第五章 分式与分式方程 单元测试 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第5章 分式与分式方程 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.在，，，，中，分式的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2.下列方程中是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 3.下列各式中的变形，错误的是( ) A. B. C. D. 4. 下列分式中，是最简分式的是( ) A. B. C. D. 5.若要分式有意义，则x的值应满足(　 　) A. B. C. D. 的值为一切实数 6.若分式的值为0，则的值为（    ） A．1或−1 B．0 C． D．1 7. 若分式，则＝ ( ) A. B. C. D. 8.若，则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 9.解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 10.《九章算术》记载了中国古代的“运粟之法”，其大意是：今有一批公粮，需运往距出发地的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行，则提前1日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行，则根据题意列出方程（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 对进行约分，结果为 . 12.计算： . 13.计算： （结果不含负指数幂）． 14.分式和的最简公分母为 . 15． 若关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程的解是非负整数，则满足条件的整数m的和是 . 三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16.化简： 17.解方程： 18.先化简，再求值：，其中x=2. 四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19.已知关于x的分式方程. (1)若x＝2是分式方程的增根，求a的值； (2)当a＝4时，解分式方程； (3)若该分式方程无解，求a的值． 20.“四书”“五经”是我国传统文化的重要组成部分，是儒家思想的经典著作.某学校计划购买《孟子》和《论语》两种书籍供学生阅读.已知《孟子》与《论语》的单价之和为40元，用90元购进《孟子》的本数与用150元购进《论语》的本数相同. （1）问《孟子》和《论语》的单价分别是多少元？ （2）该学校计划购进《孟子》和《论语》共100本，但花费总额不超过1 800元，问最少购进《孟子》多少本？ 21. 阅读材料： ①方程的解为，； ②方程的解为，； ③方程的解为，. 【归纳】(1)方程的解为 ， . 【应用】(2)利用(1)中的结论，直接解关于x的方程： 五、解答题(三)：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 随着DeepSeek的AI技术开发，更大地激活了智能机器人应用市场. 为了更方便地服务广大读者，某图书馆准备引进智能机器人. 若要购进甲、乙两种型号的机器人，已知甲种型号的机器人单价比乙种型号的机器人多3万元，经过调研发现，130万购买的甲种型号的机器人的数量和100万购买乙种型号的机器人的数量一样. (1)求甲、乙两种型号的机器人的单价是多少万元. (2)图书馆经过统筹安排，准备用不低于114万的资金购进甲、乙两种型号的机器人共10套(两种型号均有)，则有几种购买方案？购买乙种型号的机器人多少套时所花资金最少？ 23． 第二十届文博会在深圳举行．南头古城某商铺购进A，B两种文创饰品，采购A种饰品花了1 400元，采购B种饰品花了630元，其中A种数量是B种数量的2倍，A种的进价比B种的进价每件多1元． (1)A，B两种饰品每件的进价分别为多少元？ (2)该商铺计划购进A，B两种饰品共600件，购进B种的件数不低于390件，且不超过A种件数的4倍，现采购A种饰品有优惠政策，若一次性采购A种超过150件，A种超过的部分按进价打6折．如果购进的这两种饰品均以每件15元全部售出，设购进A种饰品m件，那么m为何值时，能使本次销售的利润最大，并求出最大利润． 参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B A B C D B B B 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 12.1 13. 14. 15. 三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16.化简： 17.解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为 18. 解：原式=, 当x=2时，原式=. 四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19.(1)解：方程两边都乘x(x－2)，得x(x＋a)－5(x－2)＝x(x－2)． ∵x＝2是分式方程的增根，∴把x＝2代入x(x＋a)－5(x－2)＝x(x－2)， 得4＋2a＝0.∴a＝－2. (2)当a＝4时，x(x＋4)－5(x－2)＝x(x－2)． 解得x＝－10.经检验，x＝－10是原分式方程的解． (3)化简整式方程，得(a－3)x＝－10. 当a－3＝0时，该方程无解，此时a＝3. 当a－3≠0时，要使原方程无解，则原方程有增根． 由(1)，得a＝－2. 综上所述，a的值为3或－2. 20.解：（1）设《孟子》的单价是x元，则《论语》的单价是（40-x）元， 依题意，得，解得x=15， 经检验，x=15是原方程的解，且符合题意， ∴40-x=40-15=25. 答：《孟子》的单价是15元，《论语》的单价是25元. （2）设购进《孟子》m本，则购进《论语》（100-m）本， 依题意，得15m+25（100-m）≤1 800，解得m≥70. 答：最少购进《孟子》70本. 21.（1） 解：(2)方程可变形为， ∴－1＝a－1，－1＝ ∴＝a，＝ 五、解答题(三)：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22.解：(1)设甲种型号的机器人的单价是x万元，则乙种型号的机器人的单价是(x－3)万元. 依题意，得，解得x＝13.经检验，x＝13是原方程的解，且符合题意. ∴x－3＝13－3＝10. 答：甲种型号的机器人的单价是13万元，乙种型号的机器人的单价是10万元. 解：(2)设购买乙种型号的机器人m套，则购买甲种型号的机器人(10－m)套. 依题意，得13(10－m)＋10m≥114，解得m≤. 又∵m，10－m均为正整数，∴m可以为1，2，3，4，5.∴有5种购买方案. 设购买甲、乙两种型号的机器人共花费w万元，则w＝13(10－m)＋10m，即w＝－3m＋130. ∵－3<0，∴w随m的增大而减小. ∴当m＝5时，w取得最小值. 答：有5种购买方案，购买乙种智能机器人5套时所花资金最少. 23.解：(1)设A种饰品每件的进价为a元，则B种饰品每件的进价为(a－1)元． 由题意，得1400/a＝630/a−1 ×2.解得a＝10. 经检验，a＝10是所列方程的解，且符合题意．∴a－1＝9. 答：A种饰品每件的进价为10元，B种饰品每件的进价为9元 (2) 设购进A种饰品m件，则购进B种饰品(600－m)件． (3) 由题意，得,解得120≤m≤210. ∴购进A种饰品件数m的取值范围为120≤m≤210，且m为整数． 设采购A种饰品m件时的总利润为w元． 当120≤m≤150时，w＝15×600－10m－9(600－m)＝－m＋3 600. ∵－1＜0，∴w随m的增大而减小． ∴当m＝120时，w有最大值，最大值为－120＋3 600＝3 480. 当150＜m≤210时，w＝15×600－[10×150＋10×60%(m－150)]－9(600－m)＝3m＋3 000. ∵3＞0，∴w随m的增大而增大． ∴当m＝210时，w有最大值，最大值为3×210＋3 000＝3 630. ∵3 630＞3 480， ∴w的最大值是3 630，此时600－m＝600－210＝390，即当采购 A种饰品210件，B种饰品390件，商铺获利最大，最大利润为3 630元． 学科网（北京）股份有限公司 $