2025-2026学年高二下学期期末备考数学专题训练----专题01一元函数的导数及其应用

**基本信息** 聚焦导数定义、几何意义及应用，通过分层题型系统提炼求导法则、构造函数等方法，发展逻辑推理与数学抽象素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-2|导数定义直接应用、公切线斜率计算|从导数定义到导函数几何意义的生成| |几何应用|单选2,5,12|切线方程求解、公共切线判别|导数几何意义与曲线方程的结合| |代数性质|单选3,6,8,多选9-11,填空13-14|单调性判断、极值分析、构造函数比大小|导数符号与函数性质的推导关系| |综合应用|解答15-19|分类讨论单调性、恒成立问题证明|从单一知识应用到多方法综合论证|

2026年高二下学期期末备考专题训练----专题01一元函数的导数及其应用 一、单选题 1．若，则（ ） A． B． C．1 D．3 2．曲线和曲线的公共切线的斜率为（   ） A．1 B．3 C． D．e 3．若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．若不等式恒成立，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 5．已知直线与曲线相切，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 6．已知函数，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知为函数的导函数，则的大致图象是（   ） A． B． C． D． 8．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知为上的偶函数，，为的导函数，且当时，，则（    ） A．当时， B． C． D． 10．定义在上的函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．是的极小值，是的极大值 B．是的极大值，是的极小值 C．在上单调递增 D．在上单调递减 11．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．在上是减函数 B．的单调递增区间为和 C．恰有一个零点 D．的极大值大于极小值 三、填空题 12．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则______． 13．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是_____. 14．设，，若函数存在两个不同的极值点，则的取值范围为_____． 四、解答题 15．已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数单调性. 16．已知函数，且. (1)求的解析式； (2)求不等式的解集； (3)求曲线在点处的切线方程. 17．已知函数的两个极值点分别为. (1)求的值； (2)已知，求证：不等式在上恒成立. 18．已知函数． (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若在区间上单调递减，求a的取值范围． 19．已知函数. (1)若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值； (2)若函数有两个极值点，，且. （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）证明：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年高二下学期期末备考专题训练----专题01一元函数的导数及其应用》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D D C B B C ACD BCD 题号 11 答案 BC 1．D 【分析】根据导数的定义可直接得解. 【详解】根据导数的定义，. 故选：D. 2．B 【分析】求导，根据斜率相等以及两点斜率公式即可求解. 【详解】由于，， 设的切点为，的切点为， 故且， 故，， 因此公切线的斜率为， 故选：B 3．D 【分析】可知在区间上有解，,等价于在区间上有解，结合存在性问题分析求解即可. 【详解】由，得， 若在区间上存在单调递减区间， 则在区间上有解， 可得在区间上有解， 又因为在区间上单调递增，则， 可得，所以实数的取值范围是. 故选：D． 4．D 【分析】根据给定条件，确定，借助同构思想转化为恒成立，再构造函数，由求出值. 【详解】不等式恒成立， 若，恒成立，而当时，此不等式不成立； 若，则，而当时，，不符合题意； 因此，，不等式， 令函数，求导得，函数在上递增， 不等式， 因此不等式在恒成立，令， 即恒成立，而，则， 又，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 于是，令， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 则方程有唯一解，由，得，解得， 所以的值为. 故选：D 5．C 【分析】设切点为，再根据切点在曲线与切线上，以及导数的几何意义可得，最后根据函数的单调性以及即可得解. 【详解】因为， 所以， 设直线与曲线的切点为， 所以， 所以，且， 令函数，， 因为， 所以函数在单调递减，在单调递增， 又因为， 所以， 所以. 故选：C. 6．B 【分析】先利用求导判断函数的单调性，再判断函数的奇偶性，利用函数的这些性质求解抽象不等式即得. 【详解】由求导得：， 因，当且仅当时，等号成立， 则，故函数在上为增函数， 又，即函数为奇函数. 则由可得，进而，解得. 故选：B. 7．B 【分析】先求导得，利用奇偶性即可判断A，计算即可判断D，当时，判断即可判断C，进而求解. 【详解】由题意有， 又，所以为奇函数，排除A； 又，排除D； 由，排除C，故B正确. 故选：B. 8．C 【分析】根据指数与对数的转化得，进一步得，同理得，即可比较大小，，令，利用导数研究的单调性得，进而得，即，得，即，即可求解. 【详解】由有，因为， 所以，即，由有， 所以，令，所以， 由，所以在单调递减，在单调递增， 所以，所以， 所以，所以， 故选：C. 9．ACD 【分析】设函数，根据条件，求导分析函数的单调性，结合函数的奇偶性，逐项判断真假即可. 【详解】设，则， 当时，，，所以， 所以在上单调递减， 又为上的偶函数，所以为上的奇函数， 所以在上也是单调递减， 又，所以，； 对A：当时，， 因为，所以，故A正确； 对B：因为在上单调递减，所以， 即，故B错误； 对C：因为在上单调递减， 所以，故C正确； 对D：因为在上单调递减，所以， 即， 又，所以，所以，故D正确. 故选：ACD 10．BCD 【分析】根据导函数图象可得导数的正负，从而可求出函数的单调区间，进而可求出函数的极值进行判断. 【详解】由图知， 当时，；当时，；当时，； 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，极小值为． 故选：BCD. 11．BC 【分析】求出导函数，再根据导函数正负得出函数单调性判断A，B，再应用单调性及最值判断C，应用极值判断D. 【详解】由题意知的定义域为， ． 令，解得或． 所以当或时，，此时在和上单调递减， 当或时，，所以的单调递增区间为和，故A错误，B正确； 因为当时，，所以在上恰有一个零点， 当时，，所以在上无零点，综上，恰有一个零点，故C正确； 在处取得极大值为，在处取得极小值为，即的极小值大于极大值，即D错误， 故选：BC． 12． 【分析】先利用导数来求函数在点处的切线，再利用直线与二次曲线相切，则判别式等于0，即可求出参数的取值. 【详解】求导得：，当时， ， 所以在点处的切线方程为：， 又由切线也是曲线的切线， 则消得，， 由， 故答案为：. 13． 【分析】利用导数得到在区间上恒成立，即恒成立求出最小即可. 【详解】由，得， 因为函数在区间上单调递增，所以在区间上恒成立， 即恒成立，又，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 14． 【分析】将问题转化为有两个不相等的正根，利用判别式和韦达定理列不等式组即可得解. 【详解】由题知，的定义域为，， 因为函数存在两个不同的极值点， 所以有两个不相等的正根，即有两个不相等的正根， 所以，解得，即的取值范围为. 故答案为： 15．(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先求的导数，再利用导数的几何意义求出切线斜率，结合直线的点斜式方程求解即可. （2）对分类讨论，确定导数符号，得出单调性. 【详解】（1）当时，，求导得， 则，又，所以切线方程为，即. （2）函数的定义域为， 求导得， 当时，有恒成立，函数在单调递减； 当时，由，得，函数在上单调递减； 由，得，函数在上单调递增， 所以当时，函数在单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）对求导，代入，即可求出，代入可得解析式； （2）将不等式化简，根据分式不等式与的定义域求解； （3）先求在点处的斜率，代入点即可求出切线方程. 【详解】（1）由题意，， 在中，， ∵， ∴， 解得， ∴. （2）由题意由（1）得 ， 则不等式，即为，又， 解得， ∴不等式的解集为. （3）在中， ， ，， ∴曲线在点处的切线方程为， 即. 17．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用极值点思想求出参数取值，再进行检验是否满足题意，即可得到结果； （2）把原不等式化简后就是，由于分离参数后不好求导研究，所以就含参研究函数求导，分类讨论来证明最小值恒大于0. 【详解】（1）因为，所以， 因为函数的两个极值点分别为，所以，解得， 此时，. 所以当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增，满足的两个极值点分别为. （2）即，， 令，则， 若，则恒成立，在上单调递增，所以， 若，令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以的极小值为，也是最小值， 令，则，所以在上单调递减， . 综上所述，在上恒成立，即不等式在上恒成立. 18．(1) (2) 【分析】（1）当时，求得，得到，结合导数的几何意义，即可求解； （2）根据题意，转化为时，恒成立，设，求得，得到函数的单调性，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：当时，可得，则， 所以，所以的图象在处的切线方程为， 即． （2）解：由函数，可得， 因为在区间上单调递减，所以当时，恒成立， 设，可得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 19．(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析. 【分析】（1）由题意计算即可得解； （2）（ⅰ）将问题转化成函数与的图象在上有两个不同的交点，求出直线与曲线相切参数的值即可得解； （ⅱ）由、是的两根得，进而将问题转化成证，再利用导数工具研究函数单调性即可求证. 【详解】（1）由题， 因为曲线在点处的切线垂直于直线， 所以. （2）（ⅰ）因为， 因为函数有两个极值点、，所以在上有两个不同的根， 所以函数与的图象在上有两个不同的交点， 设直线与曲线相切于点，， 则切线斜率为，所以， 所以函数与的图象在上有两个不同的交点， 则， 所以a的取值范围为； （ⅱ）证明：由题可得、是的两根，且. 所以， ， 令，则， 所以要证明即证，即证， 即证， 因为，所以， 所以函数即在上单调递减，所以， 所以函数在上单调递增， 所以，即， 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $