专题 4.14 平行四边形二级结论专题（结论梳理+题型精析+同步检测）- 2025-2026学年浙教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 4.14 平行四边形二级结论专题（结论梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.二级结论梳理与题型分类精析 1 【结论一】平行四边形+角平分线 1 【题型 1】平行四边形+单角平分线 2 【题型 2】平行四边形+双角平分线 3 【结论二】平行四边形+面积 4 【题型 3】平行四边形+等面积 4 【题型 4】平行四边形+面积一半+乘积相等 6 【结论三】平行四边形的边与对角线数量关系 7 【题型 5】平行四边形边与对角线平方和关系 7 【结论四】平行四边形边的对称性等分面积 8 【题型 6】平行四边形边与等分面积关系 8 【结论五】平行四边形四个顶点坐标关系 10 【题型 7】平行四边形顶点坐标 11 二.同步检测 12 （一）单选题（6题） 12 （二）填空题（6题） 14 （三）解答题（6题） 15 一.二级结论梳理与题型分类精析 【结论一】平行四边形+角平分线 条件 基本图形1 结论 基本图形2 结论 单角平分线 双角平分线 EF=AB-AF AB=CD=DF=AF AB=CD=AE=DF BC=2AB+EF 四边形BEDF是平行四边形 四边形BHDG 是平行四边形 【题型 1】平行四边形+单角平分线 【例题1】（2025·浙江温州·一模）尺规作图问题：如图，在平行四边形中，用尺规作的角平分线． 小温：这简单！我们在八上就学过用尺规作角平分线的方法，除此之外，小外你还有其它做法吗？ 小外：我想到了！如图，以为圆心，为半径作弧，交于点，连结，则平分． （1）按照小温的说法，在图中用尺规作的角平分线． （2）小外的做法是否正确？若错误，请说明理由；若正确，请证明． 【变式1】（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·月考）如图，在平行四边形中，的角平分线交于点，则的值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式2】（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，的角平分线交边于点，交的延长线于点，则的长是_________． 【变式3】（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图，平行四边形中，． （1）用尺规作出的角平分线，交边于点F，保留作图痕迹，不需要写作法． （2）连接，若，，则的值为_____________ 【题型 2】平行四边形+双角平分线 【例题2】（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）如图，在平行四边形中，的角平分线交于边上一点E，且． （1）求证：； （2）求线段的长． 【变式1】（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，的角平分线交边于点E，的角平分线交边于点F，若，，则线段的长为（    ）    A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【变式2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，已知四边形是平行四边形，的角平分线分别交于点F、E，，则的长是_______． 【变式3】（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图1，已知平行四边形，是的角平分线，交于点． （1）求证：． （2）如图2所示，点是平行四边形的边所在直线上一点，若，且，，求的面积． 【结论二】平行四边形+面积 条件 基本图形 结论 条件 基本图形 结论 【题型 3】平行四边形+等面积 【例题3】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图①，我们知道若直线．则三角形与三角形的面积相等；反之，若三角形与三角形的面积相等，则也可得到直线，利用此知识解答以下问题： 如图②，已知，，P，Q分别是线段上的点，，，E，F分别是线段上的点，，连接，若三角形的面积是4．    （1）求四边形的面积； （2）求证：． 【变式1】（24-25七年级下·湖南株洲·期末）如图，，的面积等于，，，则的面积是_____． 【变式2】（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，，AC、BD交于点E，的面积等于10，的面积等于6，那么的面积等于________．    【变式3】（24-25七年级下·河南信阳·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，且a、b满足，现同时将点A、B分别向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到点A、B的对应点D、C，连接、、．  （1）求a、b的值，并直接写出点A、点B、点C、点D的坐标； （2）如图2，点P是线段上的一个动点，连接、，当点P在线段上移动时，的面积是否变化？若不变，请求出的面积；若变化，请说明理由． （3）在x轴上是否存在一点M，使的面积与的面积相等？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【题型 4】平行四边形+面积一半+乘积相等 【例题4】（2026八年级下·江苏·专题练习）已知：如图，点为内一点，、的面积分别记为、，的面积记为，试探究与之间的关系． 【变式1】（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，E是平行四边形内任一点，若阴影部分的面积为6，则平行四边形的面积是（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 【变式2】（24-25七年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在平行四边形中的长度是长度的倍，三角形的面积是平方厘米．则阴影部分的面积是____________平方厘米． 【变式3】（24-25八年级下·江苏泰州·月考）（1）探究规律： 如图1，点P为平行四边形内一点，，的面积分别记为，，平行四边形的面积记为S，试探究与S之间的关系． （2）解决问题： 如图2 矩形中，，，点E、F、G、H分别在、、、上，且，，点P为矩形内一点，四边形、四边形的面积分别记为，，求． 【结论三】平行四边形的边与对角线数量关系 条件 基本图形 结论 备注 利用勾股定理证明即可 【题型 5】平行四边形边与对角线平方和关系 【例题5】（25-26八年级下·山东日照·月考）求证：平行四边形的对角线长的平方和等于四条边长的平方和．即． 【变式1】（2024·河南驻马店·二模）在《圆锥曲线论》中有一个著名的“阿波罗尼奥斯定理”：平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和．如图所示，在中，，，，是 的中点，则的长为_____ ．    【变式2】（24-25八年级下·山西吕梁·月考）给出定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．如图所示，将绕顶点B按顺时针方向旋转得到，连接，，，已知． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：，即四边形是勾股四边形． 【变式3】（24-25八年级下·湖北孝感·期中）（1）【问题发现】学习矩形后，小明发现：矩形两条对角线的平方和，等于它四边的平方和，即：如图1，在矩形中，有，请你证明小明的发现的正确性． （2）【一般探究】如图2，在中，小明的发现还成立吗？请说明理由． （3）【拓展应用】如图3，在中，为的中点，，，，求的长． 【结论四】平行四边形边的对称性等分面积 条件 基本图形 结论 备注 利用平行四边形是中心对称图形即可得出结论 【题型 6】平行四边形边与等分面积关系 【例题6】（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线． （1）平行四边形有 条面积等分线； （2）如图所示，在长方形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线； （3）如图，四边形中，与不平行，，且，过点A画出四边形的面积等分线，并写出理由． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）知识背景：任意一条过中心对称图形的对称中心的直线都将其分成面积相等的两个部分． （1）如图①，直线m经过平行四边形的两条对角线的交点O，则_______；（填“”“ ”或“”） （2）两个大小不等的正方形按图②摆放，O为小正方形的两条对角线的交点，求作一条过点O的直线，使整个图形分成面积相等的两部分； （3）十个大小相同的正方形按图③摆放，求作一条直线，使整个图形分成面积相等的两部分． 【变式2】（24-25八年级下·湖北荆州·期末）阅读下面材料，完成以下问题．如图1，如图2，将一张矩形纸片顺着中缝或对角线所在的直线翻折，其折痕将这个矩形一分为二，两部分的形状与大小完全一样．如图3，如图4，用两条直线将一个矩形分成面积相等的四部分. 我们知道，矩形是一种特殊的平行四边形，对于一般的平行四边形（如图4），是否和矩形一样，也存在这样的直线，将其面积二等分，或进一步将其面积四等分？它们之间又有什么规律呢？   问题1：平分平行四边形的面积，除以下两种方法以外（图5、图6），你还有其他什么方法，请在图7中画出来．   问题2：通过平分平行四边形的面积，你能平分下面图案（图8）的面积，请在图8中画出来 问题3：老师将两个正方形按照图9所示的方式摆放，请你试着将整个图形的面积平分． 问题4：如图10，平面直角坐标系中放着6个边长为1个单位的小正方形，经过原点的直线恰好将6个正方形分成面积相等的两部分，请你画出这条直线，并直接写出该直线的表达式． 【变式3】（24-25八年级下·山东枣庄·期中）【问题探究】 （1）如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分？我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图①可总结规律：一个中心对称图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． （2）图②是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图②的阴影部分分成面积相等的两部分．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【总结规律】 （3）由两个中心对称图形组合成的图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． 【拓展应用】 （4）如图③是一块农田的平面图，要分给两户村民种植（分成面积相等的两部分），请你帮助他们用一条直线分开．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【结论五】平行四边形四个顶点坐标关系 条件 基本图形 结论 备注 利用中点坐标公式即可得出结论 【题型 7】平行四边形顶点坐标 【例题7】（24-25八年级下·湖南永州·期末）【新知学习】已知线段的中点为，点、点的坐标分别为，则的中点的坐标为 【问题探究】如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是线段的中点．点为的中点，，连接． （1）点坐标为______，点坐标为______； （2）求直线的函数表达式； （3）点在轴上，点在直线上，是否存在以点为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（24-25八年级下·河南鹤壁·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，平行四边形位于第一象限，顶点的坐标分别为，将平行四边形沿轴向上平移4个单位后，则平移后点的对应点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2026·山西·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，在第一象限内，顶点在轴上，顶点的坐标为，对角线轴．若，则点的坐标为_____． 【变式3】（24-25八年级下·湖北恩施·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线是一次函数（）的图象，直线是一次函数（）的图象，点是两直线的交点，点、、、分别是两条直线与坐标轴的交点． （1）用、分别表示点、、的坐标，并求的度数． （2）若四边形的面积是，且，试求点的坐标，并求出直线与的函数表达式． （3）在（）的条件下，是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 二.同步检测 （一）单选题（6题） 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，的角平分线交于点，若，，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2025·云南昆明·三模）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的角平分线交AD于点E，∠BCD的角平分线交AD于点F，若AB=7，BC=10，则EF的长为（    ） A．4 B．3 C．6 D．5 3．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）如图，在中，，分别是与的角平分线，交点为点，，则（   ） A．5 B．10 C．9 D．12 4．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）如图，在梯形 中，三角形 与三角形 的面积相比，是（      ） A．三角形 的面积大 B．一样大 C．三角形的面积大 D．无法比较 5．（24-25八年级下·广东湛江·期中）如图，某广场上有一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有，，那么下列说法中错误的是（　　） A．红花、绿花种植面积一定相等 B．紫花、橙花种植面积一定相等 C．绿花、蓝花种植面积一定相等 D．蓝花、黄花种植面积一定相等 6．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，中，顶点A落在y轴上，顶点B，C落在x轴上，其中点C的坐标是，边的中点E的坐标是，则点D的坐标是（   ） A． B． C． D． （2） 填空题（6题） 7．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在平行四边形中，的角平分线交于点，的角平分线交于点，若，，则的长为（    ）    8．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，在中，，的角平分线与的角平分线交于点，若点恰好在边上，则的长为______． 9．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，在中，，，的角平分线交相交于点E，连接．若，则的面积为______．    10．（25-26八年级下·陕西延安·月考）如图，，的面积等于5，，，则的面积是___________． 11．（24-25九年级上·山东淄博·月考）如图，五边形中，，交于点O，四边形是平行四边形，若的面积是5，四边形的面积是6，则的面积是________． 12．（2025·江西新余·三模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴上，顶点的坐标为，的坐标为，分别是边，边上的点，且线段将平行四边形分割成面积相等的两部分．若点的坐标是，则点的坐标为___________． （三）解答题（6题） 13．（2025九年级下·四川巴中·学业考试）已知，如图，点O是平行四边形的对称中心，过点O的任意直线交于点E，交于点F． （1）求证：． （2）求证：四边形的面积与四边形的面积相等． 14．（2026九年级下·重庆·专题练习）小渝学习角平分线的性质后，进行了拓展性探究．他发现在平行四边形中，过其中一内角的顶点作相邻内角角平分线的垂线，则这条垂线也是这个内角的角平分线，请根据他的思路完成以下作图与填空： （1）用尺规完成以下作图：作的平分线交于点，过点作的垂线交于点（只保留作图痕迹） （2）已知：在平行四边形中，平分，，求证：平分． 证明：四边形是平行四边形 ① 平分 ② ③ ④ 平分 15．（24-25八年级下·河南濮阳·期末）【问题提出】 数学课堂上，王老师给同学们提出这样的问题：“能不能画一条直线把一个平行四边形的面积平分”？ 【问题解决】 （1）小明说可以做到．如图1，中，，相交于点，过点画直线，则直线平分的面积．