精品解析：山东临沂市2026届高三普通高等学校招生全国统一考试(模拟) 数学试卷

2026年普通高等学校招生全国统一考试（模拟） 数学 2026.5 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 抛三枚质地均匀的硬币，记正面朝上的数量为随机变量X，定义随机变量，则（ ） A. 3 B. C. D. 5. 已知四边形ABCD为平行四边形，，F为AC与DE的交点，则（ ） A. B. C. D. 6. 若为函数的一个零点，且的最小正周期，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数x，y，z满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点为，，离心率为，点在椭圆E上，P是椭圆E上的动点，以为直径作圆N，直线ON与圆N交于点Q（点Q不在椭圆内部），则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一组从小到大依次排列的样本数据7，9，a，10，14的平均数等于众数，则（ ） A. B. 中位数为10 C. 方差为5 D. 第75百分位数为10 10. 已知曲线与直线只有一个公共点，则m，n可能的取值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11. 等面四面体亦称等腰四面体，是一种特殊的四面体，它是每条棱与其对棱总相等的四面体，它的四个面是全等的锐角三角形．如图，等面四面体ABCD的表面展开图是一个锐角三角形及其三条中位线（，，重合到点A），若，三角形的面积为8，则（ ） A. 其对棱AB，CD相互垂直 B. 当时，其体积为 C. 当时，其外接球的直径长为 D. 当时，其“外接圆锥”（B，C，D在底面圆周上，A在侧面上）的高为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若函数为奇函数，则________． 13. 直线与圆交于，两点，且的面积为2，则________． 14. 今有一批数量庞大的瓶装饮用水，假设这批水的某项矿物质含量偏差值（单位：毫克/升），，，现从中随机抽取n瓶，这n瓶水中恰有K瓶的矿物质含量偏差值位于区间．当时，试以使得最大的n值作为n的估计值，则n为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求角C； （2）已知，为锐角三角形，求的取值范围． 16. 某科技公司研发了一款智能服务机器人，用于商场的导购、配送与巡检服务．为优化机器人的调度效率与服务质量，公司开展了相关测试与优化工作． （1）下表为机器人连续5天的工作时长（小时）与服务订单数y（次数）的数据关系． 时长（x） 1 2 3 4 5 服务次数（y） 12 20 27 33 38 若服务次数y与工作时长x具有线性相关关系，请预测第6天机器人工作时长为7小时时，服务订单数大约有多少？ （2）机器人在服务过程中可能出现故障，两个机器人为一组，每次一个机器人执行服务任务，若服务中无故障，则继续执行下一次服务，若出现故障，则换另一位机器人执行．甲、乙两机器人一组，第一次执行服务时，甲、乙上场的概率均为，已知甲每次服务无故障的概率为，乙每次服务无故障的概率为． （ⅰ）求第2次执行服务的是机器人甲的概率； （ⅱ）求第n次执行服务的是机器人乙的概率． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，参考数据：，． 17. 已知四边形ABCD为等腰梯形（如图1），，，E为AB的中点，将沿直线DE翻折至位置（如图2），且． （1）证明：平面平面BCDE； （2）求点B到平面PDC的距离； （3）设M为棱PC上的动点，当EM与平面PDC所成角最大时，求平面BCDE与平面EBM夹角的正切值． 18. 已知函数，． （1）关于x的不等式有解，求a的取值范围； （2），，有成立，证明：； （3），令，证明：． 19. 将抛物线列记为，其焦点列为，过焦点的直线与抛物线交于，两点，点在x轴上方，点在x轴下方，点O为坐标原点，连接，并延长分别与交于，两点． （1）已知直线的斜率，求直线的斜率； （2）已知直线的倾斜角为，且，记的面积为． （ⅰ）求数列的前n项和； （ⅱ）求所有满足方程的正整数对． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高等学校招生全国统一考试（模拟） 数学 2026.5 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】依题意，， 所以. 2. 已知集合，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】对于集合，根据正弦函数的性质，时，，所以． 对于集合，根据余弦函数的性质，时，，所以． 选项A：集合，集合，集合中的元素是集合中为偶数时的元素，即． 这意味着存在，但，例如当时，，但，所以选项A错误． 