矩形沿着折叠，使点落在边上的点处，交于点． ①求点的坐标； ②是轴上一动点，是否存在点使得的周长最小？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【变式3】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为，点C为线段的中点． （1）求点B的坐标； （2）点P为直线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，与直线交于点Q，设点P的横坐标为m，的面积为S，求S与m的函数解析式； （3）当点P在直线上运动时，在平面直角坐标系内是否存在一点N，使得以O，B，P，N为顶点的四边形为矩形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,） 1．（25-26九年级上·河南开封·期末）矩形是特殊的平行四边形，下面是矩形具有而平行四边形不具有的性质的是（   ） A．矩形的对角线互相平分 B．矩形的对边相等 C．矩形的对边平行 D．矩形的四个角相等 2．（25-26九年级下·河南郑州·月考）如图，已知矩形，点O是对角线上的中点，其中，，连接．则的长为（   ） A．3 B．4 C． D． 3．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在矩形中，对角线交于点，若，则的长为（   ） A． B．6 C． D．12 4．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，李师傅在做门窗时，已经测得门窗是平行四边形后，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理（    ） A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．两点确定一条直线 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．两点之间，线段最短 6．（24-25八年级下·福建龙岩·期末）如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交、于点E、F，连接、，若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．28 B．21 C．14 D．10 7．（2026·河南南阳·一模）如图，在中，于点，点在边上运动，于点于点，连接．若，则的长不可能是（   ） A． B．8 C． D．9 8．（2026·河北张家口·一模）如图，，，，四边形是矩形．直线经过点A，D，直线，直线将矩形分成面积相等的两部分，则b的值为（   ） A． B． C． D．2 9．（24-25八年级下·山西临汾·期末）将两个完全相同的矩形和矩形按如图所示的位置摆放，使点B，C，G在同一条直线上，点E在边上，连接，，．若，，则的面积为（   ） A．13 B．26 C． D． 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知矩形为线段上一点（如图甲），现将其沿折叠，F为C点关于的对称点，线段分别交于（如图乙），再沿折叠，F点关于的对称点Q恰好落在线段上，若度，则用含的代数式表示的度数为（   ）度 A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图，是矩形的一条对角线，依据尺规作图的痕迹，与的交点为，则的度数是______． 12．（24-25八年级下·重庆江津·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点在轴上，则点的坐标为______ ． 13．（25-26九年级上·福建三明·期末）如图，在中，，，当______时，四边形是矩形． 14．（25-26八年级下·北京大兴·期中）如图，在中，对角线，相交于点．在不添加辅助线的前提下，增加一个条件，使得是矩形．这个条件可以是_____． 15．（24-25八年级下·江苏南京·月考）如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，则折痕的长为_______． 16．（25-26八年级下·北京大兴·期中）如图，在矩形中，是延长线上一点，且，连接，取的中点，连接交于点．若，则为_____（用含的代数式表示）． 17．（2026·河南周口·一模）如图，在矩形中，，，点是边上一点，连接，将沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为______． 18．（2026·四川成都·二模）如图，在矩形中，按以下步骤作图：①以点为圆心，的长为半径作弧，交线段于点；②分别以C，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③连接并延长交延长线于点，交线段BC于点．若，则线段的长为_____． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，在矩形中，，将此矩形折叠，使点与点重合，折痕分别交于点、，连接，点的对应点为点，若． （1）求证：； （2）求线段的长度． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，四边形是一张长方形纸片，将纸片折叠，使点A与点D，点B与点C重合，得到折痕EF后再把纸片展平；在CD上选一点P，沿AP折叠，使点D恰好落在折痕EF上的点M处．求证：． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·湖北黄冈·期中）在平行四边形中，过点作于点，点在上且，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，平分，求的面积． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，已知，延长到，使，连接，，，若． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山西大同·期中）如图，在矩形中，，，为边上一点，点为的中点，连接并延长，交于点N，若平分．求证： （1）； （2）求的长． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·海南·期中）在学习了《平行四边形》之后，小佳同学和小豪同学对平行四边形进行了更为深入的探究． 【初步探究】 （1）如图1，小佳同学连接了的对角线、，并发现：当时，，请你利用平行四边形的相关知识证明这个数量关系； 【深入探究】 （2）如图1，在小佳同学发现的基础上，小豪同学还发现：此时，沿着或分割该平行四边形，即可得到两个直角三角形，则直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图2，是斜边上的中线，请帮忙直接写出中线与斜边的数量关系：__________； 【拓展延伸】 （3）如图3，小佳同学和小豪同学在图2中的基础上又作了，使（点、在斜边所在直线的同侧），且平分．连接，请帮助小佳同学和小豪同学判断与之间的数量关系，并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.1 矩形（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】矩形的定义 1 【知识点二】矩形的性质 2 【知识点三】矩形的判定 2 二.题型精析——基础夯实篇 2 【题型 1】矩形性质的理解 2 【题型 2】利用矩形性质求值 5 【题型 3】利用矩形性质求值证明 8 【题型 4】矩形判定定理的理解 12 【题型 5】根据矩形性质与判定定理求值 16 【题型 6】根据矩形性质与判定定理求值证明 19 三.题型精析——综合压轴篇 23 【题型 7】矩形与折叠问题 23 【题型 8】矩形与动点问题 28 【题型 9】矩形与存在性问题 35 四.同步检测 43 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,） 43 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 50 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 57 一.知识梳理 【知识点一】矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形。 【要点提示】（1）矩形的前提必须是平行四边形，不满足平行四边形特征的图形不是矩形；（2）必须有一个角是直角，这是矩形的核心判定条件；（3）由定义可推出：矩形四个角都是直角，是特殊的平行四边形。 【知识点二】矩形的性质 定理1：矩形的四个角都是直角。 【要点提示】（1）条件：图形是矩形；（2）结论：四个内角均为 90°；（3）作用：可直接用于证明垂直、直角三角形、角度相等。 定理2：矩形的对角线相等。 【要点提示】（1）条件：图形是矩形；（2）结论：两条对角线长度相等；（3）作用：用于证明线段相等、计算对角线长度、判定矩形。 【知识点三】矩形的判定 要判定一个四边形是矩形，除了利用定义之外，还有以下的定理： 定理1：三个角是直角的四边形是矩形。 【要点提示】（1）条件：四边形中有三个角是直角；（2）结论：这个四边形是矩形；（3）关键点：不需要先证明是平行四边形，直接用三个直角判定矩形；（4）用途：用于几何题中判定矩形。 定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。 【要点提示】（1）条件：图形是平行四边形，且对角线相等；（2）结论：这个平行四边形是矩形；（3）关键：先确定是平行四边形，再用对角线相等判定矩形；（4）用途：几何题中判定矩形的常用依据。 二.题型精析——基础夯实篇 【题型 1】矩形性质的理解 【例题1】（25-26八年级下·新疆昌吉·期中） 日常生活中矩形建筑与物品十分普遍，矩形区别于平行四边形的核心特征是（    ） A．对边互相平行 B．四个内角均为直角 C．对边长度相等 D．对角线互相平分 【答案】B 【分析】根据矩形与平行四边形的性质差异，只需找出矩形有、普通平行四边形没有的核心特征即可． 解：∵ 平行四边形的基本性质为对边互相平行，对边长度相等，对角线互相平分，这些性质矩形都具有， 因此选项A，C，D不符合要求； ∵ 矩形是特殊的平行四边形，其区别于普通平行四边形的核心特征是四个内角均为直角， ∴普通平行四边形不满足该性质． 【变式1】（2025·黑龙江牡丹江·二模）如图，在矩形中，点E在上，，请添加一个条件___________，使．（只填写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要查了矩形的性质，全等三角形的判定．根据矩形的性质可得，从而得到，即可解答． 解：添加， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：（答案不唯一） 【变式2】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对边相等 C．对角相等 D．对角线互相平分 【答案】A 解：∵平行四边形的性质为：对边相等，对角相等，对角线互相平分. 矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，额外具有四个角为直角，对角线相等的特有性质， ∴选项B，C，D中的性质都是矩形和一般平行四边形共有的，只有选项A的对角线相等是矩形具有而一般平行四边形不具有的性质. 【变式3】（24-25八年级上·全国·期末）如图，点A在x轴的正半轴上，坐标为，点B在y轴的正半轴上，点P在的平分线上，且，点P横坐标为5，则点B的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线性质，矩形的性质和全等三角形的判定和性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 连接，过点P作轴交于点C，轴交于点D，根据矩形的性质得出和，根据角平分线的性质，进一步得到，再证，得到，即可求得答案． 解：连接，过点P作轴交于点C，轴交于点D， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵点P横坐标为5，点A坐标为， ∴，， ∵点P是的平分线上的点， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 在和中 ∴， ∴． ， ∵点B在y轴的正半轴上， ∴点B的坐标为， 故答案为：． 【题型 2】利用矩形性质求值 【例题2】（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，中，，平分，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）过点E作于，若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）的长为 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得，再根据平行线的性质得，然后根据，可得，即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理得，然后根据矩形的性质得，，最后根据三角形的面积相等得出答案． 解：（1）证明：中，，平分， ，， ，， ，， 四边形是矩形； （2）解：，平分，，， ． 在中，由勾股定理得：． 四边形是矩形， ，． ， ． 【变式1】（25-26八年级下·北京·期中）如图，点在矩形的边的延长线上，连接，若则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接交于O，由得，则可得；由矩形性质即可求得结果． 解：如图，连接交于O， 在矩形中，，； ∵， ， ， ， ∵， ． 【变式2】（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在矩形中，对角线和相交于点，过点作于点，若，，则__________． 【答案】 【分析】根据题意，设，进而得出其他相关角度，然后由直角三角形两角互余列方程求解得到，最后由等腰直角三角形性质及矩形性质求解即可． 解：在矩形中，对角线和相交于点，则， 设，则，， 在中，， 解得， ， 在中，，则， 由勾股定理可得， ． 【变式3】（2025·广东湛江·模拟预测）如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，以点为圆心，长为半径画弧，恰好经过点，连接、． （1）由作法可知　　，　　； （2）求和的度数． 【答案】（1）；；（2）， 【分析】本题主要考查了矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键． （1）根据题意可得，， （2）根据矩形的性质可得，然后根据等腰三角形的性质分别算出和，再根据角的和差关系可得答案． 解：（1）解：∵以点为圆心，长为半径画弧，交于点， ∴， ∵以点为圆心，长为半径画弧，恰好经过点， ∴， 故答案为：；； （2）四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ． 【题型 3】利用矩形性质求值证明 【例题3】（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在矩形中，是的中点，是上一点，若，求证：是的中点． 【答案】见分析 【分析】由矩形的性质得到，则可证明四边形是平行四边形，得到，再由线段中点的定义可得． 解：证明：∵四边形是矩形， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴是的中点． 【变式1】（24-25八年级下·河南周口·期末）如图，在矩形中进行如下操作：①以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接；②再以为圆心，长为半径作弧交于点，连接．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是理解作图过程，熟练运用矩形的性质解题．根据作图过程和矩形的性质可以证明，进而可得线段与线段的位置关系以及与的数量关系，进一步推导与，与的数量关系即可． 解：如图，连接， ∵矩形中，，，，， ∴， 由题意得，， ∴，，故A正确， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，，故B、D正确． 无法证明；C不一定成立； 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，点E为矩形的边上的一点，作于点F，且满足．对于下面四个结论：①；②的面积与的面积相等：③；④，所有正确的结论是______（只写序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．根据矩形的性质证明，得③正确；证明得出①正确；得出，④正确，过点B作于H，由三角形的面积公式可得，故②错误；即可得出结论． 解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，③正确； ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， ∴， ∴，故④正确； 过点B作于H， ∵， ∴， ∴， ∴，故②错误； 故答案为：①③④． 【变式3】（24-25八年级下·重庆铜梁·期中）如图，四边形为矩形，延长至E，使，连接交于点G，交于点F，且． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）根据矩形的性质得到，再利用判定，得到，再根据三角形内角和定理得到，即可证明； （2）过点作交于点，利用判定，得到，，利用勾股定理得到，最后利用线段的和差以及等量代换即可证明． 解：（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点作交于点， 则， ∴， ∴，即， 由（1）得，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即． 【题型 4】矩形判定定理的理解 【例题4】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，中，． （1）尺规作图：作矩形；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，点为边上一点，若的中垂线分别交边、边于点、，则的长的取值范围为 ． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）分别以，为圆心，，为半径作弧，两弧交于点，连接，即可； （2）判断出如图2中，当点与重合时，的长最大，如图2中，当点以重合时，的长最小，分别求出最大值，最小值可得结论． 解：（1）解：如图1中，四边形即为所求； ； （2）解：如图2中，当点与重合时，的长最大，最大值； 如图2中，当点以重合时，连接，设，交于点，的长最小，设，则有， 解得， ，，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）一个木匠制作了一块四边形的踏板．为了检验这块踏板是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是（   ） A．测量踏板的对角线是否互相平分 B．测量踏板的对角是否相等 C．测量踏板的三个角是否都为 D．测量踏板的一组对边是否平行且相等 【答案】C 【分析】根据平行四边形和矩形的判定规则，逐一判断各选项即可得到结论． 解：A：对角线互相平分的四边形是平行四边形，无法判定是矩形，故该选项不合题意； B：对角相等的四边形是平行四边形，无法判定是矩形，故该选项不合题意； C：四边形内角和为，若三个角都为，则第四个角也为，四个角都是直角的四边形是矩形，故该选项符合题意； D：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，无法判定是矩形，故该选项不合题意． 【变式2】（24-25八年级下·山东聊城·月考）下列对矩形的判定： （1）对角线相等的四边形是矩形； （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形 （3）有一个角是直角的四边形是矩形； （4）有四个角是直角的四边形是矩形； （5）四个角都相等的四边形是矩形； （6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形； （7）对角线相等且互垂直的四边形是矩形； （8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形，正确的有___________．（只填写序号） 【答案】（2）（4）（5）（8） 【分析】本题考查了矩形的判定方法；熟练掌握矩形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．根据矩形的判定方法逐一进行判断即可，由矩形的判定方法得出（2）（4）（5）（8）正确，（1）（3）（6）（7）不正确，即可得出结论． 解：∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴（1）不正确； ∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴（2）正确； （7）不正确 ∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，∴（3）不正确； ∵有三个角是直角的四边形是矩形，∴（4）正确； ∵四边形的内角和等于360°，∴四个角都相等的四边是矩形，∴（5）正确；（6）不正确； ∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， ∴一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形，∴（8）正确； 故答案为：（2）（4）（5）（8）． 【变式3】（2024·广西贵港·二模）请阅读下列材料，完成相应的任务： 工人师傅在做门窗或矩形零件时，他是这样做的：首先利用卷尺（有刻度）测量两组对边的长度是否分别相等，其次利用卷尺测量该门窗的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形． 我有如下思考：工人师傅的做法究竟是依据什么原理得到四边形是矩形？．已知在四边形中，，，．求证：四边形是矩形． 证明：…… 任务： （1）上述做法是依据了矩形的一个判定定理： （2）补全材料中的证明过程； （3）利用卷尺（有刻度）能否用另外一种方法判定四边形是矩形？（简要写出测量方法）． 【答案】（1）对角线相等的平行四边形是矩形；（2）见分析；（3）见分析 【分析】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定方法，是解题的关键： （1）根据对角线相等的平行四边形是矩形，进行作答即可； （2）先证明四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可； （3）根据勾股定理定理逆定理，得到四边形的一个内角是直角，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可。 