第5章分式与分式方程 单元标测试题 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《第5章分式与分式方程》 单元同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．代数式，，，，，中，属于分式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列说法正确的是（    ） A．无论为何值总有意义 B．分式是最简分式 C．分式值为0，则的值为 D．代数式是分式 3．下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如果，，那么代数式与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 5．如果方程的解为，那么的值是（    ） A． B． C． D． 6．若关于的分式方程的解为正数，则实数的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D． 7．某施工队每天挖掘米隧道，改进施工技术后每天能多挖掘，那么同样挖掘米隧道，比原来少用的天数为（  ） A． B． C． D． 8．某市为了构建城市立体交通网络，决定修建一条轻轨铁路，为使工程提前半年完成，需将工作效率提高，则原计划完成这项工程需要（    ） A．个月 B．个月 C．个月 D．个月 二、填空题（满分24分） 9．若分式的值为零，则x的值为______． 10．不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项的系数都化为整数． （1）______； （2）______． 11．分式与的最简公分母为____． 12．计算的结果是___________． 13．已知，则的值________； 14．对于代数式,，定义运算“※”：，若，则________． 15．一只不透明的袋子中，装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，通过多次摸球实验后，发现摸到红球的频率约为，估计袋中红球的个数为___________． 16．某工厂计划生产个口罩，但在实际生产时……求该工厂实际每天生产口罩的个数．在这个问题中，若设该工厂实际每天生产口罩个，由题意，可列出的方程为，则问题中“……”所表示的条件应该是________． 三、解答题（满分72分） 17．（16分）计算： (1) (2) (3) (4) 18．（6分）先化简，再求值： ，其中． 19．（8分）已知关于x的分式方程． (1)当时，求这个分式方程的解； (2)若此分式方程无解，求m的值． 20．（10分）小王去市场采购同一种商品．第一次采购用了2400元，第二饮采购用了3000元，第一次采购时该商品的价格是元/件，第二次采购时该商品的价格是元/件． (1)求小王两次共采购了多少件该商品； (2)小王第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的几倍？ 21．（10分）阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知，所以，即． 的值为的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 22．（10分）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． (1)将分式分解的结果为______； (2)若可以分式分解为（其中是常数），则______，______； (3)当时，判断与的大小关系，并写出你的证明过程． 23．（12分）【综合实践】 材料 大多数小汽车是前轮驱动的，所以前轮的磨损程度比后轮严重，因此时间一长汽车行驶的安全性将大打折扣：如果同时更换前后轮，用车成本又会提高．因此，汽车使用手册上都有定期给前后轮换位的建议． 例如： 为了让轮胎均匀磨损并延长轮胎的使用寿命，我们建议每行驶进行一次轮胎换位． (1)设轮胎总的耗损量为单位1，在前轮时行驶a万千米报废，在后轮时行驶万千米报废．则该轮胎在前、后位置时的耗损率分别可表示为______、______．（说明：耗损率是指，每万千米轮胎的耗损量．） (2)若汽车前轮行驶万千米时报废，而后轮行驶到8万千米时报废．如果在汽车使用寿命内前、后轮位置只交换一次，那么汽车行驶多少万千米时，交换前、后轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废？（结果保留小数点后一位） (3)一款新型轮胎，安装在后轮可行驶的里程是安装在前轮的，装备该轮胎的汽车在轮胎的使用寿命内，前后轮胎只交换一次，共行驶了万千米前后轮胎同时报废．求该款新型轮胎安装在前轮和安装在后轮可行驶的里程数分别为多少万千米？（说明：分母中含有字母的方程，要将解代入原始方程中进行检验．） 参考答案 1．解：是整式，它不是分式； 中是常数，分母不含字母，它是整式，它不是分式； 分母含字母，它是分式； 是整式，它不是分式； 分母含字母，它是分式； 分母含字母，它是分式， ∴属于分式的有、、，共3个， 故选：B． 