选项B：因为，所以对于任意，都有，不存在，使得，选项B错误． 选项C：已知，任取，设，，，则． 当为奇数时，，例如，，，选项C错误． 选项D：已知，任取，设，，，则． 因为，所以，那么满足，即，选项D正确． 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设， 令，得； 令，得； 故． 4. 抛三枚质地均匀的硬币，记正面朝上的数量为随机变量X，定义随机变量，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先明确原随机变量X的分布，再根据Y与X的分段关系计算期望． 【详解】首先计算随机变量的分布：抛三枚质地均匀的硬币，服从二项分布， 可能取值为，概率分别为： ，， ，． 根据的定义（时，时），计算期望： ． 代入得． 5. 已知四边形ABCD为平行四边形，，F为AC与DE的交点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平面向量的线性运算，解题的关键在于利用向量共线的性质，结合平行四边形的性质，将用和表示出来，先根据已知条件得到与的关系，再利用向量共线设出与的关系，进而得到与、的关系，最后根据求出． 【详解】已知，则． 因为为与的交点，所以，，三点共线，，，三点共线． 设（为实数），因为是平行四边形，所以，所以． 因为，，三点共线，所以存在实数，使得． 又因为， ，所以． ，解得． 所以． 根据向量减法的三角形法则，，将代入可得： ． 6. 若为函数的一个零点，且的最小正周期，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据余弦函数的零点性质求出的表达式，再结合周期公式和周期的取值范围确定的值． 【详解】已知为函数的一个零点， 根据余弦函数的性质，若是的零点，则，即，． 所以，则． 所以． 对于余弦函数，其最小正周期， 已知的最小正周期，则． 解不等式，得，即； 解不等式，得，因为，所以． 综上，． 因为，，且，当时，， 满足．因此的值为． 7. 已知实数x，y，z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意，．由 ，得 ， 函数 在 上单调递增， 单调递减， 故方程有唯一解，且 ． 由 ，代入 得，故 ． 令 ，该函数在 上单调递增， 因为 ，，所以 ． 综上，． 8. 已知椭圆的左、右焦点为，，离心率为，点在椭圆E上，P是椭圆E上的动点，以为直径作圆N，直线ON与圆N交于点Q（点Q不在椭圆内部），则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】通过离心率和已知点求出椭圆方程，再利用中位线定理与椭圆的定义确定点的轨迹，最后通过向量点积公式结合轨迹方程快速计算结果． 【详解】由题意，椭圆离心率，故， 又，得． 将点代入椭圆方程， 椭圆方程为，焦点，． 由中位线定理，，又， ，故点在圆上． 设，则． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一组从小到大依次排列的样本数据7，9，a，10，14的平均数等于众数，则（ ） A. B. 中位数为10 C. 方差为5 D. 第75百分位数为10 【答案】BD 【解析】 【分析】根据条件求出，数据为7,9, 10,10,14再依次求解即可. 【详解】对于A项，由题知，平均数， 由于平均数等于众数， 当，数据为7,9,9,10,14，众数为9，平均数，不满足条件； 当，数据为7,9, 10,10,14，众数为10，平均数，满足条件； 因此，数据为7,9, 10,10,14，故A错误； 对于B项，数据共5个，中位数为第3个数，即10，故B正确； 对于C项，方差 ，故C错误； 对于D项，由于，所以第75百分位数为第4项10，故D正确. 10. 已知曲线与直线只有一个公共点，则m，n可能的取值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据各选项的条件联立曲线和直线方程，结合判别式判断根的个数，即可确定. 【详解】A选项，，时，联立与得 ，解得，故与只有一个公共点，满足要求； B选项，，时，联立与得 ，解得，故与只有一个公共点，满足要求； C选项，，时，联立与得 ，，故有两个不相等的实根， 即与有两个公共点，C错误； D选项，，时，联立与得 ，，故有两个相等的实根， 即与只有一个公共点，D正确. 11. 等面四面体亦称等腰四面体，是一种特殊的四面体，它是每条棱与其对棱总相等的四面体，它的四个面是全等的锐角三角形．如图，等面四面体ABCD的表面展开图是一个锐角三角形及其三条中位线（，，重合到点A），若，三角形的面积为8，则（ ） A. 其对棱AB，CD相互垂直 B. 当时，其体积为 C. 当时，其外接球的直径长为 D. 当时，其“外接圆锥”（B，C，D在底面圆周上，A在侧面上）的高为 【答案】BCD 【解析】 【分析】将该等面四面体嵌入长方体中，结合几何关系依次分析选项即可. 【详解】根据题意可将该等面四面体嵌入长方体中，如图： 因为长方体的对角线不一定垂直，所以对棱AB，CD不一定相互垂直,故A错误； 对于B，若，三角形的面积为8，则三角形的面积为， 所以三角形的高为，由于，则， 设对应长方体的长宽高分别为,则，解得：， 所以等面四面体的体积，故B正确； 对于C，当时，，所以， 因为为锐角，所以， 所以， 设对应长方体的长宽高分别为,则，解得：， 由于等面四面体的外接球，即为对应长方体的外接球，其半径， 所以外接球的直径长为，故C正确； 对于D，当时由B选项可得：，，等面四面体的体积为， 设点到平面的高为， 所以，所以， 由于， 所以外接圆的半径， 设圆锥的高为，所以，解得，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若函数为奇函数，则________． 【答案】 【解析】 【详解】， 由奇函数性质得二次项系数为0，即，解得， 验证：，为奇函数，故． 13. 直线与圆交于，两点，且的面积为2，则________． 【答案】3或 【解析】 【详解】圆化为标准形式，圆心，半径； 面积（为圆心到直线的距离）， 由，得，即，解得； 圆心到直线的距离，即，解得或． 14. 今有一批数量庞大的瓶装饮用水，假设这批水的某项矿物质含量偏差值（单位：毫克/升），，，现从中随机抽取n瓶，这n瓶水中恰有K瓶的矿物质含量偏差值位于区间．当时，试以使得最大的n值作为n的估计值，则n为________． 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查正态分布的性质以及概率的计算，解题的关键在于根据正态分布的性质求出矿物质含量偏差值位于区间的概率，再结合概率的计算求出的值． 【详解】计算矿物质含量偏差值位于区间的概率： 已知，则，， 因为，， 所以． 根据正态分布的性质， ，可得： ． 计算：从瓶水中随机抽取，每瓶水的矿物质含量偏差值位于区间的概率为0.84， 不位于该区间的概率为， 这是一个二项分布问题，，根据二项分布的概率公式， 可得， 要使最大，则需满足， 由可得：， 即， 化简可得：，即， ，，解得． 由可得：， 即，化简可得：， 即，，，解得． 因为为正整数，所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求角C； （2）已知，为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过正弦定理实现边角互化，结合三角形内角和公式与三角恒等变换，将已知条件转化为关于的方程，求解出角． （2）利用正弦定理将边的线性表达式转化为关于角的三角函数，再通过辅助角公式化简，结合锐角三角形中角的取值范围，最终求出目标式的取值范围． 【小问1详解】 ∵，∴， ∴，∴， ∴，∴，解得或（舍去）， ∴，∴． 【小问2详解】 ∵，，∴， ∴，，∴， ∵为锐角三角形，∴， ∴， 又由，得，∴，∴． 16. 某科技公司研发了一款智能服务机器人，用于商场的导购、配送与巡检服务．为优化机器人的调度效率与服务质量，公司开展了相关测试与优化工作． （1）下表为机器人连续5天的工作时长（小时）与服务订单数y（次数）的数据关系． 时长（x） 1 2 3 4 5 服务次数（y） 12 20 27 33 38 若服务次数y与工作时长x具有线性相关关系，请预测第6天机器人工作时长为7小时时，服务订单数大约有多少？ （2）机器人在服务过程中可能出现故障，两个机器人为一组，每次一个机器人执行服务任务，若服务中无故障，则继续执行下一次服务，若出现故障，则换另一位机器人执行．甲、乙两机器人一组，第一次执行服务时，甲、乙上场的概率均为，已知甲每次服务无故障的概率为，乙每次服务无故障的概率为． （ⅰ）求第2次执行服务的是机器人甲的概率； （ⅱ）求第n次执行服务的是机器人乙的概率． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，参考数据：，． 【答案】（1）52次． （2）（ⅰ）；（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）先计算样本均值，再通过最小二乘法求出线性回归方程，最后代入预测值，完整呈现了线性回归分析的标准流程，体现了统计中利用样本数据进行预测的基本思想； （2）（i）运用全概率公式，结合首次服务的初始概率与故障切换的条件概率，直接计算出第2次服务的概率，是全概率公式在分步概率问题中的典型应用； （ii）通过定义递推关系，将复杂的概率问题转化为等比数列模型，构造辅助数列求解通项，展现了用递推与数列思想解决动态概率问题的技巧． 【小问1详解】 ，， ，， ， ， 所以回归直线方程为， 当时，， 即预测第6天工作7小时，可能服务52次． 【小问2详解】 （ⅰ）设“第n次服务的是甲”为事件，“第n次服务的是乙”为事件， 由题知，， 由全概率公式知，， ∴第2次服务的是机器人甲的概率为． （ⅱ）记，由题知，当时， ，，，， 由全概率公式知， ， ∴， ∴，∵， 故数列是首项为，公比为的等比数列， ∴， ， 即第n次服务是机器人乙的概率为． 17. 已知四边形ABCD为等腰梯形（如图1），，，E为AB的中点，将沿直线DE翻折至位置（如图2），且． （1）证明：平面平面BCDE； （2）求点B到平面PDC的距离； （3）设M为棱PC上的动点，当EM与平面PDC所成角最大时，求平面BCDE与平面EBM夹角的正切值． 【答案】（1）证明：由，，，可知四边形BEDC为菱形， 因此，为等边三角形，，翻折后，， 取DE中点O，连接PO， 因为等边三角形，故，且， 在中，， ∴， 故． 因，平面BCDE， 故平面BCDE，又平面PDE， 故平面平面BCDE． （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）取DE中点O，连接PO，可得，利用勾股定理可得，结合线面垂直的判定定理可得平面BCDE，，从而证得平面平面BCDE （2）以O为原点，分别以OE，OC，OP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面PDC的法向量，利用空间中点到面的距离公式求解即可； （3）设，直线EM与平面PDC所成角为，利用空间向量法可得，结合二次函数的性质可得当时，直线EM与平面PDC所成角最大，从而得到M的坐标，求出平面EBM的法向量，利用向量的夹角公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以O为原点，分别以OE，OC，OP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，，， 设平面PDC的法向量为，则 ， 令，得，，故， ∴点B到平面PDC的距离为． 【小问3详解】 设，则M的坐标为， 所以， 设直线EM与平面PDC所成角为， 则， 当时，直线EM与平面PDC所成角最大， 此时M的坐标为， ，， 设平面EBM的法向量为，则 ， 令，得，，故， 平面BCDE的法向量可取， ∴平面EBM与平面BCDE夹角的余弦值为 ． ∴， ∴． 即平面BCDE与平面EBM夹角的正切值为． 18. 已知函数，． （1）关于x的不等式有解，求a的取值范围； （2），，有成立，证明：； （3），令，证明：． 【答案】（1） （2）证明：令，，，． 令，． 在上单调递增．∵，， 根据零点存在定理，在上存在唯一，使得， 即，，两边取对数有， 在上小于0，在上大于0， 在上单调递减，上单调递增， ∴ ，即． （3）证明：原命题等价于， 令，将s看作定值，t看作变量． ． ， 即， 第一部分：， 因为，所以，且，函数单调递增， 故，因此：， 即； 第二部分：， 利用经典不等式，得，因此：， 又因为，交叉相乘易证，即， 故：， 两部分均为正，故，即在上单调递增，， 恒成立，故原命题成立，证毕． 【解析】 【分析】（1）将不等式有解问题转化为函数最值问题，通过构造并利用导数分析单调性，求出最小值后直接得到参数的取值范围． （2）通过引入中间变量，将转化为关于的函数，再利用导数研究其单调性与最小值，结合隐零点技巧完成证明． （3）采用固定变量、构造辅助函数的方法，通过分析其导数的符号判断单调性，再结合端点值完成不等式证明． 【小问1详解】 有解，即需，设， ，在上小于0，在上大于0， ∴在上单调递减，上单调递增， ∴，故． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 将抛物线列记为，其焦点列为，过焦点的直线与抛物线交于，两点，点在x轴上方，点在x轴下方，点O为坐标原点，连接，并延长分别与交于，两点． （1）已知直线的斜率，求直线的斜率； （2）已知直线的倾斜角为，且，记的面积为． （ⅰ）求数列的前n项和； （ⅱ）求所有满足方程的正整数对． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）通过直线与抛物线联立求出交点坐标，再利用直线与抛物线的交点规律推导出后续点的坐标，最终计算出直线斜率，展现了解析几何中联立方程、坐标递推的常规解题思路． （2）（i）结合抛物线定义求出焦半径与点到直线的距离，得到三角形面积，再通过错位相减法求解数列的前项和，综合考查了解析几何与数列求和的核心知识． （ii)将方程转化为指数形式，利用“2的幂次的差为14”的约束条件，通过因数分解与奇偶性分析，最终求出满足条件的正整数对，体现了数论思想在数列方程中的巧妙应用． 【小问1详解】 抛物线的焦点， 直线过，斜率为，则方程为， 由，得，解得，， 故，， 直线的方程为，直线的方程为， 分别与联立可得，， 所以，直线的斜率． 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知直线与的斜率相等， ∵直线的倾斜角为，∴直线的倾斜角为，且， 由抛物线的定义知，， ∴， 又点到直线的距离， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴． （ⅱ）方程，可化为， 即， 左边是2的幂，所以右边也要是2的幂， 设，，其中，且， 所以，， 即， 要使等式成立，只能，， ∴，， 由，，得，， 所以，满足方程的正整数对只有一个为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $