第六章 平行四边形 复习与巩固(一) 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 八年级数学下册 第六章 平行四边形 复习与巩固 (一 ) 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.正n边形的一个外角等于30°，则n的值为（          ） A.12 B.16 C.8 D.15 2.四边形中，对角线与交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（       ） A.， B.∥，∥ C.， D.∥， 3.如图，在平行四边形中，对角线、相交于点， ，则的长为（        ） A. B. C. D. 4.如图，在中，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交于点O，交于点E，F．下列结论正确的是（       ） A. B. C. D. 5.如图，的周长为，对角线、相交于点，点是的中点，，则的周长为（       ） A. B. C. D. 6.如图，在平行四边形中，E是中点，于点F，，，则的面积是（ ） A.6 B. C. D.9 7.如图中，过对角线上一点作，，图中有（       ）对面积相等的平行四边形． A. B. C. D. 8.如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，则的长为（       ） A.1 B. C. D.2 9.如图，在四边形中，对角线，且，，点E、F分别是边、的中点，则的长度是（     ） A. B. C.6 D.不确定，随着四边形的形状改变 10.如图，为的对角线，，于点E，于点F，、相交于点H，直线交线段延长线于点G，下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确的结论有（       ） A.①②③④ B.①④ C.①③④ D.①②④ 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ）   11.如图，禁令标志是交通标志中的一种，是对车辆加以禁止或限制的标志，如禁止通行、禁止停车、禁止左转弯、禁止鸣喇叭、限制速度、限制重量等．如图，该禁令标志的内角和是___________． 12.如图，梯形中，，，，E是的中点，F是的中点，则________ ． 13.如图，四边形的对角线、相交于点，且，请你添加一个适当的条件：_______，使． 14.如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线折叠得到，交于点，连结，若，，，则的长是______________． 15.如图，在中，，，平分交于点，为直线上一动点．连接，以为邻边构造平行四边形，连接，若．则的最小值为___________． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）   16.（5分）如果一个多边形每个内角都是，求这个多边形的边数和内角和，并直接写出该多边形对角线的条数． 17.(8分) 如图，在小正方形组成的网格中，四边形的顶点都是格点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中，作矩形，使得点E，F分别在上． （2）在图2中，作矩形，使得点G，H分别在上． 18.（7分）如图，在中，点是中点，连接并延长交的延长线于点．求证：． 19.(8分) 如图，点是内一点，连接、，并将、、、的中点、、、依次连接，得到四边形． （1）若，求的度数； （2）若为的中点，，和互余，求的长度． 20.(10分) 如图，在四边形中，，平分交于点E，连接． （1）若，，求的度数； （2）若，试说明． 21.（10分）已知：如图，中，E，F两点在对角线上，． 求证：四边形是平行四边形． 22.(10分) 如图，在中，点D是边的中点，点E在内，平分，，点F在边上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 23.(10分) 如图，在平行四边形中，连接，分别过点、作于点，于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，求的长． 24.(10分) 如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，，求的长． 25.(12分) 如图，在四边形中，，点是边的中点，连接并延长交的延长线于点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连结，若，，，求四边形的面积； （3）如图，在的条件下，若为线段上任意一点，作点关于点的对称点，连结，当点落在的边上时，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 八年级数学下册 第六章 平行四边形 复习与巩固 (一 ) 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.正n边形的一个外角等于30°，则n的值为（          ） A.12 B.16 C.8 D.15 【答案】 A 【解析】 利用多边形的外角和即可求出答案. 【解答】 解： . 故选：A. 2.四边形中，对角线与交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（       ） A.， B.∥，∥ C.， D.∥， 【答案】 D 【解析】 本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理求解即可求得答案． 【解答】 解：、 ， ， 四边形ABCD是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； 、 ， ， 四边形ABCD是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； 、 ， ， 四边形ABCD是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； 、 ， ， 四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形．故不能判定这个四边形是平行四边形． 故选：D． 3.如图，在平行四边形中，对角线、相交于点， ，则的长为（        ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：由勾股定理可得，， 因为， 所以. 故选B. 4.如图，在中，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交于点O，交于点E，F．下列结论正确的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 本题主要考查了平行四边形的性质，尺规作图，全等三角形的判定和性质．由作法可得EF垂直平分BD，再由平行四边形的性质，可得 ，可判定A；再证明，可判定B，C，D，即可求解． 【解答】 解：由作法得：EF垂直平分BD， ， 四边形ABCD是平行四边形， ，，， ， 根据条件无法得到， 无法得到，故A选项错误，不符合题意； ，，， (ASA)， ，，故B、D选项错误，不符合题意； ， 即，故C选项正确，符合题意； 故选：C. 5.如图，的周长为，对角线、相交于点，点是的中点，，则的周长为（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 此题涉及的知识点是平行四边形的性质．根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，，又因为点是的中点，可得是的中位线，可得，所以易求的周长． 【解答】 解：的周长为，，则． 四边形是平行四边形，对角线，相交于点，， ． 又点是的中点，， 是的中位线，， 的周长， 即的周长为． 故选 6.如图，在平行四边形中，E是中点，于点F，，，则的面积是（ ） A.6 B. C. D.9 【答案】 B 【解析】 本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，正确作出辅助线是解答本题的关键。求出 ，求出AG=8，根据勾股定理求出GF，求出三角形AFG的面积，即可求出答案. 【解答】 解：如图，延长DC和AE交于G， 四边形ABCD是平行四边形， 在 和 中， (ASA), 由勾股定理得： 的面积是 故选：B. 7.如图中，过对角线上一点作，，图中有（       ）对面积相等的平行四边形． A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 平行四边形的对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形．所以三角形的面积等于三角形的面积．三角形的面积等于的面积，三角形的面积等于三角形的面积，从而可得到的面积等于的面积，同时加上一个公共的平行四边形，可以得出答案有三个． 【解答】 解：为平行四边形，为对角线， 的面积等于的面积， 同理的面积等于的面积，的面积等于的面积， 的面积减去的面积和的面积等于平行四边形的面积，的面积减去和的面积等于平行四边形的面积． 的面积等于的面积． 同时加上平行四边形和， 可以得出面积和面积相等，和面积相等． 所以有对面积相等的平行四边形． 故选． 8.如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，则的长为（       ） A.1 B. C. D.2 【答案】 A 【解析】 本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，三角形中位线性质；熟练掌握这些知识是关键．由平行四边形的性质及角平分线的定义得 AP=AD=4，从而得PB的长，由三角形中位线定理即可求解． 【解答】 解：在 中，AB=CD=6，AB||CD，OB=OD， 平分 是PD的中点，OD=OB， 故选：A. 9.如图，在四边形中，对角线，且，，点E、F分别是边、的中点，则的长度是（     ） A. B. C.6 D.不确定，随着四边形的形状改变 【答案】 A 【解析】 取AD的中点G，连接EG，GF，利用三角形中位线定理将已知的对角线AC和BD的长度及垂直关系转化到 中，从而求解. 【解答】 解：如图，取AD的中点G，连接EG，GF， 点E、F、G分别是AB、CD、AD的中点，AC=8，BD=10， , GF , EG , FG , 10.如图，为的对角线，，于点E，于点F，、相交于点H，直线交线段延长线于点G，下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确的结论有（       ） A.①②③④ B.①④ C.①③④ D.①②④ 【答案】 B 【解析】 本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的边角关系，全等三角形的判定与性质，综合性强．根据题目已知条件，结合所给结论，逐一判断即可． 【解答】 解：对于结论①：于点E，BF CD于点F， ， ， ， ， 四边形ABCD是平行四边形， ， ． 故①正确； 对于结论②：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故②错误； 对于结论③：， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ，且，， ， ． 故③错误； 对于结论④：， 又， ， ， ， ． 于点E，于点F$， ， 由①可知，， 在和中， ， （AAS）， ， ， ， ． 故④正确； 故选：B． 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ）   11.如图，禁令标志是交通标志中的一种，是对车辆加以禁止或限制的标志，如禁止通行、禁止停车、禁止左转弯、禁止鸣喇叭、限制速度、限制重量等．如图，该禁令标志的内角和是____________． 【答案】 【解析】 本题考查了正多边形的内角和，根据公式可得到正多边形的内角和，正确计算是解题的关键． 【解答】 解：由图可得，该标志为正八边形， 即， 故答案为：． 12.如图，梯形中，，，，E是的中点，F是的中点，则____4____ ． 【答案】 4 【解析】 本题考查三角形中位线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，正确添加辅助线是解题的关键连接并延长AE交BC于点H，由AD BC，得 ，而DE=BE， ，即可根据“ASA”证明 ，得AD=HB=2，AE=HE，因为BC=10，所以HC=BC-HB=8，由E是AH的中点，F是AC的中点，根据三角形中位线定理得EF ，于是得到问题的答案. 【解答】 解：连接并延长 交BC于点H, ，E是BD的中点， ，DE=BE， 在 和 中， （ASA） ，AE=HE， 是AH的中点，F是AC的中点， 故答案为：A 故答案为：4. 13.如图，四边形的对角线、相交于点，且，请你添加一个适当的条件：_____ (答案不唯一)___，使． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，能找到合适的条件证明平行四边形或全等三角形是解题的关键.添加 可证四边形ABCD是平行四边形，可得 【解答】 解：添加条件 ，理由如下： 四边形 是平行四边形, 故答案为： (答案不唯一). 14.如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线折叠得到，交于点，连结，若，，，则的长是_______________． 【答案】 【解析】 由平行四边形的性质得，，进而求出，由折叠的性质得，，，求出得，求出得，然后由勾股定理即可求解． 【解答】 解：四边形为平行四边形，， ，，，， ，， ， ， 将沿着所在的直线折叠得到， ， ， ， ，， ， ； 故答案为：． 15.如图，在中，，，平分交于点，为直线上一动点．连接，以为邻边构造平行四边形，连接，若．则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 过作于，过作于，如图，利用直角三角形的性质和勾股定理，求出，则可求得，，继而求出；过作于，连接交于，，得到，故到直线的距离始终为，所以点在平行于的直线上运动，且两直线距离为，根据垂线段最短，当，，三点在一条直线上时，此时最小，最小值为：，即可求解． 【解答】 解：如图，过作于，过作于， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， 平分， ， 在 中，， 可设 ， ， ， ， ， ， ， 如图，过作于，连接交于， 四边形为平行四边形， ， 在与中， ， ， 故到直线的距离始终为， 所以点在平行于的直线上运动，且两直线距离为， 根据垂线段最短， 当，，三点在一条直线上时，此时最小，如图， 最小值为： 故答案为：． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）   16.（5分）如果一个多边形每个内角都是，求这个多边形的边数和内角和，并直接写出该多边形对角线的条数． 【答案】 边数为18，内角和为2880°，对角线条数为135 【解析】 先根据已知内角度数求出每个外角度数，利用任意多边形外角和为360°求出边数，再根据多边形内角和公式计算内角和，最后根据n边形对角线条数公式计算对角线的条数. 【解答】 解： 多边形每个内角为160°， 每个外角为180°-160°=20° 任意多边形的外角和为360°， 多边形的边数为 根据多边形内角和公式，可得内角和为， 十八边形对角线条数为 , 答：这个多边形的边数为18，内角和为2880°，对角线共135条. 17.(8分) 如图，在小正方形组成的网格中，四边形的顶点都是格点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中，作矩形，使得点E，F分别在上． （2）在图2中，作矩形，使得点G，H分别在上． 【答案】 见详解 见详解 【解析】 （1）结合网格特征得 AF ED，AF=ED=4，则四边形AEDF是平行四边形，又因为 ，即可得出四边形AEDF是矩形； （2）结合网格特征得AC BD，AC=BD=5，故四边形ABCD是平行四边形， 先结合网格分别找出AB，CD的中点G，H，AG AB，DH CD，即AG=DH，又因为AB CD，故四边形AGDH是平行四边形，再运用勾股定理与网格，得出AD ，即 是等腰三角形，运用三线合一，得出 ，得出四边形AGDH是矩形，即可作答. 【解答】 （1）解：矩形 AEDF如图所示： 图1 （2）解：矩形AGDH如图所示： 图2 18.（7分）如图，在中，点是中点，连接并延长交的延长线于点．求证：． 【答案】 见解析. 【解析】 由平行四边形性质可得 ， ，所以 ，然后证明 (AAS)，则 ，从而求证. 【解答】 证明： 四边形 是平行四边形， ， , , 点F是AD中点， , 在 和 中， , (AAS), , .  19.(8分) 如图，点是内一点，连接、，并将、、、的中点、、、依次连接，得到四边形． （1）若，求的度数； （2）若为的中点，，和互余，求的长度． 【答案】 60° 6 【解析】 （1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF//BC且EF=BC,DG||BC且DG=BC，从而得到 DG=EF,DG||EF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求解; （2）先判断出∠BOC=90°，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出EF即可求解. 【解答】 （1）解：∵ D,G分别是AB,AC的中点， ∴ DG||BC,DG=BC ∵ E,F分别是OB,OC的中点， ∴ EF||BC,EF=BC ∴ DG=EF,DG||EF， ∴ 四边形DEFG是平行四边形， ∵ ∠GDE=60°, ∴ ∠GFE=60°; （2）解：∵ ∠OBC和∠OCB互余， ∴ ∠OBC+∠OCB=90°, ∴ ∠BOC=90°, ∵ M为EF的中点,OM=3, ∴ EF=2OM=6, 由(1)知四边形DEFG是平行四边形, ∴ DG=EF=6. 20.(10分) 如图，在四边形中，，平分交于点E，连接． （1）若，，求的度数； （2）若，试说明． 【答案】 见解析 【解析】 （1）先求出 ，再求出 ，即可求解； （2）由(1)知， ，得到 ，再得到 ，根据角平分线的性质得到 ，即可得出结论. 【解答】 （1）解： ， , , , , , , , ; （2）解：由(1)知， , , ， , , , , . 21.（10分）已知：如图，中，E，F两点在对角线上，． 求证：四边形是平行四边形． 【答案】 见解析 【解析】 先利用平行四边形ABCD的性质得到对边平行且相等的关系，再结合已知BE=DF的条件，通过证明ΔABE与ΔCDF、ΔADF与ΔCBE全等，推导出四边形AECF的对边分别相等，最终依据平行四边形的判定定理证得结论. 【解答】 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB=CD，AB∥CD， ∴ ∠ABE=∠CDF， 在ΔABE和ΔCDF中， ∴ AB=CD ∠ABE=∠CDF， BE=DF ∴ ΔABE≌ΔCDF(SAS), ∴ AE=CF， ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD=BC，AD∥BC， ∵ AD∥BC， ∴ ∠ADF=∠CBE， 在ΔADF和ΔCBE中， ∴ AD=BC ∠ADF=∠CBE， DF=BE ∴ ΔADF≌ΔCBE(SAS), ∴ AF=CE， ∵ AF=CE, ∴ 四边形AECF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） 22.(10分) 如图，在中，点D是边的中点，点E在内，平分，，点F在边上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 【答案】 详见解析 3 【解析】 （1）利用平行四边形的定义，证明四边形BDEF是平行四边形； （2）先根据四边形BDEF是平行四边形，得BF=DE.再利用三角形中位线定理，得 ，结合 （ASA），解答即可. 【解答】 （1）证明：延长CE交AB于点G， 平分 在 和 中， （ASA）. 为 的中位线， 四边形BDEF是平行四边形. （2）解： 四边形BDEF是平行四边形， 由（1）得DE为 的中位线， 由（1）得 （ASA）， 23.(10分) 如图，在平行四边形中，连接，分别过点、作于点，于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，求的长． 【答案】 见解析 4.2 【解析】 （1）根据平行四边形得 ，根据垂线性质得 ，得 （AAS），得 ，即得结论； （2）由勾股定理求出 ，由 ，即得结果。 【解答】 （1）证明： 在平行四边形 中，， ， ， ，， （AAS）， ， ， 四边形 是平行四边形。 （2）解：，， ， 由 (1) 知，（AAS）， ， ， 。 24.(10分) 如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，，求的长． 【答案】 见解析 【解析】 （1）证明 (ASA)，得 ，根据一边平行且相等的四边形为平行四边形得出结论； （2）由平行四边形的性质得 ，，证明出 ，然后由三角形面积求出 的长即可. 【解答】 （1）证明： ， ， ， ， ， 在 和 中， (ASA)， ， 四边形 是平行四边形； （2）解：由(1)可知，四边形 是平行四边形， ，， ， ， ， ， 。 的长为 。 25.(12分) 如图，在四边形中，，点是边的中点，连接并延长交的延长线于点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连结，若，，，求四边形的面积； （3）如图，在的条件下，若为线段上任意一点，作点关于点的对称点，连结，当点落在的边上时，求的值． 【答案】 见解析 18或 【解析】 （1）证明 ，得 ，进而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论； （2）如图2，过点D作 于点H，根据等腰直角三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质求出AE，DH的值，即可解决问题； （3）结合（2）分两种情况讨论： ①如图3，当点Q落在 的AD边上时， ②如图4，当点Q落在 的DE边上时，过点Q作BC的平 行线交AE于点M，过点Q作QN AE于点N，分别画图进行计算即可 【解答】 （1） 点E是BC边的中点， (AAS) 四边形ABCD是平行四边形； （2）如图，过点D作 于点H， AD=6 EH 四边形ABCD的面积 （3）①如图3，当点Q落在 的AD边上时， 图3 由题意可知：P是BQ的中点， 在平行四边形ABCD中，BC//AD， ②如图4，当点Q落在 的DE边上时，过点Q作BC的平行线交AE于点M，过点Q作 于点N， 图4 同理可证 EN NQ=3, AN=6+ 在Rt 中， 综上所述： 的值为18或 学科网（北京）股份有限公司 $