解：（1）解：判定定理为：对角线相等的平行四边形是矩形；理由见（2） （2）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． （3）首先利用卷尺测量两组对边长度是否相等，确保形状是平行四边形；然后再量一条对角线的长度，如果一组邻边长度的平方和等于对角线长度的平方时，就确保了它是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 【题型 5】根据矩形性质与判定定理求值 【例题5】（25-26九年级下·浙江金华·期中）如图，是等腰直角三角形，是斜边上的中线，过点作射线． （1）尺规作图：在射线上找一点，连接，使得（不写作法，保留作图痕迹）． （2）根据（1）的作法，若，直接写出的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）以点C为圆心，以为半径画弧交于点F，连接即可． （2）作于点H，根据矩形的判定求解即可． 解：（1）解：根据题意，以点C为圆心，以为半径画弧交于点F，连接，如图， 则点F即为所求； （2）解：过点C作于点H， 是等腰直角三角形，是斜边上的中线，， ，，， ， ， ， 故四边形是矩形， ， ． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的内角为直角是解题的关键． 根据平行四边形对角线相等的性质判定为矩形，利用矩形的角为直角，结合已知角度计算的度数． 解：∵在中，对角线， ∴四边形是矩形， ． ， ． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，点O是的对角线的中点，点E是的中点，连接，．若，，，则的周长为_______． 【答案】 【分析】先根据平行四边形对角线互相平分得出，再根据三角形中位线定理求出的长，由判定四边形为矩形，利用矩形对角线相等求出，进而求出，最后利用勾股定理求出及，即可求得周长； 解：连接， 四边形是平行四边形，点是的中点， 点也是的中点，三点共线， ， 点是的中点，点是的中点， 是的中位线， ， 四边形是平行四边形，， 四边形是矩形， ， 点是的中点， ， 在中，， 点是的中点， ， 的周长． 【变式3】（25-26八年级下·辽宁营口·月考）如图，矩形的对角线交于点，为中点，在射线上，且，连接．若，，则的长为多少？ 【答案】 【分析】根据矩形的性质，求出的长，证明四边形为矩形，进而得到即可. 解：∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵，点为中点， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴. 【题型 6】根据矩形性质与判定定理求值证明 【例题6】（24-25九年级上·辽宁沈阳·月考）如图，四边形中，对角线，相交于点O，，，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）过点B作于点E，若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查矩形的判定与性质，等边对等角，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由，，得到四边形是平行四边形，进而，结合，可得，得证结论； （2）由，，得到，，根据可求出，根据矩形的性质得到，进而得到，最后根据角的和差即可求解． 解：（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是矩形． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵在矩形中，，，， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25九年级上·山西太原·期中）已知四边形中，，对角线相交于点O．下列结论一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定与性质．熟练掌握有三个角均为的四边形是矩形，矩形对角线相等，是解题的关键． 根据矩形的判定与性质对各选项进行判断作答即可． 解：∵， ∴四边形是矩形， ∴，一定成立，故B符合要求； ，不成立，故D不符合要求； ，，不一定成立，故A、C不符合要求； 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图，O为跷跷板AB的中点，支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，且OC＝40cm，则A端离地面的最大高度为______cm． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关概念是解题关键． 过点A作，过点O作，结合条件可证四边形是矩形，再利用条件证明，即可求出． 解：当跷跷板的一端着地时，A端离地面的高度最大， 如图，过点A作，过点O作， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵点O是跷跷板的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴A离地面的高度是， 故答案为：． 【变式3】（2026·贵州遵义·一模）在中，是边上的一点，是边的中点，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）的长为． 【分析】（1）利用平行线的性质得，根据中点的性质可得，从而可证，进而得，即可根据“一组对边平行且相等”的四边形是平行四边形； （2）根据已知条件先证平行四边形是矩形，再在中，运用勾股定理即可得，进而可得出的长． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵E是边的中点， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，即， ∴平行四边形是矩形， 在中， ∴， ∴， 故的长为． 三.题型精析——综合压轴篇 【题型 7】矩形与折叠问题 【例题7】（24-25八年级下·云南昆明·期中）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作】如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点． 【猜想】（1）请猜想线段的数量关系，并证明． 【应用】（2）如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为．若，求的长． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键． （1）由折叠的性质可得，再证明，易得，即可证明； （2）由折叠的性质可得，，，设，易得，在中，由勾股定理解得的值，易知，同理可证明，然后计算的长即可． 解：（1）解：，理由如下： ∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴ ， ∴； （2）∵矩形沿所在直线折叠， ∴，，， 设， ∴， 在中，， ∴， ∴，解得， ∴， ∴， 同理可证明， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·山东菏泽·期中）已知四边形，其中，，将沿折叠，落于，交于，且为平行四边形（如图）；再将纸片展开，将沿折叠，使点落在上一点（如图）．在两次折叠过程中，两条折痕、的夹角的度数为（　　） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】如图，过作于点，过作于点，可证，得到，即得，设，，可得，由四边形是矩形得，即得，得到，即可求解． 