7.1.1数系的扩充和复数的概念课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.1.1数系的扩充和复数的概念 温州科技高级中学 张明 引入 1、若 ，求 的值。 答： 于是问题出来了，在已知中是没有实数满足这个等式的，也就是说在实数范围内是无解的。既然没有实数满足这个等式，那未知的式子是求不出来的，但偏偏可以求出并且还是个实数-1，且是平方和 =负数。不可思议，这说明什么？这说明在世界中除了实数还有种神奇的数，它像个幽灵在世界中游荡徘徊，这是个什么东西？它就像鬼，看不见摸不着，你只能想象，它就是鬼，于是我们给这个幽灵或鬼一个名称，这个鬼是哪样子的？ 2 一句话，负实数开平方到底得到什么东西？ 注：一元三次方程的求根公式百度就有。 (1)我们知道，对于实系数一元二次方程a，当时没有 实数根。因此，在研究代数方程的过程中，如果限于实数集，有些问题就无法解决，事实上，数学家在研究解方程向题时早就遇到了负实数的开平方向题，但他们一直在回避.首到1545年 数学家在研究实系数一元三次方程的求根公式时，用求根公式、因式分解法两种方法同时求解一些特殊的一元三次方程时，得到了无法理解的结果，于是再也无法回避这个问题了：例如，求解=15x+4时，利用三次方程的求根公式可以得出三个根x=-2或x= ；而通过因式分解，得（x一4）（x²+4x+1）=0，因此方程的三个根为x=4，x =-2+，x=-2-，于是就得到=4这个在当时无法理解的等式，数学家们就去尝试研究诸如的问题，在解决这些问题的过程中，他们遇到的最大困扰就是，负实数到底能不能开平方？如何开平方？负实数开平方的意义是什么？ （2）从数学发展本身来看，数系的扩充也是数学本身发展的需要。方程x+1=0在自然数集N内无解，引人负整数后，它在整数集Z内便有解x=-1；方程2x-11=0在整数集Z内无解，引人分数后，它在有理数集Q内便有解x=;方程0在有理数集Q内无解，引人无理数后，它在实数集R内便有解x= 问题1：从方程的角度看，负实数能不能开平方，就是方程=-a（a>0）是否有解，也就是是否有解的向题，思考一下，能不能把这类问题再进一步简化，最终转化为最简单的方程是否有解的问题呢? 追问：我们知道，在实数集中无解，联系从自然数集到实数集的扩充过程，是否能引人新数，适当扩充实数集，使这个方程在新数集中有解呢? 12:22 解方程x2=－1 情境引入 发现此方程在实数范围类无解，说明现有的数集不能满足我们的需求，那么我们必须把数集进一步扩充。 5 12:22 为了解决负数开平方问题，数学家大胆引入一个新数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定： 问题解决: (1) i 21 ； (2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运算时, 原有的加法与乘法的运算律 (包括交换律、结合律和分配律)仍然成立. 6 在宗教比如佛教中，人往往把鬼、神形象化、具体化、实物化，那就是给让人敬畏的鬼、神塑一座雕像。在寺庙，在画家的名画中。许多画家以画宗教中的鬼、神为荣。 我们发现的新数是鬼或是神，你看不见摸不着，你只能想象，于是为了形象化、具体化、实物化我们像宗教人士为鬼、神塑造一座雕像样让i表示这个幽灵一样的数。i像宗教人士为鬼、神立像。 实数是看得见摸得着的。 同学们，鬼就是以上这样子的。 7 12:22 动 动 手 下列这些数与虚数单位i经过了哪些运算？ 8 复数的概念 　形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数, 实 部 虚部 复数的代数形式 全体复数所形成的集合叫做复数集， 　通常用字 母z表示. 一般用字母C表示. 知新 复数就是人鬼情未了，实数a是人，看得见摸得着，复数bi是鬼，看不见摸不着，它的一般形式a+bi是人鬼情未了。如美国著名影片《人鬼情未了》。 注：b叫虚部，不叫i的系数 9 12:22 　复数z=a+bi (a ∈ R、b ∈ R)能否表示实数？ 讨 论 虚数 （纯虚数（a=0且b≠0）） 复数z=a+bi (a ∈ R、b ∈ R) 实数 1、若a=0,则z=a+bi (a ∈ R、b ∈ R)为纯虚数. 2、若z=a+bi (a ∈ R、b ∈ R)为纯虚数,则a=0. 判断 （假） （真） 故a=0是z=a+bi (a ∈ R、b ∈ R)为纯虚数的 　　　　　　 条件. 必要不充分 10 12:22 1、复数z=a+bi 复数的分类 2. 复数集、虚数集、实数集、纯虚数集之间的关系 同学们，这些名字是数学家取的，是取的形象生动深刻，我们一看到名字就知道是什么意思。实数看得见摸得着，全是人，非纯虚数是半人半鬼或半人半仙，纯虚数是全是鬼。“纯”就是纯净没有杂质的意思。实：就是看得见摸得着的意思。虚：就是看不见摸不着的意思。 　思　考 复数集与实数集、虚数集、纯虚数集之间有什么关系？ 11 12:22 　如果两个复数的实部和虚部分别相等，那　　 　么我们就说这两个复数相等.即 ▲ 复数相等 思考 若 想一想 如果两个复数相等，那么它们应满足什么条件呢？ 12 12:22 若2-3i=a-3i,求实数a的值； 若8+5i=8+bi,求实数b的值； 若4+bi=a-2i，求实数a,b的值。 说一说 13 12:22 2-3i 0 6i 实部 虚部 分类 虚数 例 1: 　完成下列表格（分类一栏填实数、虚数或 　纯虚数） 2 -3 虚数 0 0 实数 0 6 纯虚　　数 -1 0 实数 14 12:22 实数m取什么值时，复数 是 （1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？ 解：（1）当 ，即 时，复数z 是实数． （2）当 ，即 时，复数z 是虚数． （3）当 ，且 ，即 时，复 数 z 是纯虚数． 例 2: 15 12:22 练习1:当m为何实数时，复数 是 （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数 16 12:22 　 已知 ， 其中 求 解：根据复数相等的定义，得方程组 得 例 3: 17 12:22 课堂小结 虚数的引入 复 数 z = a + bi (a,b∈R) 复数的分类 当b=0时z为实数; 当b0时z为虚数 (此时,当a =0时z为纯虚数). 复数的相等 a+bi=c+di (a, b,c,dR) a=c b=d 18 唯物辨证法认为，事物是发展变化的，事物内部的矛盾运动是推动事物向前发展的根本动力.由于实数的局限性，导致某些数学问题出现矛盾的结果，数学家们预测，在实数范围外还有一类新数存在，还有比实数集更大的数系. 数系每次扩充的基本原则： 第一，增加新元素； 第二，原有的运算性质仍然成立； 第三，新数系能解决旧数系中的矛盾. 19 复数的发展史 虚数这种假设,是需要勇气的,人们在当时是无法接受的,认为她是想象的,不存在的,但这丝毫不影响数学家对虚数单位 的假设研究:第一次认真讨论这种数的是文艺复兴时期意大利有名的数学“怪杰”卡丹，他是1545年开始讨论这种数的，当时复数被他称作“诡辩量”.几乎过了100年，笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了一个名字——虚数．但是又过了140年，欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之中”，并用 （imaginary，即虚幻的缩写）来表示它的单位. 后来德国数学家高斯给出了复数的定义，但他们仍感到这种数有点虚无缥缈，尽管他们也感到它的作用．1830年，高斯详细论述了用直角坐标系的复平面上的点表示复数 ，使复数有了立足之地,人们才最终承认了复数.到今天复数已经成为现代科技中普遍运用的数学工具之一. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 20 C A 1 D B 1 A B C D 1 1 1 1 E F BD2= 2 古老的问题:“正方形的对角线是个‘奇怪’的数” BD = ？ 21 关于无理数的发现 古希腊的毕达哥拉斯学派认为, 世间任何数都可以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条.有一天,这个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为1的正方形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究,终于证明出它不能用整数或分数表示.但这打破了毕达哥拉斯学派的信条,于是毕达哥拉斯命令他不许外传.但希伯斯却将这一秘密透露了出去.毕达哥拉斯大怒,要将他处死.希伯斯连忙外逃,然而还是被抓住了,被扔入了大海,为科学的发展献出了宝贵的生命.希伯斯发现的这类数,被称为无理数.无理数的发现,导致了第一次数学危机,为数学的发展做出了重大贡献. 本来毕达哥拉斯学派认为万物皆数这里指有理数，但有人发现了无理数且献出了自己的生命。当时万物皆数这个信仰像封建时代的皇帝，骂皇帝要杀头。 22 $