请证明小明的说法是正确的； （2）王老师提出一个新问题，如图2，，请你用无刻度的直尺画一条直线，使直线平分六边形的面积（保留作图痕迹，不写作法）． 16．（2025·山西朔州·一模）阅读与思考请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务． 数学兴趣课上老师提出这样一个问题：我们知道三角形三个内角的平分线交于一点，那么四边形四个内角的平分线能围成什么样的图形？同学们以小组为单位展开讨论． 善思小组经过交流后得出结论：若四边形三个内角的平分线交于一点，则第四个内角的平分线一定经过此点．善思小组给出了如下证明过程： 如图1，四边形中，，，的角平分线交于点O，过点O分别作于点E，于点F，于点G，于点H． 由角平分线的性质可知：，， ∴． ∴点O在的平分线上．（依据） 勤奋小组经过探究得出结论：四边形四个内角的平分线如果不交于一点，那么这四条角平分线围成一个对角互补的四边形．勤奋小组用下面过程说明． 如图2，四边形的四个内角的平分线分别交于点M，Q，P，N． ，别平分和， ， …… 任务： （1）材料中的“依据”指的内容是______； （2）在我们学习的特殊平行四边形中，四个内角的平分线交于一点的是______；（写出一类即可） （3）请将勤奋小组的过程补充完整； （4）已知四边形是平行四边形，，，和的平分线相交于点P，请分别在图3和图4中用不同的方法作出四个内角平分线围成的四边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 17．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，四边形是平行四边形，其中点A的坐标是，点O的坐标是，点C的坐标是． （1）请求出点B的坐标； （2）已知点D是直线上一个动点，若三角形是等腰三角形，请求出所有符合要求的点D的坐标； （3）已知直线以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过多少秒该直线恰好将平行四边形分成面积相等的两部分？ 18．（2026八年级下·全国·专题练习）【问题发展】某数学兴趣小组查阅资料发现平行四边形的两条对角线的平方和等于其四边的平方和，该性质被称为阿波罗尼奥斯定理． 【任务一】如图①，已知，求证：．下面是部分证明过程： 证明：如图①，分别过点作于点，交的延长线于点，易得，， 则，， 即 ． …… 请将证明过程补充完整； 【任务二】如图②，在中，是边上的中线，请你利用【任务一】的结论证明． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.14 平行四边形二级结论专题（结论梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.二级结论梳理与题型分类精析 1 【结论一】平行四边形+角平分线 1 【题型 1】平行四边形+单角平分线 2 【题型 2】平行四边形+双角平分线 5 【结论二】平行四边形+面积 9 【题型 3】平行四边形+等面积 9 【题型 4】平行四边形+面积一半+乘积相等 14 【结论三】平行四边形的边与对角线数量关系 18 【题型 5】平行四边形边与对角线平方和关系 19 【结论四】平行四边形边的对称性等分面积 23 【题型 6】平行四边形边与等分面积关系 24 【结论五】平行四边形四个顶点坐标关系 30 【题型 7】平行四边形顶点坐标 30 二.同步检测 37 （一）单选题（6题） 37 （二）填空题（6题） 42 （三）解答题（6题） 46 一.二级结论梳理与题型分类精析 【结论一】平行四边形+角平分线 条件 基本图形1 结论 基本图形2 结论 单角平分线 双角平分线 EF=AB-AF AB=CD=DF=AF AB=CD=AE=DF BC=2AB+EF 四边形BEDF是平行四边形 四边形BHDG 是平行四边形 【题型 1】平行四边形+单角平分线 【例题1】（2025·浙江温州·一模）尺规作图问题：如图，在平行四边形中，用尺规作的角平分线． 小温：这简单！我们在八上就学过用尺规作角平分线的方法，除此之外，小外你还有其它做法吗？ 小外：我想到了！如图，以为圆心，为半径作弧，交于点，连结，则平分． （1）按照小温的说法，在图中用尺规作的角平分线． （2）小外的做法是否正确？若错误，请说明理由；若正确，请证明． 【答案】（1）见分析；（2）正确，证明见分析 【分析】本题主要考查尺规作角平分线，平行四边形的性质，等边对等角的性质，掌握以上知识是关键． （1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据平行四边形的性质，等边对等角的方法证明即可． 解：（1）解：如图，射线即为所求， （2）解：正确， 证明：四边形为平行四边形， ， ， 由作图可知，， ， ， 平分． 【变式1】（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·月考）如图，在平行四边形中，的角平分线交于点，则的值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定；首先根据平行四边形的性质可得，，，然后证明，进而可得长，即可得出答案． 解：四边形是平行四边形，，， ，，， ， 平分， ， ， ， ． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，的角平分线交边于点，交的延长线于点，则的长是_________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边；由平行四边形的性质可得，，由平行线的性质和角平分线的定义可得，即可求解． 解：四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图，平行四边形中，． （1）用尺规作出的角平分线，交边于点F，保留作图痕迹，不需要写作法． （2）连接，若，，则的值为_____________ 【答案】（1）见分析；（2）1 【分析】本题考查角平分线的作图方法，平行四边形的性质，等腰三角形的判定等： （1）根据角平分线的作图方法作图即可； （2）由可得，结合可得，由等角对等边得出，即可求解． 解：（1）解：如图所示，为的角平分线； （2）解：如图，连接， 四边形是平行四边形， ， ， 由（1）中作图知， ， ， ， 故答案为：1． 【题型 2】平行四边形+双角平分线 【例题2】（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）如图，在平行四边形中，的角平分线交于边上一点E，且． （1）求证：； （2）求线段的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，勾股定理，三角形内角和定理等等： （1）由平行四边形的性质得到，进而由角平分线的定义得到，则由三角形内角和定理可得．即． （2）由平行四边形的性质得到，，证明，，得到，，则，据此利用勾股定理求解即可． 解：（1）证明：四边形是平行四边形， ∴， ， 、的角平分线交于边上一点， ∴，， ． ．即． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ，， ，， ， ． 【变式1】（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，的角平分线交边于点E，的角平分线交边于点F，若，，则线段的长为（    ）    A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质可知，又因为平分，所以，则，则，同理可证，那么就可表示为，继而可得出答案．本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题，难度不大，关键是解题技巧的掌握． 解：四边形是平行四边形， ∴ ， 又平分， ， ， ， 四边形是平行四边形， ∴ ∴， 又平分， ， ， ∴， ． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，已知四边形是平行四边形，的角平分线分别交于点F、E，，则的长是_______． 【答案】3 【分析】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得是关键． 由四边形是平行四边形，再结合分别是的平分线，可得，则可求得答案． 解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∵分别是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 【变式3】（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图1，已知平行四边形，是的角平分线，交于点． （1）求证：． （2）如图2所示，点是平行四边形的边所在直线上一点，若，且，，求的面积． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要运用平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形面积公式来解题． （1）通过平行四边形性质，平行线性质，角平分线定义和等角对等边证明； （2）利用平行四边形性质和等腰三角形性质得出角度关系，进而判断为直角三角形，通过勾股定理求出的长度，最后根据三角形面积公式求解的面积． 解：（1）证明：是的角平分线， ， 在平行四边形中，， ， ， ， （2）解：由（1）可知，且， ， ， 为等腰三角形， 设，， ，， 又， ， ， ， 即为直角三角形， ， 过点作， ，，， ， ． 【结论二】平行四边形+面积 条件 基本图形 结论 条件 基本图形 结论 【题型 3】平行四边形+等面积 【例题3】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图①，我们知道若直线．则三角形与三角形的面积相等；反之，若三角形与三角形的面积相等，则也可得到直线，利用此知识解答以下问题： 如图②，已知，，P，Q分别是线段上的点，，，E，F分别是线段上的点，，连接，若三角形的面积是4．    （1）求四边形的面积； （2）求证：． 【答案】（1）；（2）证明见分析 【分析】（1）如图所示，连接交于O，连接，根据和等高（分别以为底），得到，同理可得，再根据题意证明，得到，进而证明，则； （2）如图所示，连接，先求出，，即，则，同理可证，则可证明． 解：（1）解：如图所示，连接交于O，连接， ∵，和等高（分别以为底）， ∴， 同理可得； ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴；    （2）证明：如图所示，连接， 由（1）得，， ∴， ∴， 同理可证， ∴．    【点拨】本题主要考查了平行线的性质与判定，正确理解题意并作出辅助线是解题的关键． 【变式1】（24-25七年级下·湖南株洲·期末）如图，，的面积等于，，，则的面积是_____． 【答案】 【分析】此题考查了平行线间的距离和三角形面积求法，过作于点，过作于点，根据平行线间的距离相等得出，最后由等底等高的三角形面积相等即可，解题的关键是熟练掌握平行线间的距离和等底等高的三角形面积相等． 解：如图，过作于点，过作于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，，AC、BD交于点E，的面积等于10，的面积等于6，那么的面积等于________．    【答案】4 【分析】本题考查了平行线的性质．根据平行线之间的距离处处相等，可得，再根据计算求解即可． 解：∵， ， 故答案为：4． 【变式3】（24-25七年级下·河南信阳·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，且a、b满足，现同时将点A、B分别向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到点A、B的对应点D、C，连接、、．  （1）求a、b的值，并直接写出点A、点B、点C、点D的坐标； （2）如图2，点P是线段上的一个动点，连接、，当点P在线段上移动时，的面积是否变化？若不变，请求出的面积；若变化，请说明理由． （3）在x轴上是否存在一点M，使的面积与的面积相等？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，，，，；（2）的面积是不变化，；（3），； 【分析】（1）根据非负式子和为0它们分别等于0直接求解得到a、b的值，再根据平移的性质求解即可得到答案； （2）根据平移的性质得到，结合平行线间距离的性质即可得到答案； （3）分点M在B点左侧右侧两种情况结合面积相等列式求解即可得到答案； 解：（1）解：由题意可得， ∵，，， ∴，， 解得：，， ∴，， ∵点A、B分别向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到点A、B的对应点D、C， ∴，； （2）解：的面积是不变化，理由如下， ∵点A、B分别向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到点A、B的对应点D、C， ∴，， ∵，，，， ∴两条平行线间的距离为：， ∴的面积是不变化， ； （3）解：设， ∵，， ∴， ①当点M在B点左侧时， ， ∵的面积与的面积相等， ∴，解得：， 此时与A点重合，； ②当点M在B点右侧时， ， ∵的面积与的面积相等， ∴，解得：， 此时点为： ； 【点拨】本题考查二次根式的非负性，平行线间距离关系，平行的性质，解题的关键是根据非负式子和为0它们分别等于0求出a，b，第（3）问中注意分类讨论． 【题型 4】平行四边形+面积一半+乘积相等 【例题4】（2026八年级下·江苏·专题练习）已知：如图，点为内一点，、的面积分别记为、，的面积记为，试探究与之间的关系． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，过点作分别交、于点、，过点作于点，过点作于点，可得与同底同高，与同底同高，由此即可求解．掌握平行四边形的面积公式是解题的关键． 解：与之间的关系∶． 理由：如图，过点作分别交、于点、，过点作于点，过点作于点， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴四边形、四边形都是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， 即． 【变式1】（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，E是平行四边形内任一点，若阴影部分的面积为6，则平行四边形的面积是（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形的面积． 过E作，延长交于N，由平行四边形的性质推出，，得到，由三角形的面积公式得到的面积的面积，于是的面积． 解：过E作，延长交于N， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵的面积，的面积， ∴的面积的面积， ∴的面积． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在平行四边形中的长度是长度的倍，三角形的面积是平方厘米．则阴影部分的面积是____________平方厘米． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识．连接，由四边形是平行四边形，可得，推出，再根据的长度是长度的倍，可得，，进而求出，最后根据面积的和差即可求解． 解：连接， 四边形是平行四边形， ， ，即， 的长度是长度的倍， ，， ， ， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·江苏泰州·月考）（1）探究规律： 如图1，点P为平行四边形内一点，，的面积分别记为，，平行四边形的面积记为S，试探究与S之间的关系． （2）解决问题： 如图2 矩形中，，，点E、F、G、H分别在、、、上，且，，点P为矩形内一点，四边形、四边形的面积分别记为，，求． 【答案】探究规律：，理由见详解；解决问题：； 【分析】本题考查平行四边形性质，矩形的性质： （1）过作并延长交于F，根据平行四边形得到，，结合平行线间距离处处相等得到即可得到答案； （2）过作并延长交于T，过作并延长交于N， 结合矩形的性质及三角形面积加减关系求解即可得到答案； 解：探究规律：过作并延长交于F， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ， ∴； 解决问题：过作并延长交于T，过作并延长交于N，连接：，，，， ∵四边形是矩形，，，，， ∴，，，，， ， ∵，， ∴，， ∴ ． 【结论三】平行四边形的边与对角线数量关系 条件 基本图形 结论 备注 利用勾股定理证明即可 【题型 5】平行四边形边与对角线平方和关系 【例题5】（25-26八年级下·山东日照·月考）求证：平行四边形的对角线长的平方和等于四条边长的平方和．即． 【答案】证明见分析 【分析】作，作，再根据平行四边形的性质证明，可得，然后根据勾股定理得，，再将两式相加可得，接下来根据，可得，最后根据可得答案． 解：如图所示，过点A作于点E，过点D作，交的延长线于点F， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， 根据勾股定理，得，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 【变式1】（2024·河南驻马店·二模）在《圆锥曲线论》中有一个著名的“阿波罗尼奥斯定理”：平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和．如图所示，在中，，，，是 的中点，则的长为_____ ．    【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，延长到，使，连接，，证明四边形是平行四边形，由阿波罗尼奥斯定理得，即可求解，掌握平行四边形的判定和性质，熟练运用阿波罗尼奥斯定理是解题的关键． 解：如图所示，    延长到，使，连接，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 由阿波罗尼奥斯定理得，， ∴ ， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·山西吕梁·月考）给出定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．如图所示，将绕顶点B按顺时针方向旋转得到，连接，，，已知． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：，即四边形是勾股四边形． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）首先证明△ABC≌△DBE，得出BC＝BE，进一步得出△BCE为等边三角形； （2）利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解． 解：（1）由旋转的性质可得△ABC≌△DBE， ∴BC＝BE， ∵∠CBE＝60°， ∴△BCE是等边三角形； （2）∵△ABC≌△DBE， ∴BE＝BC，AC＝ED； ∵△BCE为等边三角形， ∴BC＝CE，∠BCE＝60°， ∵∠DCB＝30°， ∴∠DCE＝90°， ∴在Rt△DCE中，DC2+CE2＝DE2， ∴DC2+BC2＝AC2． 即四边形ABCD是勾股四边形． 【点拨】此题主要考查旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，是一道综合性很强的题目．解决本题的关键是证明△BCE是等边三角形． 【变式3】（24-25八年级下·湖北孝感·期中）（1）【问题发现】学习矩形后，小明发现：矩形两条对角线的平方和，等于它四边的平方和，即：如图1，在矩形中，有，请你证明小明的发现的正确性． （2）【一般探究】如图2，在中，小明的发现还成立吗？请说明理由． （3）【拓展应用】如图3，在中，为的中点，，，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）成立，理由见分析；（3） 【分析】本题主要考查矩形的性质，平行四边形的性质，勾股定理的应用，掌握矩形的性质，平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键． （1）根据矩形的性质，勾股定理即可证明结论； （2）分别过点作的垂线，垂足分别为，利用勾股定理得到，，即可证明结论； （3）延长到，使，连接，得到四边形是平行四边形，由（2）可知：，即可得出，即可得出． 解：（1）证明：四边形是矩形， ，， ，， ； （2）在中，小明的发现还成立，即：， 理由如下： 如图：分别过点作的垂线，垂足分别为， 四边形是平行四边形， ，，， ， 又， ，， 在直角三角形中，由勾股定理得： ， 同理，在直角三角形中，由勾股定理得： ， ； （3）如图，延长到，使，连接， ，， 四边形是平行四边形， 由（2）可知：， ， ． 【结论四】平行四边形边的对称性等分面积 条件 基本图形 结论 备注 利用平行四边形是中心对称图形即可得出结论 【题型 6】平行四边形边与等分面积关系 【例题6】（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线． （1）平行四边形有 条面积等分线； （2）如图所示，在长方形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线； （3）如图，四边形中，与不平行，，且，过点A画出四边形的面积等分线，并写出理由． 【答案】（1）无数；（2）见分析；（3）见分析 【分析】（1）读懂面积等分线的定义，不难得出：过两条对角线的交点的直线都可以把平行四边形的面积分成2个相等的部分，从而得平行四边形有无数条面积等分线． （2）由（1）知，矩形的一条对角线所在的直线就是矩形的一条面积等分线； （3）过点作交的延长线于点，连接．由和的公共边上的高也相等，可得，进而可得，面积等分线必与相交，取中点，则直线即为要求作的四边形的面积等分线． 解：（1）解：过两条对角线的交点的直线都可以把平行四边形的面积分成2个相等的部分，从而得平行四边形有无数条面积等分线． 故答案为无数. （2）这个图形的一条面积等分线如图： （3）四边形的面积等分线如图所示： 理由如下： 过点作交的延长线于点，连接． ∵，∴和的公共边上的高也相等， ∴． ∴． ∵， ∴面积等分线必与相交，取中点，则直线即为要求作的四边形的面积等分线． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）知识背景：任意一条过中心对称图形的对称中心的直线都将其分成面积相等的两个部分． （1）如图①，直线m经过平行四边形的两条对角线的交点O，则_______；（填“”“ ”或“”） （2）两个大小不等的正方形按图②摆放，O为小正方形的两条对角线的交点，求作一条过点O的直线，使整个图形分成面积相等的两部分； （3）十个大小相同的正方形按图③摆放，求作一条直线，使整个图形分成面积相等的两部分． 【答案】（1）=；（2）见分析；（3）见分析 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，正确找到对称中心是解题的关键； （1）根据知识背景及直线经过平行四边形的对称中心O即可得解； （2）作出大正方形的中心，作经过两正方形的中心的直线即可． （3）把整个图形看成上下两个长方形，分别作出两个长方形的对称中心，再作经过两中心的直线即可；或把整个图形看成左边一个正方形，右边一个长方形，分别作出它们的中心，再作经过两中心的直线即可． 解：（1）解：直线经过平行四边形的对称中心O， ， 故答案为：； （2）解：如图所示， （3）解：如图所示， 【变式2】（24-25八年级下·湖北荆州·期末）阅读下面材料，完成以下问题．如图1，如图2，将一张矩形纸片顺着中缝或对角线所在的直线翻折，其折痕将这个矩形一分为二，两部分的形状与大小完全一样．如图3，如图4，用两条直线将一个矩形分成面积相等的四部分. 我们知道，矩形是一种特殊的平行四边形，对于一般的平行四边形（如图4），是否和矩形一样，也存在这样的直线，将其面积二等分，或进一步将其面积四等分？它们之间又有什么规律呢？   问题1：平分平行四边形的面积，除以下两种方法以外（图5、图6），你还有其他什么方法，请在图7中画出来．   问题2：通过平分平行四边形的面积，你能平分下面图案（图8）的面积，请在图8中画出来 问题3：老师将两个正方形按照图9所示的方式摆放，请你试着将整个图形的面积平分． 问题4：如图10，平面直角坐标系中放着6个边长为1个单位的小正方形，经过原点的直线恰好将6个正方形分成面积相等的两部分，请你画出这条直线，并直接写出该直线的表达式． 【答案】问题1：见详解，问题2：见详解，问题3：见详解，问题4：见详解， 【分析】问题1：设平行四边形对角线交于，过作直线即可； 问题2：通过平分平行四边形的面积，可知过中心对称图形的对称中心的直线平分这个中心对称图形的面积，过圆心作直线即可平分图8的面积； 问题3：设两个正方形的对角线交点分别为，，作直线即可平分整个图形的面积； 问题4：如图作直线恰好将6个正方形分成面积相等的两部分；用待定系数法可得该直线的表达式为． 本题考查一次函数的应用，涉及平分图形的面积，解题的关键是掌握过中心对称图形的对称中心的直线平分这个中心对称图形的面积． 解：问题1：设平行四边形对角线交于，过作直线，如图： 则直线平分平行四边形的面积； 问题2：通过平分平行四边形的面积，可知过中心对称图形的对称中心的直线平分这个中心对称图形的面积； 过圆心作直线，如图： 则直线平分图8的面积； 问题3：设两个正方形的对角线交点分别为，，作直线，如图： 则直线平分整个图形的面积； 问题4：如图： ， 直线恰好将6个正方形分成面积相等的两部分； 设直线的表达式为， 将代入得：， 解得， 该直线的表达式为． 【变式3】（24-25八年级下·山东枣庄·期中）【问题探究】 （1）如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分？我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图①可总结规律：一个中心对称图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． （2）图②是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图②的阴影部分分成面积相等的两部分．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【总结规律】 （3）由两个中心对称图形组合成的图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． 【拓展应用】 （4）如图③是一块农田的平面图，要分给两户村民种植（分成面积相等的两部分），请你帮助他们用一条直线分开．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【答案】（1）经过对称中心；（2）见分析；（3）经过两个中心对称图形的对称中心；（4）见分析 【分析】本题考查作图中心对称设计图案，中心对称图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据中心对称图形的性质解答即可； （2）连接，交于点，作直线即可； （3）根据（2）总结规律即可； （4）把几何图形分割成两个矩形，分别作出两个矩形的对称中心，，作直线即可． 解：（1）一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分． 故答案为：经过对称中心； （2）如图，直线即为所求； （3）由两个中心对称图形组合成的图形，经过两个中心对称图形的对称中心的直线将它分成面积相等的两部分． 故答案为：经过两个中心对称图形的对称中心； （4）如图，直线即为所求． ． 【结论五】平行四边形四个顶点坐标关系 条件 基本图形 结论 备注 利用中点坐标公式即可得出结论 【题型 7】平行四边形顶点坐标 【例题7】（24-25八年级下·湖南永州·期末）【新知学习】已知线段的中点为，点、点的坐标分别为，则的中点的坐标为 【问题探究】如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是线段的中点．点为的中点，，连接． （1）点坐标为______，点坐标为______； （2）求直线的函数表达式； （3）点在轴上，点在直线上，是否存在以点为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；；（2）；（3）的坐标为或 【分析】（1）在中，分别令、即可求解； （2）依题意求得C、D两个点的坐标，由待定系数法即可求得直线的函数表达式； （3）由题意求得点E的坐标，设，；分三种情况：①若为平行四边形的对角线；②若为平行四边形的对角线；③若为平行四边形的对角线；利用平行四边形对角线的交点是两对角线的中点，列出方程组即可求解． 解：（1）解：在中，令， 解得，则； 令，则，故； 故答案为：；； （2）解：∵点为的中点，且， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 设直线的函数表达式为， 把C、D两点坐标分别代入得， 解得：， ∴直线的函数表达式为； （3）解：∵点是线段的中点，且，； ∴； ∵点在轴上，点在直线上， ∴设，； ①若为平行四边形的对角线， 则，解得：， ∴； ②若为平行四边形的对角线， 则，解得：， ∴； ③若为平行四边形的对角线， 则，解得：， ∴； 综上，的坐标为或． 【点拨】本题考查了求直线与坐标轴交点，待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，解二元一次方程组，中点坐标公式等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级下·河南鹤壁·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，平行四边形位于第一象限，顶点的坐标分别为，将平行四边形沿轴向上平移4个单位后，则平移后点的对应点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形变化—平移，根据平行四边形对角线中点坐标相同可求出点B的坐标，再根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 解：∵四边形是平行四边形，顶点的坐标分别为， ∴， ∴， ∴， ∴将平行四边形沿轴向上平移4个单位后，平移后点的对应点的坐标是，即， 故选：B． 【变式2】（2026·山西·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，在第一象限内，顶点在轴上，顶点的坐标为，对角线轴．若，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】根据平行四边形对角线互相平分的性质，结合点在轴上及轴，利用中点坐标公式确定点的横坐标．过点作轴的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求出点的纵坐标即可求解． 解：设点的坐标为 四边形是平行四边形 对角线与互相平分 点的坐标为，轴 点的横坐标为3 点在轴上 点的横坐标为0 设与的交点为，则点为的中点 点的横坐标为 又点为的中点 点的横坐标为 ， 解得 过点作轴于点 点的坐标为 在中，， 由勾股定理得： 点在第一象限 点的坐标为． 【变式3】（24-25八年级下·湖北恩施·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线是一次函数（）的图象，直线是一次函数（）的图象，点是两直线的交点，点、、、分别是两条直线与坐标轴的交点． （1）用、分别表示点、、的坐标，并求的度数． （2）若四边形的面积是，且，试求点的坐标，并求出直线与的函数表达式． （3）在（）的条件下，是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，，；（2），的表达式为，的表达式为；（3）存在，点的坐标为或或 【分析】（）把代入函数解析式求出的值可得点的坐标，联立函数解析式，求出方程组的解可求出点的坐标，再求出点的坐标，根据等腰三角形的性质可求出的度数； （）求出点坐标，进而由可得，再根据列出方程求出的值即可求解； （）过点作直线平行于轴，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点，过点分别作的平行线交于点，分三种情况，利用平行四边形的性质解答即可求解； 本题考查了一次函数几何的应用，求一次函数解析式，平行四边形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 解：（1）解：把代入，得， ∴， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， 由，解得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； （2）解：把代入，得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴，直线的表达式为，的表达式为； （3）解：存在．如图，过点作直线平行于轴，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点，过点分别作的平行线交于点， ①∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵, ∴， ∵， ∴， 即； ②∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 即； ③∵， ∴可设直线的解析式为， ∵， ∴， 把代入，得， ∴， ∴直线的解析式为， 同理可得，直线的解析式为， 由，解得， ∴； 综上，存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或． 二.同步检测 （一）单选题（6题） 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，的角平分线交于点，若，，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的性质是解本题的关键． 根据根据平行线的性质得出，，角平分线定义求出，推出，根据等腰三角形的判定得出，即可得出答案． 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴ 故选：C． 2．（2025·云南昆明·三模）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的角平分线交AD于点E，∠BCD的角平分线交AD于点F，若AB=7，BC=10，则EF的长为（    ） A．4 B．3 C．6 D．5 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质可知∠DFC=∠FCB，又因为CF平分∠BCD，所以∠DCF=∠FCB，则∠DFC=∠DCF，则DF=DC，同理可证AE=AB，那么EF就可表示为AE+FD-BC=2AB-BC，继而可得出答案． 解：∵平行四边形ABCD， ∴AD∥BC， ∴∠DFC=∠FCB， 又CF平分∠BCD， ∴∠DCF=∠FCB， ∴∠DFC=∠DCF， ∴DF=DC， 同理可证：AE=AB， ∵AB=7，AD=BC=10， ∴EF=AE+FD-AD=2AB-BC=4． 故选：A． 【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题，难度不大，关键是解题技巧的掌握． 3．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）如图，在中，，分别是与的角平分线，交点为点，，则（   ） A．5 B．10 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、勾股定理、三角形的内角和定理等知识，得到是解答的关键．先根据平行四边形的性质得到，，，，结合角平分线的定义和三角形的内角和定理得到，，，根据等角对等边求得，，则，然后利用勾股定理可得答案． 解：∵四边形是平行四边形，， ∴，，，， ∴，， ∵分别是与的角平分线， ∴，， ∴，， ， ∴，，又， ∴， 在中，， 故选：C． 4．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）如图，在梯形 中，三角形 与三角形 的面积相比，是（      ） A．三角形 的面积大 B．一样大 C．三角形的面积大 D．无法比较 【答案】B 【分析】解答此题的主要依据是：等底等高的三角形面积相等． 由图意可知：三角形和三角形等底等高，则二者的面积相等，它们分别去掉公共部分（三角形），则剩余的部分面积也相等，即三角形和三角形的面积相等． 解：在梯形中，三角形和三角形等底等高，则二者的面积相等，它们分别去掉公共部分（三角形），则剩余的部分面积也相等， 所以三角形和三角形的面积相比，一样大． 故选：B． 5．（24-25八年级下·广东湛江·期中）如图，某广场上有一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有，，那么下列说法中错误的是（　　） A．红花、绿花种植面积一定相等 B．紫花、橙花种植面积一定相等 C．绿花、蓝花种植面积一定相等 D．蓝花、黄花种植面积一定相等 【答案】C 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，平行四边形的一条对角线可以把平行四边形分成两个全等的三角形，两条对角线把平行四边形的面积一分为四，同时充分利用等量相加减原理解题，否则容易从直观上对产生质疑． 根据平行四边形的性质可知把一个平行四边形分割成四个小平行四边形，我们知道，一条对角线可以把一个平行四边形的面积一分为二，据此可从图中获得，，，根据等量相减原理知，依此就可找出题中说法错误的． 解：∵， 把一个平行四边形分割成四个小平行四边形， ∴一条对角线可以把一个平行四边形的面积一分为二且相等， 得，故A正确； ， 根据等量相减原理知，故B正确； 与显然不相等．故C错误； ，故D正确； 故答案为：C 6．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，中，顶点A落在y轴上，顶点B，C落在x轴上，其中点C的坐标是，边的中点E的坐标是，则点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质等知识，根据中点坐标公式可求出A、B的坐标，然后根据平行四边形的性质求解即可． 解：∵顶点A落在y轴上，顶点B，C落在x轴上， ∴设，， ∵边的中点E的坐标是， ∴，， 解得，， ∴，， ∵点C的坐标是， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，即轴， ∴点D的坐标为， 故选：B． （2） 填空题（6题） 7．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在平行四边形中，的角平分线交于点，的角平分线交于点，若，，则的长为（    ）    【答案】4 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题． 根据平行四边形的性质可知，又因为平分，所以，则，则，同理可证，，进而求出的长． 解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证，， ∴， 故答案为4． 8．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，在中，，的角平分线与的角平分线交于点，若点恰好在边上，则的长为______． 【答案】4 【分析】此题主要考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等角对等边．根据平行四边形的性质和角平分线的定义结合等角对等边可得，，可得． 解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵平分和， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：4． 9．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，在中，，，的角平分线交相交于点E，连接．若，则的面积为______．    【答案】32 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，先证明，得出，求出，根据勾股定理得出，求出． 解：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∵的角平分线交相交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：32． 10．（25-26八年级下·陕西延安·月考）如图，，的面积等于5，，，则的面积是___________． 【答案】20 【分析】过作于点，过作于点，根据平行线间的距离相等得出，最后由等底等高的三角形面积相等即可求解． 解：过作于点，过作于点， ∵， ∴， ∴， ∵的面积等于5，，， ∴， ∴． 11．（24-25九年级上·山东淄博·月考）如图，五边形中，，交于点O，四边形是平行四边形，若的面积是5，四边形的面积是6，则的面积是________． 【答案】2 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的形状，熟练掌握知识点是解题的关键． 连接，由平行线的性质可得与同底等高，继而得出两三角形面积相等，再根据平行四边形的性质及全等三角形的判定得出，继而得出的面积，进而根据求解即可． 解：连接， ∵， ∴与同底等高， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 12．（2025·江西新余·三模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴上，顶点的坐标为，的坐标为，分别是边，边上的点，且线段将平行四边形分割成面积相等的两部分．若点的坐标是，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质．连接和，交于点G．利用中点坐标公式求出G的坐标，根据平行四边形的性质结合题意得到线段必过G点，代入G点坐标运算求解即可．理解该直线必过点G是解题的关键． 解：如图，连接和，交于点G． ∵四边形是平行四边形， ∴G为中点， ∵点的坐标为，的坐标为， ∴，即． ∵线段平分平行四边形的面积， ∴必过G点， ∵点的坐标是， ∴点的坐标为即， 故答案为：． （三）解答题（6题） 13．（2025九年级下·四川巴中·学业考试）已知，如图，点O是平行四边形的对称中心，过点O的任意直线交于点E，交于点F． （1）求证：． （2）求证：四边形的面积与四边形的面积相等． 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键； （1）连接，由题意易得，则有，然后可证，进而问题可求证； （2）连接，同理（1）可得：，然后根据全等三角形的性质可进行求证． 解：（1）证明：连接，如图所示： ∵四边形是平行四边形，且点O是平行四边形的对称中心， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接，如图所示： 同理（1）可得：， ∴， ∵， ∴． 14．（2026九年级下·重庆·专题练习）小渝学习角平分线的性质后，进行了拓展性探究．他发现在平行四边形中，过其中一内角的顶点作相邻内角角平分线的垂线，则这条垂线也是这个内角的角平分线，请根据他的思路完成以下作图与填空： （1）用尺规完成以下作图：作的平分线交于点，过点作的垂线交于点（只保留作图痕迹） （2）已知：在平行四边形中，平分，，求证：平分． 证明：四边形是平行四边形 ① 平分 ② ③ ④ 平分 【答案】（1）图见分析；（2）见分析 【分析】（1）根据尺规作角平分线和垂线的方法作图即可； （2）根据平行四边形的性质，直角三角形的性质，角的和差关系进行作答即可． 解：（1）解：由题意，作图如下： （2）证明：四边形是平行四边形， ， ； 平分， ； ， ， ， ，， ， ， 平分． 15．（24-25八年级下·河南濮阳·期末）【问题提出】 数学课堂上，王老师给同学们提出这样的问题：“能不能画一条直线把一个平行四边形的面积平分”？ 【问题解决】 （1）小明说可以做到．如图1，中，，相交于点，过点画直线，则直线平分的面积．请证明小明的说法是正确的； （2）王老师提出一个新问题，如图2，，请你用无刻度的直尺画一条直线，使直线平分六边形的面积（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）见分析；（2）见分析； 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得到，，，，分别证明，，即可得出结论； （2）分别连接两个矩形对角线交点所在的直线即为所求． 解：（1）证明：四边形为平行四边形 ，，，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 直线平分的面积； （2）解：连接两个矩形对角线交点所在的直线即为所求，如图： 16．（2025·山西朔州·一模）阅读与思考请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务． 数学兴趣课上老师提出这样一个问题：我们知道三角形三个内角的平分线交于一点，那么四边形四个内角的平分线能围成什么样的图形？同学们以小组为单位展开讨论． 善思小组经过交流后得出结论：若四边形三个内角的平分线交于一点，则第四个内角的平分线一定经过此点．善思小组给出了如下证明过程： 如图1，四边形中，，，的角平分线交于点O，过点O分别作于点E，于点F，于点G，于点H． 由角平分线的性质可知：，， ∴． ∴点O在的平分线上．（依据） 勤奋小组经过探究得出结论：四边形四个内角的平分线如果不交于一点，那么这四条角平分线围成一个对角互补的四边形．勤奋小组用下面过程说明． 如图2，四边形的四个内角的平分线分别交于点M，Q，P，N． ，别平分和， ， …… 任务： （1）材料中的“依据”指的内容是______； （2）在我们学习的特殊平行四边形中，四个内角的平分线交于一点的是______；（写出一类即可） （3）请将勤奋小组的过程补充完整； （4）已知四边形是平行四边形，，，和的平分线相交于点P，请分别在图3和图4中用不同的方法作出四个内角平分线围成的四边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 【答案】（1）在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；（2）菱形或正方形；（3）见分析；（4）见分析 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、三角形内角和定理、平行四边形的性质、作图—基本作图，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据角平分线的判定定理即可得解； （2）根据角平分线的性质结合特殊四边形的性质即可得解； （3）由角平分线的定义结合三角形内角和定理可得，同理可得，计算即可得解； （4）以点为圆心，线段为半径画弧交于，连接交于， 以点为圆心，线段为半径画弧交于，连接交于，交于，四边形即为所求；以点为圆心，线段为半径画弧交于，分别以、为圆心，于为半径画弧交于点，作射线，交于，以为圆心，线段为半径画弧交于，分别以、为圆心，于为半径画弧交于点，作射线，交于，交于，则四边形即为所求． 解：（1）解：由题意可得：材料中的“依据”指的内容是：在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上； （2）解：由题意可得：在我们学习的特殊平行四边形中，四个内角的平分线交于一点的是菱形或正方形； （3）解：如图2，四边形的四个内角的平分线分别交于点M，Q，P，N． ，别平分和， ， ∴， 同理可得：， ∴ ； （4）解：如图，以点为圆心，线段为半径画弧交于，连接交于， 以点为圆心，线段为半径画弧交于，连接交于，交于，四边形即为所求， 由作图可得：，， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴ ∴，， ∴，， ∴平分，平分， ∵和的平分线相交于点P， ∴四边形即为所求； 如图4，以点为圆心，线段为半径画弧交于，分别以、为圆心，于为半径画弧交于点，作射线，交于，以为圆心，线段为半径画弧交于，分别以、为圆心，于为半径画弧交于点，作射线，交于，交于，则四边形即为所求； ， 由作图可得：平分，平分， ∵和的平分线相交于点P， ∴四边形即为所求． 17．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，四边形是平行四边形，其中点A的坐标是，点O的坐标是，点C的坐标是． （1）请求出点B的坐标； （2）已知点D是直线上一个动点，若三角形是等腰三角形，请求出所有符合要求的点D的坐标； （3）已知直线以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过多少秒该直线恰好将平行四边形分成面积相等的两部分？ 【答案】（1）；（2）或或或或 ；（3）12秒 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，再结合C点的坐标即可求出点B的坐标； （2）设，分，，这三种情况求出点D的坐标； （3）先求出平行四边形对角线交点的坐标，设平移后解析式为，再把交点坐标代入求解即可． 解：（1）解：点坐标是，， ，   四边形是平行四边形，   ，，   点坐标是，   ； （2）解：点是直线上一个动点，   设，   ①当时，三角形是等腰三角形，   或，   或，   ②当时，三角形是等腰三角形，   则点在的垂直平分线上，   ，   ③时，， 或， 或， 综上所述，点D的坐标为或或或或 ； （3）解：∵，， ∴平行四边形对角线交点的坐标为，即， ∵该直线恰好将平行四边形分成面积相等的两部分， ∴平移后的直线经过平行四边形对角线交点， 设平移t秒，直线向下平移t个单位，平移后解析式为， 将代入得：，解得． 答：经过12秒该直线恰好将平行四边形分成面积相等的两部分． 【点拨】若直线平分平行四边形的面积，则该直线一定过对角线的交点． 18．（2026八年级下·全国·专题练习）【问题发展】某数学兴趣小组查阅资料发现平行四边形的两条对角线的平方和等于其四边的平方和，该性质被称为阿波罗尼奥斯定理． 【任务一】如图①，已知，求证：．下面是部分证明过程： 证明：如图①，分别过点作于点，交的延长线于点，易得，， 则，， 即 ． …… 请将证明过程补充完整； 【任务二】如图②，在中，是边上的中线，请你利用【任务一】的结论证明． 【答案】【任务一】：见分析；【任务二】：见分析 【分析】任务一：作适当辅助线，利用勾股定理补充证明即可； 任务二：延长至点，使得，连接，，构造平行四边形，由（1）的结论代入求值即可． 解：任务一： 解：补充证明过程如下： 原式 ， ． 任务二： 证明：如答图，延长至点，使得，连接，． 是边上的中线， ． ， 四边形是平行四边形． 由（1），得， ， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $