第五章《方式与分式方程》复习与巩固(二) 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

八年级数学下册

第五章 分式与分式方程

复习与巩固 ( 二 )

 

一、 单选题（本题共计 10 小题  ，每题 4 分 ，共计40分 ）

 

1.若分式有意义，则的取值范围是（       ）

A.且 B.且
C.且 D.且且

2.下列式子中，从左往右变形正确的是（       ）

A. B. C. D.

3.若分式可以进行约分化简，则该分式中的不可以是（       ）

A. B. C. D.

4.计算的正确结果是（       ）

A. B. C. D.

5.方程，去分母正确的是（     ）

A. B.
C. D.

6.已知，， 则P与Q 的大小关系是（       ）

A. B. C. D.无法确定

7.已知，且，则的值为（       ）

A. B. C. D.4

8.节约用水人人有责，某绿化养护公司原来用漫灌方式浇绿地，天用水吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用天，现在比原来每天少用水（       ）

A.吨 B.吨
C.吨 D.吨

9.为迎接植树节打造绿色校园，重庆外国语学校组织购买了一批树苗，已知购买香樟树苗花费元，购买木兰树苗花费元，其中每颗香樟树苗价格是每颗木兰树苗价格的，且香樟树苗数量比木兰树苗少颗，求一共买了多少颗木兰树苗？假设购买颗木兰树苗，则可列方程为（     ）

A. B.
C. D.

10.若关于的分式方程无解，则的值为（       ）

A.－3 B.－3或－5 C.1或－3 D.1或－5

 

二、填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ）

 

11.已知：，则的值为____________．

12.某同学将分式约分后得到最简分式，则原分式的分子是________． 

13.已知（且），，，…，，若，则x的值为________．

14.若关于的方程有增根，则这个增根是________．

15.若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和为________．

解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）

16.计算或解分式方程

（1）计算：

（2）解分式方程：

（3）解分式方程：

17.（1）化简：；

（2）把（1）中化简的结果记作，将中的分子与分母同时加上1后得到，问：当时，的值与的值相比变大了还是变小了？试说明理由． 

18.分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．
例如： .

（1）将假分式化为一个整数与一个真分式的和；

（2）利用上述方法解决问题：若是整数，且分式的值为正整数，求的值．

19.已知关于的分式方程，

（1）若分式方程无解，求的值；

（2）若分式方程的解为正数，求的取值范围．

20.先化简，再求值：，其中a为不等式组的整数解．

21.中国吉林地处“世界三大黄金玉米带”之一的核心种植区，为了提高玉米收割效率，计划引进甲、乙两种类型收割机．

（1）若在相同时间内，1台甲型收割机能收割100公顷地，1台乙型收割机能收割120公顷地．1台乙型收割机比1台甲型收割机每天多收割公顷地，求甲、乙两种类型收割机每台每天收割的玉米地各是多少公顷．

（2）若1台甲型收割机每天可以收割a公顷地，1台乙型收割机每天可以收割b公顷地，（其中）．现在要收割一块面积为S公顷的玉米试验田，有两种收割方案：
方案一：一半的面积由1台甲型收割机收割，另一半的面积由1台乙型收割机收割；
方案二：完成整个收割工作的前一半时间由1台甲型收割机收割，后一半时间由1台乙型收割机收割．
①小贺同学选择方案一，列了这样一个式子：，
化简后可得方案一所用时间是______天；
小蔓同学选择方案二，设t天可以完成，列方程，
解得所用时间是______天．（用含a、b、S的式子表示）
②请你判断哪种方案所用时间少，并说明理由．

22.对于两个不相等的非零实数、，分式的值为零，则或．又因为，所以关于的方程有两个解，分别为，．
应用上面的结论解答下列问题：

（1）方程有两个解，分别为_______，_______；

（2）关于的方程的两个解分别为，，若与互为倒数，则_______，_______；

（3）关于的方程的两个解分别为，，求的值．

23.某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少元，且用元购进甲商品的数量与用元购进乙商品的数量相同．

（1）甲、乙两种商品每个的进价分别是多少元？

（2）若该商场购进甲商品的数量比购进乙商品的数量的倍还少个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过个，则商场最多购进乙商品多少个？

（3）在的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是元/个和元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？

24.根据题意引入一些尚待确定的系数来表示，通过变形与比较，建立起含待定字母系数的方程（组），并求出相应字母系数的值，从而使问题得到解决的方法，我们称之为待定系数法．
例：m为何值时，多项式有一个因式是．
解：设它的另一个因式为（a为常数），
则
比较两边的系数，得，解得．

（1）已知多项式有一个因式是，求m的值；

（2）已知，其中A，B为常数，求的值；

（3）已知是的一个因式，分解因式：________．

25.阅读材料：
在小学数学中我们知道，假分数可以化成带分数，例如：；
类似的，在分式中也可以将一些分式写成整式与分子为有理数的分式的和的形式，我们称这个分式为“和谐分式”．例如：，则是和谐分式．
请根据以上阅读，解答下列问题：

（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是___________（填序号）；
①       ②       ③       ④

（2）分别将下列分式写成整式与分子为有理数的分式的和的形式：
①       ②；

（3）若为整数，求使分式的值为整数的的值．