第六章《平行四边形》复习与巩固(二) 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 八年级数学下册 第六章 平行四边形 复习与巩固 (二) 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.如图，在▱中，对角线与相交于点O，下列结论错误的是（     ）     A. B. C. D. 2.在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A.两组对边分别相等 B.一组对边平行且另一组对边相等 C.两组对边分别平行 D.一组对边平行且相等 3.若一个凸多边形的某个内角恰好是其余内角的和，则（       ） A.它一定是三角形 B.它可能是四边形 C.它一定是四边形 D.它不可能是三角形和四边形 4.如图，在四边形中，对角线，且，，点E、F分别是边、的中点，则的长度是（     ） A. B. C.6 D.不确定，随着四边形的形状改变 5.如图，在中，由尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6.如图，平行四边形的对角线相交于点，则下列判断错误的是（       ）     A. B. C.和的面积相等 D.和的面积相等 7.如图所示，在中，，，的平分线交于点，交的延长线于点．若，则的周长为（       ） A. B. C. D. 8.如图，在中，，分别是边，上的点，且，连接交于点，连接，，若，，则的面积为（       ） A.4 B.6 C.8 D.1 9.如图，在四边形中，，相交于点，且，．点从点开始，沿四边形的边运动，当点运动到点的位置时停止运动，与相交于点，是线段的中点，连接．下列选项不正确的是（       ） A.四边形是平行四边形 B.当点运动到的中点时， C.当，时，线段的长的最大值为 D.当，点在边上，且时，是等边三角形 10.如图，在平行四边形中，对角线、交于点，，点、、分别是、、的中点，交于点，则①；②；③；④．上述个结论中说法正确的有（       ） A.①② B.①②③ C.①③④ D.①②③④ 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ）   11.如图，正八边形的边长为2，延长和交于点，则________． 解：， 是等腰直角三角形， ， 正八边形 的边长为2， ， 求出 ， . 12.如图，，的面积等于5，，，则的面积是_______． 13.如图，在中，对角线交于点，点在线段上（不与点，重合），点在线段，上（不与点，重合），当，的位置满足_____________条件时，四边形是平行四边形． 14.如图，在平行四边形中，E是的中点，连接、F是的中点，连接交于点G，若，则 的长为_______． 15.如图，中，，，点从点出发以 /秒速度向点运动，点从点出发以 /秒的速度向点A运动，连接，作线段的垂直平分线，交边和于、两点，设点的运动时间为（单位：秒，），当时，点的运动时间值是_______秒． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）   16.（6分）若一个正多边形的每一个内角都比与其相邻外角的3倍多，求这个多边形的边数． （2）一个多边形的内角和是，求这个多边形共有多少条对角线． 17.(6分) 已知，在下列网格中，每个小正方形的边长都为1． （1）在图1中，画一个斜边长为，面积为的直角三角形； （2）在图2中，画一个有一条边长为，面积为的平行四边形． 18.（7分）如图，在中，M、N为对角线上两点，满足，连接．求证：． 19.(9分) 如图，在平行四边形中，是边上一点，，． （1）过点作的平行线，交于点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． （2）在的条件下，求四边形的周长． 20.(9分) 如图，等边△ABC的边长是4，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC连接CD和EF． （1）求证：DC＝EF； （2）求EF的长． 21.(10分) 如图，点是内一点，连接、，并将、、、的中点、、、依次连接，得到四边形． （1）若，求的度数； （2）若为的中点，，和互余，求的长度． 22.(10分) 如图，在平行四边形中，点、分别在，上，且． （1）求证：； （2）试判断四边形的形状，并说明理由． 23.(10分) 如图，在中，，垂足为E，，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF，EG，AG，． （1）若，，求BE的长； （2）求证：． 24.(11分) 综合与探究 问题情境：如图，是矩形的对角线，点，分别在边，上，将沿折叠，使点落在上的点处，将沿折叠，使点落在上的点处．求证：四边形是平行四边形． 初步探究： 郭鹏同学的证明过程如下： 四边形是矩形， ，，． ． 由折叠，得，，，． ，． ，即． ． ． 又， 四边形是平行四边形（依据）． 解决问题： （1）郭鹏同学的证明过程中的“依据”是___________________________． （2）赵斌同学的证明思路：不利用全等，依据平行四边形的定义证明．请按赵斌的思路写出证明过程． 拓展探究： （3）连接，，若，，求四边形的周长． 25.(12分) 在平行四边形中，点是对角线的中点，点在边上，的延长线与边交于点，连接，如图1． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，过点作的垂线，与分别交于点，如图． ①求证：；②已知，直接写出的长_________． 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 八年级数学下册 第六章 平行四边形 复习与巩固 (二) 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.如图，在▱中，对角线与相交于点O，下列结论错误的是（     ）     A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 利用平行四边形的性质求解. 【解答】 根据平行四边的对边相等、对角相等、对角线互相平分，可知C错误. 故选C. 2.在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A.两组对边分别相等 B.一组对边平行且另一组对边相等 C.两组对边分别平行 D.一组对边平行且相等 【答案】 B 【解析】 本题考查平行四边形的判定定理，掌握知识点是解题的关键. 根据平行四边形的判定定理判断各选项是否成立即可. 【解答】 解： 平行四边形的判定定理：两组对边分别平行（选项C）、两组对边分别相等（选项A）、一组对边平行且相等（选项D）均能判定平行四边形； 而选项B：一组对边平行且另一组对边相等，不能判定平行四边形（如等腰梯形满足此条件但非平行四边形）. 不能判定四边形为平行四边形的是B. 故选B. 3.若一个凸多边形的某个内角恰好是其余内角的和，则（       ） A.它一定是三角形 B.它可能是四边形 C.它一定是四边形 D.它不可能是三角形和四边形 【答案】 A 【解析】 利用多边形内角和公式，结合凸多边形每个内角小于180°的性质，求解多边形边数，即可判断选项。 【解答】 解：设该凸多边形为n边形，题中满足条件的内角为α， ∵ n边形内角和为，α等于其余内角的和 ∴ α=(n-2)×180°-α， 整理得2α=(n-2)×180°， 即α=(n-2)×90°， ∴ 凸多边形的内角α满足0°<α<180°， ∴ 0°<(n-2)×90°<180°， 不等式两边同除以90°得0∴ n是不小于3的正整数， ∴ n=3 ∴ 它一定是三角形. 4.如图，在四边形中，对角线，且，，点E、F分别是边、的中点，则的长度是（     ） A. B. C.6 D.不确定，随着四边形的形状改变 【答案】 A 【解析】 取AD的中点G，连接EG，GF，利用三角形中位线定理将已知的对角线AC和BD的长度及垂直关系转化到 中，从而求解. 【解答】 解：如图，取AD的中点G，连接EG，GF， 点E、F、G分别是AB、CD、AD的中点，AC=8，BD=10， , GF , EG , FG , 5.如图，在中，由尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 利用基本作图得到AE平分∠BAD，则可对A选项进行判断；根据平行四边形的性质得到AD=BC，CD//AB，再证明∠DEA=∠DAE，所以DA=DE=CD，则可对B、D选项进行判断；由于不能确定DE=BE，则可对C选项进行判断. 【解答】 解：由作图的痕迹得AE平分∠BAD， ∴ ∠DAE=∠BAE，所以A选项不符合题意； ∵ 四边形ABCD为平行四边形， ∴ AD=BC，CD//AB， ∴ ∠BAE=∠DEA， ∴ ∠DEA=∠DAE， ∴ DA=DE，所以B选项不符合题意， ∴ CD=DE，所以D选项不符合题意， 不能确定DE=BE，所以C选项符合题意. 故选：C.  6.如图，平行四边形的对角线相交于点，则下列判断错误的是（       ）     A. B. C.和的面积相等 D.和的面积相等 【答案】 A 【解析】 根据平行四边形的性质，可以分别证明 根据 可以判断 和 的面积相等；在 和 中，AB为两个三角形的公共底，根据平行线的性质可以判断两个三角形的高相等，故可判断 和 的面积相等；根据平行四边形的性质无法判断邻边相等，故可做出选择. 【解答】 四边形ABCD为平行四边形， 四边形ABCD为平行四边形， AD=BC，AB=DC，AD//BC， 在 和 中， 故B正确； 同理根据平行四边形对边平行且相等，对角线互相平分，可证 又 ，故根据全等三角形的性质可以判断 和 的面积相等. 故C正确； 在 和 中，AB为两个三角形的公共底，根据平行线间的距离处处相等，可知两个三角形的高相等，所以 和 的面积相等. 故D正确； 四边形ABCD为平行四边形， 只能得到对边平行且相等，无法论证AB=AD，无法得出邻边相等的结论， 无法证明 故A错误. 故选择A. 7.如图所示，在中，，，的平分线交于点，交的延长线于点．若，则的周长为（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 本题主要考查了平行四边形的性质以及平行线的性质等知识，熟练应用平行四边形的性质是解题的关键． 利用平行四边形的性质以及平行线的性质得出，进而得出，即可得出答案． 【解答】 解：四边形是平行四边形， ， ， 的平分线交于点， ， ， ， ， ， 的周长为． 故选． 8.如图，在中，，分别是边，上的点，且，连接交于点，连接，，若，，则的面积为（       ） A.4 B.6 C.8 D.1 【答案】 C 【解析】 由题意先判断四边形DFEC和四边形ABEF都是平行四边形，再根据，可得，再根据比例关系即可求解. 【解答】 解： 四边形DFEC和四边形ABEF都是平行四边形，  故选． 9.如图，在四边形中，，相交于点，且，．点从点开始，沿四边形的边运动，当点运动到点的位置时停止运动，与相交于点，是线段的中点，连接．下列选项不正确的是（       ） A.四边形是平行四边形 B.当点运动到的中点时， C.当，时，线段的长的最大值为 D.当，点在边上，且时，是等边三角形 【答案】 C 【解析】 本题考查平行四边形的判定和性质，三角形中位线的性质，等边三角形的判定等．根据平行四边形的判定得出选项，根据中位线定理判断选项，根据当点与点重合时的值最大得出选项，进而根据等边三角形的判定判断选项即可． 【解答】 解：，， 四边形是平行四边形， 故正确，不符合题意． 点，分别是的中点， 是的中位线． ， 又点是的中点， ． ，即 ， 故正确，不符合题意． 当点与点重合时，的值最大． ， 的最大值是． ，即线段长度的最大值是， 故错误，符合题意． ，，， ， 当时， ， ， 是等边三角形， 故正确，不符合题意； 故选． 10.如图，在平行四边形中，对角线、交于点，，点、、分别是、、的中点，交于点，则①；②；③；④．上述个结论中说法正确的有（       ） A.①② B.①②③ C.①③④ D.①②③④ 【答案】 B 【解析】 根据平行四边形的性质和，可以确定等腰三角形，再应用等腰三角形三线合一的性质可判断①正确；根据直角三角形的性质确定，根据三角形的中位线的性质确定，再结合平行四边形的性质可判断②正确；根据三角形的中位线和平行四边形的性质可以确定，且，进而得到平行四边形，再应用其对角线互相平分的性质确定③正确；根据三角形底和高之间的关系和平行四边形的性质确定和，进而得到，可判断④不正确． 【解答】 解：①四边形是平行四边形， ． ， ． 为中点， ． 故①正确． ②，是中点， ． 、分别是、中点， ． 四边形是平行四边形， ． ． 故②正确． 如下图所示，连结和． ③如上图所示：四边形是平行四边形， ，． 、分别是、中点， ． ，即． ，， ． 四边形是平行四边形． ． 故③正确． ④如上图所示：是中点， ． 是中点， ． 平行四边形的对角线、交于点， 是中点，． ． 是中点，是中点， ． ． 故④不正确． 故选：． 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ）   11.如图，正八边形的边长为2，延长和交于点，则___1_____． 【答案】 1 【解析】 根据正八边形求出每一个外角的度数，证明 是等腰直角三角形，再根据勾股定理求出 ，即可求出面积。 【解答】 解：， 是等腰直角三角形， ， 正八边形 的边长为2， ， 求出 ， . 12.如图，，的面积等于5，，，则的面积是____20____． 【答案】 20 【解析】 过B作BM AD于点M，过C作CN AD于点N，根据平行线间的距离相等得出 BM=CN ，最后由等底等高的三角形面积相等即可求解. 【解答】 解：过B作BM AD于点M，过C作CN AD于点N， 的面积等于5，AD=4，BC=16，   13.如图，在中，对角线交于点，点在线段上（不与点，重合），点在线段，上（不与点，重合），当，的位置满足_____（答案不唯一）___________条件时，四边形是平行四边形． 【答案】 如，答案不唯一 【解析】 此题主要考查了平行四边形的判定与性质，关键是掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形． 当时四边形是平行四边形；根据四边形是平行四边形，可得，，再由条件可得，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形． 【解答】 解：当时，四边形是平行四边形，理由如下： 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 故答案为：． 14.如图，在平行四边形中，E是的中点，连接、F是的中点，连接交于点G，若，则 的长为____2____． 【答案】 2 【解析】 取BE的中点M，连接FM，CM，利用三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理证明四边形EFMC为平行四边形即可得出结论. 【解答】 解：如图所示，取BE的中点M，连接FM，CM， 是AE的中点，M是BE的中点， 是 的中位线， 四边形ABCD是平行四边形， 是CD的中点， 四边形EFMC是平行四边形，   15.如图，中，，，点从点出发以 /秒速度向点运动，点从点出发以 /秒的速度向点A运动，连接，作线段的垂直平分线，交边和于、两点，设点的运动时间为（单位：秒，），当时，点的运动时间值是___ 或 _____秒． 【答案】 或 【解析】 本题考查平行四边形性质、全等三角形判定及等边三角形判定与性质，解题关键是分类讨论GH与AB的位置关系，利用全等三角形建立含t的方程。 当GH AB时，可证 （AAS），从而 ，解得 ；当GH不平行AB时，证明 （AAS），可得 是等边三角形，四边形ABFH是平行四边形，即有 ，解得 【解答】 解：当GH AB时，如图： 四边形ABCD是平行四边形， 四边形ABHG是平行四边形， 是EF的垂直平分线， 由 得： 当GH不平行AB时，如图： 四边形ABHG是等腰梯形， 是EF的垂直平分线， （AAS） 在Rt 中， 是等边三角形， 四边形ABFH是平行四边形， 解得 综上所述， 为 或 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）   16.（6分）若一个正多边形的每一个内角都比与其相邻外角的3倍多，求这个多边形的边数． （2）一个多边形的内角和是，求这个多边形共有多少条对角线． 【答案】 10 （2）27 【解析】 根据内角与相邻外角互补的关系，结合题目条件求出单个外角的度数，再利用多边形外角和为360°，即可求出边数； （2）先根据多边形内角和公式求出多边形的边数，再代入多边形对角线条数公式计算即可得到结果，掌握相关计算公式是解题的关键。 【解答】 解：设这个正多边形的一个外角为，则与其相邻的内角为，由题意可得： ， 解得， 多边形的外角和为360°， 这个多边形的边数为； （2）设这个多边形的边数为，根据多边形内角和公式可得： ， 解得， 这个多边形的对角线条数为， 即这个多边形共有27条对角线。  17.(6分) 已知，在下列网格中，每个小正方形的边长都为1． （1）在图1中，画一个斜边长为，面积为的直角三角形； （2）在图2中，画一个有一条边长为，面积为的平行四边形． 【答案】 见解析 见解析 【解析】 （1）取格点A、B、C，连接AB、AC、BC即可； （2）取格点 、B、C、D，连接AB、BC、DC、AD即可； 【解答】 （1）解：如图， 即为所求； 由图可知， ，AC=4，BC=3, ， 的面积为 （2）解：如图，四边形ABCD即为所求. 由图及勾股定理可知， ， 四边形ABCD是平行四边形， 的底 ，BC边上的高为2， ABCD的面积为 18.（7分）如图，在中，M、N为对角线上两点，满足，连接．求证：． 【答案】 见解析 【解析】 本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定， 根据平行四边形的性质可得，进而得，即可证明，然后根据全等三角形的性质 得出答案. 【解答】 证明：四边形ABCD为平行四边形， ， . 在和中，， ， . 19.(9分) 如图，在平行四边形中，是边上一点，，． （1）过点作的平行线，交于点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． （2）在的条件下，求四边形的周长． 【答案】 见解析 【解析】 （1）转化为作，利用内错角相等，两直线平行可得； （2）利用平行四边形的判定和性质证明四边形是平行四边形即可求解． 【解答】 （1）解：如图，射线即为所求作： （2）解：四边形是平行四边形， ，又， 四边形是平行四边形， ，, ，， 四边形的周长为． 20.(9分) 如图，等边△ABC的边长是4，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC连接CD和EF． （1）求证：DC＝EF； （2）求EF的长． 【答案】 见解析 【解析】 （1）先说明DE是的中位线，再利用三角形中位线定理得出、，再结合可得，再结合可证四边形DCFE为平行四边形，最后根据平行四边形的性质即可证明结论； （2）利用等边三角形的性质、直角三角形角多对的直角边是斜边的一半可求得BD，然后用勾股定理得出CD的长,最后根据EF=CD即可证明结论 【解答】 （1）证明：分别为AB、AC的中点， ， ， ， ， 四边形DCFE为平行四边形， . （2）解：为等边三角形，D为AB的中点， ，， ， ， . 21.(10分) 如图，点是内一点，连接、，并将、、、的中点、、、依次连接，得到四边形． （1）若，求的度数； （2）若为的中点，，和互余，求的长度． 【答案】 60° 6 【解析】 （1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF//BC且EF=BC,DG||BC且DG=BC，从而得到 DG=EF,DG||EF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求解; （2）先判断出∠BOC=90°，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出EF即可求解. 【解答】 （1）解：∵ D,G分别是AB,AC的中点， ∴ DG||BC,DG=BC ∵ E,F分别是OB,OC的中点， ∴ EF||BC,EF=BC ∴ DG=EF,DG||EF， ∴ 四边形DEFG是平行四边形， ∵ ∠GDE=60°, ∴ ∠GFE=60°; （2）解：∵ ∠OBC和∠OCB互余， ∴ ∠OBC+∠OCB=90°, ∴ ∠BOC=90°, ∵ M为EF的中点,OM=3, ∴ EF=2OM=6, 由(1)知四边形DEFG是平行四边形, ∴ DG=EF=6.  22.(10分) 如图，在平行四边形中，点、分别在，上，且． （1）求证：； （2）试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】 见解析 四边形DEBF是平行四边形，见解析 【解析】 （1）结合平行四边形性质，利用边角边证明 ； （2）根据平行四边形的判定和性质证明即可. 【解答】 （1）证明：， ， 在 和 中， SAS$)； （2）在 中， ， ， ， ， 四边形DEBF是平行四边形. 23.(10分) 如图，在中，，垂足为E，，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF，EG，AG，． （1）若，，求BE的长； （2）求证：． 【答案】 4 见解析 【解析】 （1）求出 ，求出AB，根据勾股定理求出BE即可； （2）延长AG交BC延长线于点M，证名 ，推出CG=CF，再证明 ，可得AG=MG，再根据直角三角形的性质，即可得出答案. 【解答】 （1）解： 点F为CE的中点，CF=2.5, （1）解： ，点F为CE的中点，CF=2.5， 四边形ABCD是平行四边形， 在Rt△ABE中，由勾股定理得： （2）证明：延长AG交BC延长线于点M， 在 和 中， (AAS), 四边形ABCD是平行四边形， 在 和 中， (ASA), 24.(11分) 综合与探究 问题情境：如图，是矩形的对角线，点，分别在边，上，将沿折叠，使点落在上的点处，将沿折叠，使点落在上的点处．求证：四边形是平行四边形． 初步探究： 郭鹏同学的证明过程如下： 四边形是矩形， ，，． ． 由折叠，得，，，． ，． ，即． ． ． 又， 四边形是平行四边形（依据）． 解决问题： （1）郭鹏同学的证明过程中的“依据”是____________一组对边平行且相等的四边形是平行四边形____________________． （2）赵斌同学的证明思路：不利用全等，依据平行四边形的定义证明．请按赵斌的思路写出证明过程． 拓展探究： （3）连接，，若，，求四边形的周长． 【答案】 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 见解析 【解析】 （1）由平行四边形的判定定理即可求解； （2）根据折叠性质，平行线的性质，利用平行四边形的定义即可得结论； （3）先根据勾股定理可得 ，由折叠得： ，由勾股定理得 的长，即可解答。 【解答】 （1）解：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）解： 四边形 是矩形， ， 由折叠，得 ， 又 四边形 是平行四边形； （3）解： 四边形 是矩形， ， ， 由折叠，得 同理可得 设 ，则 ， 在 中， 即 ，解得 由(1)知 四边形 是平行四边形， 四边形 的周长为 25.(12分) 在平行四边形中，点是对角线的中点，点在边上，的延长线与边交于点，连接，如图1． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，过点作的垂线，与分别交于点，如图． ①求证：；②已知，直接写出的长_________． 【答案】 见解析 ①见解析； 【解析】 （1）通过ASA证明 ，得 DF=BE，又DF BE，即可证明四边形BEDF是平行四边形； （2）①根据DN EC，CQ DE，得 ， ，则有 ，再证 ，得出CD=CH，然后证明 ，得HM=CN，进而根据等腰直角三角形的性质即可解决问题； ②根据题意设BE=3k，EC=2k，勾股定理求得 ，得出k ，进而得出EC，DN的长，再根据等面积法，即可求解. 【解答】 （1）证明： 四边形ABCD是平行四边形，点O是对角线BD的中点， ，BO=DO， 在 和 中， 四边形BEDF是平行四边形； 四边 （2）①证明：如图2，过点D作 于点N，过点H作HM 于点M， BEDF 图2 又 又 设BE=3k, EC=2k 又 在Rt 中， 学科网（北京）股份有限公司 $