解：如图，过作于点，则， 在图中，∵，为平行四边形， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴， 设，，则， 由折叠可得：， ∵，， ∴ ， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，第二次将沿着折叠，边佮好落在边上．若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，根据折叠的性质得出，易得四边形是矩形，则，，根据勾股定理可得：，根据，即可求解． 解：∵将边折叠到边上得到，折痕为， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴四边形是矩形，， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵将沿着折叠，边佮好落在边上， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·河北雄安·期中）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质来解决相关的问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作】如图1，在矩形中，点M在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N． 【猜想】． 【验证】（1）请将下列证明过程补充完整． ∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ． ∵四边形是矩形， ， ． ， ． 【应用】（2）如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为． ①猜想与的数量关系，并说明理由． ②若，，求的长． 【答案】（1）；；；；（2）①，理由见分析；② 【分析】此题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质得到，根据矩形的性质推出，则，根据等腰三角形的判定即可得解； （2）①根据折叠的性质得到，根据矩形的性质推出，则，根据等腰三角形的判定即可得出，结合即可得解； ②根据矩形的性质、折叠的性质得出，，，设，则，根据勾股定理求解即可． 解：（1）∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ． ∵四边形是矩形， ， ， ， ． 故答案为：；；；． （2）①． 理由：∵由四边形折叠得到四边形， ． ∵四边形是矩形， ， ， ， ． ， ． ②∵矩形沿所在的直线折叠， ，，． 设， ． 在中，， ， ， 解得， ． 【题型 8】矩形与动点问题 【例题8】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，，，，，点E从B出发，以的速度向点C运动，运动时间为t秒；同时点F从D出发，以的速度向点A运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． （1）__________，__________（用含t的式子表示）； （2）当四边形是矩形时，__________； （3）当时，求t的值． 【答案】（1）；；（2）；（3）5或7 【分析】本题主要查了矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． （1）根据题意可得，即可求解； （2）根据矩形的性质可得，从而得到关于t的方程，即可求解； （3）过点C作于点G，可得四边形是矩形，从而得到， ，在中，利用勾股定理可得，然后分两种情况解答，即可求解． 解：（1）解：根据题意得：， ∵，， ∴，； 故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 解得：； 故答案为： （3）解： 如图，过点C作于点G， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴， 如图，过点F作于点M，则，， 在中，， ∴， ∴， 解得：； 如图，过点F作于点N，则，， 同理， 解得：； 综上所述，当时，t的值为5或7． 【变式1】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在长方形中，，，动点从点出发，以的速度沿着向点运动，同时动点从点出发以的速度沿向点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也同时停止．运动时间为，将四边形以直线为轴进行翻折，得到四边形，射线经过点时，可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据翻折的性质可得，由平行线的性质可得，结合射线经过点可推导出 ，从而得到，在 中利用勾股定理建立关于 的方程求解即可． 解：连接 四边形是长方形， ，， ． 由翻折的性质可知：， ∵射线经过点，即 三点共线， ， ， ． 由题意得：，， ． 在 中，， ， 解得 ，（舍去）． 点到达终点的时间为 ， ， 符合题意． 【变式2】（24-25八年级下·江西赣州·期中）如图，在矩形中，，点E是边上一动点，点F是上一动点，且，点G是边上一动点，连接，当是等腰直角三角形时，的长是___________． 【答案】或2或 【分析】此题考查的是等腰直角三角形的性质、矩形的性质和全等三角形的判定及性质． 设，则，根据等腰三角形腰的情况分类讨论，分别画出对应的图形，利用矩形的性质和全等三角形的判定及性质分别列出方程即可求出结论． 解：设，则， ①若中，，时，如下图所示 ∵四边形为矩形， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得： 即； ②若中，，时，如下图所示，过点G作于M 则，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ 解得： 即； ③若中，，时，如下图所示，过点F作于H 易知：，，， ∴， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ 解得： 即； 综上：的长为或2或 故答案为：或2或． 【变式3】（24-25八年级上·安徽六安·期末）在长方形中，动点P从点A开始按的方向运动到点D，如图，设动点P所经过的路程为x，的面积为y（当点P与点A或D重合时，）． （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）当的面积y等于4时，求此时P所经过的路程x． 【答案】（1）；（2）当的值为2或8时，的面积为4 【分析】本题是四边形综合题，考查动点问题的函数图象、三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想方法． （1）分以下三种情况：点在上运动、点在上运动、点在上运动，分别根据三角形的面积公式可得； （2）根据题意得或，解方程即可解决问题． 解：（1）解：在长方形中， 当点在上运动时，即时， 则； 当点在上运动时，即时，则； 当点在上运动时，即时， 则， 综上，； （2）解：当的面积为 4 ， 即， 或， 或， ∴当的值为2或8时，的面积为4． 【题型 9】矩形与存在性问题 【例题9】（24-25八年级上·广东佛山·月考）如图，为线段上一动点，分别过点作，，连接，已知． （1）请问：点在什么位置时，； （2）当点在线段上运动时，是否存在最小值？若存在，请直接写出结果；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）当点C到点B的距离为时，；（2）存在；的最小值为10 【分析】（1）根据勾股定理得出，，根据得出，从而得出，设，则，得出，求出x的值即可； （2）延长，截取，连接，，则交于点H，延长，过点A作于点G，证明，得出，根据两点之间线段最短，得出当点C在点H处时，最小，即最小，证明四边形为矩形，得出，，根据勾股定理求出，即可得出答案． 解：（1）解：∵，， ∴， 根据勾股定理得：，， 当时，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， 即当点C到点B的距离为时，； （2）解：存在； 延长，截取，连接，，则交于点H，延长，过点A作于点G，如图所示： ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当点C在点H处时，最小，即最小， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为10． 【点拨】本题主要考查了勾股定理，矩形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 【变式1】（24-25八年级下·四川攀枝花·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，，过点C的直线与轴、轴分别交于点． （1）求点D的坐标； （2）求经过点D且与直线平行的直线的函数表达式； （3）直线上是否存在点P，使得为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，或 【分析】本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、矩形的性质、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识． （1）可先求得C点坐标，从而可求得的长，则可求得的长，可求得D点坐标； （2）由D点的坐标利用待定系数法可求得直线的函数表达式； （3）先得出只能是以P、D为直角顶点的等腰三角形，再分两种情况分别求解：①当时，延长DA与直线交于点，②当时，作DC的垂直平分线与直线的交点即为点，求出答案即可． 解：（1）解：在矩形ABCD中，， ， 设点的坐标为， 点在直线上， ， ， ， ， ， ； （2）设经过点D且与直线平行的直线为∶， 由（1）得， ， ， 设经过点D且与直线FC平行的直线为：． （3）存在， 直线与轴的交点E坐标为， ，又 为等腰直角三角形， ， ， ， 只能是以P、D为直角顶点的等腰三角形， 如图，①当时，延长DA与直线交于点， 点的坐标为， 点的横坐标为1， 把代入得，， 点； ②当时，作DC的垂直平分线与直线的交点即为点， 点的横坐标为， ，     ，     点 综上所述：符合条件的点P的坐标为：或 【变式2】（24-25八年级下·河南驻马店·月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别落在轴的正半轴上，其中对角线所在直线的解析式为． （1）求点的坐标． （2）将矩形沿着折叠，使点落在边上的点处，交于点． ①求点的坐标； ②是轴上一动点，是否存在点使得的周长最小？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②存在，的值为1 【分析】（1）先求出，得到，再根据矩形的性质得到即可求解； （2）①利用折叠的性质结合勾股定理求出，再求出直线的解析式为， 联立，求解即可得到点F的坐标；②作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时的周长最小．求出，进而求出直线的解析式为，令，即可求解． 解：（1）解：在中，令，则；令，则， ∴， ， ∵四边形是矩形， ∴， 点的坐标为； （2）解：①由折叠的性质得， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 将代入中，得， 解得， 直线的解析式为， 联立， 解得， 点的坐标为； ②解：存在， 如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时的周长最小． 由对称的性质得， ， 设直线的解析式为， 将代入中，得， 解得， 直线的解析式为， 令，得，解得， 的值为1． 【变式3】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为，点C为线段的中点． （1）求点B的坐标； （2）点P为直线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，与直线交于点Q，设点P的横坐标为m，的面积为S，求S与m的函数解析式； （3）当点P在直线上运动时，在平面直角坐标系内是否存在一点N，使得以O，B，P，N为顶点的四边形为矩形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）或；（3）存在，点的坐标为或 【分析】（1）把点A的坐标代入解析式可得n的值，进而可求解点B坐标； （2）由中点公式得点，则有直线的表达式为：，设点，则点，然后根据题意分类讨论进行求解即可； （3）设，点，而点、的坐标分别为、；由题意可分当是矩形的边时，当是矩形的对角线时，然后结合两点距离公式及中点坐标公式可进行求解． 解：（1）解：将点代入得：， ∴， 故直线的表达式为：， 令，则， ∴点； （2）解：点为线段的中点， 则由中点公式得，点，即， 设直线的表达式为：，则有：， ∴， 则直线的表达式为：， 设点，则点， 当点在轴右侧，且在点右侧时， ； 当点在轴右侧，且在点左侧时， ； 当点在轴左侧时， 同理可得：；故或； （3）解：设，点，而点、的坐标分别为、； ①当是矩形的边时， 则点与点A重合，故点，故点； ②当是矩形的对角线时， 由中点公式得：且①， 由矩形的对角线相等得：，即②， 联立①②并解得：， 故点，； 综上，点的坐标为或． 【点拨】本题主要考查矩形的性质及一次函数与几何的综合，熟练掌握中点坐标公式及一次函数的图象与性质是解题的关键． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,） 1．（25-26九年级上·河南开封·期末）矩形是特殊的平行四边形，下面是矩形具有而平行四边形不具有的性质的是（   ） A．矩形的对角线互相平分 B．矩形的对边相等 C．矩形的对边平行 D．矩形的四个角相等 【答案】D 【分析】本题考查了矩形与平行四边形的性质，根据两者共有的性质和矩形特有的性质逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：、∵矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分， ∴矩形与平行四边形都具有，不符合题意； 、∵矩形的对边相等，平行四边形的对边相等， ∴矩形与平行四边形都具有，不符合题意； 、∵矩形的对边平行，平行四边形的对边平行， ∴矩形与平行四边形都具有，不符合题意； 、∵矩形是特殊的平行四边形，除具备平行四边形的所有性质外，还具有四个角均为直角（即四个角相等）的性质， ∴矩形具有而平行四边形不具有，符合题意； 故选：． 2．（25-26九年级下·河南郑州·月考）如图，已知矩形，点O是对角线上的中点，其中，，连接．则的长为（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】利用矩形性质得出，，再利用勾股定理求出，再利用直角三角形斜边性质即可求解． 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵点O是对角线上的中点， ∴． 3．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在矩形中，对角线交于点，若，则的长为（   ） A． B．6 C． D．12 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键．由题意易得，然后可得为等边三角形，进而问题可求解． 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴； 故选B． 4．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求出值，则即可求得； 解：由折叠可知： ∵矩形中， ∴ ∴ 故选：B ． 5．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，李师傅在做门窗时，已经测得门窗是平行四边形后，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理（    ） A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．两点确定一条直线 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．两点之间，线段最短 【答案】C 【分析】本题考查矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形，进行判断即可． 解：由题意得，其中的道理是对角线相等的平行四边形为矩形． 故选：C． 6．（24-25八年级下·福建龙岩·期末）如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交、于点E、F，连接、，若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．28 B．21 C．14 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，掌握矩形的性质是解题关键．过点作，分别交、于点M、N，由矩形的性质推出，即可求出阴影部分的面积． 解：如图，过点作，分别交、于点M、N， 则四边形、、、都是矩形， ，，，，， 四边形是矩形， ， ，即， ， 阴影部分的面积为， 故选：C 7．（2026·河南南阳·一模）如图，在中，于点，点在边上运动，于点于点，连接．若，则的长不可能是（   ） A． B．8 C． D．9 【答案】A 【分析】连接，根据矩形的性质和垂线段最短可知，的最小值即为的最小值，当时，取得最小值，根据平行四边形的面积进行解答即可． 解：连接， ∵于点于点，于点， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值即为的最小值， ∴当时，取得最小值， ∵， ∴， ∴的最小值为， 则的长不可能是． 8．（2026·河北张家口·一模）如图，，，，四边形是矩形．直线经过点A，D，直线，直线将矩形分成面积相等的两部分，则b的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用待定系数法求出直线的解析式为，则可得到，根据矩形的性质可得直线经过矩形的中心，即经过的中点，根据中点坐标公式得到的中点的坐标为，据此利用待定系数法求解即可． 解：设直线的解析式为， 将，代入解析式得： ， ∴， ∴直线的解析式为， ∵直线， ∴； ∵直线将矩形分成面积相等的两部分， ∴直线经过矩形的中心，即经过的中点， ∵，， ∴的中点的坐标为， ∴， ∴． 9．（24-25八年级下·山西临汾·期末）将两个完全相同的矩形和矩形按如图所示的位置摆放，使点B，C，G在同一条直线上，点E在边上，连接，，．若，，则的面积为（   ） A．13 B．26 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据矩形的性质和勾股定理求出，证明，得到，然后得到，然后利用三角形面积公式求解即可． 解：∵将两个完全相同的矩形和矩形按如图所示的位置摆放， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴的面积为． 故选：D． 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知矩形为线段上一点（如图甲），现将其沿折叠，F为C点关于的对称点，线段分别交于（如图乙），再沿折叠，F点关于的对称点Q恰好落在线段上，若度，则用含的代数式表示的度数为（   ）度 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质和折叠的性质得，再根据平角的定义得，根据三角形的内角和得，最后根据平角的定义表示出的度数． 解：根据折叠，得， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A ． 【点拨】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、折叠的性质和三角形的内角和，综合性较强，关键要找到折叠后各角之间的关系． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图，是矩形的一条对角线，依据尺规作图的痕迹，与的交点为，则的度数是______． 【答案】/60度 【分析】本题主要考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质等．由作图得：平分，垂直平分，再结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质可得，然后根据矩形的性质可得，即可求解． 解：由作图得：平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 12．（24-25八年级下·重庆江津·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点在轴上，则点的坐标为______ ． 【答案】 【分析】由两点距离公式可求的长，由矩形的性质可求，即可求解． 解：连接， 点，， ， 四边形是矩形， ， 点的坐标为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键． 13．（25-26九年级上·福建三明·期末）如图，在中，，，当______时，四边形是矩形． 【答案】10 【分析】本题考查了矩形的判定，解题的关键是掌握矩形的判定方法． 根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，证出即可． 解：当时， ， ， 四边形是矩形， 故答案为：10． 14．（25-26八年级下·北京大兴·期中）如图，在中，对角线，相交于点．在不添加辅助线的前提下，增加一个条件，使得是矩形．这个条件可以是_____． 【答案】（答案不唯一） 解： 四边形 是平行四边形， 若添加条件， 根据对角线相等的平行四边形是矩形， 四边形 是矩形． 故答案为 （答案不唯一）． 15．（24-25八年级下·江苏南京·月考）如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，则折痕的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质及折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质得出是解题的关键． 根据矩形的性质和折叠的性质，，，设，则，运用勾股定理得到，则，再证，得到，，如图所示，过点作于点，在中运用勾股定理得到，即可求解． 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵折叠， ∴，，， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴，则， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 故答案为： ． 16．（25-26八年级下·北京大兴·期中）如图，在矩形中，是延长线上一点，且，连接，取的中点，连接交于点．若，则为_____（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】连接交于点，根据矩形的性质得到，，，进而得到，，由得到，根据三线合一性质得到，再根据三角形外角的性质即可求解． 解：如图，连接交于点， ∵矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， 又∵是的中点 ∴平分， ∴， ∴． 17．（2026·河南周口·一模）如图，在矩形中，，，点是边上一点，连接，将沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为______． 【答案】或 【分析】为直角三角形时，需分两种情况讨论：和，不可能为直角，只需计算前两种情况即可． 解：已知矩形中，，，由勾股定理得对角线， 由折叠性质得：，，， 设，则． ①如图，当时： ， ，即、、三点共线， ， 在中，由勾股定理得：， 即，解得，即． ②如图，当时： 又， 四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ，此时，符合题意． 不可能为直角，故舍去． 综上的长为或． 18．（2026·四川成都·二模）如图，在矩形中，按以下步骤作图：①以点为圆心，的长为半径作弧，交线段于点；②分别以C，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③连接并延长交延长线于点，交线段BC于点．若，则线段的长为_____． 【答案】 【分析】根据矩形性质得出，．由作图步骤①可知，由步骤②可知直线是线段的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一性质得出平分，从而求出．在中，利用等角对等边得出，结合求出的长，最后利用勾股定理计算的长． 解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， 由作图步骤①可知：，由作图步骤②可知：直线是线段的垂直平分线， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴直线平分， ∴， ∵点在的延长线上， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，在矩形中，，将此矩形折叠，使点与点重合，折痕分别交于点、，连接，点的对应点为点，若． （1）求证：； （2）求线段的长度． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的应用． （1）可利用矩形的性质和折叠的性质，通过角相等得到边相等； （2）可设未知数，利用勾股定理建立方程求解． 解：（1）证明：∵四边形是矩形， ， ， ∵由此矩形折叠情况可知：点C与点A重合，折痕分别交于点， ， ， ． （2）∵四边形是矩形，， ， 由折叠得：，设，则， 在中，由勾股定理得，， 解得：， ． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，四边形是一张长方形纸片，将纸片折叠，使点A与点D，点B与点C重合，得到折痕EF后再把纸片展平；在CD上选一点P，沿AP折叠，使点D恰好落在折痕EF上的点M处．求证：． 【答案】证明见分析 【分析】本题考查矩形的性质、垂直平分线的性质、折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 连接，根据对折矩形纸片，为折痕，证得垂直平分，沿折叠，使点D落在矩形内部点M处，证得，进而证得，根据直角三角形的性质，证得即可． 解：证明：连接，如图： ∵对折矩形纸片，为折痕， ，， 垂直平分 沿折叠，使点D落在矩形内部点M处， 为等边三角形 ． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·湖北黄冈·期中）在平行四边形中，过点作于点，点在上且，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，平分，求的面积． 【答案】（1）见分析；（2）10 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，根据，即证四边形是矩形； （2）根据勾股定理求得，根据平分，以及得出得出，再根据三角形的面积公式，即可求解． 解：（1）证明：四边形是平行四边形， 四边形是平行四边形 四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形 ，    平分 ， 的面积． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，已知，延长到，使，连接，，，若． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（）由四边形是平行四边形，则，，又得四边形是平行四边形及，结合可得，由此可得平行四边形是矩形； （）连接，由（）得，，，所以，则，又四边形是矩形，故有，，然后通过勾股定理即可求解． 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：如图，连接， 由（）得，，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山西大同·期中）如图，在矩形中，，，为边上一点，点为的中点，连接并延长，交于点N，若平分．求证： （1）； （2）求的长． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】（1）根据矩形和平行线的性质可证明，即可证明． （2）根据角平分线的定义和平行线的性质，可得，进而得出，，结合勾股定理可得，代入，求得． 解：（1）证明：∵点为的中点， ， ∵四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， ， ． （2）解：平分，， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，，， 在中，，， 即， 解得． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·海南·期中）在学习了《平行四边形》之后，小佳同学和小豪同学对平行四边形进行了更为深入的探究． 【初步探究】 （1）如图1，小佳同学连接了的对角线、，并发现：当时，，请你利用平行四边形的相关知识证明这个数量关系； 【深入探究】 （2）如图1，在小佳同学发现的基础上，小豪同学还发现：此时，沿着或分割该平行四边形，即可得到两个直角三角形，则直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图2，是斜边上的中线，请帮忙直接写出中线与斜边的数量关系：__________； 【拓展延伸】 （3）如图3，小佳同学和小豪同学在图2中的基础上又作了，使（点、在斜边所在直线的同侧），且平分．连接，请帮助小佳同学和小豪同学判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）；（3） 【分析】（1）由，结合平行四边形的性质可证，从而得到； （2）延长至点，使，连接、，先证四边形是平行四边形，仿照（1）证明，从而得到，进而推出； （3）根据深入探究的结论，得到，，故，结合平分，推出． 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ， ； （2）解：如图，延长到点，使，即，连接， 是斜边上的中线， ． 四边形为平行四边形． ， 又， ，在和中， ， ； （3）解：， 理由如下：取和的斜边的中点，连接交于点， 由[深入探究]得， ， ， ， 平分， ， ，即， ， ， ， 所在的直线是线段的垂直平分线， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $