精品解析：山东省临沂市2025届高三下学期5月第二次模拟考试数学试卷

2025年普通高等学校招生全国统一考试（模拟） 数 学 2025.5 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知实数满足，则（ ） A. 11 B. 12 C. 16 D. 17 4. 已知为正项等差数列，若，则的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 5. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．若的图象关于轴对称，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知随机变量，为使在内的概率不小于（若，则)，则的最小值为（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 7. 已知，若向量与向量互相垂直，则（ ） A. B. C. 5 D. 8. 已知分别为双曲线的左、右焦点，为左支上一点，满足，与的右支交于点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 设函数，则（ ） A. 有3个零点 B. 过原点作曲线的切线，有且仅有一条 C. 与交点的横坐标之和为0 D. 在区间上的取值范围是 11. 三棱锥中，，则（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 三棱锥外接球的表面积为 C. 过中点的平面截三棱锥外接球所得最小截面的半径为1 D. 当时，的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若样本数据的均值为10，则样本数据的均值为__________． 13. 已知分别为椭圆的左、右焦点，的离心率为，过与长轴垂直的直线交于两点，交轴于点，若，则的周长为__________． 14. 已知正整数，欧拉函数表示、、、中与互质的整数的个数，例如，，，且、互质时，．若从、、、中随机取一个数，则满足的概率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，为等边三角形，． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 16. 体育是培养学生高尚人格的重要途径之一．足球作为一项团队运动项目，深受学生喜爱，为了解学生喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了100名学生作为样本，统计得到如下的列联表： 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男生 40 女生 25 合计 100 已知从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为． （1）求； （2）根据小概率值的独立性检验，判断学生喜爱足球运动是否与性别有关？ （3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名，记其中男生的人数为，求使事件“”概率最大的的值． 附：， 17. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）设函数，已知有两个极值点． ①求的取值范围； ②求证：． 18. 对集合，定义集合，记为有限集合的元素个数． （1）若，求； （2）给定集合的子集，求集合的元素个数； （3）设为有限集合，证明：． 19. 已知抛物线的焦点为，为圆上的动点，的最大值为． （1）求的方程； （2）已知点，按照如下方式构造点，设直线为在点处的切线，过点作的垂线交于另一点，记的坐标为． ①证明：当时，； ②设的面积为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年普通高等学校招生全国统一考试（模拟） 数 学 2025.5 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式求集合，再应用集合的交运算求结果. 【详解】由题设，，则. 故选：A． 2. 若复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的四则运算以及复数的虚部的概念即可求解. 【详解】由题意. 故选：A. 3. 已知实数满足，则（ ） A. 11 B. 12 C. 16 D. 17 【答案】D 【解析】 【分析】由指对互化公式即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：D. 4. 已知为正项等差数列，若，则的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】由题意求得，，进一步将所求转换为关于的二次式子即可求解. 【详解】，解得， 由于为正项等差数列，则，解得， ，等号成立当且仅当， 所以的最大值为8. 故选：C. 5. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．若的图象关于轴对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意写出的表达式，进一步列出关于的式子即可求解. 【详解】由题意是偶函数， 从而，解得. 故选：B. 6. 已知随机变量，为使在内的概率不小于（若，则)，则的最小值为（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，从而可列出关于的不等式即可求解. 【详解】若随机变量，则，， 为使在内的概率不小于，则，解得， 即的最小值为32. 故选：C. 7. 已知，若向量与向量互相垂直，则（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得、、、均不为，将两式相除得到，再由及两角和的正切公式计算可得. 【详解】因为，，显然、、、均不为， 所以，即，所以， 所以， 因为向量与向量互相垂直， 所以 则，又，解得. 故选：C 8. 已知分别为双曲线的左、右焦点，为左支上一点，满足，与的右支交于点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据题意找到等量关系，列齐次方程求解即可. 【详解】 因为，，所以的三个内角都是， 从而，结合双曲线定义得，故， 又，故，结合， 故由余弦定理得，化简得，解得. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，可以用作差法判断，对于BC，举反例判断即可，对于D，分三种情况讨论即可判断. 【详解】对于A，，因为， 所以，即，所以，故A正确； 对于B，取，此时，故B错误； 对于C，取，则，故C错误， 对于D，若，则显然成立， 若，则成立， 若，则成立， 综上所述，只要，就一定有，故D正确. 故选：AD. 10. 设函数，则（ ） A. 有3个零点 B. 过原点作曲线的切线，有且仅有一条 C. 与交点的横坐标之和为0 D. 在区间上的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】利用导数研究函数的性质，如切线，单调性，从而确定零点和值域，通过直接解方程求根判断图象交点横坐标之和即可. 【详解】， 0 0 单调增 单调减 单调增 ， 所以有2个零点，A不正确； 对于选项B：设切点为，则切线方程为， 代入原点，得， 故切线有且仅有一条，正确； 对于选项C：或， 若，根据对称性知，根之和为0， 若，方程只有一个根为0，故正确； 对于选项D：，又， 故在区间上的取值范围是，错误. 故选：BC. 11. 三棱锥中，，则（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 三棱锥外接球的表面积为 C. 过中点的平面截三棱锥外接球所得最小截面的半径为1 D. 当时，的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题设可将三棱锥补全为棱长为2的正方体，应用棱锥的体积公式判断A；由三棱锥的外接球即为正方体的外接球，且球心为的中点，求出半径，进而得到球体表面积判断B；由球体的结构特征确定截面半径最小情况下有截面与垂直即可判断C；构建空间直角坐标系，设并应用空间两点距离公式求最小值判断D. 【详解】由题设给定的三棱锥，， 所以，即，又平面， 所以平面，故可将其补全为一个正方体， 其中为三条棱，为体对角线，如下图示， 由，则，A对； 由图，易知三棱锥的外接球，即为正方体的外接球，且球心为的中点， 所以外接球的半径，故其表面积为，B错； 要使过中点的平面截三棱锥外接球所得截面半径最小， 连接，只需截面与垂直即可，此时最小半径为，而， 所以，C对； 构建如图示的空间直角坐标系，又，设， 则， 所以，当时，，D对. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若样本数据的均值为10，则样本数据的均值为__________． 【答案】19 【解析】 【分析】由均值的性质即可求解. 【详解】若样本数据的均值为10，则样本数据的均值为. 故答案为：19. 13. 已知分别为椭圆的左、右焦点，的离心率为，过与长轴垂直的直线交于两点，交轴于点，若，则的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先由离心率为得到，，之间的关系，再建立平面直角坐标系求出各点坐标，最后由求出，的周长为. 【详解】因为离心率，且在椭圆中可得 ，， 建立如何所示的平面直角坐标系， ，， 因为垂直于轴，垂足为，故， 代入椭圆方程可得，， 又为与轴交点，可得， 因为，由两点之间的距离公式可得， 又，， 解得，， 则则的周长为 ， 故答案为：. 14. 已知正整数，欧拉函数表示、、、中与互质的整数的个数，例如，，，且、互质时，．若从、、、中随机取一个数，则满足的概率为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】验证时，能否成立，结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时. 所以，从、、、中随机取一个数，则满足的数的取值集合为， 故所求概率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，为等边三角形，． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）只需证明平面，只需证明，即可，而由平行线、矩形的性质即可得证； （2）取中点连接，以点为原点建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，根据向量夹角的余弦公式即可求解. 【小问1详解】 因为底面为矩形，所以， 又因为，所以， 又因为平面，， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 取中点连接，因为为等边三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 如图所示，以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以， 从而， 设平面的法向量分别为， 从而，， 令，解得， 故可取， 设平面与平面夹角为，则， 故所求为. 16. 体育是培养学生高尚人格的重要途径之一．足球作为一项团队运动项目，深受学生喜爱，为了解学生喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了100名学生作为样本，统计得到如下的列联表： 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男生 40 女生 25 合计 100 已知从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为． （1）求； （2）根据小概率值的独立性检验，判断学生喜爱足球运动是否与性别有关？ （3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名，记其中男生的人数为，求使事件“”概率最大的的值． 附：， 【答案】（1） （2）没有的把握认为喜爱足球运动与性别有关 （3）20 【解析】 【分析】（1）根据题干条件直接计算即可； （2）写出零假设，列联表，计算卡方对比即可得出结论； （3）先得出，进一步列出不等式组即可求解. 【小问1详解】 因为从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为， 所以； 【小问2详解】 零假设：喜爱足球运动与性别无关． 作出列联表如下： 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男生 40 15 55 女生 20 25 45 合计 60 40 100 由题， 根据小概率值的独立性检验，我们推断成立， 也就是说没有的把握认为喜爱足球运动与性别有关． 【小问3详解】 现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取1名学生，该学生是男生的概率是， 从而从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名时，记其中男生的人数为，则， 所以， 令，解得， 故使事件“”概率最大的的值为20． 17. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）设函数，已知有两个极值点． ①求的取值范围； ②求证：． 【答案】（1）答案见解析 （2）①；②证明过程见解析 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数零点大小对分类讨论即可得解； （2）①根据分离参数即可求解；②理由韦达定理将转换为的函数，利用导数研究函数的单调性即可得证. 【小问1详解】 对函数求导得，， 若，则， 若，，此时在定义域上单调递增， 若，则，当或时，，当时，， 此时在上单调递增，在上单调递减， 若，则，当或时，，当时，， 此时在上单调递增，在上单调递减， 综上所述，若，则在定义域上单调递增； 若，则在上单调递增，在上单调递减； 若，则在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 ①， 求导得， 因为有两个极值点，所以有两个“变号”零点， 即有两个零点， 令，是一一对应的， 从而有两个零点， 设，该二次函数开口向下，对称轴是， 注意到，所以， 即的取值范围是； ②由（2）①不妨设，即， 等价于， 由韦达定理有，， ， 令，， 所以单调递增， 从而. 18. 对集合，定义集合，记为有限集合的元素个数． （1）若，求； （2）给定集合的子集，求集合的元素个数； （3）设为有限集合，证明：． 【答案】（1） （2）4 （3） 对任意元素，因为恰属于集合之一，不妨设且． 若，则；若，则． 故，从而． 因此，结论成立． 【解析】 【分析】（1）根据定义直接写出结果即可； （2）利用组合计数的方法可求集合中元素的个数； （3）对任意元素，可证或，故可证题设中的不等式. 【小问1详解】 因为中的元素是要么只属于，要么只属于， 所以； 【小问2详解】 设，则，因为， 故符合条件的的个数为. 【小问3详解】 略 19. 已知抛物线的焦点为，为圆上的动点，的最大值为． （1）求的方程； （2）已知点，按照如下方式构造点，设直线为在点处的切线，过点作的垂线交于另一点，记的坐标为． ①证明：当时，； ②设的面积为，证明：． 【答案】（1） （2）①设，因为， 所以点处的切线斜率为，所以直线斜率为， 所以直线， 与联立可得，， 可得，即的横坐标为， 所以， 当时，有， 又，故，所以； ②直线的方程为， 点到直线的距离为， 所以， 所以， 由（1）知，即， 所以当时，， 所以当时，， 所以， 当时，， 当时， ， 所以，. 【解析】 【分析】（1）画出图形，根据圆的几何性质即可列方程求出，从而得到抛物线方程； （2）①设，求导，写出点作的垂线，联立抛物线方程得的横坐标为，从而得出，累加即可得证；②先得到，即当时，，从而通过放缩裂项求和的方法即可得证. 【小问1详解】 抛物线的准线方程为， 由题意可知，所以，解得， 所以的方程为； 【小问2详解】 ①略 ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $