第六章《平行四边形》复习与巩固(三)2025－2026学年北师大版数学八年级下册

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 八年级数学下册 第六章 平行四边形 复习与巩固 (三) 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（       ） A. B. C. D. 2.如图， 与，平行四边形、三角形、梯形放置于和之间，它们的面积分别记为，则下列正确的是（       ） A. B. C. D. 3.如图，中，点D，E分别是边，的中点，，，，则的长为（     ） A.6 B.4 C.3 D.2 4.我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计（如图1），其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．如图2的正八边形是其示意图，则的度数是（ ）． A.125° B.130° C.135° D.140° 5.如图，在平行四边形中，E是中点，于点F，，，则的面积是（ ）     A.6 B. C. D.9 6.如图，在中，过点A分别作的垂线段，垂足为E，F，若，，，则线段的长为（       ） A.3 B.3.2 C.3.6 D.4 7.如图，在中，、分别是、边的中点，、两点在对角线上，且，则下列结论中不正确的是（       ） A. B. C.与互相平分 D. 8.如图， 四边形中，，，，，， 则的长为（       ） A. B. C. D. 9.在中，，点是的中点，过点作，交于点，点在上，且，当时，（       ） A. B. C. D. 10.如图有一条直角弯道河流，河宽为，、两地到河岸边的距离均为，，，，现欲在河道上架两座桥、，使最小，则最小值为(       ) A. B. C. D. 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ）   11.若正多边形的一个内角比它的一个外角大，则这个多边形的边数为______． 12.如图，在中，，分别是，边上的点，与交于点，与交于点，若四边形的面积为，则图中阴影部分的面积为________________． 13.如图，是的对角线，点，在上，要使四边形是平行四边形，还需增加的一个条件可以是________． 14.如图，F是的重心，连接并延长交于点D，连接并延长交于点E．若的面积是，则四边形的面积是_______． 15.如图，在中，，点是线段上一动点，连接，过点作线段的垂线，垂足为，与交于点，下列选项正确的有______________． ①； ②四边形是平行四边形； ③连接，当时，四边形是平行四边形； ④当时，． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）   16.（6分）如果一个多边形的内角和等于它外角和的倍，则这个多边形的边数是多少？ 17.(6分) 如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，，，，各点都在格点上．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求在同一答题图上画图． （1）找出格点，连结，，使四边形是平行四边形； （2）过点作一条直线，使直线平分平行四边形的周长和面积． 18.（8分）如图，在Rt 中，，，分别是，的中点，延长到点，使BD ，连接交于点．求证：BG ． 19.（8分）如图，在中，点分别在上，，交于点O．求证． 20.（9分）如图，，分别是四边形的边，的中点，，是，的中点．求证：和互相平分． 21.(10分) 如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，，求的周长． 22.(10分) 如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，已知． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求椅子最高点A到地面的距离． 23.(10分) 如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，，求的长． 24.(11分) 如图，在中，，，，过点作，且点在点的右侧．点从点出发沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线方向以每秒4个单位长度的速度运动，在线段上取一点E，使得，连接，设点P的运动时间为t秒． （1）若，求的长． （2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 25.(12分) 问题探究： 一条线段沿某个方向平移一段距离后与原线段构成一个平行四边形．我们可以利用这一性质，将有些条件通过平移集中在一起来解决一些几何问题． （1）如图1，两条长度相等的线段和相交于G点，，试说明线段． 分析：考虑通过平移，将、和集中到同一个三角形中，运用三角形的三边关系来证明． 如图1，作且，则四边形是___平行四边形___（填四边形的形状）， ∴ ；∵ ，， ∴ 是___等边三角形___（填的形状），∴ ． 当与不平行时，M，N，C三点不在同一直线上，由三角形三边关系可知，___>___（填>或=或<）； 当与平行时，M，N，C三点在同一直线上，此时，，∴ ． 问题解决： （2）如图2，在中，，，点M，点N分别在，上，交于点G，，． ①求证：； ②求的值； 拓展应用： （3）如图3，在中，，点M，点N分别在，上，交于点G，若，，，，直接写出长（用含a、b的代数式表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 八年级数学下册 第六章 平行四边形 复习与巩固 (三) 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定性质逐项进行分析判断即可． 【解答】 解：、，四边形不是平行四边形，不符合题意； 、只有一组对边平行不能确定四边形是平行四边形，不符合题意； 、一组对边平行且相等，是平行四边形，符合题意； 、不能判断出任何一组对边是平行的，所以四边形不一定是平行四边形，不符合题意． 故选：．  2.如图， 与，平行四边形、三角形、梯形放置于和之间，它们的面积分别记为，则下列正确的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 此题考查了平行线之间的距离, 设 和 之间的距离为 , 然后表示出 , 进而求解即可. 【解答】 解： 设 和 之间的距离为 故选：D.  3.如图，中，点D，E分别是边，的中点，，，，则的长为（     ） A.6 B.4 C.3 D.2 【答案】 D 【解析】 根据三角形中位线定理计算即可解题. 【解答】 解：∵ 点D，E分别是BC，AC的中点， ∴ DE=AB， ∵ AB=4， ∴ DE=×4=2. 故选： 4.我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计（如图1），其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．如图2的正八边形是其示意图，则的度数是（ ）． A.125° B.130° C.135° D.140° 【答案】 135° 【解析】 根据多边形的内角和公式 求出正八边形内角和，然后再除以8即可得出答案. 【解答】 解： ABCDEFGH是一个正八边形， 正八边形的每个内角为： 即  故选： 5.如图，在平行四边形中，E是中点，于点F，，，则的面积是（ ）     A.6 B. C. D.9 【答案】 B 【解析】 本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，正确作出辅助线是解答本题的关键。求出 ，求出AG=8，根据勾股定理求出GF，求出三角形AFG的面积，即可求出答案. 【解答】 解：如图，延长DC和AE交于G， 四边形ABCD是平行四边形， 在 和 中， (ASA), 由勾股定理得： 的面积是 故选：B. 6.如图，在中，过点A分别作的垂线段，垂足为E，F，若，，，则线段的长为（       ） A.3 B.3.2 C.3.6 D.4 【答案】 B 【解析】 本题考查了平行四边形的性质,勾股定理,先根据勾股定理求出 ,由平行四边形的性质得 ,然后利用面积法求解即可. 【解答】 解： ， 四边形 是平行四边形, 故选B. 7.如图，在中，、分别是、边的中点，、两点在对角线上，且，则下列结论中不正确的是（       ） A. B. C.与互相平分 D. 【答案】 A 【解析】 本题考查平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质．连接交于，证明进而证明四边形是平行四边形，即可判断选项，根据全等三角形的性质即判断，选项，即可求解． 【解答】 解：连接交于点， 在平行四边形中 ，， ， 、分别是、边的中点， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形 ， 又 与互相平分，故正确 ，，，故、正确， 没有条件证明，故不正确， 故选：． 8.如图， 四边形中，，，，，， 则的长为（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 延长，过点作，交于点，证明四边形为平行四边形，得出，，证明，根据勾股定理得出，即可得出结果． 【解答】 解：延长，过点作，交于点，如图所示： ， 四边形为平行四边形， ，， ，， ， ， 根据勾股定理得：， ， 故此题答案为． 9.在中，，点是的中点，过点作，交于点，点在上，且，当时，（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 由直角三角形的中线可得的长，再结合可得，然后结合线段的和差可得，过点作交于点，证明出四边形是平行四边形，得到，然后证明出，得到，最后根据三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半即可求解． 【解答】 解：，点是的中点，，， ， ， ， 过点作交于点， ， 四边形是平行四边形， ， 点是的中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 点是的中点， 点是的中点， 是的中位线， ， 故此题答案为． 10.如图有一条直角弯道河流，河宽为，、两地到河岸边的距离均为，，，，现欲在河道上架两座桥、，使最小，则最小值为(       ) A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 延长到，使得，延长到，使得，连接交河道于点，，得到两座桥，，此时的值最小． 【解答】 解：延长到，使得，延长到，使得，连接交河道于点，，得到两座桥，，此时的值最小． 四边形是平行四边形， ， 同理：， 延长交的延长线于点． ，， ，， 在中，， ， 的最小值为． 故选：． 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ）   11.若正多边形的一个内角比它的一个外角大，则这个多边形的边数为____5____． 【答案】 【解析】 根据多边形内角与相邻外角互补列方程求出外角度数，再利用任意多边形外角和为 即可求出边数. 【解答】 解：设这个正多边形的一个内角为 ，则相邻外角为 由多边形内角与相邻外角和为 ，得： 解得： 则外角为 任意多边形的外角和为 ，正多边形各外角相等， 该多边形边数为 12.如图，在中，，分别是，边上的点，与交于点，与交于点，若四边形的面积为，则图中阴影部分的面积为________16_________． 【答案】 【解析】 本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的面积公式，平行线之间的距离（利用平行线间距离解决问题）等知识点，由平行线间距离处处相等得出是解题的关键． 连接，由平行四边形的性质可得，由平行线间距离处处相等可得和同高且等底，由三角形的面积公式可得，进而可得，即，同理可得，则图中阴影部分的面积，于是得解． 【解答】 解：如图，连接， 四边形是平行四边形， ， 和等底同高， ， ， ， 同理可得：， 图中阴影部分的面积 ， 故答案为：． 13.如图，是的对角线，点，在上，要使四边形是平行四边形，还需增加的一个条件可以是________． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：如图，连接交于点， ∵ 四边形为平行四边形， ∴ ，， ∴ 当时，可得，则四边形为平行四边形， ∴ 可增加． 故答案为：（答案不唯一）． 14.如图，F是的重心，连接并延长交于点D，连接并延长交于点E．若的面积是，则四边形的面积是____8____． 【答案】 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：如图，延长AD到H，使DH=DF，连接RH，CH，延长RF交AC干点F 四边形FBHC是平行四边形， 是 的中位线， 的边AF上的高与 的边DF上的高相同， 的面积是 ， 的边DF上的高与 的边DF上的高相同， 又 的边BF上的高与 的边EF上的高相同， 四边形CDFE的面积为： 故答案为：8. 15.如图，在中，，点是线段上一动点，连接，过点作线段的垂线，垂足为，与交于点，下列选项正确的有_______①③④________． ①； ②四边形是平行四边形； ③连接，当时，四边形是平行四边形； ④当时，． 【答案】 ①③④ 【解析】 过点作于点，由平行四边形性质得，由，判断选项①；由与不一定垂直， ，得与不一定平行，判断选项②；当时，由，得，由，判断选项③；由，得，得，当时，得，得，得，由 ，得，判断选项④． 【解答】 解：过点作于点， 在中，， 且， ， 选项①正确； 点是线段上一动点， 与不一定垂直， ， 与不一定平行， 四边形不一定是平行四边形， 选项②不正确； 当时， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 选项③正确； ， ， ， ， ， 当时，， ， ， ， ， ， ， ， 选项④正确； 正确的选项有①③④， 故答案为：①③④． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）   16.（6分）如果一个多边形的内角和等于它外角和的倍，则这个多边形的边数是多少？ 【答案】 这个多边形的边数是 【解析】 本题考查多边形的内角和与外角和的综合应用，设多边形的边数是，根据题意，列出方程进行求解即可，掌握多边形的内角和公式以及外角和为度，是解题的关键． 【解答】 解：设多边形的边数是， 由题意，得：， 解得：； 故这个多边形的边数是． 17.(6分) 如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，，，，各点都在格点上．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求在同一答题图上画图． （1）找出格点，连结，，使四边形是平行四边形； （2）过点作一条直线，使直线平分平行四边形的周长和面积． 【答案】 作图见详解 作图见详解 【解析】 （1）利用网格的特点找到点使得平行且等于即可． （2）利用平行四边形的对称性，找到对角线、的交点，过点、作直线交于点即可 【解答】 （1）解：取格点，使平行且等于，即可得到平行四边形． （2）连接、交于点，过点、作直线交于点，直线平分平行四边形的周长和面积． 18.（8分）如图，在Rt 中，，，分别是，的中点，延长到点，使BD ，连接交于点．求证：BG ． 【答案】 见解析 【解析】 本题考查了三角形的中位线定理与定义, 平行四边形的判定与性质, 解题关键是掌握以上概念. 本题先利用中位线的定义与性质得到 , 再得到四边形 是平行四边形, 即可求证. 【解答】 证明：连接 点 分别为 的中点, , 四边形 是平行四边形, 19.（8分）如图，在中，点分别在上，，交于点O．求证． 【答案】 见解析 【解析】 本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，先由平行四边形的性质得 ，则 ，结合 ，得 ，再证明 ，即可作答. 【解答】 解： 四边形 是平行四边形， 20.（9分）如图，，分别是四边形的边，的中点，，是，的中点．求证：和互相平分． 【答案】 见解析 【解析】 本题考查平行四边形判定及性质．根据题意连接、、、，即可判定四边形是平行四边形，继而得到本题答案． 【解答】 解：证明：连接、、、， ， 是四边形的边的中点，是的中点． ，， ，， 同理，， ，， ，， 四边形是平行四边形， 和互相平分． 21.(10分) 如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，，求的周长． 【答案】 见解析； 36. 【解析】 (1) 由平行四边形的性质和中点的性质可得 ，即可得结论； (2) 由角平分线的定义和平行线的性质可证 ，即可求解； 此题暂无解析 【解答】 (1) 证明：四边形 是平行四边形， 点 分别是 的中点， ， 又， 四边形 是平行四边形； (2) 解： BE 平分 ， ， 又， ， ， ， ， 的周长为 ． 22.(10分) 如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，已知． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求椅子最高点A到地面的距离． 【答案】 见解析 80cm 【解析】 （1）由平行线的性质可得 ， ，进而得 ，可知BC//DE，即可证明结论； （2）由平行四边形的性质得 ，延长AC交GF于H，由（1）可知，CH EF，CE HF，可知四边形CHFE是平行四边形，得 ，HF=CE=20cm，求得AH=AC+CH=100cm，GH=GF-HF=60cm，证明 ，再由勾股定理即可求解. 【解答】 （1）证明： 则 四边形BCED是平行四边形； （2）解：四边形BCED是平行四边形， 延长AC交GF于H， --- 由（1）可知， 四边形CHFE是平行四边形， 则 连接AG， 即：椅子最高点 到地面GF的距离为80cm. 23.(10分) 如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，，求的长． 【答案】 详见解析 【解析】 （1）证明 （ASA），得 ，根据一边平行且相等的四边形为平行四边形得出结论； （2）由平行四边形的性质得 ， ，再由勾股定理求出 ，然后由三角形面积求出BH的长即可. 【解答】 （1）证明： 在 和 中， 四边形ABCD是平行四边形； （2）由（1）可知，四边形ABCD是平行四边形， 的长为 24.(11分) 如图，在中，，，，过点作，且点在点的右侧．点从点出发沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线方向以每秒4个单位长度的速度运动，在线段上取一点E，使得，连接，设点P的运动时间为t秒． （1）若，求的长． （2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】 存在， 或 ，见解析 【解析】 （1）如图所示，过点A作 于点M，可得 ， 是等腰直角三角形，根据边的关系列含t的方程，由此即可求解； （2）分类讨论，根据平行四边形的判定和性质即可求解. 【解答】 （1）解：如图所示，过点 作 于点M， AB=AC, 是等腰直角三角形， 解得， 的长为 （2）解：存在， 或 ，理由如下， 第一种情况，当点Q，E在线段BC上时，若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，则 AP=BE 解得， 第二种情况，当点Q，E在线段CB延长线上时，若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，则 AP=BE 解得， 综上所述，存在 的值，使得以 为顶点的四边形为平行四边形， 或 . 25.(12分) 问题探究： 一条线段沿某个方向平移一段距离后与原线段构成一个平行四边形．我们可以利用这一性质，将有些条件通过平移集中在一起来解决一些几何问题． （1）如图1，两条长度相等的线段和相交于G点，，试说明线段． 分析：考虑通过平移，将、和集中到同一个三角形中，运用三角形的三边关系来证明． 如图1，作且，则四边形是___平行四边形___（填四边形的形状）， ∴ ；∵ ，， ∴ 是___等边三角形___（填的形状），∴ ． 当与不平行时，M，N，C三点不在同一直线上，由三角形三边关系可知，___>___（填>或=或<）； 当与平行时，M，N，C三点在同一直线上，此时，，∴ ． 问题解决： （2）如图2，在中，，，点M，点N分别在，上，交于点G，，． ①求证：； ②求的值； 拓展应用： （3）如图3，在中，，点M，点N分别在，上，交于点G，若，，，，直接写出长（用含a、b的代数式表示）． 【答案】 平行四边形，等边三角形，>； ①见解析； ； ①作BE AN且 BE=AN，连接AE，可得四边形AEBN是平行四边形，进而得 AE=BN， 【解析】 （1）根据证明过程即可求解； AN = BE = BM. 、ABM即可； ②作AH BH，可推出 ；设AE=2x，则HE=x，AH ；结合 证 即可； ②作AH BH，可推出 ；设AE=2x，则HE=x，AH ；结合 ，可得BH=AH ，进一步可得BE=BH-HE ，根据BE=BM 即可求解； （3）作MH AN且MH=AN，连接NH，BH，作HI BC，则四边形AMHN是平行四边形， ，NH AM，可证 是等边三角形；根据 可得HI=MI=a，结合BM=b-a可得BI=BM+MI=b，即可求解 【解答】 （1）作 AM BN且AM=BN，则四边形ABNM是平行四边形； 是等边三角形； 由三角形三边关系可知，MN+NC>MC， 当AB与CN平行时，M，N，C三点在同一直线上，此时，MN+NC=MC， 故答案为：平行四边形，等边三角形，>； （2）①作BE AN且BE=AN，连接AE，如图所示； 且BE=AN， 四边形AEBN是平行四边形， 如图所示： ②作 AH BH，如图所示 设 ，则 解得： （3）作 MH AN且MH=AN，连接NH，BH，作HI BC，如图所示： 则四边形AMHN是平行四边形， ，NH 是等边三角形， 学科网（北京）股份有限公司 $