山东省临沂市沂水县第一中学2025-2026学年高二下学期数学期末复习检测试题

**基本信息** 高二数学期末复习检测，以导数、计数原理等模块为核心，通过质点运动、工厂能耗、人工智能利润等真实情境，考查数学眼光观察、思维推理及语言表达能力，梯度覆盖基础与综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|导数瞬时速度（1）、随机变量分布（2）、回归方程（6）|结合运动学、统计数据考查概念应用| |多选题|3/18|计数原理（9）、事件概率（10）、导数极值（11）|多选项设计区分逻辑推理层次| |填空题|3/15|二项式系数（12）、函数单调性（13）、随机变量期望（14）|聚焦易错点与综合计算| |解答题|5/77|回归分析（15）、随机运动概率（16）、导数零点（17）、不等式恒成立（18）、独立性检验（19）|融合人工智能、工厂质检等情境，考查建模与综合论证能力|

沂水一中高二数学周测试题 答案 1．B 2．A 3．C 4．B 5．D 6．C 7．D 8．A 9．ACD 10. AD 11．AC 12． 13． 14．. 详解 1．B解析，.因此时的瞬时速度为. 2．A解析 ，解得. 3．C解析 由题图可知，，则，即，所以A错误； 根据正态曲线的性质，越大图象越矮胖，则，即，所以B错误； 由图，，所以C正确；由图，，所以D错误． 4．B解析 由题意可知，事件与事件同时发生， 有共12种可能， ，所以.故选B. 5．D解析向右爬3格，向前爬2格，向上爬1格，共计6步，则爬行的路径共有不同的路径.故选D. 6．C解析 ，，因为回归直线必过样本中心点，所以，解得. 7．D解析 若过点可以作曲线的两条切线，则， 设切点为P，则切线方程， 由切线过过，得，即， 令，则有两个不同的解， 对称轴为，，由的图像得t的范围. 故答案为D. 8．A 解析 画出函数的大致图像如下， 因为函数有且仅有2个零点， 所以方程有两不等实根，即函数与直线的图像有且仅有两个交点， 由图像可得，只需直线与相切，与曲线相交， 设直线与相切于点， 因为，所以，因此曲线在点处的切线方程为，即，因为即为该切线方程，所以，解得.故选A. 9．答案ACD解析 对于A：4个球全放4个盒中，没有空盒子的放法共种，A正确；对于B：可以有空盒子，有4个球，每个球有4种放法，共种，B错误； 对于C：恰有1个空盒子，说明另外3个盒子都有球，而球共4个，必然有1个盒子中放了2个球，先将4个盒中选1个作为空盒，再将4个球中选出2个球绑在一起，再排列共种，C正确；对于D：恰有一个小球放入自己编号的盒中，从4个盒4个球中选定一组标号相同得球和盒子，另外3个球3个盒标号不能对应，则共种，故D正确．故选ACD 10. AD解析 对于A，， 解得，故A错误； 对于B，，解得， ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，，故D错误. 故选AD． 11．AC 解析 函数的定义域为，求导得：， 对于A：由，得， 当或时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以是函数的极小值点，故A正确； 对于B：的极小值为， 且当时，，所以； 当时，；当时，； 当时，，如图所示： 结合图象可知：方程有且仅有一个实数解时，或，故B错误； 对于C：因为当时，单调递增，又因为，因此， 则，即，因此，故C正确； 对于D：设切点为，切线斜率为， 切线方程为：，因为切线过，代入得：，化简得：，即， 令，则， 所以在和上单调递增，所以当时，，当时，，所以当时，无解， 即不存在，使得直线与曲线相切，故D错误. 12．若，则的展开式中含项的系数为__________. 答案 解析 因为，所以， 的展开式中含项的系数为. 13．已知函数为减函数，则实数的取值范围是___________． 答案 解析 ，由题意，在恒成立， 即 ，在恒成立，即大于等于的最大值，由，代入右边化简：令，则， 设二次函数，该二次函数开口向下，对称轴为， 代入对称轴得最大值 ，故. 14．甲乙两个袋子，甲袋有1白2黑3个球，乙袋有2个白球.现从两袋各取1球，交换放入甲乙两袋.如此交换两次后，甲袋中的白球个数记作，则______. 答案 解析 =1，2，3，，， ，所以. 所以，所以 15．解析（1）， ，， 因此，………………6分 ，， 故回归直线方程为.………………10分 （2）在回归直线方程中令，得. 令，得， 因此预测第、年的利润约为亿元、亿元. ………………13分 16．解析（1）设事件为质点第3次移动后位于1，所以3次移动中有两次向右，一次向左，则.………………4分 （2）随机变量的所有可能取值为.………………5分 ，………………7分 ，………………9分 ，………………11分 ，………………13分 所以的分布列为 0 2 4 6 .………………15分 17．解析 （1）的定义域为，………………1分 ，………………2分 当时，恒成立， 此时在单调递增，无极大值和极小值，………………4分 当时，，由可得：， 由可得，此时在单调递增，在单调递减，所以的极大值为，无极小值. …7分 （2）由（1）可知，当时，在单调递增，所以在单调递增，不可能有两个零点，………………8分 当时，的极大值为， 因为，所以是的一个零点，………………9分 若函数在区间上恰有两个零点，则，………………12分 即 ，可得， 所以m的取值范围为.………………15分 18．解析 （1）由题知，………………1分 若，，在上单调递增 ，………………3分 若，令解得： 当时，，单调递减； 当时，，单调递增，………………5分 综上，当，的递增区间是，没有单调递减区间， 若，的递增区间是，递减区间是.………………7分 （2）依题意，时，恒成立，即在上恒成立，…………9分 令 ，则 = ，………………12分 令，由（1）知函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，则有， 即，………………14分 即当时，则，当时，则， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取最小值，于是得， 所以的取值范围为.………………17分 19．解析（1）零假设为：假设依据的独立性检验，认为参数调试与产品质量无关联，则， 故依据的独立性检验，没有充分证据说明零假设不成立， 因此可认为成立，即认为参数调试与产品质量无关联；………………6分 （2）依题意，用分层随机抽样法抽取的8件产品中， 合格产品有件，不合格产品有2件， 而从这8件产品中随机抽取3件，其中的合格品件数的可能值有1，2，3． 则，，， 故的分布为： 1 2 3 则；………………12分 （3）依题意，因随机抽取调试后的产品的合格率为， 故，则， 由， 故由可解得， 因，故当时，； 故由可解得， 即当时，； 故当事件“”的概率最大时，．………………17分 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学期末复习检测试题 （时间：120分钟，分值：150分） 测试范围：导数、计数原理、随机变量及其分布、成对数据的统计分析 1、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．某质点沿直线运动，位移（单位:）与时间（单位：）之间的关系为:，则时的瞬时速度为 A． B． C． D． 2．已知随机变量的分布列为，则 A． B． C． D． 3．已知 ，，且和的分布密度曲线如图所示，则 A． B． C． D． 4．先后两次掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标记为），记事件“第一次掷出的点数小于4”，事件“两次点数之和大于4”，则 A． B． C． D． 5．由若干根相同的木棍组成如图所示的长方体框架，一只蚂蚁从点P出发，沿木棍爬行到点Q的最短路径有   A．15种 B．30种 C．48种 D．60种 6．下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产量（单位：t）与相应的生产能耗（单位：t标准煤）的几组数据： 4 5 6 7 标准煤 3.2 3.8 5.3 根据数据可得到的回归方程为，则 A．4.6 B．4.55 C．4.5 D．4.35 7．若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是 A． B． C． D． 8．已知函数，若函数有且仅有2个零点，则实数的值为 A． B． C． D．1 2、 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则 A．没有空盒子的方法共有24种 B．可以有空盒子的方法共有128种 C．恰有1个盒子不放球的方法共有144种 D．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有8种 10.设A，B是一次随机试验中的两个事件，若，，，则不正确的是 A． B． C． D． 11．已知函数，则 A．是函数的极小值点 B．当且仅当：方程有且仅有一个实数解 C． D．存在，使得直线与曲线相切 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若，则的展开式中含项的系数为__________. 13．已知函数为减函数，则实数的取值范围是___________． 14．甲乙两个袋子，甲袋有1白2黑3个球，乙袋有2个白球.现从两袋各取1球，交换放入甲乙两袋.如此交换两次后，甲袋中的白球个数记作，则______. 4、 解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．某人工智能公司从某年起连续年的利润情况如下表所示. 第x年 1 2 3 4 5 6 7 利润y/亿元 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 (1)计算出与之间的相关系数（精确到），并求出关于的回归直线方程； (2)根据回归直线方程，分别预测该人工智能公司第年和第年的利润. 参考公式：样本的回归直线为，其中，，，，，. 16．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次. (1)求质点在第3次移动后位于1的概率； (2)记质点最终位置到原点的距离为随机变量，求的分布列和期望. 17．已知函数． （1）求函数的极值； （2）若函数在区间上恰有两个零点，求m的取值范围． 18．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 19．某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表： 产品 合格 不合格 合计 调试前 45 15 60 调试后 35 5 40 合计 80 20 100 (1)根据表中数据，依据显著性水平的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联； (2)现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析.记抽取的3件中合格的件数为X，求 X的分布列和期望； (3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为Y， 求使事件“”的概率最大时k的取值.参考公式及数据： 其中. 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 4 学科网（北京）股份有限公司 $