2．解：A、∵， ∴， ∴无论为何值总有意义，故本选项正确，符合题意； B、∵， ∴分式不是最简分式，故本选项错误，不符合题意； C、∵分式值为0， ∴ 解得：，故本选项错误，不符合题意； D∵是常数，分母不含字母 ∴它是整式不是分式，故本选项错误，不符合题意； 故选：A 3．A 【分析】本题考查分式的乘除与乘方运算，需依据分式相关运算法则逐一计算各选项并判断正误． 【详解】分式乘法法则为分子相乘作分子、分母相乘作分母，再约分， 选项A：，运算正确； 分式乘方需分子、分母分别乘方， 选项B：，运算错误； ， 选项C：，运算错误； 分式除法需转化为乘法，即除以一个分式等于乘它的倒数， 选项D：，运算错误； 综上，正确答案为A． 4．C 【分析】本题考查异分母分式的加减运算，先利用异分母分式的加减运算法则化简，再对比与的关系即可得出结论. 【详解】解：∵ ∴ 对通分，公分母为 ∴ 又∵ ∴ ， 故选：C. 5．C 【分析】本题考查了分式方程的解，将代入分式方程解答即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得， 故选：C． 6．B 【分析】本题考查分式方程的解法，一元一次不等式组的解法，正确去分母是解题关键． 先把分式方程化为整式方程，解出，再根据“解为正数”和“分母不为”两个条件列不等式组，求出且． 【详解】解：原方程可化为， ， ， ， 解得， 由方程的解为正数，且分母不能为， 可得， 解得． 故选：． 7．D 【分析】本题考查分式减法运算的实际应用，核心是通过计算不同施工效率下的施工天数，进而求出天数差．先根据原日挖掘量求出改进技术后的日挖掘量，再分别计算两种情况下挖掘米隧道所需的天数，最后用原天数减去改进后的天数得到少用的天数． 【详解】解：原来每天挖掘米，挖掘米隧道需要的天数为； 改进施工技术后，每天挖掘的长度为米，此时挖掘米隧道需要的天数为； 因此比原来少用的天数为． 故选：D． 8．A 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．设原计划完成这项工程需要x个月，则提高工作效率后完成工程需要个月，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设原计划完成这项工程需要x个月完成，则提高工作效率后完成工程需要个月， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 答：原计划完成这项工程需要个月． 故选：A． 9． 【分析】本题主要考查分式的值为零的条件．根据分式的值为零需满足分子等于零且分母不等于零的条件进行求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 由，利用平方差公式因式分解得， 解得或， 又∵，即， ∴． 10． 【分析】本题考查了将分式的分子分母各项系数化为整数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）分式的分子、分母分别乘以12即可； （2）分式的分子、分母分别乘以20即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解：． 故答案为：． 11． 【分析】此题考查了分式的最简公分母，掌握将所有多项式的分母分解因式，所有不同因式的乘积组成了分式的最简公分母是解题的关键．对分母进行因式分解，找到不同因式的乘积解题即可． 【详解】解：，， ∴分式与的最简公分母是， 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了分式的减法运算、平方差公式的应用以及因式分解，熟练掌握分式通分、约分的方法和平方差公式是解题的关键． 先对分母进行因式分解，找到最简公分母，再对两个分式进行通分，然后合并分子并化简，最后约分得到结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了数字规律探究、数列的周期性及有理数的运算，熟练掌握通过计算前几项寻找数列周期，再利用周期解决问题的方法是解题的关键．通过计算序列的前几项，发现序列具有周期性，周期为，即每项重复一次：，，．计算除以的余数，余数为，对应周期中的第一项，因此 ． 【详解】解：计算序列的前几项： ， ， ， ， ， ， 由此可知序列周期为，即． ， 因此， 故答案为：． 14．/ 【分析】本题考查分式的运算，分式的混合运算．先通分合并，然后根据对应系数相等求出A，B的值，然后代入计算解答即可． 【详解】解：∵， ， ∴，解得， ∴． 故答案为：． 15．6 【分析】本题考查了分式方程的应用，频率估计概率．利用频率估计概率，摸到红球的频率为，即概率约为，设红球个数为r，通过方程求解． 【详解】解：设红球个数为r，则总球数为， ∵ 摸到红球的频率约为， ∴， 解得， 经检验：是原分式方程的解， ∴估计袋中红球个数为6， 故答案为：6． 16．每天比原计划多生产个，结果提前天完成 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再设出未知数，列出方程．根据方程，左边表示原计划生产时间减去实际生产时间，差值为天，表明实际生产时间比原计划少天，即提前天完成；同时，分母表示原计划每天生产个数，实际每天生产个，因此实际每天比原计划多生产个． 【详解】解：设实际每天生产口罩个，则原计划每天生产个； 原计划生产时间为天，实际生产时间为天； 方程表示原计划时间比实际时间多天，即实际提前天完成，且实际每天生产比原计划多个． 故答案为：每天比原计划多生产个，结果提前天完成． 17．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解题关键是熟练掌握分式的约分和几种常见的分解因式的方法是解题的关键． 四个小题均可以按照混合运算法则，先算乘方，再把除法化成乘法，然后约分即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 18．，0 【分析】根据分式的混合运算法则，单项式乘以多项式，完全平方公式的法则进行计算，根据乘方和负整数指数幂的法则求出的值，代入化简后的式子中计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴原式． 19．(1) (2)或 【分析】本题考查解分式方程，分式方程无解问题： （1）把代入分式方程，去分母将方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可； （2）将分式方程化为整式方程，分整式方程无解和分式方程有增根，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）把代入分式方程得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴原分式方程的解为； （2）分式方程变形得 去分母得：，即， 若，即时，此方程无解，即分式方程无解； 若，即时，∵分式方程无解， 分母为0得：，即， 把代入整式方程得：， 综上所述，或． 20．(1)两次共采购的件数为件 (2)第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的1.2倍 【分析】本题考查分式运算的实际应用： （1）根据数量等于总价除以单价，求出每次采购的数量，再相加即可； （2）用第一次的数量除以第二次的数量进行求解即可． 【详解】（1）解：第一次采购该商品的件数为， 第二次采购该商品的件数为， 所以，两次共采购的件数为（件）． （2）， 第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的1.2倍． 21．(1) (2) 【分析】本题考查了分式的加减法，倒数，理解例题的思路是解题的关键． （1）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； （2）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可． 【详解】（1）解： ， ，即， ， ； （2） ， ，即， ， ， ． 22．(1) (2)1，3 (3)，证明过程见详解 【分析】本题考查新定义下分式的加减及分式的大小比较，理解题中新定义、熟练掌握作差法是解题的关键． （1）根据题中示例进行变形即可得出答案； （2）将通分，即可求得m及关于的方程组，解之即可得答案； （3）根据做差法求出两个分式的差再判断出差的正负即可得出答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， ， ， 解得， 故答案为：1，3； （3） 证明： ， 当时，，，， ． 23．(1)， (2)汽车行驶大约万千米时，交换前后轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废； (3)安装在前轮可行驶的里程为万千米，则安装在后轮可行驶的里程为万千米． 【分析】（1）根据题意，结合关于损耗率的说明，即可求解； （2）设汽车行驶万千米时，交换前后轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废，根据题意列方程求解即可； （3）设安装在前轮可行驶的里程为万千米，则安装在后轮可行驶的里程为万千米，轮胎交换前行驶了万千米，交换后行驶了万千米，根据题意列方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵轮胎总的耗损量为单位1，在前轮时行驶a万千米报废，在后轮时行驶万千米报废， ∴该轮胎在前轮时的耗损率为，在后轮时的耗损率为． （2）解：设汽车行驶万千米时，交换前后轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废， 根据题意可得， 解得， ， ∴汽车行驶大约万千米时，交换前后轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废． （3）解：设安装在前轮可行驶的里程为万千米，则安装在后轮可行驶的里程为万千米，轮胎交换前行驶了万千米，交换后行驶了万千米， 根据题意可得， 得， 解得， 经检验，是原方程组的解， ∴，， ∴安装在前轮可行驶的里程为万千米，则安装在后轮可行驶的里程为万千米． 学科网（北京）股份有限公司 $